向量的共线定理共21页
空间向量基本定理(18张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
授课老师：
时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
平面向量的三点共线定理及其应用技巧
思路探寻在解答平面向量问题时，经常要用到平面向量的运算法则、定理、几何意义、公式等.对于多点在同一直线上的问题，可以利用平面向量的三点共线定理进行求解.如图1，O 为直线外一点，在△OPA 中， AP =OP - OA ,设 OP =λ OA +μ OB ,则AP =λ OA +μ OB - OA =μ OB+(λ-1) OA =m ( OB - OA )，而在△OBA 中， AB = OB -OA ，即 AB =mAP ，所以A 、B 、P 三点共线.在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是对于平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x 、y ，使得 OP =x OA +yOB 且x +y =1.这就是平面向量的三点共线定理.该定理常用于判断三点是否共线，证明几个点是否在同一条直线上，求某个向量的表达式，求参数的值等.下面结合实例探讨一下如何运用平面向量三点共线定理解题.例1.已知O 为锐角三角形ABC 的外心，AB =3,AC =6，若 AO =x AB +yAC ，且3x +10y =5，求三角形ABC 的面积.解：由3x +10y =5，得3x 5+2y =1.由题意可得AO =x AB +y AC =3x 5(53 AB )+2y (12AC ),如图2，在直线AB ，AC 上取两点D ,E ，使得 AD =53 AB ， AE =12 AC ，则 AO =3x 5 AD +2y AE ，又3x 5+2y =1，所以O ,D ,E 三点共线.因为O 为△ABC 的外心，且|| AE =|| EC ，则DE ⊥AC ，又|| AD =5，||AE =3，可得sin ∠BAC =45，故S △ABC =12×|| AB ×||AC ×sin ∠BAC=12×3×6×45=365.根据向量式的特点以及3x +10y =5联想到要三点共线定理，于是在直线AB 、AC 上取两点D 、E ，证明 AO =3x 5AD +2y AE ，即可根据三点共线定理证明O ,D ,E 三点共线，从而根据三角形外心的性质和面积公式求得问题的答案.例2.如图3所示，在△ABO 中，OC =14 OA ， OD =12OB ，AD 与BC 相交于点M .设 OA =a ，OB =b ，试用 a 和 b 来表示向量 OM .解：设 OM =ma +nb ，则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m -1)a +nb ，AD = OD - OA =12 OB - OA =-a +12b ，因为A ,M ,D 三点共线，所以存在实数t ，使得 AM =tAD ，即(m -1)a →+n b →=t (-a →+12b →)，所以ìíîïïm -1=-t ,n =t 2,消去t 得m +2n =1，又因为CM = OM - OC =(m -14)a →+n b →， CB = OB - OC =-14a →+b →，且B ,M ,C 三点共线，所以存在实数t 1，使得 CM =t 1CB ，即(m -14)a →+n b →=t 1（-14a →+b →），所以ìíîïïm -14=-14t 1n =t 1，消去t 1得4m +n =1，由上述两式得m =17，n =37，故 OM =17 a +37b .解答本题需抓住A ,M ,D 三点共线和B ,M ,C 三点共线这两个关键点，再将 OA 和OB 作为基底表示出其他向量，利用待定系数法来求参数的值.向量共线定理是平面向量中的一个重要定理.合理运用三点共线定理，往往能起到化繁为简的功效，使问题快速得解.同学们要重视三点共线定理，将其灵活地应用于解题当中.（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）图1图2图348Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
共线向量
①或②都叫做空间直线的向量参数方程
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；
纵深排列的六间正房是保存完好的六处画廊，收藏着五千年来汉文化的稀世珍品： 最早的“象形阁”四壁皆是卓然独立的景物画，日月山川，草木虫鱼，人物鸟兽在远祖的石笔下从容点染，栩栩如生。 爬满古藤的“指事厅”集中了大量象征画，那是取材于世间万象，提炼为写意符号的精纯 之作，线条洗练流畅，画简意赅。 翠柏掩映的“会意堂”布满粘贴画，五彩的偏旁部首带给先祖多少灵感，任他随心取舍，率性成趣。 湖石装饰的“假借斋”有常人难以想见的印象画，千古流传的画风自成一体，琢丑石为美玉，化平凡为神奇，恰是先祖的“雕虫小技”；小巧别致的“转注 馆”是不同手笔的同题画，相同的物象，不一样的意韵，随画家相异的视角自然流转，丰富而本真。 藏品最丰名气最大的当属金碧辉煌的“形声轩”，这是一整屋形声俱备的视听画，你随意选取一幅，只需轻轻掸去五千年的浮尘，画幅上的世事云烟立刻跃入眼帘，耳旁骤然响起来自远古的 歌声与呼唤。你见过这种特殊的绘画形式吗？你听说过这种不同凡响的绘画技巧吗？千百年来慕名而至的人们无不叹服我的祖先的聪明才智——这是举世无双独一无二的艺术绝唱啊！ 这就是汉字，我的祖屋，我的家！我迷恋它雕梁画栋的亭阁楼台，我更迷恋它朝晖夕阴中隶楷行草的万千气 象： 赏心悦目的，是旭日的光箭穿过宽阔而幽深的甬道，照亮祖屋的身躯，优雅而颀长；令人陶醉的，是正午的艳阳放射出道道金辉，铺撒祖 屋的胸襟，舒展高贵，气度雍容；心驰神曳的，是脉脉的斜晖将祖屋分明的棱角慢慢隐去，只留轻盈身姿，飘飘欲飞；最最摄魂夺魄的，当是梦幻的 烟月下，斑驳的树影中，祖屋如龙蛇行走，曼妙莫测！ 探不完的深宅奇景，品不够的千古神韵。这就是汉字，我的祖屋，我的家！ 这里埋藏着我祖先的经脉，这里跳动着我世族的心。我感知着它们才能安然入睡，我触摸着它们才能无所惧怕。 我在祖屋的世代书香中孕育，我在祖屋的千年 墨韵里成长。看五千年的辉煌历史从祖屋门前静静流淌，望五千年的灿烂文明依旧在祖屋的头顶熠熠生光。 我把汉字刻在了心底，我心灵的蜗居建在汉字方正的屋檐下。 怎么跟你说呢？ 无论岁月把我带到世界的哪一个角落，看见汉字，我就找到了家。 [教师语] 你读懂了吗？“我家”是 由汉字构成的，上下左右内外的间架结构、横竖撇捺点折提钩的笔画、象形指事会意假借转注形声的六书、隶楷行草字体等博大精深的汉字知识都被巧妙地包容在其中了，如此别致，如此让人流连忘返！ 吟唱与道路? 张? 睿 我的故乡是那种真正地理意义上的穷乡僻壤。除了生生不息的风沙， 广袤的空间里别无他物。通向外部世界的道路是有的，那甚至还是资格很老的一条商路，曾经忝称汉唐“丝绸之路”的北线干道，振响过西域胡商的驼铃，但在漫长的岁月里久已沦为毛驴车的便道。很少有人循着道路走向广大纷繁的世界，追求轻松如意的生活。 生活对于我恩宠有加，我走 出来了。为了求学，我乘坐破旧不堪的“驼铃”汽车，在故乡大靖镇和凉州城之间的这条路线上来来去去。深刻的荒凉和不停顿的吟唱，构成了我少年生活的特殊断面。常常是，当圆润的红日从高丘的烽火台上跳溅而出，使远近的沙海金黄而耀眼，汽车穿过边墙（明长城）的豁口，追逐着自 己长长的影子钻进茫无人烟之地。一种清冷的、离乡背井的凄楚控制了乘客们的内心，在车厢内造成了长时间不自然的死寂。人们在剧烈的颠簸中，梳理各自如麻的思绪。蜥蜴在沙地上游窜，刺猬躲在白刺果丛中发呆，线条柔和的沙丘宛若稍事歇息的大军，平静耐心地等候汽车通过。 一个 吆着毛驴车以卖水为生的小伙子多年不变地迎面而过，他的冲着阳光的脸庞安祥而茫然，大开大阖的嘴里一如既往地高唱着一支大家都无比熟悉亲切的民歌：“太阳一出来唉，唉咳唉咳唉咳唉咳唉……”于是，我的蜷缩成一团的、恐惧与悲伤交织的情感仿佛找到了出口，化作低徊的旋律尽情 宣泄。我开始哼唱。一连串沉重、单调、互相因袭的音符从声带升起，在牙关紧咬的口腔内回荡，然后自翕动的鼻腔冲出，紧紧包裹了我自己。那是不通乐理的嗓子发出的嗡声，有点像神经质的自言自语，却很快给我带来抵御寒冷的温暖和缓解精神压力的安全感。 哼唱—起头就没个完，那 真是—种绝妙的经验。随着平铺直叙的旋律，不断得到暗暗的扩展，营追出令人神往的美妙意境；对自然和生命的感知一点点深入，或者令我悚然而惊，或者使我喜极而泣。这普通的哼唱，表现出好像不是出自哼唱者凡胎俗体一般的深沉莫测，以至于我成了 躲在一边的欣赏者和旁观者，为 之陶醉或迷惑。有时我感到，它就像灵魂深处钻出来的一只鹰隼，以比我苍老得多的眼和心，满怀悲悯地巡视着了无生气的大地和懦弱的生灵。 我生来是—个缺乏音乐细胞的农人之子，对于这一点我遗憾不大：人可以借由不同的方式存活于世。我那种槽践艺术的放肆哼唱，虽然不能给别的 耳朵带来快乐的享受，却反映了成长的心灵与大自然进行交流对话的愿望。它对整个世界不具什么影响，却涵盖了少年内心生活的全部，指引着它的选择和方向。 这样的哼唱，可以持续很长时间；这样的哼唱，坚持了许多年。 喑哑的声音，宛如窗外田塬上纵辔奔驰的野马，柔韧有力地伸展 蔓延，其中包含着感伤的、无以名状的情感，零星断片的思虑和无限沉迷直达生命根底的痴醉。它是生命忠实的使者，不但使个人的历史有机成序，也以一种磁性的力量搭上未来生活的脉搏。 因而我可以说是哼哼不已地远离了家乡，那也算得上一次激越光辉的旅程。直到某个难以确定的时 间界点，命运的进程“咔嚓”一声出了问题，显示出逆转的迹象。野性的哼唱失去了精神催动和肺部支撑，逐渐衰微以至于无。我丢了这份哼唱的本领已有一些年头，现在虽也并非全然哼不成调，但冒出来的干脆就是声音垃圾，略无旧时况味了。 严酷的生活环境酿生的哼唱激情被严酷的心 灵现实所扼杀。而道路是另一回事。道路有自己的生长方式，真正的道路永远是激情和思想发育滋长的摇篮，昭示着俯视人类的古老尊严和气节。我经常怀着感念的心情想起故乡的道路。十多年前它像一条疙疙瘩瘩的旧麻绳，随随便便被流沙掩埋、扭曲和拗断，波浪形的砂石路面使汽车舞蹈 不止，路边除了稀稀拉拉的骆驼草、白刺果和红柳丛，罕有生机；如今它已出落成一条优雅笔挺的柏油路，蜿蜒于日见茂盛的绿色原野。一项大型水利工程的建设迅速改变着这片沙塬的面貌，流沙远避而去，植物和庄稼忙于恢复失地。越来越多年轻或不年轻的乡亲，经由道路外出寻求不依赖 于土地的别样的活法。我所熟悉的道路和故乡，差不多只是个人心中的历史了。 偶尔走在还乡的路上，我已不再哼唱。家乡的阳光豪爽明艳，我倒宁愿在车上酣睡一场。 没有借口? 寒涛 美国的西点军校在世界上名气很大，它不仅培养了一批批优秀的军事人才，也培养出无数商界的精英。 在这所学校里有一个久远的传统，就是学生遇到军官问话时，只能有四种回答：“报告长官，是！”、“报告长官，不是！”、“报告长官，不知道！”、“报告长官，没有借口！”。除此之外，不能多说一个字。比如，军官派你去完成一项任务，但由于种种原因，你没能按时完成，当军官 问你为什么时，如果你为自己辩解，说由于这样或那样的原因，导致自己没有按时完成任务，那就错了，你只能说：“报告长官，没有借口！”因为军官看重的是结果，他根本不会听你的长篇大论的解释。 这所学校之所以采取这种方式，就是为了让学生学会适应压力，培养他们不达目的誓 不罢休的毅力，尽量把每一件事都做得更好。它让每一个学生懂得：失败是没有任何借口的。 在生活中，我们经常会听到一些借口，上班迟到了，会有“路上堵车”、“手表停了”或者“家务事太多”的借口；考试不及格，会有“出题太偏”、“监考太严”，“题量太大”的借口；做生意 赔了本会有借口；工作落了后也有借口……只要细心去找，借口总会有的。借口成了一 面挡箭牌，某件事一旦办砸了，就能找出一些冠冕堂皇的借口，以换得他人的理解和原谅。找到借口的好处是能把自己的过失掩盖住，把应该自己承担的责任推卸掉，心理上得到暂时的平衡。但长此以往 则有害而无益，，因为有各种各样的借口可找，自己就会疏于努力，不再是想方设法争取成功，而是把大量的时间和精力放在如何寻找一个更合适的借口上。 “没有借口”看似冷漠，缺乏人情味儿，但它却可以激发一个人最大限度的潜力。在人生中，不要把太多的时间花费在寻找借口 上，失败了也罢，做错了也罢，再美妙的借口对于事情本身的改变没有丝毫作用。不如仔细地想一想，下一步究竟该怎样去做。 雪的面目 林清玄 在赤道，一位小学老师努力地给儿童说明"雪"的形态，但不管他怎么说，儿童也不能明白。 老师说：雪是纯白的东西。 儿童就猜测：雪是像盐 一样。 老师说：雪是冷的东西。 儿童就猜测：雪是像冰淇淋一样。 老师说：雪是粗粗的东西。 儿童就猜测：雪是像砂子一样。 老师始终不能告诉孩子雪是什么，最后，他考试的时候，出了"雪"的题目，结果有几个儿童这样回答："雪是淡黄色，味道又冷又咸的砂。" 这个故事使我们知道， 有一些事物的真相，用言语是无法表白的，对于没有看过雪的人，我们很难让他知道雪。像雪这种可看的、有形象的事物都无法明明白白，那么，对于无声无色、没有形象、不可捕捉的心念，如何能够清楚地表达呢？ 我们要知道雪，只有自己到有雪的国度。 我们要听黄莺的歌声，就要坐到 有黄莺的树下。 我们要闻夜来香的清气，只有夜晚走到有花的庭院去。 那些写着最热烈优美情书的，不一定是最爱我们的人；那些陪我们喝酒吃肉搭肩拍胸的，不一定是真朋友；那些嘴里说着仁义道德的，不一定有人格的馨香；那些签了约的字据呀，也有抛弃与撕毁的时候！ 这个世界最 美好的事物都是语言文字难以形容与表现的。 就像我们站在雪中，什么也不必说，就知道雪了。 雪，冷面清明，纯净优美，在某一个层次上像极了我们的心。 鸟儿中的理想主义? 筱敏 我对笼中继续扑翼的鸟一直怀有敬意。 几乎每一只不幸被捕获的鸟，刚囚入笼中都是拼命扑翼的，他 们不能接受突然转换了的现实的场景，它们对天空的记忆太深，它们的扑翼是惊恐的，焦灼不安的，企图逃离厄运的，拒绝承认现实的。然而一些时日之后，它们大都安静下来，对伸进笼里来的小碗小碟中的水米，渐渐能取一种怡然的
高一人教A版高中数学必修第二册《6.2.3向量共线定理》课件
6.2.3向量共线定理
学习目标：
1.学习并掌握向量共线定理 2.能够灵活应用向量共线定理：能用向量的共线定理证明三点共线，
能用向量共线定理构建方程组求参数
复习回顾
向量的数乘：
实数与向量a的积是一个向量，这种运算 叫做向量的数乘，记为 a
其方向和长度规定如下：
（1） a a ;
2
2
（1 3 ）
a
2 t
b (3)
2
由于a和b是两个不共线向量，可知
t 0
2
1 3 0
2
解得t= 1 3
例题反思：
向量共线定理的应用，体现向量线性 运算和方程组的综合应用。解题的关键是 依据向量共线的充要条件，先列出向量的 关系式，再转化为解方程组求参数问题， 这是向量共线定理的一个常规解题思路。
定理应用
例2.已知 a、b 是两个不共线向量，向量b-ta , 1 a 3 b 共线，求实数t的值。 22
解：由于 a 和 b是两个不共线向量，所以 1 a 3 b 为非零向量， 22
向量b-ta , 1 a 3 b 共线，则b-ta （1 a 3 b） (1)
22
22
即（t ）a （1 3 ）b (2)
学法指导
新课程标准有以下几项变化，一是理念变化：确立核心素养导向的课 程目标；二是结构变化：明确学业要求与学业质量标准；三是内容变化： 调整教学要求和增加教学内容。最终是要结合学生认知水平和生活经验， 设计合理的生活情境、数学情境、科学情境。关注情境的真实性，适当引 入数学文化，真正让学生感受数学与生活的密切关系和对生活的影响以及 作用。培养学生的核心素养目标，从本质上提升教学质量。
2.2.3向量共线定理
1 1 1 1
计算： 例1.计算： 计算
A,B,C三点共线 A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上 AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD 直线AB∥直线CD
练习1 是两个不共线向量。 练习 设a，b是两个不共线向量。 ， 是两个不共线向量 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则 共线则k=_____(k∈R) 、 、 共线则 ∈
= 13a
3 （2）x + 3a + 2 x − 4a − 4 x + 4a − 4b = 0 x + 3a − 4b = 0
∴ x = −3a + 4b
练习
1.已知λ ,µ ∈ R,则在以下各命题中,正确的命题共有(Ｄ ) r r r r (1)λ <0,a ≠ 0, λ a与a方向一定相反; r r r r (2)λ > 0, a ≠ 0, λ a与a方向一定相同; r r r r (3)λ ≠ 0,a ≠ 0, λ a与a是共线向量; r r r r (4)λ ⋅ µ >0,a ≠ 0, λ a与µ a方向一定相同; r r r r (5)λ ⋅ µ <0,a ≠ 0, λ a与µ a方向一定相反; A.2 B.3 C.4 D.5
解： ) − 12a (1 12a v ( 2 ) 5b r r v ( 3) − a + 5b − 2c
2024年高考数学复习培优讲义专题31--- 平面向量共线定理与等和线(含解析)
专题5-2 平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知PC PA PB λμ=+，1λμ+=是A B C 、、三点共线的充要条件 证明若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且PC xPA yPB =+，证明：A ，B ，C 三点共线是1x y +=的充要条件.证明:(1)由1x y +=⇒A ，B ，C 三点共线.由1x y +=得(1)()PC xPA yPB xPA x PB PC PB x PA PB BC xBA =+=+−⇒−=−⇒=.即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线. (2)由A ，B ，C 三点共线1x y ⇒+=.由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BC BA λ=.故()(1)BP PC BP PA PC PA PB λλλ+=+⇒=+−.令,1x y λλ==−，则有1x y +=.AC二、等和线相关性质平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于1. 2.定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于1. 2.定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.2017全国3卷（理）T12 1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．22 C ．5D ．22020年江苏省高考2．在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为 ；若为常数且，则的长度是 ．ABC ∆3BC =4AC =90ACB ∠=︒D AB CD P 9CP =D AB PD 3()(2PC mPA m PB m =+−0m ≠3)2m ≠BD题型一 向量共线定理：构造方程组求系数2023·深圳二模1．已知OAB 中，OC CA =，2OD DB =，AD 与BC 相交于点M ，OM xOA yOB =+，则有序数对(,)x y =（ ）A ．11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)2．在ABC 中，已知2BD DC =，CE EA =，BE 与AD 交于点O .若CO xCB yCA =+(),R x y ∈，则x y += .3．在ABC 中，3BC BD =，2CF FA =，E 是AB 的中点，EF 与AD 交于点P ，若AP mAB nAC =+，则m n +=（ ） A ．37 B ．47 C ．67D ．1题型二 向量共线定理：结合不等式求最值2024届·湖南师大附中月考（二）4．ABC 中，D 为AC 上一点且满足13AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足,,AP AB AC λμλμ=+为正实数，则下列结论正确的是（ ）A ．λμ的最小值为116B ．λμ的最大值为1C ．114λμ+的最小值为4D ．114λμ+的最大值为165．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是 .重点题型·归类精讲2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考6．（多选）在三角形ABC 中，点D 足AB 边上的四等分点且3AD DB =，AC 边上存在点E 满足()0EA CE λλ=>，直线CD 和直线BE 交于点F ，若()0FC DF μμ=>，则（ ）A ．1344CD CA CB =+B ．4λμ=C ．2164λμ+的最小值为17D ．49CF EA CD CA ⋅≤⋅的延长线交于点F,若BC CE λ=，ED DA μ=，3(,0)AB BF λμ=>，则（ ）A. 3144EB EF EA =+ B. 14λμ=C. 11λμ+的最大值为1 D. 49EC AD EB EA⋅≥−⋅题型三 等和线：求系数和最值，范围8．如图正六边形ABCDEF 中，P 点三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF AB AP y x +=，则y x +的取值范围是________．FEDCB AFED9．如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，//AB DC ，1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设(,R)AP AD AB λμλμ=+∈，则λμ+取值范围是 ．10．给定两个长度为3的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°，如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若=OC xOA yOB +，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_____；2x y +的最大值是______.11．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y R =+∈，则2x+y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．312．在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）OACE BDCPA ．4B ．3C ．2D ．213．直角梯形中ABCD ,ABD BC AD CD CB ∆⊥，，//是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1||=CP ，),(R AB AD AP ∈+=μλμλ设，则μλ+的值可以为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.3专题5-2 平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知PC PA PB λμ=+，1λμ+=是A B C 、、三点共线的充要条件 证明若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且PC xPA yPB =+，证明：A ，B ，C 三点共线是1x y +=的充要条件.证明:(1)由1x y +=⇒A ，B ，C 三点共线.由1x y +=得(1)()PC xPA yPB xPA x PB PC PB x PA PB BC xBA =+=+−⇒−=−⇒=.即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线. (2)由A ，B ，C 三点共线1x y ⇒+=.由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BC BA λ=.故()(1)BP PC BP PA PC PA PB λλλ+=+⇒=+−.令,1x y λλ==−，则有1x y +=.AC二、等和线相关性质平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
(最新整理)18.向量共线定理和向量基本定理
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向量共线定理和向量基本定理知识点归纳:1。
向量共线定理(两个向量之间的关系）向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数,使得b aλ.b a λ= 变形形式：已知直线上三点,为直线外任一点,有且只有一l ,,A B P O l 个实数,使得λ。
()1OP OA OB λλ=-+ 2。
平面向量基本定理（平面内三个向量之间的关系)如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内1e 2e的任一向量,有且只有一对实数、，使。
a 1λ2λ1122a e e λλ=+考点1 向量共线定理题型1 判断向量共线、三点共线、两直线平行例1 如图,已知,，3AD AB = 3DE BC =试判断与AC 是否共线?AE例2已知向量，且，,则一定共线的,a b 2AB a b =+ 56BC a b =-+ 72CD a b =-三点是: .A ,,A B D .B ,,A B C .C ,,B C D .D ,,A CDD例3 根据下列条件，分别判断四边形的形状ABCD ⑴AD BC= ⑵13AD BC= ⑶,且AD BC =AB AD= 题型2 向量共线定理的应用例4 ⑴已知点在线段上，且,则 , C AB 52AC CB =AC = AB BC = AB⑵设是不共线的向量,已知向量,21,e e 2121212,3,2e e CD e e CB e k eAB -=+=+=若A ，B,D 三点共线,求k 的值。
人教A版高中数学必修第二册教学课件 第6章 向量共线定理
探究 1：若 m＋n＝1，A，P，B 三点是否共线？ 提示：∵m＋n＝1， ∴O→P＝mO→A＋(1－m)O→B＝O→B＋m(O→A－O→B)， ∴O→P－O→B＝m(O→A－O→B)，即B→P＝mB→A， ∴B→P与B→A共线． 又∵B→P与B→A有公共点 B， ∴A，P，B 三点共线．
探究 2：若 A，P，B 三点共线，则 m，n 满足什么条件？ 提示：若 A，P，B 三点共线，则B→P∥B→A， ∴存在唯一一个实数 λ，使得B→P＝λB→A， ∴O→P－O→B＝λ(O→A－O→B)． 又∵O→P＝mO→A＋nO→B，
(1)用 a，b 表示向量A→D，B→E，B→F； 解：如图，延长 AD 到 G，使 DG＝AD，连接 BG，CG，则四边
形 ABGC 是平行四边形，∴A→G＝A→B＋A→C＝a＋b．
∴A→D＝12A→G＝12(a＋b)＝12a＋12b． ∵A→E＝23A→D＝13(a＋b)，A→F＝12A→C＝12b， ∴B→E＝A→E－A→B＝13(a＋b)－a＝－23a＋13b，
第六章 平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 第2课时 向量共线定理
学习任务目标 1．理解并掌握向量共线定理． 2．会用向量共线定理处理向量共线、点共线问题．
01
自主化知识预习
知识衔接 自主学习
(1)0 与任__何__向__量__共线． (2)已知向量 a 与 b 共线，且向量 b 的长度是向量 a 的长度的 μ 倍，则__|_b_|＝__μ_|a_|_____．
【类题通法】 1．由向量共线定理知，只要找到一个实数 λ，使得 b＝λa，即可 得到 b∥a．当 a＝b＝0 时，λ 为任意实数． 2．对任意两个向量 a，b，若存在 λ，μ 不全为 0 的实数对(λ，μ)， 使得 λa＋μb＝0，则向量 a∥b．
共线向量
OH k OD, 求证：
(1)四点E、F、G、H共面； (2)平面AC∥平面EG．
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君真の是爱上了自身.无暇天君多次帮自身,应该也是看好自身の未来潜历,毕竟自身呐个冥空境修道者已经能够硬撼善韵强者了.对无暇天君来说,自身可能值得她去拉拢去投资.但不管怎么说,呐人情鞠言得记下.“如此就多谢了！也感谢无暇天君对俺の帮助！”鞠言接过材料,又取出三亿 陆千万乌翠玉交给对方.黑衣女子收下乌翠玉,对鞠言点了点头便离开鞠言の住处.……壹座银白色庞大宫殿,伫立在雾气缭绕の云端.“无暇天君,善尊大人请你进去.”壹名身穿银色甲胄魁梧护卫,出声说道.呐名护卫の对面云层中,便是蓝雨申州の无暇天君.“有劳带路.”无暇天君冲着甲胄 护卫笑了笑.甲胄护卫在前面引路,无暇天君跟在他の后方,穿过壹片虚空法纹之地,进入银白色庞大宫殿.宫殿之内,壹罔座椅上,有壹名身穿琛蓝色长袍の年轻男子.“无暇,你怎么有空来俺呐里?”琛蓝色长袍男子见到无暇天君,露出壹个笑容.“见过远瞳善尊！”无暇天君拱手见礼.“你需 要还与俺客气?”远瞳善尊摆摆手,又道：“有事就直接说吧！俺知道你若是无事,不会来俺呐里.”“俺呐次来,是想向善尊大人举荐壹名冥空境修道者受雇者,为黄泉洞窟.”无暇天君略微躬身.远瞳善尊眼睛眯起.他当然知道无暇天君是哪个意思.他顿了壹下道：“下壹次黄泉洞窟开启,距 现在只有三百年.拾个受雇者名单,俺早已经确定.你现在向俺推荐壹个人,呐不太合适.俺倒是愿意帮你,可如果俺将你推荐の人加进来,那么已经确定の拾个人中,就要有壹个被挤出去.”每壹次黄泉洞窟开启,不仅仅是进入洞窟名额数量是固定の,就连呐高级入口名额争夺の受雇者数量,也是 固定の.受雇者の数量,壹直以来都是维持拾个人.而且,拾个事受雇者壹般都很难全部有被四大势历雇佣の机会.壹般情况下,
高一下学期数学人教A版必修第二册6.2.3向量共线定理课件
数学运算、逻辑推理——破解向量的数乘运算
设点 O 在△ABC 内部,且有Ԧ+2Ԧ+3Ԧ =0,则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比
为(
C ).
A.2∶1
B.3∶2
C.3∶1
D.5∶3
解析 如图,延长 OB 至点 B1,使 BB1=OB,延长 OC 至点 C1,使 CC1=2OC,连接 AB1,AC1,B1C1,则
C.垂心
D.外心
如图,在△ABC 中,O 为外心,可得 OA=OB=OC,
∵Ԧ+Ԧ+Ԧ =Ԧ,∴Ԧ+Ԧ=Ԧ-Ԧ =Ԧ.
设 AB 的中点为 D,则 OD⊥AB,Ԧ=2Ԧ ,
∴CM⊥AB,可得 CM 在 AB 边的高线上.
同理可证,AM 在 BC 边的高线上.
A，B，D
的三个点是___________.
2.已知 A,B,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若 Ԧ=xԦ+yԦ,求 x+y 的值.
解析 因为 A,B,P 三点共线,所以 Ԧ=λԦ,
即 Ԧ-Ԧ=λ(Ԧ-Ԧ),所以 Ԧ=(1-λ)Ԧ+λԦ,故 x=1-λ,y=λ,即 x+y=1.
故 M 是△ABC 两高线的交点,可得 M 是△ABC 的垂心.
故选 C.
C
).
课前预学
已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P
满足 Ԧ=Ԧ+λ
Ԧ
Ԧ
+ Ԧ
|Ԧ|
| |
A.内心
解析
,λ∈[0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
B.垂心
C.重心
1՜ 3՜
՜
共线向量定理
m1,n2， 33
且m+n=1，且B、M、C三点不共线，则点M、 N、C三点共线.
共线向量定理
【变式训练】
知识点共线向量定理共线向量定理定义向量与非零向量共线有且仅有一个实共线向量定理定理推理推论一
知识点——
共线向量定理
共线向量定理
【定义】
向量 b 与非零向量 a 共线 有且仅有一个实
数 λ，使 ba.
共线向量定理
【定理推理】
推论一：b 向量 a 与向量 共线 存在不全为0的实数
，1 ,2 ,使 1 a + 2 b 0 ,这实质是定理的另外一种表述形
式；
推论二：三个不同点A、B、C共线 存在一组全不
为0的实数 1 ,2 ,使 1 A B + 2 A C 0 ;
注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二） 中AB,AC均不为零向量，而推论（一）中，向量 a,b可 能 含 0.
共线向量定理
【定理推理】
推论三: 设O、A、B三点不共线，且 O P x O A y O B ， （x，y∈R），则P、A、B三点共线 x+y=1. 这实质是直线方程的向量形式.
是EP之中点，CE
1
CN，
CA1(CECP) 1 CN13CB 1 CN3CB，
2
2 2
2 2
又 AAM CC CN E,CA11CM; 11CM21CN32CBCM12CN3(12)CB;
B、M、N三点共线.
由 推 论 （ 三 ） 知 ， 1 3 ( 1 ) 1 3 即 为 所 求 .
向量的三点共线定理
向量的三点共线定理一、概念向量的三点共线定理，又称之为向量的共线定理，是向量理论中的一个基本定理。
它描述了在三维空间中，如果三个点A、B、C由向量OA、OB、OC表示，并且存在实数λ和μ，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1，则这三个点A、B、C是共线的。
二、定义定义1：共线向量，也称为平行向量，是指方向相同或相反的非零向量。
在平面或空间中，如果两个向量有相同的方向或相反的方向，则这两个向量被称为共线向量。
定义2：如果三个点A、B、C满足OC = λOA + μOB，其中λ和μ是实数，并且λ+ μ= 1，则称这三个点A、B、C是共线的。
三、性质性质1：若三点A、B、C共线，则它们的位置向量之间存在线性关系，即OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
性质2：若向量a与向量b共线，则存在唯一实数k，使得a = kb。
特别地，当k = 1时，a与b方向相同；当k = -1时，a与b方向相反。
性质3：共线向量的模长之比等于它们对应分量之比，即若a = kb，则|a|/|b| = |k|。
四、特点特点1：向量的三点共线定理是向量线性组合的一个特殊情况，它揭示了向量之间的线性关系与点的几何位置之间的关系。
特点2：该定理提供了一种通过向量运算判断三点是否共线的方法，为向量在空间中的应用提供了便利。
特点3：向量的三点共线定理与平面几何中的三点共线定理具有类似的性质，但向量的表达方式更具一般性，可以推广到三维空间乃至更高维的向量空间。
五、规律规律1：如果三点A、B、C共线，那么它们的位置向量OA、OB、OC之间存在唯一的线性关系，使得OC = λOA + μOB，且λ+ μ= 1。
这个线性关系中的λ和μ是唯一的，除非A、B、C三点重合。
规律2：在三维空间中，如果三个向量a、b、c满足a = λb + μc，且λ+ μ= 1，则这三个向量是共面的。
特别地，当这三个向量是三个点的位置向量时，这三个点共线。
高二数学共线向量与共面向量
3.对于空间任意一点O，下列命题正确的 是：
A.若 OP OA t AB ，则P、A、B共线 B.若 3OP OA AB ，则P是AB的中点 C.若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线 D.若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.若对任意一点O，且OP xOA y AB ， 则x+y=1是P、A、B三点共线的： A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
共线向量与共面向量
一、共线向量:
1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
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没有回头路可以走的，刻骨铭心的友谊也如仇恨一样，没齿难忘。 友情这棵树上只结一个果子，叫做信任。红苹果只留给灌溉果树的人品尝。别的人摘下来尝一口，很可能酸倒了牙。 友谊之链不可继承，不可转让，不可贴上封条保存起来而不腐烂，不可冷冻在冰箱里永远新鲜。 友谊需要滋养。有的人用钱，有的人用汗，还有的人用血。友谊是很贪婪的，绝不会满足于餐风饮露。友谊是最简朴同时也是最奢侈的营养，需要用时间去灌溉。友谊必须述说，友谊必须倾听，友谊必须交谈的时刻双目凝视，友谊必须倾听的时分全神贯注。友谊有的时候是那样脆弱，一 句不经意的言辞，就会使大厦顷刻倒塌。友谊有的时候是那样容易变质，一个未经实的传言，就会让整盆牛奶变酸。这个世界日新月异。在什么都是越现代越好的年代里，唯有友谊，人们保持着古老的准则。朋友就像文物，越老越珍贵。 礼物
向量共线定理
与������������共线，并将������������用������������线性表示.
������
������
������
������
������
变式1：例1中，若������������ = ������������������， ������������ = ������������������，则������������与������������是否共 线？
那么������与������是共线向量；反之，如果������与������ ������ ≠ ������ 是共线向量， 那么有且只有一个实数������，使
������ = ������������. 思考：为什么要求向量������ ≠ ������，������可以为������吗？
例1 如图，若������，������分别为∆������������������的边������������和������������中点，求证：������������
证：������������ = ������������+������������������.
������+������
探究：已知平面内有O，A，B，C四点，若������������＝������������������＋������������������， (������，������ ∈ ������)．(1)若x＋y＝1，则A、B、C三点是否共线？ (2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？
练习：如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线
分 别 交 直 线 AB 、 AC 于 不 同 的 两 点 M 、 N ， 若 ������������＝������������������ ， ������������
向量共线定理
在BD上且 = ，求证：M、N、C三点共线.
C
N
A
第5页/共10页
M
B
例3 如图，∆中，为直线上一点， = ( ≠ ).求
证： =
+
.
+
探究：已知平面内有O，A，B，C四点，若＝＋，
(， ∈ )．(1)若x＋y＝1，则A、B、C三点是否共线？
向量共线定理：
对于向量 ≠ ，，如果有一个实数，使得
= ≠ ，
那么与是共线向量；反之，如果与 ≠ 是共线向量，
那么有且只有一个实数，使
= .
思考：为什么要求向量 ≠ ，可以为吗？
第2页/共10页
例1 如图，若，分别为∆的边和中点，求证：
与共线，并将用线性表示.
变式1：例1中，若 = ， = ，则与是否共
线？
变式2：已知平面向量 = ， = ，则与是否
共线？
第3页/共10页
例2 判断下列各组向量是否共线(其中 与 为不共线向量)：
= − ， = − ；
(2)若A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？
第6页/共10页
练习：如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线
分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝，
A
＝，则m＋n的值为________．
N
B
M
第7页/共10页
O
C
练习：
（1）已知向量 = − ， = －( － )，求证：与
= ， = ，求
A
− .
E
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．
O
C B
分析:将已知条件中的AC，CB用结论式
中的OA，OB，OC表示，进而解出OC．
证明：
因为AC＝OC－OA，
A C
CB＝OB－OC， 又AC＝λCB，
O
B
所以OC－OA＝λ（OB－OC），
即 （１＋λ）OC＝OA＋λOB
又所因以为O uuCurλ≠O u－uAur１，O uu．Bur即
r ③与a
反向的单位向量是
ar | ar |
r ④与 a 平行的单位向量是
ar
|a |
探索1
如图,D,E分别为△ABC的
C
边AB,AC的中点,
E
(1)BC和DE的关系如何? (2)能否将DE用BC线性表B示? D
A
若|a|=3,|b|=6,a与b方向相同,能用a
表示b吗？
若|a|=3,|b|=6,a与b方向相反,能用a
表示b吗？
你能总结出向量共线的一个条件吗？
共线向量定理: 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，
那么b与a是共线向量； 反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，
那么有且只有一个实数λ,使b＝λa．
注:(1)定理包含正反两层意思;
(2)定理的一个重要条件a≠0; (3)λ符号决定两个向量是同向还是反 向;λ的绝对值决定两个向量长度关系；
设 ,
ur
ur
为实数，那么 (1)λ(μa) = (λμ)a;
ur ur ur
第一分配律 (2)(λ + μ)a = λa + μa;
ur ur ur ur
第二分配律 (3)λ(a + b) = λa + λb.
练 结已习 论知： ：非① ②零与向| aaarrr 量|同是ar向单，的位求单向向位量量向|量aarr 是| 的|模aarr r|
求证：M，P，Q三点共线．
3练．习如图，在△ABC中，CD AE 1，
记BC＝a，CA＝b，
求证：uDuuEr 1 br ar．
DA EB 2
证明：
u u u r3u u u r u u u r
D E A E A D
1
uuur AB
2
uuur AC
3
1
C uuBur3C uuA ur 2C uuA ur
(1)a=5e1,b=－7e1; 共线
(2)a= 1 2
e1－
1 3
e2, b=3e1－2e2;
(3)a=e1+e2 , b=3e1－3e2.
共线
运用
例3.设e1,e2是两个不共线的向量, 已知向 量AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2, CD=2e1+e2, 若A、B、D三点共线, 求k的值.
3
3
1
rr ab
2br
1
rr ba
3
33
4:（2019 全国）O是平面上一定点，A、B、 C是平面上不共线的三个点，动点P满足
O uu P u rO uu A u r(u u A u u B u u rru u A u u C u u rr), [0, ),
|A B| |A C|
则P的轨迹一定通过△ABC的( B )
3
提示：设AB = a BC = b
则MN=
1
…=
1
a+
b
63
MC= … = 1 a+ b 2
uuuur ∴MC=
1MN
3
所以M.N.C三点共线
D
C
N
A
M
B
练习
1. 已知向量a＝２e１－２e２，
b＝－３（e２－e１），
求证：a与b是共线向量．r b
3
r a
2
2. 已知MP＝４e１＋２e２，
PQ＝２e１＋e２，
（× ）
反例: mn 0, a , b 有可能为非零不共线向量.
一
、
向
小结
量
共
线
定
理(a 1二. 证、明定理向的量应共用线： ≠ 2. 证明 三点共线: AB=λBC 0 3. 证明 两直线平行:
判断:
(×1)若a//b则存在唯一的实数λ,使b=λa;
(2)若a//b,则存在不全为零的实数λ,μ使
λa+μb=0;
(√3)已知a与b不共线,若λa+μb=0,
则λ=μ=0.
运用
例1.如图,△OAB中,C为直线AB上一点,
AC＝λCB（λ≠－１）． A
求证：O uuCurO uuAurO uuBur 1
则P、A、B三点共线.
等价uu命u r题：uuOu rA、uOuu rB不共线，若P、A、B三点共线,
则 O PO AO B 其中uuu r u 1uu r uuu r
若O是平面上任意一点,且 O PO AO B
其中, 1 则P、A、B三点共线
运用
例2.设e1,e2是两个不共线向量, 判断下
列各题中的向量a,b是否共线?
１＋λ≠０，
O uuC ur 1
uuur uuur OAOB
1
2
特例：当λ＝１时,你能得到什么结论？
若C为线段AB的中点,O为任意一点,则
结论：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线
u u u r u u u r u u u r
若O是平面则上O 任P 意 一( 点1 , 且t)O u O u P u A r (t1 O B t)O u u A u rtO u u B u r
②当r a 0r 时,依据向量共线定理.
（3）若向①②量若若b aarrr与0brrra ,br共r0r线0r则r则, m则,mn存在RR,实;n数0； m , n ,
rr 使得 manb.
（√
）
③若aur0ur,bur0则 m0,nR;
④若 ab0则存在实数 使得
r b
ar 取
rr
r
m
nr
．
（4）存在实数 m , n , 使得r m r anb, 则向量 b 与 a 共线.
例4.如图,已知G是△OAB重心,求证：
(1)C u u G u r2C u u D u r;(2)C u u G u r1(C u u A u rC u u B u r)
3
3
C
·E G
AD
例5:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的
中点，点N是BD上的一点，BN 1 BD ，
求证：M、N、C三点共线.
解：∵A、B、D三点共线,
∴AB//BD，
得(2-λ)e1+(k+2λ)e2=0，
而AB=2e1+ke2,, ∵ e1, e2不共线,
BD=CD-CB=e1-2e2，∴2−λ=0，k+2λ=0，
显然BD≠0，
解得k=−4.
则存在实数λ使得AB=λBD ，
即2e1+ke2=λ(e1-2e2 )，
运用
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
概念辨析
r 注意对0 的讨论
rr
rr
（1）若向量b
与
r
a
共r 线r ,
r则存在实数
,
使 b a .
（× ）
反例: a0,br0. r
rr
（2）若存在实数r r , 使 b a , 则向量 b 与 a 共线.
（√ ）
①当 a 0 时,零向量与任意向量都共线; rr