2013江苏高考数学(文理同卷)试题及答案

2013年普通高等学校统一考试数学试题

卷Ⅰ 必做题部分

乐享玲珑，为中国数学增光添彩！

免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用

一．填空题。 1．函数)4

2sin(3π

+

=x y 的最小正周期为 。

2．设2

)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 。

3．双曲线19

1622=-y x 的两条渐近线的方程为 。

4．集合}1,0,1{-共有 个子集。

5．下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 。

6

则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 。

8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 。

9．抛物线2

x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部与边界）。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 。

10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 3

2

=，若AC AB DE 21λλ+=

A

B

C

1

A D E F 1

B 1

C

（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 。

11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2

-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。

12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122

22>>=+b a b

y a x ，右焦点为F ，右准线为

l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。

13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x

y 1

=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之

间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 。

14．在正项等比数列}{n a 中，2

1

5=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n

的值为 。 二．解答题：

15．本小题满分14分。已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=

＝，

，παβ<<<0。 （1

）若||a b -= a b ⊥ ；（2）设(0,1)c =

，若a b c += ，求βα,的值。

16．本小题满分14分。

如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.

17．本小题满分14分。如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1，圆心在l 上。

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

A

B

C

S

G

F

E

18．本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 。现有甲．乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为m in /50m 。在甲出发m in 2后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C 。假设缆车匀速直线运动的速度为m in /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，

1312cos

=

A ，5

3cos =C 。 （1）求索道AB 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

19．本小题满分16分。设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和。记c

n nS b n

n +=

2，*N n ∈，其中c 为实数。

（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*

,N n k ∈）；

（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c 。

20．本小题满分16分。

设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x

-=)(，其中a 为实数。

（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围； （2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。

21．A.［选修4-1：几何证明选讲］本小题满分10分。

如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，,C AC 经过圆心O ，且2BC OC = 求证：2AC AD =

22．B.［选修4-2：矩阵与变换］本小题满分10分。

已知矩阵1012,0206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

，求矩阵B A 1

-。

23.C.［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题满分10分。

C B

A