等差数列中的最值问题

等差数列及其前n 项和（2）

——等差数列中的最值问题

数学组

一、教学目标

1、掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式的形式和应用。

2、掌握常见题型的解法及常用思想方法。

3、掌握等差数列求最值问题的多种不同方法，并能对最值问题进行归纳总结。

二、教学重点和难点

重点：等差数列求最值问题的常用解法。

难点：通过例题的讲解引导学生对等差数列的最值问题进行归纳和总结，并理解何种形式会有最大值，何种形式会有最小值。

三、教学过程

1、复习旧知，回顾等差数列的常用公式：

（1）通项公式()11n a a n d =+-

（2）前n 项和公式()112n n n S na d -=+=()12

n n a a + （3）等差中项概念1

2()A a b =+

（4）等差数列的判定方法

定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；

中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；

通项公式法：n a kn b =+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；

前n 项求和法：2n S pn qn =+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列

（复习时主要以口述为主，必要的公式进行板书，主要让学生进行回顾，强调等差数列的通项公式和前n 项和公式的形式，即通项公式是关于n 的一次函数，前n 项和公式是关于n 的二次函数，且常数项为0，为后面课程的讲述埋好伏笔。）

2、教授新课：

复习用书《高考总复习学案与测评》第87页，题型四：等差数列中的最值问题 例4、在等差数列{}n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，求当n 取何值时，n S 有最大值，并求出它的最大值。

分析：要求n 为何值时，n S 有最大值，可从n S 的形式入手思考，n S 是关于n 的二次函数，可以从函数的角度求出n S 的最大值。

解：（方法一）因为201=a ，且1510S S =可得

d a d a 2

14151529101011⨯+=⨯+

解得35-=d 所以243125)225(656125652)1(221+--=+-=-+=n n n d n n na S n 又因为*

∈N n ，所以比较1301212==S n 时，

1301313==S n 时，

因此，n n n S 1312时，或者==的最大值为130.

思考：在用n S 是关于n 的二次函数求最值时，如何避免复杂的计算，比如本题中的配方？ 引导学生讨论得到只要取离对称轴最近的整数处的和，即可得到最值，而对称轴可以由二次函数中的公式得到，这样可以避免复杂的计算，以便提高计算的准确度。

3、小组合作讨论

思考：为什么等差数列会存在最值，是不是所有的等差数列都有最值呢？什么样的等差数列存在最大值，什么样的等差数列又存在最小值？

通过观察数列、归纳特点并讨论可得两类数列存在最值，

（1） 若0,01<>d a ，数列有最大值

（2） 若0,01>

思考：那有没有更简单的方法来得到等差数列何时取到最值呢？

由数列的增减情况可以得到只要找出何时出现正负转折项，在该项处即得到等差数列前n 项和的最值。

以0,01<>d a 的数列为例，若前7项为正，第8项开始为负，则前7项和为最大值。 练习：（方法二）学生用此方法求出例4中的最值，并与前一种方法进行比较。

4、归纳等差数列最值问题的求法

方法一、利用2n S pn qn =+是关于n 的二次函数，在离对称轴最近的整数处取得最值。 方法二、利用等差数列的单调性，求出正负转折项。

思考：本题还有没有什么特点能够使得我们很快得出哪一项开始出现正负转折？ 引导学生观察得出

（方法三）

因为1510S S =，所以01514131211=++++a a a a a

由等差数列的性质可以得出013=a

所以0,01412<>a a

所以，n n n S 1312时，或者==的最大值为130.

5、课内训练

复习用书《高考总复习学案与测评》第85页例4的举一反三题

已知数列{}n a 的前n 项和)(242*∈+-=N n n n S n ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）当n 为

何值时，n S 达到最大？最大值是多少？

6、小结

等差数列前n 项和的两种常用解法，并能在具体题目中选择合适的方法进行求解。