高斯消元法解线性方程组

am1x1 am2x2 L amnxn bm
矩阵表示：AX B
a11 a12 L
其中
A
a21
a22
L
. . .
am1
am2
L
m n n 1 m 1 a1n
a2n
.
amn
xFra Baidu bibliotek
X
x2
M
xn
b1
B
b2
M
bm
二、用高斯消元法求解线性方程组
下面通过例题，来学习一般线性方程组的 解法，这种方法，称为高斯消元法.此消元 法中方程组的消元步骤对应增广矩阵的初 等 行变换。
35 12
r1
r2
5
0
0 10
7 8
23
12
0 0 0 0
0 0 0 0
r2 (2)
5
0
0 5
7 4
23
6
r2 5
r1 5
0 0 0 0
1
0
7 5
23 5
0
1
4 5
6 5
0
0
0
0
再把得到的最后的矩阵写成方程组形式, 得
1
0
7 5
23 5
0
1
4 5
6 5
高斯消元法解线性方程组
课前回顾
课前回顾：Gramer’法则求解线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a21
x1
a22x2
a2n xn
b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
线性方程组解的情况如下
克兰姆法则通过行列式求解线性方程组的， 但是它在使用时是由限制条件的： （1）未知量个数与方程个数相等 （2）系数行列式不等于0 。
7 8
3x1 x2 5x3 15
1 2 3
解:
(
A
|
B)
2 3
1 1
2 5
这样做，是为了避开 分数的加、减法
7 r3 3r1 1 2 3 7
1 2 3 7
8
r2
2r1
15
0 0
5 5
4 4
6
r3
r2
6
0 0
5 0
4 0
6 0
2r2 5r1
5
0
10 10
15 8
课后拓展
高斯(Garl Friederich Gauss，1777—1855)
高斯生于德国的布伦兹维克，他是近代数 学伟大的奠基者之一，在历史上影响之大，可 以和阿基米德、牛顿、欧拉并列.
高斯很小就显示出了他的数学才能,小时候,其 父并不想让他上学,由于看父亲算账,指出错误 之处,才被其父送入小学读书,当时是班里最小的学生.但成绩很 出色。1796年高斯发现正十七边形的尺规作图法，这是从欧几 里得以来悬而未决的问题，那时他才19岁 。 他越来越多的学生也成为有影响的数学家，如后来闻名于世 的Richard Dedekind和黎曼。
0
1
0
1
0 4 3 5
0 0 3 9
13r3
1 0
2 1
2 0
3
1
1
r1 2r3
0
2 1
0 0
3 1
0 0 1 3
0 0 1 3
1 0 0 1
r12r2
0
1
0
1
0 0 1 3
所以原方程组有唯一的一组解：
x1 1
x2
1
x3
3
例2：
x1 2x1
2x2 x2
3x3 2 x3
0
0
0
0
x1
7 5
x3
23 5
x2
4 5
x3
6 5
x1
7 5
x3
23 5
x2
4 5
x3
6 5
这时,未知量 x3 是可以任意取值的,称为自由未知量
所以得方程组的解为：
x1 x2
7 5 4 5
x3 x3
23 5 6 5
无穷多解
在求出方程组的解后,要注明自由未知量. 自由未 知量的取法是不一唯的,但它的个数是确定的。
1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。
对于更一般的线性方程组， 我们通过高斯消元法来求解。
课堂教学
一、线性方程组的矩阵表示 二、高斯消元法 三、小结
一、线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 L a1nxn b1
线性方程组的 一般形式：
a21x1 LLL
a22x2 L LLLL
L
a2n xn b2 LLLL
解：
2 1 1 2
1 2 2 3
___
A
1
2
1
2
r1r3
1
2
1
2
1 2 2 3
2 1 1 2
1 2 2 3
1 2 2 3
r2 r1 r3 2r1
0 0
4 5
3 3
5
r3 r2
0
4
0
4 1
3 0
5 1
1 2 2 3
1 2 2 3
r3r2
0
1
0
1
r34r2
（即未知量的个数—实际方程个数）n r(A)
补例 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3 x4
1, 2,
2 x1 x2 2 x3 2 x4 3.
解 对增广矩阵 进行初等行变换：
1 2 3 1 1
(
A
|
B)
3
1 5
3
2
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
:
（从第三行发现到一个问题）r(A) r(A)
此时，可以得到方程组无解的结论．
三、小结
通过上面两个例题，可归纳出解线性方程组 高斯消元法的一般步骤：
(1)将线性方程组的增广矩阵，通过初等行变换 化为行最简阶梯矩阵；
（2）将最简阶梯矩阵还原成线性方程组，求出方 程组解（唯一解、无穷解、无解）
例1 用消元法解线性方程组
2x1 x2 x3 2
x1 2x2 x3 2
x1 2x2 2x3 3
解 将系数矩阵与常数列矩阵排在一起
2 1 1 2
1 1
2 2
1 2
2 3
___
称为线性方程组的增广矩阵 A
A
B
2 1 1 2
记为:
___
A
(A| B)
1 1
2 2
1 2
2 3