(新课标)2020年高考数学 题型全归纳 数列求和的若干常用方法

数列求和的若干常用方法

数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法

所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

例1．数列{an}的前n 项和12-=n n a S ，数列{bn}满

)(,311*

+∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n 项和Tn 。

解析：（Ⅰ）由

12,,1211-=∴∈-=++*

n n n n a S N n a S ， 两式相减得：

,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，

,

21

=∴

+n

n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.

（Ⅱ）

,22,2111

11-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a

Λ

,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b

,

221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得：

,

222

12132

2211

2

1

1+=--+=++++=---n n n n b b Λ

n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--ΛΛ

=.

12222121-+=+--n n n n

已知等差数列

{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：.

242n a a a +++Λ

解析：首先由

3145291010110=⇒=⨯⨯+

=d d

a S 则：

6

22322

1)

21(232)222(322323)1(1224221--⋅=---=-+++=+++∴-⋅=⇒-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n ΛΛ

二、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，

然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）

11

1)1(1+-

=+=n n n n a n （2）

)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）

]

)2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=

n n n n n n n a n 等。

例3. 在数列{an}中，11211++

⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又

12+⋅=n n n a a b ， 求数列{bn}的前n 项的和.

解析： ∵

211211n

n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=

∴

)

11

1(82122+-=+⋅=

n n n n b n

∴ 数列{bn}的前n 项和

)]

11

1()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝

)

111(8+-

n ＝ 18+n n

例4．设｛an ｝是正数组成的数列，其前n 项和为Sn ，并且对所有自然数n ，an 与2的等差中项等于Sn 与2的等比中项.

(1)写出数列｛an ｝的前三项；(2)求数列｛an ｝的通项公式(写出推证过程)； (3)令bn=2

1

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++1n n n 1n a a a a (n ∈N)，求：b 1+b2+…+bn -n.

解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1, 则cn=2

1

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++2a a a a 1n n

n 1n =21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛--+11n 21n 211n 21n 2 =1n 211n 21+-- b1+b2+…+bn -n=c1+c2+…+cn

=1n 2111n 211n 21

5131311+-

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-

评析：一般地，若数列

{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：∑=+n

i i i

a

a 1

1

1

首

先考虑=∑=+n

i i i a a 11

1

∑=+-n

i i i

a a d 11)11(1则∑=+n

i i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 。下列求和：∑

=++n

i i i a a 1

1

1 也可用裂项求和法。