理论力学 摩擦力
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静力学
摩擦与摩擦力
• 引言 • 滑动摩擦 • 滚动摩擦
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
1
摩擦与摩擦力
引言
• 两个相互接触物体有相对运动趋势或在相对运动的过程中
– 接触面间的理想约束力沿两接触面的公法线 – 接触面的公切面上存在阻碍两物体相对运动的力，称为 摩擦力 • 摩擦力的物理本质很复杂 – 与两物体的材料、表面的情况与相对运动性态有关
Fmin G tan(q m ) 400tan(30 11.31 ) 135.31N
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
11
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
工况2
摩擦角
F2 F 2
G
m arctan f s 11.31
FF
q q
过大的加水平力，与重力的合力落在摩檫 三角形外，物体将上移
Ff A
A
Ff B FN B
FN A
Ff A Fm A
Ff B Fm B
系统确是平衡的，上述结果可信
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
19
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 对于考虑摩擦的平衡问题的小结
– 首先假定系统为平衡
– 由于系统不一定处于静摩擦的临界情况，可通过平 衡方程求得这些未知的静摩擦力与理想约束力
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
静摩檫因数 fs
动摩檫因数 f
4
f 略 fs
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 摩檫角
临界态
F2 ( F , G)
F1 ( Fm , FN )
F2 F
G
Fm FN m F1
两力共线，方向相反
F1 F2
F
G
q
求该力的最大与最小值
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
9
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
[解]
分析： 工况1 水平主动力小，物体下滑 阻止其下滑的临界值记为Fmin
F
G
q
工况2 水平主动力大，物体上移 当Fmin < F <Fmax 物体静止 未能使其上移的临界值记为Fmax
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
25
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
[解]
研究对象：系统 问题性质：平面 建立参考基 受力分析 主动力 理想约束力
y
G
G0
G
Байду номын сангаас
F
Ff 2
摩擦力
Ff 1
x
未知数与方程个数的分析: 5/3
FN1
FN 2
F
i 1
n
n
ix
0
0
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
角m的范围： 平面：摩檫三角形 空间：摩檫锥
7
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 摩檫自锁的应用
F
q q
m
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
8
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
[例]
重为400N的重物放在斜面上,斜 面的倾角 q=30度 物体与斜面的静摩擦因数 fs =0.2 为使物体不滑动，在物体上施 加一水平力F
FN B
q 17
FB
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
假定系统为平衡 研究对象：系统 问题性质：平面 建立参考基
y G
C
Ff B FN B cot q
未知数与方程个数的分析: 3/3
静定
q
q B
x
M Az ( Fi ) 0
n i 1
平衡方程
Ff A
A
Ff B FN B
– 所得的结果必须与极限静摩擦力进行比较
– 以确认上述系统平衡的假定是否成立
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
20
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/粘性摩擦
粘性摩擦
• 滑动摩擦力是发生在有润滑的滑动 摩擦中 • 由于润滑剂的作用，通常它们的极 限摩擦力很小 • 动摩擦力与物体相对运动速度成正 比，方向与相对运动速度向反
G
q
C
q B
A
不计折叠梯的重量，问它是否平衡？ 如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学 15
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 解
假定系统为平衡 研究对象：系统 问题性质：平面 建立参考基 受力分析 主动力 理想约束力 摩擦力
y G
C
q
q B
x
Ff A
18
ix
Ff A Ff B 0
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
假定系统为平衡
y G
C
FN A 375 N
FN B 125 N
系统是否真的平衡？
Ff A 72.17 N Ff B 72.17 N
q q B
x
Fm A f s A FN A 75 N Fm B f s B FN B 75 N
理想约束力与极限摩擦力的合力和接触面法 线的夹角称为摩擦角 m
Fm fs tan m FN
摩擦角m的正切等于静摩檫因数
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
Fm f s FN
5
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 利用摩檫角测静摩檫因数
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
F Ff 1 Ff 2
FN1 FN 2 G0 2G
得到2个方程
F
i 1
iy
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
26
摩擦与摩擦力/滚动摩擦/解
y
研究对象：滚木（左，右） 问题性质：平面 建立参考基 受力分析 主动力 理想约束力 摩擦力
A
Ff B FN B
静摩擦力如何定
Ff A f s A FN A ？ FmA Ff B f s B FN B ？ FmB
静定 静不定
FN A
极限静摩擦力
未知数与方程个数的分析: 2/3
静摩擦力在平衡态是未知的需通过平衡方程求得
未知数与方程个数的分析: 4/3
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学 16
M f M m M m FN
简化中心B
F
A
G
O
Ff FN
Ff FN
简化中心B
Ff
M sFN s M m FN
Mm
Ff FN M 0
Mm
滚阻因数量纲为长度单位 物理意义是将摩擦力简化为合力时简化 中心点到A的距离
F
FN G
F
A
G
O
Ff
Mf
FN
FR
22
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
• 滚动摩擦现象
平衡态
F
Ff F M f Fr Ff Fm Mf Mm
滑动
Mf
A
G
O
Ff
F
F Fm
Ff
Mf
滑动临界态 滚动临界态
Fm f s FN
运动态
v
G
F
FN
F cv
粘性摩擦因数 c
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
21
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
滚动摩擦
• 滚动摩擦产生的原因：二 物体在相对滚动时局部变 形引起一种阻碍它们相对 运动的阻力 • 这些阻力向点A进行简化
主矢
F
G
O
主矩
FR ( Ff , FN ) FN 具有理想约束力的性质 Ff 滑动摩擦力的性质 M f 滚动摩擦所特有力偶矩 滚动阻力偶矩
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
10
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
• 解：几何法
工况1 摩擦角
q m
F2
F
q
G
m arctan f s 11.31
重力在摩擦三角形外，物体将下滑
Fm
q
为了平衡，加水平力，其与重力的合力落 在三角形内
临界态
m FN
FN
iy
Fm f s FN
附加方程
Fmin
sinq f s cosq 135.31 N cosq f s sinq
13
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
工况2 临界态平衡问题
建立参考基 平衡方程 未知数与方程个数的分析: 3/2 平面汇交力系
• 解：解析法
工况1 临界态平衡问题
建立参考基 平衡方程
G
y
x
未知数与方程个数的分析: 3/2 平面汇交力系
Fmin
q
Fm
q
F F
i 1 i 1 n
n
ix
0 0
Fmin cosq Fm G sinq 0
Fmin sinq FN G cosq 0
G
y
Fmax
q q
x
Fm
F
i 1 n i 1
n
ix
0
Fmax cosq Fm G sinq 0
Fmax sinq FN G cosq 0
Fiy 0
Fmax
Fm f s FN
FN
附加方程
sinq f s cosq 351.53 N cosq f s sinq
• 分类
– 滑动摩擦力：发生在两物体相对滑动和有此种趋势的摩 擦力
– 滚动摩擦力：发生在两物体相对滚动和有此种趋势的摩 擦力 2013年7月9日
理论力学CAI 静力学
2
摩擦与摩擦力/滑动摩擦
滑动摩擦
• 干摩檫
• 粘性摩檫
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
3
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
干摩檫
Fm tan m fs FN
6
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 摩檫自锁
临界态
F2
F
G
F2 ( F , G) F1 ( Fm , FN ) Fm F1 F2 tan m f s FN
平衡态
Ff
f FN F1
F
FN
FR
Mm F r Mm Fm F r Mm F Fm r Mm Fm F F r
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
M m FN 极限滚阻力偶矩
滚阻因数
通常
纯滚动 又滚又滑
r
fs
23
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
• 滚阻因数
考虑滚动临界态 简化中心A
m
G
Fm FN m F1
F2 ( F , G) F1 ( Ff , FN )
两力共线，方向相反 F1 F2
tan f
Ff FN
Ff Fm
f m
主动力的合力不管其大小如何，只要落在角 m的范围内，那么 物体不可能运动。这种现象称为摩擦自锁
Fm
m
为了平衡，减小水平力，与重力的合力落 在摩檫三角形内
临界态
FN
Fmax G tan(q m ) 400tan(30 11.31 ) 351.53 N
当 135.31N < F <351.53N 物体静止
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学 12
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
• 两物体接触面的凹凸不平是引 起干摩擦的主要原因
• 干(库仑)摩檫现象
平衡态 FN G
F
Ff
Ff F
临界态 FN G F Fm 运动态 FN G
Ff Fm Ff
Fm f s FN极限摩檫力
Ff fFN
F
库仑定律：在其他条件相同的情况下，极限摩擦力的大小Fm与接触物体 间的理想约束力FN成正比
O A B
FR
M Ff
Mm
s
与接触物体的性质有关
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
FN
24
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
[例]
在搬运重物时常在下面垫些滚木 重物重G0，滚木重G ，半径为 r 滚木与重物的滚阻因数为 0 滚木与地面的滚阻因数
G
G0
G
F
求将要拉动重物时的拉力 F
当 135.31N < F <351.53N 物体静止
14
2013年7月9日
理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
[例]
图示一折叠梯放在地面上，与 地面的夹角q=60度 脚端A与B和地面的摩擦因数分 别为fsA =0.2 和 fsB =0.6 在折叠梯的AC侧的中点处有一 重为500N的重物
bFN B 0.25bG 0
FN A
F
F
i 1
n
FN B 0.25G 125 N
Ff B FN B cotq 72.17 N
i 1 n
iy
0
0
FN A FN B G 0
FN A G FN B 375 N
Ff A Ff B 72.17 N
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
假定系统为平衡 研究对象：杆CB 问题性质：平面 建立参考基 受力分析 无主动力作用 二力杆
y G
C
q
q
x
约束力沿轴线，定义正向
Ff A
A
B
Ff B
Ff B FN B cot q
FN A
FC
FN B
Ff B
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力
• 引言 • 滑动摩擦 • 滚动摩擦
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
1
摩擦与摩擦力
引言
• 两个相互接触物体有相对运动趋势或在相对运动的过程中
– 接触面间的理想约束力沿两接触面的公法线 – 接触面的公切面上存在阻碍两物体相对运动的力，称为 摩擦力 • 摩擦力的物理本质很复杂 – 与两物体的材料、表面的情况与相对运动性态有关
Fmin G tan(q m ) 400tan(30 11.31 ) 135.31N
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
11
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
工况2
摩擦角
F2 F 2
G
m arctan f s 11.31
FF
q q
过大的加水平力，与重力的合力落在摩檫 三角形外，物体将上移
Ff A
A
Ff B FN B
FN A
Ff A Fm A
Ff B Fm B
系统确是平衡的，上述结果可信
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
19
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 对于考虑摩擦的平衡问题的小结
– 首先假定系统为平衡
– 由于系统不一定处于静摩擦的临界情况，可通过平 衡方程求得这些未知的静摩擦力与理想约束力
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
静摩檫因数 fs
动摩檫因数 f
4
f 略 fs
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 摩檫角
临界态
F2 ( F , G)
F1 ( Fm , FN )
F2 F
G
Fm FN m F1
两力共线，方向相反
F1 F2
F
G
q
求该力的最大与最小值
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
9
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
[解]
分析： 工况1 水平主动力小，物体下滑 阻止其下滑的临界值记为Fmin
F
G
q
工况2 水平主动力大，物体上移 当Fmin < F <Fmax 物体静止 未能使其上移的临界值记为Fmax
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
25
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
[解]
研究对象：系统 问题性质：平面 建立参考基 受力分析 主动力 理想约束力
y
G
G0
G
Байду номын сангаас
F
Ff 2
摩擦力
Ff 1
x
未知数与方程个数的分析: 5/3
FN1
FN 2
F
i 1
n
n
ix
0
0
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
角m的范围： 平面：摩檫三角形 空间：摩檫锥
7
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 摩檫自锁的应用
F
q q
m
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
8
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
[例]
重为400N的重物放在斜面上,斜 面的倾角 q=30度 物体与斜面的静摩擦因数 fs =0.2 为使物体不滑动，在物体上施 加一水平力F
FN B
q 17
FB
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
假定系统为平衡 研究对象：系统 问题性质：平面 建立参考基
y G
C
Ff B FN B cot q
未知数与方程个数的分析: 3/3
静定
q
q B
x
M Az ( Fi ) 0
n i 1
平衡方程
Ff A
A
Ff B FN B
– 所得的结果必须与极限静摩擦力进行比较
– 以确认上述系统平衡的假定是否成立
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
20
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/粘性摩擦
粘性摩擦
• 滑动摩擦力是发生在有润滑的滑动 摩擦中 • 由于润滑剂的作用，通常它们的极 限摩擦力很小 • 动摩擦力与物体相对运动速度成正 比，方向与相对运动速度向反
G
q
C
q B
A
不计折叠梯的重量，问它是否平衡？ 如果平衡，计算两脚与地面的摩擦力
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学 15
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 解
假定系统为平衡 研究对象：系统 问题性质：平面 建立参考基 受力分析 主动力 理想约束力 摩擦力
y G
C
q
q B
x
Ff A
18
ix
Ff A Ff B 0
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
假定系统为平衡
y G
C
FN A 375 N
FN B 125 N
系统是否真的平衡？
Ff A 72.17 N Ff B 72.17 N
q q B
x
Fm A f s A FN A 75 N Fm B f s B FN B 75 N
理想约束力与极限摩擦力的合力和接触面法 线的夹角称为摩擦角 m
Fm fs tan m FN
摩擦角m的正切等于静摩檫因数
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
Fm f s FN
5
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 利用摩檫角测静摩檫因数
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
F Ff 1 Ff 2
FN1 FN 2 G0 2G
得到2个方程
F
i 1
iy
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
26
摩擦与摩擦力/滚动摩擦/解
y
研究对象：滚木（左，右） 问题性质：平面 建立参考基 受力分析 主动力 理想约束力 摩擦力
A
Ff B FN B
静摩擦力如何定
Ff A f s A FN A ？ FmA Ff B f s B FN B ？ FmB
静定 静不定
FN A
极限静摩擦力
未知数与方程个数的分析: 2/3
静摩擦力在平衡态是未知的需通过平衡方程求得
未知数与方程个数的分析: 4/3
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学 16
M f M m M m FN
简化中心B
F
A
G
O
Ff FN
Ff FN
简化中心B
Ff
M sFN s M m FN
Mm
Ff FN M 0
Mm
滚阻因数量纲为长度单位 物理意义是将摩擦力简化为合力时简化 中心点到A的距离
F
FN G
F
A
G
O
Ff
Mf
FN
FR
22
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
• 滚动摩擦现象
平衡态
F
Ff F M f Fr Ff Fm Mf Mm
滑动
Mf
A
G
O
Ff
F
F Fm
Ff
Mf
滑动临界态 滚动临界态
Fm f s FN
运动态
v
G
F
FN
F cv
粘性摩擦因数 c
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
21
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
滚动摩擦
• 滚动摩擦产生的原因：二 物体在相对滚动时局部变 形引起一种阻碍它们相对 运动的阻力 • 这些阻力向点A进行简化
主矢
F
G
O
主矩
FR ( Ff , FN ) FN 具有理想约束力的性质 Ff 滑动摩擦力的性质 M f 滚动摩擦所特有力偶矩 滚动阻力偶矩
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
10
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
• 解：几何法
工况1 摩擦角
q m
F2
F
q
G
m arctan f s 11.31
重力在摩擦三角形外，物体将下滑
Fm
q
为了平衡，加水平力，其与重力的合力落 在三角形内
临界态
m FN
FN
iy
Fm f s FN
附加方程
Fmin
sinq f s cosq 135.31 N cosq f s sinq
13
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
工况2 临界态平衡问题
建立参考基 平衡方程 未知数与方程个数的分析: 3/2 平面汇交力系
• 解：解析法
工况1 临界态平衡问题
建立参考基 平衡方程
G
y
x
未知数与方程个数的分析: 3/2 平面汇交力系
Fmin
q
Fm
q
F F
i 1 i 1 n
n
ix
0 0
Fmin cosq Fm G sinq 0
Fmin sinq FN G cosq 0
G
y
Fmax
q q
x
Fm
F
i 1 n i 1
n
ix
0
Fmax cosq Fm G sinq 0
Fmax sinq FN G cosq 0
Fiy 0
Fmax
Fm f s FN
FN
附加方程
sinq f s cosq 351.53 N cosq f s sinq
• 分类
– 滑动摩擦力：发生在两物体相对滑动和有此种趋势的摩 擦力
– 滚动摩擦力：发生在两物体相对滚动和有此种趋势的摩 擦力 2013年7月9日
理论力学CAI 静力学
2
摩擦与摩擦力/滑动摩擦
滑动摩擦
• 干摩檫
• 粘性摩檫
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
3
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
干摩檫
Fm tan m fs FN
6
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
• 摩檫自锁
临界态
F2
F
G
F2 ( F , G) F1 ( Fm , FN ) Fm F1 F2 tan m f s FN
平衡态
Ff
f FN F1
F
FN
FR
Mm F r Mm Fm F r Mm F Fm r Mm Fm F F r
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
M m FN 极限滚阻力偶矩
滚阻因数
通常
纯滚动 又滚又滑
r
fs
23
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
• 滚阻因数
考虑滚动临界态 简化中心A
m
G
Fm FN m F1
F2 ( F , G) F1 ( Ff , FN )
两力共线，方向相反 F1 F2
tan f
Ff FN
Ff Fm
f m
主动力的合力不管其大小如何，只要落在角 m的范围内，那么 物体不可能运动。这种现象称为摩擦自锁
Fm
m
为了平衡，减小水平力，与重力的合力落 在摩檫三角形内
临界态
FN
Fmax G tan(q m ) 400tan(30 11.31 ) 351.53 N
当 135.31N < F <351.53N 物体静止
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学 12
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
• 两物体接触面的凹凸不平是引 起干摩擦的主要原因
• 干(库仑)摩檫现象
平衡态 FN G
F
Ff
Ff F
临界态 FN G F Fm 运动态 FN G
Ff Fm Ff
Fm f s FN极限摩檫力
Ff fFN
F
库仑定律：在其他条件相同的情况下，极限摩擦力的大小Fm与接触物体 间的理想约束力FN成正比
O A B
FR
M Ff
Mm
s
与接触物体的性质有关
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学
FN
24
摩擦与摩擦力/滚动摩擦
[例]
在搬运重物时常在下面垫些滚木 重物重G0，滚木重G ，半径为 r 滚木与重物的滚阻因数为 0 滚木与地面的滚阻因数
G
G0
G
F
求将要拉动重物时的拉力 F
当 135.31N < F <351.53N 物体静止
14
2013年7月9日
理论力学CAI 静力学
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦
[例]
图示一折叠梯放在地面上，与 地面的夹角q=60度 脚端A与B和地面的摩擦因数分 别为fsA =0.2 和 fsB =0.6 在折叠梯的AC侧的中点处有一 重为500N的重物
bFN B 0.25bG 0
FN A
F
F
i 1
n
FN B 0.25G 125 N
Ff B FN B cotq 72.17 N
i 1 n
iy
0
0
FN A FN B G 0
FN A G FN B 375 N
Ff A Ff B 72.17 N
摩擦与摩擦力/滑动摩擦/干摩擦/解
假定系统为平衡 研究对象：杆CB 问题性质：平面 建立参考基 受力分析 无主动力作用 二力杆
y G
C
q
q
x
约束力沿轴线，定义正向
Ff A
A
B
Ff B
Ff B FN B cot q
FN A
FC
FN B
Ff B
2013年7月9日 理论力学CAI 静力学