微积分-函数、极限和连续
《微积分》(上下册) 教学课件 01.第1章 函数、极限、连续 高等数学第一章第9-10节
定义 2 设函数 f ( x)在U(x0, )内有定义,如果
y
lim f (x) f (x )，
x x0
0
y f (x)
称函数 f ( x)在点 x 连续. 0
如 f ( x) x2，
0
x0
x
lim f ( x) lim x2 4 f (2)，
x2
x2
f ( x) x2在x 2点连续.
说明 y f (x)在x x0点连续 下列三条同时成立 (1) f (x0)有定义；
(2) lim f (x)存在； xx0
（3）lim x x0
f
(x)
f (x0 ).
13
例1
试证函数
f
ห้องสมุดไป่ตู้
(
x)
x
sin1 x
,
0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
3、反函数函数的连续性
严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22 故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctanx, y arccot x 在(,)上单调且连续.
§1.9 无穷小量的比较与等价代换
例如, 当x 0时, x, x2,sin x, x2 sin 1 都是无穷小.
x2
lim 0,
观
x0 x
x x2比x要快得多;
察 各 极 限
lim sin x x0 x
微积分中的函数极限与连续性
微积分中的函数极限与连续性在微积分这一数学领域中，函数极限与连续性是两个至关重要的概念。
它们不仅是微积分理论的基石，也是解决各种实际问题的有力工具。
让我们先从函数极限开始说起。
简单来讲，函数极限描述的是当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
想象一下，我们有一个函数 f(x)，当 x 越来越接近某个特定的数 a 时，f(x) 会趋近于一个确定的值 L，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L。
举个例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1)，当 x 趋近于 1 时，分母和分子都趋近于 0。
但是，如果我们直接约分，就会得到 f(x) ＝ 1。
所以，当 x 趋近于 1 时，这个函数的极限就是 1。
这是一个比较简单直观的例子，但在实际情况中，函数可能会复杂得多。
函数极限的存在与否以及具体的值，对于理解函数的性质有着重要的意义。
如果函数在某个点的极限存在，那么它在这个点附近的行为就会相对比较“规律”。
再来说说函数的连续性。
一个函数在某一点是连续的，意味着当自变量在这一点有微小的变化时，函数值也会有相应微小的变化，而不会出现突然的跳跃或者中断。
用更通俗的话来说，如果我们能够一笔不间断地画出函数在某一点及其附近的图像，那么这个函数在这一点就是连续的。
比如说，常见的一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 在其定义域内的每一点都是连续的。
因为无论 x 怎么变化，y 都能随之平滑地变化，不会出现突然的断开或者跳跃。
那函数的极限和连续性之间有着怎样紧密的联系呢？实际上，如果一个函数在某一点是连续的，那么它在这一点的极限就等于这一点的函数值。
反之，如果函数在某一点的极限存在，并且等于这一点的函数值，那么这个函数在这一点就是连续的。
这种联系为我们研究函数的性质提供了极大的便利。
通过判断函数的极限是否存在以及是否等于函数值，我们可以迅速确定函数在某一点是否连续，进而了解函数在这一点附近的行为特征。
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念(理解极限的描述性定义，对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求). 2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限. 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上)连续函数的概念. 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理).第一章共12学时，课时安排如下绪论 §1。
1、函数 §1。
2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1。
4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。
数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速,化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。
张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。
微积分第1章函数、极限与连续之连续函数的概念和性质
第1章 函数极限与连续
1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
x 1
x 1
左右极限存在不相等
所以 x =1为跳跃间断点
前页 后页 结束
3.无穷间断点
f(x)在点 x的0 左、右极限至少有一个是无穷
大，则称 x 为0 f(x)的无穷间断点
例4y
1 x
x=0为无穷间断点
4.振荡间断点
当 x时x，0 函数值不断地在两点之间跳
动，左右极限均不存在
续函数。 因此,基本初等函数在其定义域内连续.
定理3设函数y = f(u)在点 处u 0连续,u= f (x)在点 处连x 0 续,
且 u0 ,则复(x合0)函数
在点yf处[连(x续)]. x 0
即： lx ix0m f[(x) ]f[(x0)]
因此,一切初等函数在其定义区间内连续. 前页 后页 结束
解 函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义
所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点
(Ⅰ)
x2 x
lim
x1
x (x2 1)
所以x = -1是函数的无穷间Fra bibliotek点(Ⅱ)
x li m 0 f(x)x li m 0 xx (2 x 2 x1) x li m 0 (x11) 1 x li m 0 f(x)x li m 0 xx (2 x 2 x1) x li m 0 (x1 1) 1
函数极限与连续性
函数极限与连续性函数极限和连续性是微积分中的重要概念，它们对于理解函数的性质和计算复杂函数的导数和积分具有重要的作用。
本文将从理论和实际的角度来讨论函数极限和连续性的概念及其应用。
1. 函数极限函数极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值也趋近于某一确定值的现象。
这一概念主要用于研究函数在某一点的局部性质。
数学上通常用极限符号来表示函数的极限，例如:lim (x->a) f(x) = L其中，lim表示当x趋近于a时的极限，f(x)表示函数f在x点的取值，L表示函数极限的确定值。
在计算函数的极限时，可以利用一系列的极限性质和运算法则来简化问题。
例如，当函数分母为无穷大或分子分母次数相等时，可以利用洛必达法则来求解函数的极限。
2. 函数连续性函数连续性是指函数在其定义域内的任意一点处都存在极限，且极限值等于函数在该点的取值。
换句话说，函数连续性要求函数图像在整个定义域内没有任何的突变或间断。
函数连续性是微积分中最基础的性质之一，它为导数和积分提供了基础。
根据函数在某点的连续性，可以将函数的定义域划分为若干个区间，使得在每个区间内函数满足一致性的性质。
3. 函数极限与连续性的应用函数极限和连续性在实际问题的建模和求解中具有重要的作用。
以下是一些应用的例子：3.1. 求解导数根据函数的连续性和极限的定义，可以利用导数的定义求解函数在某一点的斜率。
导数是函数极限的一种表示方式，通过求解函数的导数，可以研究函数的变化趋势和最值问题。
3.2. 优化问题在经济学、物理学和工程学等领域，经常会遇到最优化问题。
通过研究函数的极限和连续性，可以建立数学模型，求解最优化问题。
3.3. 系统稳定性分析在控制理论中，系统的稳定性是一个重要的概念。
通过研究函数的极限和连续性，可以判断系统的稳定性，并进行合理的控制设计。
4. 结论函数极限和连续性是微积分中的基本概念，对于理解函数的性质和计算复杂函数的导数和积分具有重要的作用。
高等数学微积分笔记
第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限: A y n n =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
微积分中的函数极限与连续性
微积分中的函数极限与连续性在微积分这门学科中，函数极限与连续性是两个极为重要的概念。
它们不仅是微积分理论的基础，也在解决各种实际问题中发挥着关键作用。
让我们先从函数极限说起。
想象一下，有一个函数 f(x)，当 x 趋近于某个特定的值 a 时，函数 f(x) 的值会越来越接近一个确定的数 L ，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L 。
这里的“趋近”可以是从左边趋近，也可以是从右边趋近。
举个简单的例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1) ，当 x 趋近于1 时，分母和分子都趋近于 0 。
但是，如果我们直接把 x ＝ 1 代入函数，会得到 0/0 这种不确定的形式。
然而，当 x 非常接近但不等于 1 时，比如 10001 或者 09999 ，我们会发现函数的值非常接近 1 。
所以，我们就说这个函数在 x 趋近于 1 时的极限是 1 。
函数极限的定义是非常严谨和精确的。
用数学语言来表述，就是对于任意给定的一个很小的正数ε ，都存在一个正数δ ，使得当 0 ＜｜x a| ＜δ 时，｜f(x) L| ＜ε 成立。
这个定义虽然看起来有点复杂，但它的核心思想就是说，只要 x 与 a 足够接近（但不等于 a ），那么 f(x) 与 L 的差距就可以任意小。
了解了函数极限，接下来谈谈函数的连续性。
一个函数在某一点处连续，直观地说，就是当自变量在这一点处有一个很小的变化时，函数值也会有一个相应的很小的变化，而且函数在这一点没有“跳跃”或者“断裂”。
比如说，常见的一次函数 y ＝ x ＋ 1 ，在其定义域内的每一点都是连续的。
因为无论 x 怎么变化，只要变化量很小，函数值 y 的变化也会很小，而且图像是一条连续不断的直线。
再看一个稍微复杂点的例子，函数 f(x) ＝｜x| 。
在 x ＝ 0 处，当 x从负数趋近于 0 时，f(x) 的值趋近于 0 ；当 x 从正数趋近于 0 时，f(x)的值也趋近于 0 ，并且 f(0) ＝ 0 。
函数的极限及连续性
函数的极限及连续性函数的极限与连续性是微积分学中重要的概念，它们在求解导数、积分以及研究函数性质等方面具有重要的应用。
本文将针对函数的极限与连续性展开讨论，并介绍相关的定义、性质和计算方法。
一、函数的极限1.1 定义对于给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，函数值f(x)的极限被定义为函数f(x)在x趋近于a时的极限值，记作：lim(x→a)f(x) = L其中，L可以是一个实数或无穷大。
当不同方向的极限存在且相等时，函数的极限存在。
若函数在该点的左、右极限均存在且相等，则称函数在该点处连续。
1.2 性质（1）极限值唯一性：函数的极限值是唯一的，即对于给定函数f(x)和特定值a，极限lim(x→a)f(x)存在时，其极限值L是唯一确定的。
（2）局部性质：函数的极限是局部性质，即仅仅与函数在某一点附近的取值有关。
（3）极限与函数值的关系：函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限值等于函数在该点的函数值。
1.3 计算方法计算函数的极限可以通过直接代入、无穷小量无穷大代换法、夹逼定理等方法进行。
（1）直接代入法：对于一些简单的函数，可以直接将自变量代入函数，求解得到极限值。
（2）无穷小量无穷大代换法：对于一些复杂的极限问题，可利用一些常用极限的性质和等价无穷小量、等价无穷大量的代换方法，简化极限的计算。
（3）夹逼定理：对于一些无法直接求解的函数极限问题，可通过夹逼定理来间接求解，即通过构造两个函数，使得它们的极限分别等于给定函数的极限。
二、函数的连续性2.1 定义对于给定函数f(x)，若函数在某一区间上的每一点都满足极限lim(x→a)f(x)存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在该区间上连续。
2.2 性质（1）连续函数与极限：连续函数的极限与函数值相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)。
（2）连续函数的运算：连续函数的加减、乘法运算结果仍为连续函数，但除法运算需要排除除数为零的情况。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
最新微积分第1章函数、极限与连续2
1 (1) 数列 {xn } { }，即 n 1 1 1 1, , , , , . 2 3 n
(2) 数列 {x } { n 1} n
n
2 3 n1 即 , , , , 1 2 n
(3) 数列 {x } {(1) n 1}，即 n
1, 1,1, , (1)n 1 , .
x|
于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x→+∞
时的极限，记为 lim f ( x) A
x
或
f ( x) A
(x→∞)
定理3
lim f ( x ) A 的充要条件是 lim f (x) lim f (x) A
x
x x
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函数的极限与左、右极限有如下关系：
定理2
x x0
lim f ( x ) A
xlim x
0
f ( x ) lim f ( x ) A
x x0
注: 定理2常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在
f ( x) 1 cos x , 例2 判断函数 sin x ,
在 x 0 点处是否有极限.
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1.2.1 数列的极限
• 设木棒长度为1，则： • 第一天，木棒长度为1/2 ； • 第二天，木棒长度为1/4 ； • 第三天，木棒长度为1/8； • ……. • 第n天，木棒长度为1/2^n • …….
前页 后页 结束
木棒长度Sn与n天数有依赖关系，
• 这种依赖关系用函数表示：
Sn f (n)(n 1, 2,)
• P26
•
1 (1) (3)
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数、极限、连续是微积分中的重要概念，它们是研究函数性质和计算函数值的基石。
这些概念都有相应的公式和定理，本文将就这些概念逐一展开介绍。
一、函数函数是一个集合与集合之间的对应关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素上。
数学上，函数通常用f(x)或者y 来表示，其中f是函数名，x是自变量，y是因变量。
当自变量取不同的值时，由函数公式可以计算出对应的因变量的值。
函数的概念十分重要，它是微积分的基础，涉及到诸多概念和理论。
在实际应用中，函数可以描述多种变化关系，如线性关系、指数关系、对数关系等。
二、极限极限是函数中的重要概念，它描述了函数在一些点附近的性质。
当自变量趋近于一些值时，函数的值是否趋近于一些特定的值。
通常用符号的方式表示，如 lim f(x) = L ，其中 lim 表示极限，f(x) 表示函数，L 表示极限的值。
极限的计算可以通过代入法、夹逼法、泰勒展开法等方式进行。
极限的计算常常涉及到一些特定的极限公式，如 sin(x)/x 的极限为 1，e^x 的极限为自然常数 e。
极限的概念是微积分的核心，它与导数、积分等概念密切相关。
各种函数的性质可以通过极限来研究和描述，极限的计算为解决实际问题提供了方法和思路。
三、连续连续是函数的一个重要性质，它描述了函数在一些区间上是否没有突变。
当自变量在一个区间内变化时，函数的值是否也在这个区间内变化，即函数图像是否没有断裂点。
如果在一些点上左右两侧的极限存在且相等，那么函数在这个点上连续。
连续函数具有许多良好的性质，可以进行各种运算和推导。
连续函数在实际应用中有广泛的应用，如物理、经济、生物等领域。
四、重要公式在微积分中，存在一些重要的公式，它们是解决问题的基础。
以下是一些常用的公式：1.导数的基本公式：-(u+v)'=u'+v'，和法则- (ku)' = ku'，常数法则- (u * v)' = u'v + uv'，乘法法则- (u / v)' = (u'v - uv') / v^2，除法法则- (u^k)' = ku^(k-1)u'，幂函数法则-(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)，复合函数法则2.积分的基本公式：- ∫kdx = kx + C，常数法则- ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，幂函数积分法则- ∫(1/x)dx = ln，x， + C，倒数函数积分法则- ∫e^xdx = e^x + C，指数函数积分法则- ∫sinxdx = -cosx + C， sin函数积分法则- ∫cosxdx = sinx + C， cos函数积分法则五、重要定理微积分中也有一些重要的定理，它们是揭示函数性质的基石。
微积分之函数、极限与连续
A． B． C． 且 D． 且 提示：关于 ，要求分母不能为0 ，即 ；关于 ，要求 ，即 。 的定义域为 且
6．函数 的定义域是（ ）．答案：D
A． B． C． D． 提示：关于 ，要求分母不能为0，即 ；关于 ，要求 ，即 。因此函数 的定义域是
7．设 ，则 （）答案：C
A．0B．1 C． D．
提示：当 时，称函数 在 连续。因为 ，因此当 3时，函数 ，在 处连续
12．函数 的间断点是（）答案：A
A． B． C． D．无间断点
提示：若 在 有下列三种情况之一，则 在 间断：①在 无定义；②在 极限不存在；③在 处有定义，且 存在，但 。题中，分母 ，因此在 和 处无定义
作业（一）————函数，极限和连续
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即；因此函数的定义域是
2．函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即；因此函数的定义域是
3.函数的定义域是．答案：提示：关于，要求分母不能为0，即，也确实是； 关于，要求，即； 关于，要求，即且； 因此函数的定义域是
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数提示：因为 ，因此 是奇函数。
3．函数 的图形是关于（ ）对称．答案：D
A． B． 轴C． 轴D．坐标原点提示：因为 ，是奇函数，因此 的图形是关于坐标原点对称
4．下列函数中为奇函数是（无）．
A． B． C． D． 提示：A. ,即 是偶函数； B. 的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数； C． 的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数； D． ，既非奇函数，也非偶函数。 因此本题没有一个待选答案是奇函数
微积分--极限与连续 ppt课件
考虑当
x
，函数
y1 x
的变化情况
y
O
x
lim 1 0. x x
ppt课件
15
定义：对任意的正数，如果总存在一个正数X， 使得当 x >X时，f (x)-A < ,则称当x 时， f (x)以A为极限，记为 lim f (x)=A.
x
ppt课件
16
x 的理解：
10. x 情形 : lim f ( x) A x
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35
§2.5 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
x0时的极限,
记作
lim
x x0
f (x)=A.
" "定义
0, 0,使当0 x x0 时,恒有 f ( x) A .
注意 :{x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
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24
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关; 2.与任意给定的正数有关.
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33
经济数学基础--微积分第一章
解 u , v 分别是中间变量,故 y u2 tan 2v tan 2x2 .
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 第 12 页
极 限 的 概 念
极限的概念
• 1.2.1 数列的极限 • 1.2.2 函数的极限
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节
极
限
1 数列的极限
的 概
念
先给出数列的定义:在某一对应规则下,当 n(n N ) 依次取 1, 2, 3, , n, 时,对应的实
函数的自变量 x 是指 x 的绝对值无限增大,它包含以下两种情况: (1) x 取正值,无限增大,记作 x ; (2) x 取负值,它的绝对值无限增大(即 x 无限减小),记作 x .
定义1.2.3 : 如果当 x 无限增大(即 x )时,函数 f (x) 无限趋近于一个确定
的常数 A ,那么就称 f (x) 当 x 时存在极限 A ,称数 A为当 x 时函数 f (x) 的极限,
径.在上述领域中除去领域的中心点 a
称为点 a
的去心
领域,记为
0
U（a,
）,
0
即 U（a,） x 0 x a ， 如右图所示.
第 19 页
经济应用数学基础——微积分
第一章 第二节 极 限 的 概 念
注意:
在定义中,“设函数 f (x) 在点 x0 的某个去心领域内有定义”反映我们关心的 是函数 f (x) 在点 x0 附近的变化趋势,而不是 f (x) 在 x0 这一孤立点的情况.在定义 极限lim f (x) 时, f (x) 有没有极限,与f (x) 在点 x0 是否有定义并无关系.
例1.1.3 求函数 y 4x 1 的反函数. 解 由v 4x 1 ,可解得 x y 14 . 交换 x 和 y 的次序,得 y 14(x 1) ,
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性函数的极限和连续性是微积分中非常重要的概念。
它们在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和连续性的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指函数在某一点无限接近于某个数值。
更正式地说，对于函数 f(x)，当自变量 x 自某一方向趋近于 c 时，如果函数值 f(x) 无限接近于 L，则表明函数 f(x) 在 x 趋近于 c 时的极限为 L。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = L其中 lim 是极限的符号，x→c 表示 x 趋近于 c，f(x) 是函数在 x 处的取值，L 是极限的值。
函数的极限有以下重要性质：1. 当 x 趋近于 c 时，如果 f(x) 的极限存在，则该极限唯一；2. 如果函数 f(x) 在 x=c 处连续，则该函数在 x=c 处的极限等于该点的函数值；3. 两个函数的和、差、积的极限等于各自函数的极限之和、差、积；4. 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商（除数的极限不等于零）；5. 常数与函数的乘积的极限等于常数与函数极限之积；6. 两个函数的复合函数的极限等于内层函数的极限等于外层函数的极限。
二、函数的连续性函数的连续性是指当自变量 x 在某一点连续趋近于 c 时，函数值f(x) 也连续趋近于 f(c)。
更正式地说，对于函数 f(x)，如果函数 f 在 x=c 处连续，则函数值 f(x) 在 x 趋近于 c 时连续趋近于 f(c)。
可以表示为：lim(x→c) f(x) = f(c)函数的连续性有以下重要性质：1. 函数在定义域内的每一点都连续，则函数在整个定义域内连续；2. 两个函数的和、差、积、商的函数在各自定义域的交集内连续；3. 复合函数的连续函数和内层函数在其定义域内都连续。
三、实际应用函数的极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个常见的实际应用场景：1. 物体的运动：当我们研究物体的运动时，通常会涉及到时间与距离的关系。
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
最新微积分第1章函数、极限与连续3
lim
f [φ(x)]
过程代换 令u=φ ( x) :
=
lim f (u) = A.
u→a
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结束
例13 求极限
1 (1) lim ln 2 x →∞ x
y= =
1 x2
y→0+0 +
lim lny
= −∞.
y
(2) lim e +
x→0
− x
y=- x =
lim e = 1. y →0−
x→0 x
lim (x - 1) ⋅ lim (x + 2)
0 +1 1 =− = (−1)⋅ 2 2
注
只要极限运算与四则运算交换顺序后的算式有意 义 (包括出现∞)，就可交换顺序。
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sin
例2
π
求 lim
n→∞
n 。 1 +1 n
解
π limsin n→∞ n = 0 =0 原式= 。 1 0 +1 lim + 1 n→∞ n
x2 − 1 例4 求 lim 2 . x→1 x + 2x − 3
0 消去零因子法） 解 ( 型 ) （消去零因子法） 0
2
因子 先约去不为零的无穷小 x − 1后再求极限 。
x −1 ( x + 1)( x − 1) x +1 1 = . lim 2 = lim = lim x→1 x + 2x − 3 x→1 ( x + 3)( x − 1) x→1 x + 3 2
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• 思考：你能否根据函数的极限运算法则，写出数 思考：你能否根据函数的极限运算法则， 列的极限运算法则？ 列的极限运算法则？
函数极限与连续的关系
函数极限与连续的关系
函数极限与连续是微积分学中的重要概念，它们之间存在密切的关系。
首先，我们来了解一下函数极限的概念。
函数极限是指当自变量趋近某个值时，函数值的趋势，也就是函数在该点的“接近程度”。
如果当自变量趋近于这个值时，函数值趋近于一个确定的有限值，即函数在该点的左右极限存在且相等，那么我们就说这个函数在该点有极限，极限的值等于这个有限值。
接下来，我们来了解连续的概念。
如果一个函数在某个点的左右极限存在且相等，并且在该点的函数值等于这个极限值，那么我们就说这个函数在该点是连续的。
也就是说，函数在该点可以不间断地画出来。
那么，函数极限与连续之间的关系是什么呢我们可以得出结论：一个函数在某个点有极限，当且仅当它在该点是连续的。
也就是说，连续是极限的必要条件，而极限是连续的充分条件。
这个结论可以用数学语言来表达：如果函数f在点x0处存在极限L，则f在x0处连续；反之，如果f在x0处连续，则f在这个点存在极限。
举个例子来说，我们考虑函数f(x)=sinx/x。
当x趋近于0时，我们发现f(x)趋近于1。
因此，f(x)在x=0处有极限1。
又因为f(x)在x=0处连续，所以我们可以得出结论：f(x)在x=0处存在极限1且连续。
这个结论可以用图像来表示：我
们发现，函数f(x)在x=0处没有任何间断，可以不间断地画出来，因此在该点连续。
总之，函数极限和连续是微积分学中的基本概念，它们之间存在密切的关系。
函数在某点有极限，当且仅当它在该点连续。
同时，函数的极限和连续性可以通过图像来直观地理解和表示。
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《微积分初步》单元学习辅导一（函数极限连续）微积分初步学习辅导（一）——函数、极限和连续部分学习重难点解析（一）关于函数的概念1.组成函数的要素:(1)定义域:自变量的取值范围D ；(2)对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f .函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量.因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定.所以说，两个函数相等（即)()(x g x f =）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等.若两者之一不同，就是两个不同的函数.2.函数定义域的确定对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定：(1) 函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零；(2) 函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负；(3) 函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零；(4)如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分；(5)对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集.(6)对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域.3.函数的对应关系函数的对应关系f 或f （ ）表示对自变量x 的一个运算，通过f 或f （ ）把x 变成了y ，例如152)(3+-==x x x f y ，则f 代表算式 1)(5)(2)(3+-=f括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值.（二）关于函数的基本属性函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性.了解函数的属性有助于我们对函数的研究.理解函数属性中需要注意下面的问题：1.关于函数的奇偶性：讨论函数的奇偶性，其定义域必须是关于原点对称的的区间，函数奇偶性的判别方法是函数奇偶性定义和奇偶函数的运算性质，即奇函数±奇函数=奇函数奇函数±偶函数=非奇非偶函数奇函数⨯奇函数=偶函数奇函数⨯偶函数=奇函数偶函数⨯偶函数=偶函数并记住常见的奇函数有x x n sin ,12+；常见的偶函数有x x n cos ,2.2. 关于函数的单调性单调函数是与相应的区间相联系的，例如，函数2x y =在)0,(-∞是单调递减的，在),0(+∞是单调递增的，在),(+∞-∞内不是单调函数.单调递增（或递减）函数的图形是随着自变量的增大在上升（或下降）的.（三）函数的函数—函数的复合运算我们可以这样理解复合函数的概念：当一个函数的自变量用另一个函数的因变量代替，就可能产生复合函数，例如在函数x y lg =中，用21)(x x u -==ϕ替换x ，即得)1lg())(()(2x x f u f y -===ϕ.这里的函数)1lg(2x y -=可以看成由函数x lg 和函数21x -复合而成的.但是要注意，不是任何两个函数都可以构成复合函数的，例如，由1)(-=x x f 和21)(x x -=ϕ就不能构成复合函数，因为221)1())((x x x f -=--=ϕ，而负数""2x -开方是没有意义的.复合函数的复合环节可以多于两个，例如，x v v u u y 21,sin ,2-===可复合为函数.通过课程的学习我们知道，由若干个简单函数，经过有限次的四则运算和复合步骤可以产生许许多多的函数——初等函数.反过来，对于一个比较复杂的函数，在对它进行研究时，常常要将其分解成若干个组成它的函数.例如)1ln(2x x y ++= 可以分解为21,,ln x v v x u u y +=+==.（四）关于对极限的概念的理解极限概念作为微积分的基础，在高等数学中占有很重要的地位，本章中连续性的概念和第二章中导数的概念都是用极限来定义的.在我们的课程中对于极限概念只要求从几何上的直观描述来理解.即极限是描述函数在自变量的某个变化过程中，函数和某一个确定的常数无限的靠近，而且要多近就有多近.理解极限的定义要弄清楚，函数在自变量的某个变化过程中，是否有极限存在决定于在自变量的这个变化过程中函数是否有固定的变化趋势，而且这个变化趋势与自变量的变化趋势和求极限的函数有关，而与函数在该点处是否有定义无关.例如，1sin lim0=→xx x （第一个重要极限） 其中函数xx x f sin )(=在0=x 处无定义.又如 0sin lim =∞→x x x （当∞→x 时，为无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） 注意到这个极限式中的函数与前式相同，但自变量的变化趋势不同，则极限不同.在极限概念中，我们介绍了七种极限形式：数列极限： )(∞→→n A x n函数极限： )()(∞→→x A x f)()(+∞→→x A x f)()(-∞→→x A x f)()(0x x A x f →→左、右极限： )()(0-→→x x L x f)()(0+→→x x R x f且有结论：⇔=→A x f x x )(lim 0)(lim 0x f x x -→A x f x x ==+→)(lim 0由于极限是一个局部概念，函数在某点处是否有极限决定于在该点附近的函数值，因此对于分段函数在分段点处的极限问题必须考虑其左、右极限.（五）关于极限的计算极限计算是本课程的基本计算之一，在我们的课程中介绍了下列求极限的方法：（1）极限的四则运算法则；（2）重要极限；（3）函数的连续性.在具体运用时，首先要清楚上述法则或方法成立的条件，否则会在计算中出现错误.（六）关于函数的连续性根据连续性的定义，函数f (x )在点0x 处连续的充分必要条件是：函数f (x )在点0x 处同时满足下列三个条件：（1）f (x )在点0x 处有定义；（2）f (x )在点0x 处有极限；（3）f (x )在点0x 处的极限值为该点处的函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→ 上述三个条件之一不满足，则f (x )在点0x 处间断.连续函数的曲线是一笔画成的，如果函数在某处发生间断，则函数的曲线一定在此处断开.二、典 型 例 题例1 求下列函数的定义域：（1）216ln 2)(x xx x f -+-= （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-=41,1111,2)(x x x x f x 分析 （1）函数是由xx ln 2-与216x -的和构成的，按照前面提到的求解途径，先分别求出各表达式的定义域，再取公共部分；（2）这是个分段函数，先确定函数在各段上自变量的取值范围，再取并集.解（1）对于xx ln 2-，要求0>x 且1≠x ，即),1()1,0(+∞⋃；对于216x -，要求0162≥-x ，即162≤x ，它等价于4≤x ，即]4,4[-，于是取两个函数定义域的公共部分，得所求函数定义域为[),1()1,0(+∞⋃]]4,1()1,0(]4,4[⋃=-⋂.（2）两个分段区间是]1,1(-和]4,1(，取它们的并集得所求函数的定义域为]4,1(-.例2 已知函数32)1(2-+=+x x x f ，求)1(),(x f x f 和)1(f . 分析 本题的关键是求出)(x f ，可以采取两种不同的方法求解.[方法1] 将1+x 看作一个变量，即作变量替换1+=x t ，这样得到1-=t x ，代入后直接得出)(x f .[方法2]将等式右端表成1+x 的函数.解 [方法1]令1+=x t ，则1-=t x ，代入原式有3)1(2)1()(2--+-=t t t f322122--++-=t t t42-=t因函数关系与表示自变量的字母无关，故由上式得到4)(2-=x x f利用)(x f 可直接得到 41)1(2-=xx f 341)1(2-=-=f .[方法2] 将等式右端表成1+x 的函数,即4)1(412)1(22-+=-++=+x x x x f所以 4)(2-=x x f再利用)(x f 可直接得到 41)1(2-=x x f 341)1(2-=-=f .例3 判断下列函数的奇偶性（1）2sin )(x x x f +=（2）)1ln()(2x x x f ++=分析 （1）可以根据定义或运算性质进行判断；（2）根据定义进行判断.解 （1）[方法1] 根据定义进行判断.因为22sin )()sin()(x x x x x f +-=-+-=-且)()(x f x f ≠-，也)()(x f x f -≠-，由定义，2sin )(x x x f +=是非奇非偶函数.[方法2] 根据运算性质进行判断.因为x sin 是奇函数，2x 是偶函数，所以2sin )(x x x f +=是非奇非偶函数. 注意：利用运算性质进行判断的前提是知道各函数的奇偶性.（2）根据定义进行判断. 因为])(1)ln[()(2x x x f -++-=- )1()1)(1(ln ]1ln[2222x x x x x x x x ++++-+=-+= )()1ln()1(1ln 22x f x x x x -=++-=++= 所以，)1ln()(2x x x f ++=是奇函数.例4 将下列函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：（1）12tan -=x y（2）21sin e 2x y x ⋅=+分析 任意一个初等函数可以分解为基本初等函数的四则运算或复合运算.分解的方法是从最外层开始，如果是四则运算就将运算的每一项设为中间变量，然后在考察每个中间变量；若不是四则运算，则一定是某一类基本初等函数，此时将这个基本初等函数的自变量位置上的表达式设为一个中间变量，然后再考察这个中间变量.将这个方法向内层反复使用.解（1）12,,tan -===x v v u u y .（2）v y u sin e ⋅=，22,1,x v x w w u =+==. 例5 求下列各极限（1）5632lim 221+--+→x x x x x （2）xx x sin 11lim 0-+→ 分析 解题之前先分清求极限函数的类型，再选择相应的方法求解.（1）原式是个有理分式，且当1→x 时，分子、分母的极限都为0，故不能直接用商的极限法则.同时我们还注意到，分式的分子、分母均为x 的二次多项式，而当1→x 时，分子、分母的极限都为0，说明分子、分母中均含有因式1-x ，这时采取分解因式的方法，消去使分母极限为0的因式)1(-x （当1→x 时），再用商的极限法则求出极限值.（2）当0→x 时，分子、分母的极限均为0，而且分子是一个无理函数，分母含有正弦函数，显然不能用分解因式消去0因子的方法.对于这类题目一般地，先将根式有理化，消去分式中的无理根式，又因为分母中含有正弦函数，运算时要用到第一个重要极限.解 （1）14453lim )5)(1()3)(1(lim 5632lim 11221-=-=-+=--+-=+--+→→→x x x x x x x x x x x x x （2）x x x sin 11lim 0-+→=)11(sin )11)(11(lim 0++++-+→x x x x x )11(sin lim 0++=→x x xx )11(1lim sin lim00++=→→x x x x x =21211=⨯求极限方法小结： （1）运用极限的四则运算法则时，要特别注意除法法则. 如果分母的极限为0，则一定不能直接使用除法法则，这时需要根据函数的特点，对函数进行适当的变形（常见的变形有，分解因式，有理化根式等），从而消去不定因子再用除法法则.（2）应用重要极限求极限时，必须将求极限函数变形为重要极限的标准形式或扩展形式.第一个重要极限的特点是：当0→x 时，分式的分子、分母的极限均为0，且分子、分母中含有正弦函数的关系式.它的标准形式为1sin lim 0=→xx x ，扩展形式为1)()(sin lim0)(=→x x x ϕϕϕ. 例6 设函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 001sin )(x x x x a x b x x x f问（1）当a,b 为何值时，f (x )在x =0处有极限存在；（2）当a,b 为何值时，f (x )在x =0处连续.分析 函数f (x )在点0x 处是否连续，关键是看函数在该点处是否有)()(lim 00x f x f x x =→. 此函数是一个分段函数，且x =0是它的分段点.则在x =0处有极限存在是要看是否有)(lim )(lim 00x f x f x x +-→→= 在x =0处连续是要看是否有)0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+-→→ 解 （1）因为b b xx x f x x =+=--→→)1sin (lim )(lim 00 1sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x 所以当1=b ，a 取任意值时，f (x )在x =0处有极限存在；（2）因为a f =)0(，所以当1==b a 时，f (x )在x =0处连续.确定函数的连续性，关键是抓住连续性的定义，三条之一不满足者必间断.要记住连续性的有关结论，对于初等函数，定义区间即为连续区间，对于分段函数，要着重考察分段点处的连续性.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。