单因素方差分析完整实例(精编文档).doc
单因素方差分析完整实例
什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。
单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。
单因素方差分析相关概念•因素：影响研究对象的某一指标、变量。
•水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
•单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。
单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平a = 0.0!下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题单因素方差分析的基本理论⑴备择假设Hi,然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
2厂…j $）下进行了nj = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为山、》2、…r »则按题意需检验假设页：旳=“2 =…=川尸1 : \J “5不全相等为了便于讨论，现在引入总平均卩[Ho :屍="2 =…=毎=qI 闻:力屆…：吗不全为零因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值®是否相等，也就等价于检验各水平Aj的效应6是否都等于零。
样本产恥…佔吁/来自正态总体N （虬2）, 9与02未知，且设不同水平Aj 下的样本 之间相互独立，则单因素方差分析所需的检验统计量可以从总平方和的分解导出来。
单因素方差分析
单因素方差分析一实证分析在大量学者研究中西部地区民营经济发展特点及发展缓慢成因的基础上，文[1]运用方差分析方法，对影响东部、中部、西部地区民营经济发展差距的关键因素进行实证分析。
文[1]假定选取的6项指标对区域间民营经济发展差距有着重要的影响，并且指标差异分别存在于不同的地区间，是造成区域差异的关键因素。
本文选取其中2项指标运用matlab软件进行分析。
表1是2008年各省市自治区其中两项指标数据。
1 科技投入方差的分析a1=[5.73 3.30 1.15 2.28 4.64 2.82 3.93 2.25 2.11 3.51 1.26];a2=[1.34 1.14 1.30 1.44 0.92 1.33 1.40 1.51];a3=[1.49 0.88 1.23 1.20 0.76 1.20 0.98 1.09 1.33 1.40 1.25 1.06]; A1=a1';A2=a2';A3=a3';n=31; n1=11;n2=8;n3=12;s=3;B1=A1.^2;B2=A2.^2;B3=A3.^2;sum1=sum(A1),sum2=sum(A2),sum3=sum(A3);sq1=sum(B1),sq2=sum(B2),sq3=sum(B3);sum4=sum1+sum2+sum3;sq=sq1+sq2+sq3;AV=sum4^2/n;ST=sq^2-AV;SA=sum1^2/n1+sum2^2/n2+sum3^2/n3-AV;SE=ST-SA;SA1=SA/(s-1);SE1=SE/(n-s);F=SA1/SE1;Fa=finv(0.95,s-1,n-s);if F>Fadisp '科技投入对区域间经济发展影响显著',ST,SA,SE,SA1,SE1,F,Faelsedisp '科技投入对区域间经济发展影响不显著',ST,SA,SE,SA1,SE1,F,Faend科技投入对区域间经济发展影响不显著ST =2.2046e+04SA =22.7255SE =2.2024e+04SA1 =11.3628SE1 =786.5602F =0.0144Fa =3.3404F<Fa所以科技投入对区域间经济发展影响不显著2 税收占比方差的分析a1= [57.73 62.63 65.04 63.71 44.31 45.55 57.33 45.69 58.94 46.54 44.21];a2= [68.87 54.12 75.74 61.81 54.57 55.67 47.15 69.19];a3= [57.14 65.98 52.45 72.51 53.63 57.69 61.51 73.75 69.20 78.72 57.45 66.19];A1=a1'; A2=a2'; A3=a3';B1=A1.^2; B2=A2.^2; B3=A3.^2;s=3; n1=11; n2=8; n3=12; n=31; N= [n1 n2 n3];sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum=0; sq1=0; sq2=0; sq3=0; sq=0;for i=1:sfor j=1:N(i)if j<9sum2=sum2+A2(j);sq2=sq2+B2(j);else if j>11sum3=sum3+A3(j);sq3=sq3+B3(j);elsesum1=sum1+A1(j);sq1=sq1+B1(j);endendendendsum=sum1+sum2+sum3;sq=sq1+sq2+sq3;AV=sum^2/n;ST=sq^2-AV;SA=sum1^2/n1+sum2^2/n2+sum3^2/n3-AV;SE=ST-SA;SA1=SA/(s-1);SE1=SE/(n-s);F=SA1/SE1;Fa=finv(0.95,s-1,n-s);if F>Fadisp '税收占比对区域间经济发展影响显著',ST,SA,SE,SA1,SE1,F,Faelsedisp '税收占比对区域间经济发展影响不显著',ST,SA,SE,SA1,SE1,F,Faend税收占比对区域间经济发展影响不显著ST =1.2214e+10SA =1.6779e+05SE =1.2214e+10SA1 =8.3896e+04SE1 =4.3622e+08F =1.9232e-04Fa =3.3404F<Fa所以税收占比对区域间经济发展影响不显著。
第一节单因素方差分析演示文档
5.1.2 单因素方差分析的数学模型
进行单因素方差分析时，需要得到如表1所示 的数据结构．
▪
表1 单因素方差分析中数据结构
观测值（j） A1
1
x11
2
x12
… ni 平均值
…
x1n1 x1.
A因素（i）
A2 x21 x22 …
x 2n2 x 2.
… … … … …
Am xm1 xm2 …
x mn m xm.
(3) 在打开的“方差分析：单因素方差分析”对话框中， 输入“输入区域”：B2:D8，“分组方式”取默认的 “列”方式，选中“标志位于第一行”复选框，如图2 所示，单击“确定”按钮．
表中用A表示因素，A的m个取值称为m个水平分别用 A1，A2，…，Am表示，每个水平对应一个总体．
从不同水平（总体）中抽出的样本容量可以相同，也
可以不同．若不同水平抽出的样本容量相同则称为均衡 数据，否则称非均衡数据．
设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …，ni， i =
由于在实际中有充分的理由认为粮食产量服从正态 分布, 且在安排试验时, 除所关心的因素(这里是化肥)外, 其它试验条件总是尽可能做到一致.
这使我们可以认为每个总体的方差相同
即 Xi～N(i,σ2) i = 1, 2, 3
因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简 化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等 的问题，即只需检验
(2) 把同一化肥(A的同一水平)得到的粮食产量看作同 一总体抽得的样本，施用不同化肥得到的粮食产量视为 不同总体下抽得的样本，表中数据应看成从三个总体X1， X2，X3中分别抽了容量为6的样本的观测值.
推断甲乙丙三种化肥的肥效是否存在差异的问题， 就是要辨别粮食产量之间的差异主要是由随机误差造成 的，还是由不同化肥造成的，这一问题可归结为三个总 体是否有相同分布的讨论．
01.单因素方差分析(简洁版)
6、延伸阅读
单因素方差分析也可以通过Analyze > Compare Means > One-Way ANOVA进行，将ALT送入Dependent List框 中，将Group送入Factor框中，其结果与本例的操作是一样的。 单因素方差分析适用于只有一个处理因素的完全随机设计，处理因素可以有2个及以上的处理水平，观察指 标为连续变量。适用条件包括： 1）观测指标满足独立性； 2）各组观测指标均来自正态分布总体； 3）各组观测指标方差相等。 在实际中由于方差分析具有稳健性，因此对正态性的条件要求不是很严格，但是对方差齐的要求比较严格。
Tests of Between-Subjects Effects表格给出了方差分析的结果。 在方差齐的条件下，Group一行结果显示，F值=68.810， P（Sig.）<0.001。
Multiple Comparisons表格给出了部分方法的多重比较结果， 分别列出了每个组和其他组比较的均数的差值（Mean Difference (I-J)）、标准误（Std. Error）、P值（Sig.）和均数 差值的95%置信区间（95% Confidence Interval）。检验水准α 设为0.05，组间差异有统计学意义的结果已用*标出。 不同多重比较方法的选择，需要结合研究设计和每个方法各自 的特点及适用条件。我们以Bonferroni法和Dunnett法的结果 为例，进行解读： (1)Bonferroni法结果显示，A组与B组的ALT水平相比，Mean Difference=-15.160 U/L，P（Sig.）<0.001；A组与C组相比， Mean Difference=1.133 U/L，P（Sig.）=1.000；B组与C组相 比，Mean Difference=16.293 U/L，P（Sig.）<0.001。
i第八章单因素方差分析-文档资料
yi2
ya2
3
y13
y23
y33
yi3
ya3
…
…
…
…
…
…
j
y1j
y2j
y3j
yij
yaj
…
…
…
…
…
…
n
y1n
y2n
y3n
yin
yan
平均数 y1
y 2
y 3
y i
ya
n
yi yij,
j1
yi
1 n
yi
i 1,2,,a
a n
1
y
yij,
i1 j1
3．在同一处理组内虽然每个受试对象接受的处理相同,但
观测值仍各不相同，这是由随机因素（误差）引起的。
误差平方和(error sum of squares, SSe)或称处理内平 方和(sum of squares within treatment)：各处理内部 观测值与相应处理平均数离差的平方和,SSe反映了 各处理组内观测值的变异程度。计算公式为：
2、①固定效应：由固定因素所引起的效应。 ②固定因素：所研究因素各个水平是经过
特意选择的，这样的因素称为固定因素。
固定因素的水平可以严格地人为控制，在 水平固定之后，它的效应值也是固定的。
③固定模型：处理固定因素所用的模型。
在固定模型中，方差分析所得到的结论
只适合于选定的那几个水平，不
能将结论扩展到未加考虑的其它水平上。
水平(level)：每个因素不同的处理(treatment)。
【例】随机选取4窝动物，每窝中均有4只幼仔，
称量每只幼仔的出生重，结果如下。判断不同窝的 动物出生重是否存在显著性差异。
实验5——单因素方差分析(等例)
例 为研究中药三棱莪木对肿瘤重量的影响， 以便选定最佳抑癌作用剂量。今先将一批小白 鼠致癌，然后随机分成四组（每组十只）分别 实施三种剂量的药物注射及等量的生理盐水注 射，经过相同的实验期之后，测定四组鼠的肿 瘤重量如下:
四种处理方式下小白鼠肿瘤重量
盐水(A1 )
3.6 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 7.0 4.4 5.0 4.5
2 4
H1
:
2 1
,
2 2
,
2 3
,
2 4
不全相等
Test of Homogeneity of Variances
肿瘤 重量
Levene Statistic
.562
df1 3
df2 36
Sig. .644
P 0.644 0.05 接受原假设，认为方差具有齐性。
3）方差分析
F = 13.068 ，P≈0，拒绝原假设(四种处理的肿瘤 重量总体均数相等),结论:四种处的肿瘤重量总体均 数至少有部分不相等.
处 理方式
剂量1(A2 ) 剂量2(A3 ) 剂量3(A4 )
3.0 2.3 2.4 1.1
4.0 3.7 2.7 1.9 2.6 1.3
0.4 1.7 2.3 4.7
3.6 1.3 3.2 3.0 2.1 2.5
3.3 1.2 0.0 2.7
3.0 3.2 0.6 1.4 1.2 2.1
试问:四种不同处理方式对癌症抑制作用是否有显著差 别?如果有,进一步判断哪种剂量下其抑制作用最强?
处理因素取值有4个:1表示盐水、2表示剂量1、 3表示剂量2、4表示剂量3。
2. SPSS程序选项
1) Analyze → Compare Means → One-Way ANOVA
02.单因素方差分析(详细版)
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）；
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示； 将距离箱子边缘超过3倍箱身长度的数据点定义 为极端值（极端异常值），以星号（*）表示。 为容易识别，在Data View窗口异常值均用其所 在行数标出。 本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。 假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
2、对问题的分析
研究者想分析不同group间的coping_stress得分差异，可以采用单因素方差分析。 单因素方差分析适用于2种类型的研究设计： 1）判断3个及以上独立的组间均数是否存在差异； 2）判断前后变化的差值是否存在差异。 使用单因素方差分析时，需要考虑6个假设。 假设1：因变量为连续变量； 假设2：有一个包含2个及以上分类、且组别间相互独立的自变量； 假设3：每组间和组内的观测值相互独立； 假设4：每组内没有明显异常值； 假设5：每组内因变量符合正态分布； 假设6：进行方差齐性检验，观察每组的方差是否相等。
(5) 点击Continue，返回One-Way ANOVA对话框。
(6)点击Post Hoc，出现One-Way ANOVA: Post
Hoc Multiple Comparisons对话框：
对话框根据方差齐性检验的假设是否满足， 分为2个主要区域：
(7)在Equal Variances Assumed模块内勾选Tukey，在
单因素方差分析完整实例.doc
单因素方差分析完整实例.doc单因素方差分析是统计学中常用的分析方法之一，用于比较结果在一个分类变量（即因素）的不同组别之间的差异。
下面将通过一个实例来介绍单因素方差分析的具体应用。
实例介绍：某公司招聘了25名新员工，并在这些员工入职一个月后进行了一次工作满意度调查。
调查结果显示，他们对公司的工作满意度总体得分为80分，但是有些员工对公司的工作并不满意。
公司希望了解员工的不满意来源，并查看不同部门、教育程度和薪水水平对工作满意度是否有影响。
公司收集了员工的部门、教育程度和薪水水平等信息，并对这些因素对工作满意度的影响进行了单因素方差分析。
实例步骤：1.数据整理首先，将员工的部门、教育程度和薪水水平等信息整理成表格形式。
随机抽取10名员工的数据如下：| 员工编号 | 部门 | 教育程度 | 薪水水平 | 工作满意度得分 || :------: | :--: | :------: | :------: | :------------: || 1 | A | 大学 | 高薪 | 85 || 2 | B | 高中 | 中薪 | 83 || 3 | C | 硕士 | 中薪 | 78 || 4 | A | 高中 | 低薪 | 77 || 5 | B | 大学 | 高薪 | 93 || 6 | C | 大学 | 中薪 | 80 || 7 | A | 高中 | 中薪 | 72 || 8 | B | 大学 | 中薪 | 85 || 9 | C | 硕士 | 高薪 | 89 || 10 | A | 高中 | 高薪 | 75 |2.数据分析进行单因素方差分析时需要分别计算各组数据的均值和方差。
2.1 计算各组均值首先，按照不同部门计算均值：| 部门 | 员工数 | 工作满意度均值 || :--: | :----: | :------------: || A | 4 | 77.25 || B | 3 | 87.00 || C | 3 | 82.33 || 总计 | 10 | 82.00 |由上述计算结果可得出不同因素组别的均值。
8.5 单因素方差分析实例应用
有奖销售 14.5 14.6 15.8 13.2 15.6 16.5 17.2 13.4 13.1 15.1 15.3 13.8
特价销售 21.6 20.8 19.5 19.3 18.5 17.9 21.5 19.6 21.8 20.1 20.4 18.9
买一送一 17.2 17.5 18.2 18.9 17.1 16.5 19.6 16.2 16.8 17.3 16.9 17.0
单因素方差分析实例应用
1.单因素方差分析实例 2.单因素方差分析应用
单因素方差分析实例
【例】一家奶制品公司为了研究不同的促销手段对产品销售额的 影响，选择了一种袋装利乐枕纯牛奶在5种不同促销方式下进行销售， 每种促销方式分别获得了12个月的销售额。该公司想了解的是这种袋 装奶不同的促销方式是否对销售额有显著影响？
i1 j1
SSE = SST - SSA = 467.463- 372.315 = 95.148
检验统计量为
F SSA/(k 1) 467.463/(5 1) 53.804 SSE / (n k) 95.148 / (60 5)
单因素方差分析应用
解 拒绝域临界值为 F (k 1, n k) F0.05 (5 1, 60 5) 2.540 检验统计量的取值大于临界值： F 53.804>2.540 F0.05 (4,55)
思考练习
在显著性水平为0.01时，分析袋装奶的不同促销 方式是否对其销售额有高度显著的影响？
单因素方差分析应用
解 依题意，原假设和备择假设为
H0 : a1 a2 ... a5 0
H1 : a1, a2 ,..., a5不全为零
利用收集到的数据计算得到
SPSS-单因素方差分析(ANOVA)案例解析word版本
S P S S-单因素方差分析(A N O V A)案例解析SPSS-单因素方差分析（ANOVA) 案例解析2011-08-30 11:10这几天一直在忙电信网上营业厅用户体验优化改版事情，今天将我最近学习SPSS单因素方差分析（ANOVA)分析，今天希望跟大家交流和分享一下：继续以上一期的样本为例，雌性老鼠和雄性老鼠，在注射毒素后，经过一段时间，观察鼠死亡和存活情况。
研究的问题是：老鼠在注射毒液后，死亡和存活情况，会不会跟性别有关？样本数据如下所示：（a代表雄性老鼠 b代表雌性老鼠 0代表死亡 1 代表活着 tim 代表注射毒液后，经过多长时间，观察结果）点击“分析”——比较均值———单因素AVOVA,如下所示：从上图可以看出，只有“两个变量”可选,对于“组别（性别）”变量不可选，这里可能需进行“转换”对数据重新进行编码，点击“转换”—“重新编码为不同变量”将a,b"分别用8,9进行替换，得到如下结果”此时的8 代表a(雄性老鼠） 9代表b雌性老鼠，我们将“生存结局”变量移入“因变量列表”内，将“性别”移入“因子”框内，点击“两两比较”按钮，如下所示：“勾选“将定方差齐性”下面的 LSD 选项，和“未假定方差齐性”下面的Tamhane's T2选项点击继续点击“选项”按钮，如下所示：勾选“描述性”和“方差同质检验”以及均值图等选项，得到如下结果：结果分析：方差齐性检验结果，“显著性”为0，由于显著性0<0.05 所以，方差齐性不相等，一般情况下，不能够进行方差分析但是对于SPSS来说，即使方差齐性不相等，还是可以进行方差分析的，由于此样本组少于三组，不能够进行多重样本对比从结果来看“单因素 ANOVA”分析结果，显著性0.098，由于0.098>0.05所可以得出结论：生存结局受性别的影响不显著很多人，对这个结果可能存在疑虑，下面我们来进一步进行论证，由于“方差齐性不相等”下我们来进行“非参数检验”检验结果如下所示：（此处采用的是“Kruskal-Wallis "检验方法）通过“Kruskal-Wallis ”检验方法，我们得出“sig=0.098"跟我们先前分析的结果一样，都是0.098，事实得到论证。
31单因素方差分析-文档资料
② 从 Yi 中抽取的样本 yi1, yi2 ,, yini 相互独立．
则 yij ~ N(i , 2 ) 且相互独立， j 1, 2,, ni 令 ij yij i ~N(0,2)
则 yij i ij ---均值 i 与随机误差 ij 迭加
ST SSA SSE S
总离差 回归平 平方和 方和
残差平 方和
总平方 因素平 偏差平
和
方和
方和
变量•• 自回（变归定定计量分性量量：析变非量不随取）机可值量可化量(化因计 计回素数 量归)用给变 变分语变量 量析言量 或赋不连代值••连续自方号(续变取赋差标量取值分予明(（析因值(代定属 身素(码性,次性 高)标(：变性温数,量明 非人别度）,随一数,机)品,二)种等))
11 , 12 ,, 1n1
ni
1 1 j / n1 j 1
Ai N (i , 2 )
……
yi1, yi2 ,, yin1i
ni
yi yij / ni j 1
i1, i2 ,, ini
ni
i ij / ni j 1
Aa N (a , 2 )
则 i i
表明第 i 个总体均值是一般平均
与效应的迭加，总效应为 0．
5
因素 A 各水平下 的水平 总体
因变量 Y 各水平下样本
表 3.1
因变量 Y 各水平下均值
各水平下 随机误差
各水平下 随机误差均值
A1 N (1, 2 )
……
y11, y12 ,, y1n1
n1
y1 y1 j / n1 j 1
Y的 总变化
单因素方差分析完整实例
什么是单果素圆好领会之阳早格格创做单果素圆好领会是指对于单果素考查截止举止领会，考验果素对于考查截止有无隐著性做用的要领.单果素圆好领会是二个样本仄衡数比较的引伸，它是用去考验多个仄衡数之间的好别，进而决定果素对于考查截止有无隐著性做用的一种统计要领.单果素圆好领会相闭观念●果素：做用钻研对于象的某一指标、变量.●火仄：果素变更的百般状态或者果素变更所分的等第或者组别.●单果素考查：思量的果素惟有一个的考查喊单果素考查.单果素圆好领会示例[1]比圆，将抗死素注进人体验爆收抗死素取血浆蛋黑量分离的局里，以致缩小了药效.下表列出了5种时常使用的抗死素注进到牛的体内时，抗死素取血浆蛋黑量分离的百分比.现需要正在隐著性火仄α = 0.05下考验那些百分比的均值有无隐著的好别.设各总体遵循正态分散，且圆好相共.正在那里，考查的指标是抗死素取血浆蛋黑量分离的百分比，抗死素为果素，分歧的5种抗死素便是那个果素的五个分歧的火仄.假定除抗死素那一果素中，其余的十足条件皆相共.那便是单果素考查.考查的手段是要观察那些抗死素取血浆蛋黑量分离的百分比的均值有无隐著的好别.即观察抗死素那一果素对于那些百分比有无隐著做用.那便是一个典型的单果素考查的圆好领会问题.单果素圆好领会的基础表里[1]取常常的统计估计问题一般，圆好领会的任务也是先根据本量情况提出本假设H0取备择假设H1，而后觅找适合的考验统计量举止假设考验.本节将借用上头的真例去计划单果素考查的圆好领会问题.正在上例中，果素A（即抗死素）有s（=5）个火仄，正在每一个火仄下举止了nj = 4次独力考查，得到如上表所示的截止.那些截止是一个随机变量.表中的数据不妨瞅成去自s个分歧总体（每个火仄对于应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需考验假设没有齐相等为了便于计划，当前引进总仄衡μ其中：再引进火仄Aj的效力δj隐然有，δj表示火仄Aj下的总体仄衡值取总仄衡的好别.利用那些暗号，本例的假设便等价于假设没有齐为整果此，单果素圆好领会的任务便是考验s个总体的均值μj是可相等，也便等价于考验各火仄Aj的效力δj是可皆等于整.2. 考验所需的统计量假设各总体遵循正态分散，且圆好相共，即假定各个火仄下的样本本自正态总体N(μj,σ2)，μj 取σ2已知，且设分歧火仄Aj下的样本之间相互独力，则单果素圆好领会所需的考验统计量不妨从总仄圆战的领会导出去.底下先引进：火仄Aj下的样本仄衡值:数据的总仄衡:总仄圆战:总仄圆战ST反映了局部考查数据之间的好别，果此ST又称为总变好.将其领会为ST = SE + SA其中:上述SE的各项表示了正在火仄Aj下，样本瞅察值取样本均值的好别，那是由随机缺点所引起的，果此SE喊干缺点仄圆战.SA的各项表示了正在火仄Aj下的样本仄衡值取数据总仄衡的好别，那是由火仄Aj以及随机缺点所引起的，果此SA喊干果素A的效力仄圆战.不妨说明SA取SE相互独力，且当为真时，SA取SE分别遵循自由度为s − 1,n − s的χ2分散，即SA / σ2˜χ2(s − 1)SE / σ2˜χ2(n − s)于是，当为真时那便是单果素圆好领会所需的遵循F分散的考验统计量.3. 假设考验的中断域通过上头的领会可得，正在隐著性火仄α下，本考验问题的中断域为为了便当领会比较，常常将上述领会截止编排成如下表所示的圆好领会表.表中的分别称为SA,SE的均圆.圆好根源仄圆战自由度均圆F比果素A SA s −1缺点SE n −s总战ST n −1。
方差分析实例详解
方差分析计算实例一、单因素方差分析二、双因素方差分析一、单因素方差分析（一）完全随机试验设计1、重复数相同（1）实例：不同浇水量对某蔬菜产量的影响试验，设置5个浇水量A、B、C、D、E；每个浇水量设置四个小区，小区采用完全随机试验设计；各小区产量见下表（单位：kg）（2）基本参数计算处理数k=5，重复数n=4220.0250.9750.485,11.143χχ==（3）方差同质性检验2220.0250.975,c χχχ≤≤五个处理的方差无显著差异平方和计算：（4）方差分析自由度计算：方差分析表：22222222/()/()(45.2869.5288.55108.48130.12)/4441.95/(45)1089.89t i ij SS T n x nk =−=++++−⨯=∑∑1107.051089.8917.16e T t SS SS SS =−=−=222222()/()16.6115.9531.11441.95/(45)1107.05T ijij SS x x nk =−=+++−⨯=∑∑1514t df k =−=−=(1)5(41)15e df k n =−=−=145119T df nk =−=⨯−=变异来源平方和自由度均方F 值F 0.05处理间1089.894272.47238.213.056误差17.1615 1.14总变异1107.0519F 值大于F 0.05，五个处理蔬菜产量平均值差异显著。
将五个处理小区产量平均值从大到小排列，采用字母标记法表示各均值间差异是否显著，均值间的差值大于LSD ，差异显著，标记不同的字母；均值间的差值小于LSD ，差异不显著，标记相同的字母。
标记字母时，第一个值标a ，用最大值减第二个值，差值若大于LSD 则标b ，差值若小于LSD 则标a ，再以最大值减第三个值，直到出现大于LSD 值，标记b ，再以该值为标准向上比较，若差值大于LSD 就停止比较，若小于LSD 值则在a 后面加上b ，直至出现差值大于LSD 就停止比较；再以最上面标记b 的均值为标准在向下比较；直到所有的平均值都标记字母。
第8章 单因素方差分析
第八章单因素方差分析8.1黄花蒿中所含的青蒿素是当前抗疟首选药物，研究不同播期对黄花蒿种子产量的影响，试验采用完全随机化设计，得到以下结果(kg/小区)[47]：重复播种期2月19日3月9日3月28日4月13日1 0.26 0.14 0.12 0.032 0.49 0.24 0.11 0.023 0.36 0.21 0.15 0.04对上述结果做方差分析。
答：所用程序及结果如下：options linesize=76 nodate;data mugwort;do date=1 to 4;do repetit=1 to 3;input yield @@;output;end;end;cards;0.26 0.49 0.360.14 0.24 0.210.12 0.11 0.150.03 0.02 0.04;run;proc anova;class date;model yield=date;means date/duncan;run;One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureClass Level InformationClass Levels ValuesDATE 4 1 2 3 4Number of observations in data set = 12One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureDependent Variable: YIELDSum of MeanSource DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012 Error 8 0.03293333 0.00411667Corrected Total 11 0.21809167R-Square C.V. Root MSE YIELD Mean0.848993 35.48088 0.06416 0.18083DATE 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012One-Way ANOVAAnalysis of Variance ProcedureDuncan's Multiple Range Test for variable: YIELDNOTE: This test controls the type I comparisonwise error rate, notthe experimentwise error rateAlpha= 0.05 df= 8 MSE= 0.004117Number of Means 2 3 4Critical Range .1208 .1259 .1287Means with the same letter are not significantly different.Duncan Grouping Mean N DATEA 0.37000 3 1B 0.19667 3 2BC B 0.12667 3 3CC 0.03000 3 4对于方差分析表中各项内容的含义，在“SAS程序及释义”部分已经做了详细解释，这里不再重复。
完整的单因素方差分析实例
单因素方差分析例题：
方差分析表
方差来源 因素 A 误差 e 总和
平方和 S
自由度 f
均方和 S
F值
70.4293 137.7374 208.1667
2 27 29
35.2147 5.1014
6.903
显著性 显著
单因素方差分析例题：
(4)多重比较：可以参考商务p648的追踪分析
n1 10 n2 9 n3 11 Se 1 1 ds12 ( )(r 1) F1 (r 1, n r ) n r n1 n2 137.7374 1 1 ( ) 2 F1 (2,27) ds23 ds13 27 10 9
理论准备方差齐性检验：
根据抽样数据，得到 的观测值b。 B 于是有： 若b 12 (r 1)，则拒绝H 0，认为r个正态总体的方差不全 相等。 若b 12 (r 1)，则接受H 0，认为r个正态总体的方差都相 等。
单因素方差分析例题：
菌型 A1 A2 A3 2 5 7 4 6 11 3 8 6 2 5 6
接种后存活日数 4 10 7 7 7 9 7 12 5 2 6 10 5 6 6 3 10 4
单因素方差分析例题：
(1)正态性检验 重排顺序统计量(由小到大)
顺序统计量 A1 A2 A3 2 5 3 2 5 5 2 6 6 3 6 6 4 6 6 4 7 7 4 8 7 5 10 9 7 12 10 10 11 7
W2
L2 2 ( x1i x1 ) 2
i 1 2 L1
W1
( x1i x1 ) 2
i 1
10
单因素方差分析例题：
(2)方差齐性检验
单因素方差分析完整实例
单因素方差分析完整实例假设有一家医院的研究人员想要比较三种不同药物对高血压患者的降压效果。
为了进行实验，他们随机选择了60名患有高血压的病人，并将他们随机分成三组。
第一组患者接受药物A的治疗，第二组患者接受药物B的治疗，第三组患者接受药物C的治疗。
在治疗开始前，研究人员记录了每个患者的收缩压数据。
第一步是对数据进行描述性统计分析。
研究人员计算了每一组的平均值、标准差和样本量。
结果如下：药物A组：平均收缩压150，标准差10，样本量20药物B组：平均收缩压145，标准差12，样本量20药物C组：平均收缩压155，标准差15，样本量20第二步是进行假设检验。
研究人员的零假设是所有药物的降压效果相同，即三组的平均收缩压相等。
备择假设是至少有一组的平均收缩压不同。
为了进行单因素方差分析，我们需要计算组内方差和组间方差，然后进行F检验。
组内方差反映了每一组内部数据的离散程度，组间方差反映了不同组之间平均值的差异程度。
组内方差的计算方法是对每一组的方差进行平均，然后再对所有组的方差进行加权平均。
组间方差的计算方法是对所有组的平均值进行方差分析。
我们通过公式计算出组内方差为10.08，组间方差为58.67、接下来我们计算F值，F值是组间方差除以组内方差的比值。
F=组间方差/组内方差=58.67/10.08=5.81第三步是通过查找F分布表来计算p值。
根据自由度为2（组数-1）和df = 57（总样本量-组数）的F分布表，我们可以找到在F = 5.81条件下的p值。
假设我们选择显著性水平为0.05，我们发现在F分布表上，F=5.81对应的p值小于0.05、因此，我们拒绝零假设，接受备择假设。
这意味着至少有一组的平均收缩压与其他组有显著差异。
最后一步是进行事后检验。
由于我们有三组进行比较，我们可以使用事后检验方法来确定哪两组之间存在显著差异。
常用的事后检验方法包括Tukey HSD检验、Duncan检验等。
综上所述，单因素方差分析可以帮助我们判断不同组之间是否存在显著差异。
第五章第一节单因素方差分析
5.1.2
单因素方差分析的数学模型
进行单因素方差分析时，需要得到如表1所示 的数据结构．
表1 单因素方差分析中数据结构
观测值（j） A1
A因素（i）
A2 … Am
1
2
x11
x12
x21
x22
…
…
x m1
x m2
…
ni
…
…
…
…
x1n1
x1.
x2n2
x2.
…
xmnm
xm .
平均值
表中用A表示因素，A的m个取值称为m个水平分别用 A1，A2，…，Am表示，每个水平对应一个总体． 从不同水平（总体）中抽出的样本容量可以相同，也 可以不同．若不同水平抽出的样本容量相同则称为均衡 数据，否则称非均衡数据．
因此，推断三个总体是否具有相同分布的问题就简 化为：检验几个具有相同方差的正态总体均值是否相等 的问题，即只需检验 H0： 1 = 2 = 3 象这类检验若干同方差的正态总体均值是否相等的 一种统计分析方法称为方差分析． 当只有两个正态总体时，这类问题也可以用第八章 讲过的两正态总体均值比较的方法来解决．
来源 Source 组间 组内 平方和 Sun of Square SSMA SSE 自由度 DF m–1 n–m 平均平方和 Mean Square SSMA / (m – 1) SSE / (n – m) F统计量 F value MSA / MSE P值 Pr > F P
全部
SSMA+SSE
n–1
n i= 1 2n 1 + n 2
Õ f (x ; q) = (q )
第三节__单因素试验资料的方差分析
上一张 下一张 主 页
退 出
3、多重比较 采用新复极差法，各处理 、 采用新复极差法， 平均数多重比较表见表6-14。 。 平均数多重比较表见表
表6-14 不同品种母猪的平均窝产仔数 多重比较表(SSR法) 多重比较表 法
上一张 下一张 主 页
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ退 出
因为MSE=3.14，n=5，所以 S x 为： ， 因为 ，
(6-28)
SSE = SST − SSB
上一张 下一张 主 页 退 出
df T = N − 1, df b = k − 1, df e = df T − df b
(6-28)
个不同品种猪的育肥试验， 【例6.4】 5个不同品种猪的育肥试验，后期 】 个不同品种猪的育肥试验 30天增重 天增重(kg)如表 如表6-16所示。试比较品种间增重 所示。 天增重 如表 所示 有无差异。 有无差异。 个品种猪30天增重 表6-16 5个品种猪 天增重 个品种猪
上一张 下一张 主 页 退 出
表6-18 5个品种育肥猪平均增重 个品种育肥猪平均增重 多重比较表(SSR法) 多重比较表 法
上一张 下一张 主 页
退 出
根据df 根据 e=20，秩次距 ，秩次距k=2,3,4,5，从SSR表中查 ， 表中查 的临界SSR值，乘以 出α=0.05与α=0.01的临界 与 的临界 值 =0.625， ，
Sx =
M SE / n = 3 . 14 / 5 = 0 . 793
根据dfe=20，秩次距 根据 ，秩次距k=2，3，4，5由SSR表查 ， ， ， 由 表查 的各临界SSR值，乘以 出α=0.05和α=0.01的各临界 和 的各临界 值 ， S x即
得各最小显著极差，所得结果列于表 得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。 。
61单因素方差分析共65页文档
y i j i i j,i 1 , 2 , . . . , r ;j 1 , 2 , . . . , m
r
其中μ为总体均值，αi为第 i 个水平的效应, 且
i 0
i1
εij 为试验误差, 各 ij相 互 独 立 且 服 从 N ( 0 ,2 )
在上述结构式下, yij ~N(i ,2)
i=1,…,r, j=1, …,m 且独立
2. 点估计
用最大似然估计法可求出一般平均μ,各主效应αi 和误差方差
σ2的估计.
总平均μ的估计:
y
各水平均值μi 的估计: i yi
主效应αi 的估计: i y i y,i 1 ,2 ,...,r
误差方差σ2 的估计:
M 21 ni r1jm 1(yij yi )2S n e
第六章 方差分析
第一节 单因素方差分析 第二节 双因素方差分析
第一节 方差分析
一、问题的提出
方差分析(analysis of variance)就是采用数理统计方 法对数据进行分析，以鉴别各种因素及因素间的交互 作用对研究对象某些试验指标的影响大小的一种有效 方法. 注：方差分析简记为ANOVA.
(1) 因子 A 是否显著.
(2) 试验的误差方差σ 2 的估计. (3)各水平均值μi 的点估计与区间估计.
(此项在因子A不显著时无需进行)
由于它不是σ2 的无偏估计, 实用中采用:
2
Se fe
Se nr
＝MSe
置信区间
由于 yi
~
N(i
2
,) m
,
Se /σ2 ~ χ2 (n - r),
且两者独立, 故
(yi Se /
fe /i)m~t(fe)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【最新整理，下载后即可编辑】
什么是单因素方差分析
单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。
单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。
单因素方差分析相关概念
●因素：影响研究对象的某一指标、变量。
●水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
●单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。
单因素方差分析示例[1]
例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平α = 0.05下检验
这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态分布，且方差相同。
在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗
生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。
单因素方差分析的基本理论[1]
与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平，在每一个水平下进行了n j = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s 个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需检验假设
不全相等
为了便于讨论，现在引入总平均μ
其中：
再引入水平A j的效应δj
显然有，δj表示水平A j下的总体平均值与总平均的差异。
利用这些记号，本例的假设就等价于假设
不全为零
因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值μj是否相等，也就等价于检验各水平A j的效应δj是否都等于零。
2. 检验所需的统计量
假设各总体服从正态分布，且方差相同，即假定各个水平
下的样本来自正态总体N(μj,σ2)，μj与σ2未知，且设不同水平A j下的样本之间相互独立，则单因素方差分析所需的检验统计量可以从总平方和的分解导出来。
下面先引入：水平A j下的样本平均值:
数据的总平均:
总平方和:
总平方和S T反映了全部试验数据之间的差异，因此S T又称为总变差。
将其分解为
S T = S E + S A
其中:
上述S E的各项表示了在水平A j下，样本观察值与样本均值的差异，这是由随机误差所引起的，因此S E叫做误差平方和。
S A的各项
表示了在水平A j下的样本平均值与数据总平均的差异，这
是由水平A j以及随机误差所引起的，因此S A叫做因素A的效应平方和。
可以证明S A与S E相互独立，且当为真时，S A与S E分别服从自由度为s− 1,n− s的χ2分布，即
S A/ σ2˜χ2(s− 1)
S E/ σ2˜χ2(n− s)
于是，当为真时
这就是单因素方差分析所需的服从F分布的检验统计量。
3. 假设检验的拒绝域
通过上面的分析可得，在显著性水平α下，本检验问题的拒绝域为
为了方便分析比较，通常将上述分析结果编排成如下表所示的方差分析表。
表中的分别称为S A,S E的均方。