文科圆锥曲线大题复习

高三数学圆锥曲线专题

一．知识要点

1、直线的斜率公式：)(tan 211

21

2x x x x y y k ≠--=

=α（α为直线的倾斜角）

两种常用的直线方程：（1）点斜式（2）斜截式

2、直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种，其判断方法有： ①几何法（常用方法）

若圆心到直线的距离为则：圆的半径为,,r d

⇔=r d 直线与圆相切 ⇔r d 直线与圆相离 ②代数法

由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：

⇔=∆0直线与圆相切 ⇔<∆0直线与圆相离 ⇔>∆0直线与圆相交 3、圆的弦长

若圆心到弦的距离为222,,d r l l r d -=，则弦长是圆的半径为.

4、圆锥曲线的定义（包括长轴，短轴，实轴，虚轴，离心率，双曲线的渐近线等) （1）椭圆： （2）双曲线： （3）抛物线：

5、点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）

点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b +<

6、直线与圆锥曲线的位置关系：

由直线方程与圆锥曲线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则： （1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；

0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双

曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点

7、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB

12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝212

1

1y y k -+

，若弦AB 所在直线方

程设为x ky b =+，则AB 12y y -

二．例题分析

题型1：圆锥曲线定义的问题

例题1.（07年广东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为C 与直线y x

=相切于坐标原点O ，椭圆22

219

x y a +

=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；

（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

变式1：（2012年佛山一模）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，圆1C ,2C 关于直线l 对称.

（1）求直线l 的方程；

（2）直线l 上是否存在点Q ，使Q 点到(A -点的距离减去Q 点到B 点的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.

变式2：（2013年广州一模）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()

20,，点

(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的

切线分别为12l l ,， 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；

(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，

指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）； 若不存在，说明理由.

题型2:圆锥曲线的定值问题

例题2：（2011年佛山二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1).

（1）求椭圆C 的方程；

（2）,A B 为椭圆C 的左右顶点，直线:l x =与x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别交直线l 于,E F 两点.

证明：当点P 在椭圆C 上运动时，||||DE DF ⋅恒为定值.

变式1：（2011年佛山一模）椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上任一点P 到两个焦点的距离的和为6，焦距为

，,A B 分别是椭圆的左右顶点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；

题型3：直线与圆的位置关系问题

例题3.（2011年广州一模）动点P 与点(1,0)F 的距离和它到直线:l 1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为曲线1C ．圆2C 的圆心T 是曲线1C 上的动点, 圆2C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求曲线1C 的方程；

（2）设点(),0(A a a >2),若点A 到点T 的最短距离为1a -,试判断直线l 与圆2C 的位置关系, 并说明理由.

变式1：（2013年佛山一模）已知(2,0)A -，(2,0)B ，(,)C m n ．

（1）若1m =，n =

ABC ∆的外接圆的方程；