广东省清远市第一中学实验学校2021届高三数学上学期第四次月考试题理

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2020-2021学年广东省清远市某校高三(上)9月月考数学试卷(有答案)

2020-2021学年广东省清远市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 设集合A={x|x2−2x−3<0}，B={x|x−1<0}，则A∩B等于( )A.(−∞,1)B.(−1,1)C.(1,3)D.(3,+∞)2. 若z(1+i)=2i，则z等于( )A.−1−iB.−1+iC.1−iD.1+i3. “a>0”是“函数f(x)=x2+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知a=21.2，b=20.8，c=0.812，则a，b，c的大小关系为( )A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a5. 在等差数列{a n}中，a3=5，前9项和S9=81，则其公差d等于( )A.1B.2C.3D.4，则函数f(x)的图象可能为( )6. 设函数f(x)=x2ln1+x1−xA. B. C. D.7. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0, +∞)上单调递增，若f(lg x)<0，则x的取值范围是( )A.(0, 1)B.(1, 10)C.(1, +∞)D.(10, +∞)8. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积最大值为( )A.140B.160C.180D.200二、多选题我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量D.第3天至第11天复工复产指数均超过80%给出以下四个命题中正确的是( )A.若a >b ，则1a <1bB.若ac 2>bc 2，则a >bC.若a >|b|，则a >bD.若a >b ，则a 2>b 2已知函数f (x )={−x 2+2x +2,x ≥0,2x ,x <0,若函数g(x)=f(x)−a 恰有2个零点，则a 的取值范围可以是( )A.(−∞,0]B.(0,1)C.[1,2)D.[2,3)已知函数y =f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x +4)=f (x )+f (2)成立．当x ∈[0,2]时，y =f (x )单调递减，给出下列结论正确的是( )A.f (2)=0B.直线x =−4是函数y =f (x )图象的一条对称轴C.函数y =f (x )在[−4,4]上有四个零点D.区间[−40,−38]是y =f (x )的一个单调递增区间三、填空题已知变量x ，y 满足约束条件{x +y −1≤0,3x −y +1≥0,x −y −1≤0,则z =2x −3y 的最大值为________.(12x −2y)5的展开式中的x 2y 3的系数是________.(用数字表示)在下列结论中：已知向量a →=(x −1,1),b →=(y +1,−2)，且a →//b →，当x >0,y >0时，2x +1y 的最小值为（）A.7B.8C.9D.10已知函数f (x )={x +1,x <0,2x −1,x ≥0,若a <b 且f (a )=f (b )，则af (b )的取值范围是________.(用区间表示)四、解答题已知命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对任意的x ∈R 恒成立，命题q ：函数f(x)=(3−2a)x 是增函数．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题．求实数a 的取值范围．已知等差数列{a n }的公差为2，且a 1−1，a 2−1，a 4−1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1a n a n+1(n ∈N ∗)，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n <215成立的最大正整数n ．在四棱锥P −ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB ⊥AD ，PA =AB ，AB:AD:CD =2:√2:1.(1)证明：BD⊥PC；(2)求二面角A−PC−D的余弦值.某中学为了了解高二年级学生身高情况，对全校1400名高二年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表(1)求该校高二女生的人数；(2)估计该校高二学生身高在[165,180)的概率；(3)以样本频率为概率，现在高二年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165,180)学生的人数，求X的分布列及均值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过点A(0,1)的动直线l与椭圆C交于M，N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为1.(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)=x3−6x2+9x−3．(1)求函数f(x)的极值；(2)定义：若函数ℎ(x)在区间[s, t](s<t)上的取值范围为[s, t]，则称区间[s, t]为函数ℎ(x)的“美丽区间”.试问函数f(x)在(3, +∞)上是否存在“美丽区间”？若存在，求出所有符合条件的“美丽区间”；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省清远市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】无【解答】解：因为A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={x|x−1<0}={x|x<1}，所以A∩B={x|−1<x<1}．故选B．2.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】无【解答】解：z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i．故选D．3.【答案】B【考点】二次函数的性质利用导数研究函数的单调性必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：当a>0时，f′(x)=2x+a>0在区间(0,+∞)上恒成立，即f(x)在(0,+∞)上是增函数，充分性成立；当f(x)在区间(0,+∞)上是增函数时，f′(x)=2x+a≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≥0，必要性不成立.综上，“a>0”是“函数f(x)=x2+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的充分不必要条件．故选B．4.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】无【解答】解：a =21.2>21=2，20=1<b =20.8<21=2，c =0.81.2<0.80=1，∴ c <b <a ．故选A ．5.【答案】B【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：等差数列{a n }中，S 9=9a 5=81，所以a 5=9，所以公差d =a 5−a 32=9−52=2．故选B ．6.【答案】C【考点】函数奇偶性的判断函数的图象与图象变化【解析】无【解答】解：函数f(x)=x 2 ln1+x 1−x 的定义域为(−1,1)．因为f (−x )=x 2ln 1−x 1+x =−x 2ln 1+x 1−x =−f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除B ，D .又f (12)=14ln 3>0，故C 正确．故选C ．7.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】根据函数是奇函数，且在[0, +∞)单调递增，得到函数在R上单调递增，利用函数的单调性解不等式即可得到结论．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0, +∞)上单调递增，∴函数f(x)在R上单调递增，且f(0)=0，则由f(lg x)<0=f(0)得：lg x<0，即0<x<1，∴x的取值范围是(0, 1).故选A．8.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由直角三角形相似得x=54(24−y)，化简矩形面积S=xy的解析式为S=−54(y−12)2+180，再利用二次函数的性质求出S的最大值．【解答】解：由三角形相似可知：20−x x =y−824−y，即x=54(24−y)，∴阴影部分的面积S=xy=54(24−y)y=54(−y2+24y)=−54(y−12)2+180，∴当y=12时，S有最大值为180．故选C．二、多选题【答案】C,D【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】根据折线图给出信息判断即可.【解答】解：从第1天到第7天复产指数逐日增加，从第7天到第9天复产指数也逐日减少，从第9天到第11天复产指数也逐日增加，所以A选项错误；从图中可以看出这11天期间，复工指数增量略大于复产指数的增量，所以B选项错误；从图中可以看出第3天和第11天复工复产指数均在80%线之上，所以C选项正确；从图中纵坐标变化可以看出第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，所以D选项正确.故选CD．【答案】B,C【考点】命题的真假判断与应用不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】解：A，若a>0>b，1a >1b成立，A错误；B，ac2>bc2，则a>b，B正确；C，若a>|b|成立，则a>b成立，C正确；D，若a=0，b=−1，a>b成立，但a2>b2不成立，D错误. 故选BC．【答案】B,D【考点】由函数零点求参数取值范围问题分段函数的应用函数的零点【解析】无【解答】解：g(x)=f(x)−a恰有2个零点等价于f(x)=a有2个解，即函数y=f(x)与y=a有2个交点，结合如图函数的图象知，a的取值范围可以是0<a<1或2≤a<3.故选BD.【答案】A,B【考点】函数的周期性奇偶性与单调性的综合函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：∵对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x=−2时，可得f(−2)=0.又∵函数y=f(x)是R上的偶函数，∴f(−2)=f(2)=0，故A正确；由f(2)=0，知f(x+4)=f(x)+f(2)=f(x)，故函数周期为4. 又∵函数在区间[0,2]上单调递减，且函数是偶函数，∴函数在区间[−2,0]上单调递增．又∵函数的周期为4，∴得到函数f(x)的示意图如图所示：可得直线x=−4是函数y=f(x)图象的一条对称轴，故B正确；函数y=f(x)在[−4,4]上有两个零点，故C不正确；区间[−40,−38]是y=f(x)的一个单调递减区间，故D不正确.故选AB．三、填空题【答案】4【考点】求线性目标函数的最值【解析】无【解答】解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示：由z =2x −3y 可得y =23x −z3，作出直线y =23x 如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，{3x −y +1=0,x −y −1=0,解得x =−1，y =−2，所以A 点的坐标为(−1,−2)，目标函数最大值为z max =2×(−1)−3×(−2)=4．故答案为：4.【答案】−20【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】先求得二项展开式的通项公式，令x 的幂指数等于2、y 的幂指数等于3，可得r 的值，即可求得x 2y 3系数．【解答】解：(12x −2y)5的展开式的通项公式为：T r+1=C 5r ⋅(−2)r ⋅(12)5−r ⋅x 5−r ⋅y r ，令r =3，可得x 2y 3系数是−20.故答案为：−20.【答案】C【考点】数量积的坐标表达式基本不等式在最值问题中的应用【解析】略【解答】c【答案】[−14,0]【考点】分段函数的应用函数的图象【解析】无【解答】解：作出函数f(x)图象，如图：可知−1≤a <0.由f (a )=f (b )，得af(b)=af(a)=a(a +1)=a 2+a ，a ∈[−1,0)，所以af (b )的取值范围为[−14,0]．故答案为：[−14,0]．四、解答题【答案】解：设g(x)=x 2+2ax +4，由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立， ∴ 函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ=4a 2−16<0，∴ −2<a <2．又∵ 函数f(x)=(3−2a)x 是增函数，∴ 3−2a >1，得a <1．又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则{−2<a <2,a ≥1,得1≤a <2； (2)若p 假q 真，则{a ≤−2或a ≥2,a <1,得a ≤−2．综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2或a ≤−2．【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】由p ：关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f(x)=(3−2a)x 是增函数分别列示求出a 的范围，再由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假，分类求出a 的范围，取并集得答案．【解答】解：设g(x)=x 2+2ax +4，由于关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立， ∴ 函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ=4a 2−16<0，∴ −2<a <2．又∵ 函数f(x)=(3−2a)x 是增函数，∴ 3−2a >1，得a <1．又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则{−2<a <2,a ≥1,得1≤a <2； (2)若p 假q 真，则{a ≤−2或a ≥2,a <1,得a ≤−2．综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2或a ≤−2．【答案】解：(1)由a 1−1，a 2−1，a 4−1成等比数列，可得(a 2−1)2=(a 1−1)(a 4−1)，即(a 1+1)2=(a 1−1)(a 1+5)，解得a 1=3，故a n =3+2(n −1)=2n +1，n ∈N ∗.(2)由b n =1an a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，得S n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n 3(2n+3). 由n 3(2n+3)<215，解得n <6，故所求的最大正整数n 为5．【考点】数列与函数最值问题分式不等式的解法数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到所求通项；（2）求得b n =1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，由裂项相消求和可得S n ，解不等式即可得到所求最大值．【解答】解：(1)由a 1−1，a 2−1，a 4−1成等比数列，可得(a 2−1)2=(a 1−1)(a 4−1)，即(a 1+1)2=(a 1−1)(a 1+5)，解得a 1=3，故a n =3+2(n −1)=2n +1，n ∈N ∗.(2)由b n =1an a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，得S n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3)=12(13−12n+3)=n 3(2n+3).由n 3(2n+3)<215，解得n <6，故所求的最大正整数n 为5．【答案】(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴ PA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设CD =1，由AB:AD:CD =2:√2:1，PA =AB ，得B (2,0,0)，D(0,√2,0)，P (0,0,2)，C(1,√2,0)，BD →=(−2,√2,0)，PC →=(1,√2,−2).∵ BD →⋅PC →=0，∴ BD ⊥PC ．(2)解：AC →=(1,√2,0)，AP →=(0,0,2)，设平面PAC 的一个法向量为m →=(x,y,z)，则{AC →⋅m →=0,AP →⋅m →=0，即{x +√2y =0,2z =0, 令x =√2，得平面PAC 的一个法向量为m →=(√2,−1,0).又∵ DP →=(0,−√2,2)，DC →=(1,0,0)，同理可得平面DPC 的一个法向量为n →=(0,−√2,−1)，∴ cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√2√3×√3=√23， ∴ 二面角A −PC −D 的余弦值为√23．【考点】用空间向量求平面间的夹角向量语言表述线线的垂直、平行关系【解析】无无【解答】(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴ PA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设CD =1，由AB:AD:CD =2:√2:1，PA =AB ，得B (2,0,0)，D(0,√2,0)，P (0,0,2)，C(1,√2,0)，BD →=(−2,√2,0)，PC →=(1,√2,−2).∵ BD →⋅PC →=0，∴ BD ⊥PC ．(2)解：AC →=(1,√2,0)，AP →=(0,0,2)，设平面PAC 的一个法向量为m →=(x,y,z)，则{AC →⋅m →=0,AP →⋅m →=0，即{x +√2y =0,2z =0, 令x =√2，得平面PAC 的一个法向量为m →=(√2,−1,0).又∵ DP →=(0,−√2,2)，DC →=(1,0,0)，同理可得平面DPC 的一个法向量为n →=(0,−√2,−1)，∴ cos ⟨m →,n →⟩=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√2√3×√3=√23， ∴ 二面角A −PC −D 的余弦值为√23．【答案】解：(1)设高二女生为x 人.由表1和表2可得样本中男女生人数分别为80，60，则1400−xx =8060，解得x =600，所以高二女生有600人．(2)由表1和2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为：10+28+26+12+6+2=84．因为样本容量为140，所以样本中该校高二学生身高在[165,180)的频率为84140=35，所以估计该校高二学生身高在[165,180)的概率为35．(3)由题意可得，X 的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45，则P (X =0)=(1−45)×(1−13)=215， P (X =1)=45×(1−13)+(1−45)×13=915=35，P (X =2)=45×13=415，可得X 的分布列为：所以E (X )=0×215+1×35+2×415=1715．【考点】频数与频率离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列用样本的频率分布估计总体分布分层抽样方法【解析】无【解答】解：(1)设高二女生为x 人.由表1和表2可得样本中男女生人数分别为80，60，则1400−xx =8060，解得x =600，所以高二女生有600人．(2)由表1和2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为：10+28+26+12+6+2=84．因为样本容量为140，所以样本中该校高二学生身高在[165,180)的频率为84140=35，所以估计该校高二学生身高在[165,180)的概率为35．(3)由题意可得，X 的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165,180)的概率为13，男生身高在[165,180)的概率为45，则P (X =0)=(1−45)×(1−13)=215，P (X =1)=45×(1−13)+(1−45)×13=915=35， P (X =2)=45×13=415，可得X 的分布列为：所以E (X )=0×215+1×35+2×415=1715．【答案】解：(1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率为12，可得c a =12. 当过点A (0,1)的动直线l 过椭圆C 的左焦点(−c,0)时，直线l 的斜率为1，可得1c =1，解得c =1，可得a =2，b 2=a 2−c 2=3．则椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设B (0,m )(m ≠1)满足条件．①当直线MN 的斜率存在时，设直线l 方程为y =kx +1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 方程代入椭圆方程得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0，∴ x 1+x 2=−8k 4k 2+3，x 1x 2=−84k 2+3．若∠ABM =∠ABN ，则k BM +k BN =0，即k BM +k BN =y 1−m x 1+y 2−m x 2 =kx 1+1−m x 1+kx 2+1−m x 2=2k +(1−m )(1x 1+1x 2) =2k +(1−m )(x 1+x 2x 1x 2) =k (3−m )．∵ k ∈R ，∴ 当m =3时，则k BM +k BN =0恒成立，∠ABM =∠ABN ，此时B (0,3).②当直线MN 的斜率不存在时，B (0,3)满足∠ABM =∠ABN .综上，存在不同于点A 的定点B (0,3)，使得∠ABM =∠ABN 恒成立．【考点】椭圆的离心率直线与椭圆的位置关系直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率为12，可得c a =12. 当过点A (0,1)的动直线l 过椭圆C 的左焦点(−c,0)时，直线l 的斜率为1，可得1c =1，解得c =1，可得a =2，b 2=a 2−c 2=3．则椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设B (0,m )(m ≠1)满足条件．①当直线MN 的斜率存在时，设直线l 方程为y =kx +1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线l 方程代入椭圆方程得(4k 2+3)x 2+8kx −8=0，∴ x 1+x 2=−8k4k 2+3，x 1x 2=−84k 2+3．若∠ABM =∠ABN ，则k BM +k BN =0，即k BM +k BN =y 1−m x 1+y 2−m x 2 =kx 1+1−m x 1+kx 2+1−m x 2=2k +(1−m )(1x 1+1x 2) =2k +(1−m )(x 1+x 2x 1x 2) =k (3−m )．∵ k ∈R ，∴ 当m =3时，则k BM +k BN =0恒成立，∠ABM =∠ABN ，此时B (0,3).②当直线MN 的斜率不存在时，B (0,3)满足∠ABM =∠ABN .综上，存在不同于点A 的定点B (0,3)，使得∠ABM =∠ABN 恒成立．【答案】解：(1)因为f(x)=x 3−6x 2+9x −3，所以f ′(x)=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)．令f ′(x)=0，可得x =1或x =3．则f ′(x)，f(x)在R 上的变化情况为：当x =3时，函数f(x)有极小值为−3．(2)假设函数f(x)在(3, +∞)上存在“美丽区间”.由(1)知函数f(x)在(3, +∞)上单调递增，所以{f(s)=s,f(t)=t, 即{s 3−6s 2+9s −3=s,t 3−6t 2+9t −3=t,也就是方程x 3−6x 2+9x −3=x 有两个大于3的相异实根．设g(x)=x 3−6x 2+8x −3(x >3)，则g ′(x)=3x 2−12x +8．令g ′(x)=0，解得x 1=2−23√3<3，x 2=2+23√3>3．当3<x <2+23√3时，g ′(x)<0；当x >2+23√3时，g ′(x)>0，所以函数g(x)在区间(3, 2+23√3)上单调递减，在区间(2+23√3, +∞)上单调递增．因为g(3)=−6<0，g(x 2)<g(3)<0，g(5)=12>0，所以函数g(x)在区间(3, +∞)上只有一个零点．这与方程x 3−6x 2+9x −3=x 有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以函数f(x)在(3, +∞)上不存在“美丽区间”．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数的零点与方程根的关系【解析】(Ⅰ)利用函数的正负性，来求原函数的单调区间，可得函数f(x)的极值；(Ⅱ)据“域同区间”的定义得到f(s)=s ，f(t)=t ，则有f(x)=x 有两个大于3的相异实根，然后利用方程根的情况列式求解，即可得出结论．【解答】解：(1)因为f(x)=x 3−6x 2+9x −3，所以f ′(x)=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)．令f ′(x)=0，可得x =1或x =3．则f ′(x)，f(x)在R 上的变化情况为：所以当x =1时，函数f(x)有极大值为1；当x =3时，函数f(x)有极小值为−3．(2)假设函数f(x)在(3, +∞)上存在“美丽区间”.由(1)知函数f(x)在(3, +∞)上单调递增，所以{f(s)=s,f(t)=t, 即{s 3−6s 2+9s −3=s,t 3−6t 2+9t −3=t,也就是方程x 3−6x 2+9x −3=x 有两个大于3的相异实根．设g(x)=x 3−6x 2+8x −3(x >3)，则g ′(x)=3x 2−12x +8．令g ′(x)=0，解得x 1=2−23√3<3，x 2=2+23√3>3．当3<x <2+23√3时，g ′(x)<0；当x >2+23√3时，g ′(x)>0，所以函数g(x)在区间(3, 2+23√3)上单调递减，在区间(2+23√3, +∞)上单调递增．因为g(3)=−6<0，g(x 2)<g(3)<0，g(5)=12>0，所以函数g(x)在区间(3, +∞)上只有一个零点．这与方程x 3−6x 2+9x −3=x 有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以函数f(x)在(3, +∞)上不存在“美丽区间”．。

广东省清远市第一中学实验学校2020届高三数学上学期第四次月考试题理

广东省清远市第一中学实验学校2020届高三数学上学期第四次月考试题理考试时间：120分钟,满分150分第Ⅰ卷（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{}{}12345,246A B ==，，，，，，， P A B =⋂，则集合P 的子集有（） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 2、不等式1121x x -≤+的解集为（） A. (]1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ B. 12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C. ][1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭ D. 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦3．已知b a >，0<c ，那么下列不等式成立的是（）A ．22b a > B. ba 11> C. cbc a -<- D. c bc a <4．已知ABC ∆中，3263π===B ,c ,b ，那么角A 大小为（）A ．6πB.12π C. 3π D. 4π 5．已知正方形ABCD ，点E 为BC 中点，若μλ+=，那么μλ等于（）A ．2B ．32C ．21 D ．31 6．已知直线c ,b ,a ，平面βα,，那么下列所给命题正确的是（） A ．如果,b c ,b a ⊥⊥那么c //a B. 如果α⊥a ,b //a ，那么α⊥b C. 如果αβα⊥⊥a ,，那么β//a D. 如果ab ,//a ⊥α，那么α⊥b7.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（） A. 15 B.14 C. 13 D. 128．已知偶函数f (x )满足：当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立．设a ＝f (－4)，b ＝f (1)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <b <a9．已知函数y ＝sin ax ＋b (a >0)的图象如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图象可能是()10.已知数列{}n a 满足n n a a 31=+，且9642=⋅⋅a a a ，则=++937353log log log a a a （） A ．5 B ．6 C ．8 D ．11 11.若θ∈,且cos 2θ=sin,则sin 2θ=( )A. B.- C. D.-12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．(]1,0 C ． [)0,1- D ．[]1,1-第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 已知3>x ，那么函数331-+-=x x y 的最小值是； 14．向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b ；ab15.为得到函数的图象,要将函数的图象向右平移至少个单位。

广东省清远市英德第一中学高三数学理月考试卷含解析

广东省清远市英德第一中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位参考答案：D略2. 设集合，则( )A. B. C. D.参考答案：D略3. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A．B．C. D．参考答案：C【解析】∵由题意可得函数是以2为周期的周期函数且为偶函数，当x∈[0，1]时，f (x)=3x，∴f(－1)= f (1)=3，f (2)= f (0)=1，f (4)= f (0)=1，=，=，故选C. 4. 已知集合= （）A．{0,1} B．{-1,0} C．{-1,0,1} D．{-2,-1,0,1,2}参考答案：A5. 下列判断正确的是（）A．函数是奇函数； B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数参考答案：C6. 若非零向量，满足||=||，（2+）?=0，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】由题意，可先由条件|，（2+）?=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项【解答】解：由题意（2+）?=0∴2?+=0，即2||||cos＜，＞+=0又||=||∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π∴则与的夹角为120°故选C【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值7. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为正方形，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．参考答案：D8. 执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C 本程序为分段函数，当时，由得，，所以。

2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷

2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷一、选择题1. 若，则在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知全集，集合，，则( )A.）B.C.D.3. 已知，，，则，，的大小关系为( )A. B. C. D.4. “”是“直线与圆：相交”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 已知，，，则的最小值是（）A. B. C. D.6. “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”．若该多面体的棱长为，则其体积为( )A. B. C. D.7. 已知函数的定义域为，是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为( )A. B. C. D.8. 在平行四边形中，，若，则( ) A. B. C. D.二、多选题9. 若二项式的展开式中各项的二项式系数之和为，则（）A. B. C.第项为 D.第项为10. 已知函数，则( )A.图象的一条对称轴方程为B.图象的一个对称中心为C.将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移个单位长度，可得到的图象D.将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称11. 为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型拟合比较合适．令，得到，经计算发现，满足下表：则( )A. B. C. D.12. 双曲线的左、右焦点分别为，，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为．当的最小值为时，的中点在双曲线上，则( )A.的方程为B.的离心率为C.的渐近线方程为D.的方程为三、填空题13. 已知角终边上一点的坐标为，则________.14. 若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是________.15. 已知椭圆：的右焦点为，若点到直线的距离为，则的离心率为________.16. 在矩形中，，将沿向上折起到的位置，得到四面体当四面体的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为________.四、解答题17. 在①，②的面积为，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在中，角，，的对边分别为，，，________，且，的外接圆的半径为．求的周长．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．18. 某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成，，，，，共组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）．从甲班每天学习数学的平均时间在的人中随机选出人，求人中恰有人每天学习数学的平均时间在范围内的概率；从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于个小时的学生中随机抽取人进一步了解其他情况，设人中乙班学生的人数为，求的分布列和数学期望.19. 在四棱锥中，，，，，为的中点．证明：平面；若平面，且，求与平面所成角的正弦值．20. 已知数列满足，设数列的前项和为.求数列的通项公式；令求的前项和.21. 已知圆：，动圆与圆相外切，且与直线相切．求动圆圆心的轨迹的方程；已知点，，过点的直线与曲线交于两个不同的点，（与点不重合），直线，的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22. 已知函数.若只有一个极值点，求的取值范围；若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.参考答案与试题解析2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．【解答】解：∵，∴在复平面对应的点的坐标是，∴它对应的点在第四象限.故选.2.【答案】C【考点】对数函数的定义域一元二次不等式的解法交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为或，所以．因为，所以 .故选.3.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】暂无【解答】解：因为，，，所以.故选.4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：∵直线与圆：相交，∴圆心到直线的距离，解得：.∵，∴ “”是“直线与圆：相交”的充分不必要条件. 故选．5.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号．故选.6.【答案】D【考点】组合几何体的面积、体积问题【解析】暂无【解答】解：将该多面体放入正方体中，如图所示：因为多面体的棱长为，所以正方体的棱长为.该多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去个三棱锥所得的，所以该多面体的体积为.故选.7.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】暂无【解答】解：因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以.因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以等价于，解得.故选.8.【答案】B【考点】向量的模向量在几何中的应用【解析】暂无【解答】解：因为，所以四边形为菱形，即.因为，所以.故选. 二、多选题9.【答案】A,C【考点】二项式定理的应用二项展开式的特定项与特定系数【解析】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为，所以，所以因为二项式的展开式的通项公式为，所以【解答】解：因为二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为，所以，所以因为二项式的展开式的通项公式为，所以.故选.10.【答案】C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性【解析】暂无【解答】解：∵，令，，则对称轴为，，故错误；令，，则，，所以图象的对称中心为，，故错误；将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线的图象，再向下平移个单位长度得到曲线的图象，故正确；将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线方程为，其为偶函数，故正确．故选.11.【答案】A,B【考点】求解线性回归方程函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，，所以的中心点为，代入，得 .因为，所以，，即 .故选 .12.【答案】B,C,D【考点】双曲线的离心率双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】利用双曲线的定义及焦点到渐近线的距离得，再将的中点代入双曲线得解. 【解答】解：因为，所以，因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值，，不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为，将其代入双曲线方程得：，即，解得，又因为，，所以，故双曲线的方程为，故错误，正确；离心率为，故正确；渐近线方程为，故正确.故选.三、填空题13.【答案】【考点】任意角的三角函数【解析】因为所以.【解答】解：因为，，所以.故答案为：.14.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】因为，所以，所以．因为．所以单调递减上单调递增，故函数的最小值是 . 【解答】解：因为，所以，，所以．因为，所以在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值是 .故答案为：.15.【答案】【考点】椭圆的离心率【解析】由题意可知，，得．因为，所以，故 .【解答】解：由题意，得，解得．又因为，所以，所以 .故答案为：.16.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：如图，当平面平面时，四面体的体积最大．过作于，则平面．因为，所以因为，所以或它的补角为异面直线与所成的角．因为，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.四、解答题17.【答案】解：因为，所以.因为，所以.因为，所以.因为，所以，，因为外接圆的半径为，所以.选择①，因为，所以.因为，，所以.因为，所以，所以的周长为.选择②，因为的面积为，所以.因为，所以.因为，由，可得，即，所以，所以的周长为.选择③，因为，所以，即. 因为，，所以，因为，所以，即.因为，所以.因为，所以，即.因为，，所以，，所以的周长为．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】暂无【解答】解：因为，所以.因为，所以.因为，所以.因为，所以，，因为外接圆的半径为，所以.选择①，因为，所以.因为，，所以.因为，所以，所以的周长为.选择②，因为的面积为，所以.因为，所以.因为，由，可得，即，所以，所以的周长为.选择③，因为，所以，即.因为，，所以，因为，所以，即.因为，所以.因为，所以，即.因为，，所以，，所以的周长为．18.【答案】解：因为乙班学生的总人数为，所以甲班中学习平均时间在内的人数为，甲班中学习平均时间在内的人数为．设“人中恰有人学习数学的平均时间在范围内”为事件，则．甲班学习数学平均时间在区间的人数为．由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间的人数为，所以两班中学习数学的平均时间不小于小时的同学共人，的所有可能取值为，，，，，，，，所以的分布列为：所以．【考点】频率分布直方图古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】暂无．暂无．【解答】解：因为乙班学生的总人数为，所以甲班中学习平均时间在内的人数为，甲班中学习平均时间在内的人数为．设“人中恰有人学习数学的平均时间在范围内”为事件，则．甲班学习数学平均时间在区间的人数为．由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间的人数为，所以两班中学习数学的平均时间不小于小时的同学共人，的所有可能取值为，，，，，，，，所以的分布列为：19.【答案】证明：设的中点为，连接，．因为为的中点，所以，且．因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．解：因为，，，且，所以．如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行的判定【解析】暂无．暂无．【解答】证明：设的中点为，连接，．因为为的中点，所以，且．因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．解：因为，，，且，所以．如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为．20.【答案】解：令，设数列的前项和为，则．当时，，则；当时，．所以数列是常数列，即，故．因为，所以．所以当时，；当时，．因为当时，也符合上式，所以，所以，所以.【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列的求和【解析】暂无．暂无．【解答】解：令，设数列的前项和为，则．当时，，则；当时，．所以数列是常数列，即，故．因为，所以．所以当时，；当时，．因为当时，也符合上式，所以，所以，所以.21.【答案】解：设到直线的距离为.∵，∴到直线的距离等于到的距离.由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，∴轨迹的方程为.设直线的方程为，即.∵，与点不重合，∴ .设直线，的斜率分别为和，，点，，联立消去，得，则，，由，解得或，且.因为，同理可得，所以，所以直线，的斜率之和为定值．【考点】直线与圆的位置关系抛物线的定义轨迹方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】暂无暂无【解答】解：设到直线的距离为.∵，∴到直线的距离等于到的距离.由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，∴轨迹的方程为.设直线的方程为，即.∵，与点不重合，∴ .设直线，的斜率分别为和，，点，，联立消去，得，则，，由，解得或，且.因为，同理可得，所以，所以直线，的斜率之和为定值．22.【答案】解：．令，则.令，要使函数只有一个极值点，则需满足即．证明：因为，所以．因为存在两个极值点，所以解得：．设，则．要证，即证，只需证，即，即．设，则，．因为，所以，所以，即，故在上单调递减，所以．又因为，所以，即，从而得证．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值【解析】暂无．暂无．【解答】解：．令，则.令，要使函数只有一个极值点，则需满足即．证明：因为，所以．因为存在两个极值点，所以解得：．设，则．要证，即证，只需证，即，即．设，则，．因为，所以，所以，即，故在上单调递减，所以．又因为，所以，即，从而得证．。

2020-2021学年广东省清远市某校高三(上)10月月考数学试卷有答案

2020-2021学年广东省清远市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x ∣log 2x <1}，集合B ={x ∣−1≤x ≤1}，则A ∩B =( ) A.[−1,1] B.[−1,2) C.(0,1] D.(−∞,2)2. 命题“∀x ∈(0,+∞)，sin x ≥x +1x ”的否定是( )A.∀x ∈(0,+∞) ，sin x <x +1xB.∃x ∈(0,+∞) ，sin x ≥x +1xC.∃x ∈(0,+∞)， sin x <x +1x D.∃x ∈(−∞,0]，sin x <x +1x3. 设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x −2|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用"<”和">”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a >b >0，则下列结论错误的是（） A.1a<1bB.log 2(a −b )>0C.a 12>b 12D.3a >3b5. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天）的Logistic 模型：I (t )=K 1+e −0.23(t−50) ，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为(参考数据ln 19≈3)( ) A.60 B.62 C.66 D.636. 若cos (α+β)=35，sin (β−π4)=513，α，β∈(0,π2)，则cos (α+π4)=( ) A.−3365 B.3365C.5665D.−16657. 已知f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)，其部分图象如图所示，则f(x)的解析式为()A.f(x)=3sin(12x+π6) B.f(x)=3sin(12x−5π6)C.f(x)=3sin(12x+5π6) D.f(x)=3sin(12x−π6)8. 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=−e x+1．记a=−2f(−2)，b=f(1)，c=3f(3)，则a，b，c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b二、多选题已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是()A.若ab≠0且a<b，则1a >1bB.若0<a<1，则a2<aC.若a>b>0，则b+1a+1>baD.若c<b<a且ac<0，则bc2<ac2已知曲线C1:y=cos x，C2:y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是( )A.把曲线C1向左平移π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线C2B.把曲线C1向左平移π3个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C2C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C2D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2在△ABC中，已知b cos C+c cos B=2b，且1tan A +1tan B=1sin C，则()A.a，b，c成等比数列B.sin A:sin B:sin C=2:1:√2C.若a=4，则S△ABC=√7D.A，B，C成等差数列已知函数f(x)=x ln x，若0<x1<x2，则下列选项正确的是（）A.f(x1)−f(x2)x1−x2<0B.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.x2f(x1)<x1f(x2)D.当x2>x1>1e时，x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)三、填空题幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m的图象关于y轴对称，则实数m=________.已知正实数x，y满足x+y=1，则1x+1+4y+2的最小值=________.已知α∈(−π2,π2)，且2cos2α+15sinα+2=0，则tanα=________.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知sin A+sin B=54sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c=________，cos C=________.四、解答题从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答①b sin A=√3a cos B②(a+ c+b)(a+c−b)=3ac③2cos B(a cos C+c cos A)=b；在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足条件________.(1)求角B的大小；(2)若a=4，S△ABC=6√3，求b的值．(注：第一问多种选择作答按照第一种选择解答判分)设p：实数x满足x2−2ax−3a2<0,(a<0),q:2≤x<4.(1)若a=1，且p,q都为真命题，求x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x.(1)若α是第二象限角，且sinα=√6，求f(α)的值；3]时，求函数f(x)的值域．(2)当x∈[0,π2已知函数f(x)=2√3sin x cos x+2sin2x−1．(1)求函数f(x)的单调递增区间；,c=2，求(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=2,C=π4△ABC的面积．已知函数f(x)=x3+ax2−x在x=1处取得极小值．(1)求实数a的值，并求函数f(x)的单调区间；(2)求曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．设函数f(x)=ln(x+a)+x2.(1)若当x=−1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln e．2参考答案与试题解析2020-2021学年广东省清远市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】指、对数不等式的解法交集及其运算【解析】化简集合A，再求交集即可.【解答】x<1}={x∣0<x<2}，解：∵A={x∣log2又B={x∣−1≤x≤1}，∴A∩B={x∣0<x≤1}.故选C.2.【答案】C【考点】全称命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，”的否定是：则命题“∀x∈(0,+∞)，sin x≥x+1x∃x∈(0,+∞)，sin x<x+1.x故选C.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由“|x−2|<1”得“1<x<3” .因为“1<x<2”能推出“ 1<x<3”，“1<x<3”推不出“1<x<2”，所以“1<x<2”是“|x−2|<1”的充分而不必要条件．4.【答案】 B【考点】不等式的基本性质【解析】由不等式的基本性质逐个进行计算. 【解答】解：∵ a >b >0，∴ 1a<1b ，a 12>b 12，3a >3b ，故ACD 正确；若a =0.5，b =0.1，则a −b <1，则log 2(a −b)<0，故B 不正确. 故选B . 5.【答案】 D【考点】函数模型的选择与应用指数式与对数式的互化【解析】由题意，K1+e −0.23(t ∗−50)=0.95K ，求解即可.【解答】解：由题意，K1+e −0.23(t∗−50)=0.95K ，整理得1+e −0.23(t ∗−50)=10.95，即e −0.23(t∗−50)=119，两边同时取对数得0.23(t ∗−50)=ln 19，则由ln 19≈3，可求得t ∗≈63. 故选D . 6.【答案】 C【考点】两角和与差的余弦公式同角三角函数间的基本关系【解析】利用同角三角函数基本关系得到sin (α+β)=45，cos (β−π4)=1213，再利用cos (α+π4)=cos [(α+β)−(β−π4)]即可得到答案.解：由题意，α，β∈(0,π2)，则由cos (α+β)=35，可知0<α+β<π2， ∴ sin (α+β)=45，由sin (β−π4)=513可知0<β−π4<π4， ∴ cos (β−π4)=1213，∴ cos (α+π4)=cos [(α+β)−(β−π4)]=35×1213+45×513=5665. 故选C . 7.【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π)的部分图象可得A =3， ∵ 2πω=13π3−π3，∴ ω=12．再根据五点法作图可得 12⋅π3+φ=0， ∴ φ=−π6，∴ f(x)=3sin (12x −π6). 故选D . 8. 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f (x )为R 内的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=−e x +1. 令g (x )=xf (x )，则g (x )为偶函数，且当x ≥0时，g(x)为减函数，则a =−2f (−2)=g (−2)=g (2)，b =f(1)=−f (−1)=g (−1)=g (1)，c =3f (3)=g (3)，故c <a <b . 故选D .二、多选题【答案】 B,C,D 【考点】不等式的基本性质命题的真假判断与应用不等式比较两数大小【解析】利用不等式的性质，逐一对四个选项进行判断. 【解答】解：A ，若a <0<b ，则1a <1b ，故A 错误；B ，若0<a <1，则a(a −1)<0，从而有a 2−a <0，故B 正确；C ，若a >b >0，则有ab +a >ab +b >0，不等式两边同除以a(a +1)，则可得到b+1a+1>ba ，故C 正确；D ，若c <b <a ，且ac <0，则a >0，c <0，于是由c 2>0，b <a ，可得到bc 2<ac 2，故D 正确. 故选BCD . 【答案】 A,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换诱导公式【解析】由题意利用诱导公式、y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据曲线C 1:y = cos x =sin (x +π2)，把曲线C 1向左平移π6个单位长度得到y =sin (x +π6+π2)=sin (x +2π3)，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到C 2:y =sin (2x +2π3)，故A 正确;把曲线C 1向左平移π3个单位长度得到y =sin (x +π3+π2)=sin (x +5π6)，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y =sin (12x +5π6)，故B 错误；把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）得到y =sin (2x +π2)，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度得到y=sin(2x+π3+π2)=sin(2x+5π6)，故C错误；把y=sin(2x+π2)向左平移π12个单位长度得到C2：y=sin(2x+π6+π2)=sin(2x+2π3)，故D正确.故选AD.【答案】B,C【考点】三角形的面积公式等比数列等差数列余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】由b cos C+c cos B=2b，利用余弦定理可得整理得a=2b，而由1tan A +1tan B=1sin C整理得sin Csin A sin B=1sin C，由正弦定理可得c2=ab，故可以判断A、D；直接由正弦定理可以判断B；若a=4，则可求得b=2，c=2√2，cos C=34，所以由同角三角函数关系可求得sin C=√74，利用面积公式即可计算判断C；【解答】解：由题意，b cos C+c cos B=2b，则由余弦定理可得b 2+a2−c22+c2+a2−b22=2ab，整理得a=2b，而由1tan A +1tan B=1sin C可得,cos A sin A +cos Bsin B=1sin C，整理得sin Csin A sin B =1sin C，即sin2C=sin A sin B，于是由正弦定理可得c2=ab，则由a=2b可求得c=√2b，从而a,b,c不成等比数列，故A错误；A，B，C不成等差数列，故D错误；而sin A:sin B:sin C=a:b:c=2:1:√2，故B正确；若a=4，则可求得b=2，c=2√2，cos C=34，所以由同角三角函数关系可求得sin C=√74，计算可知S △ABC =12×4×2×√74=√7，故C 正确；综上，正确的选项是BC . 故选BC . 【答案】 C,D【考点】利用导数证明不等式利用导数研究函数的单调性【解析】求导，利用函数的单调性进行逐一分析求解即可. 【解答】解：∵ f ′(x )=ln x +1，∴ 当x ∈(0,1e )时，f ′(x )<0，f (x )在(0,1e )上单调递减，当x ∈(1e,+∞) f ′(x )>0，f (x )在(1e,+∞)上单调速增.对于A ，由于函数f(x)在(0,+∞)上不是单调函数，故f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0不恒成立，故A 错误；对于B ，令g (x )=f (x )+x =x ln x +x ， g ′(x )=ln x +2，x ∈(e −2，+∞)时，g ′(x )>0 ，g (x )单调递增， x ∈(0,e −2)时，g ′(x )<0 ，g (x )单调递减，∴ x 1+f (x 1)与x 2+f (x 2)无法比较大小，故B 错误；对于C ，令ℎ(x )=f (x )x=ln x ，则ℎ(x)在(0,+∞)上函数单调递增， ∵ x 2>x 1>0， ∴ ℎ(x 2)>ℎ(x 1)，∴ x 2⋅f (x 1)<x 1⋅f (x 2)，故C 正确；对于D ，∵ 当x 2>x 1>1e 时，ln x >−1时，f ′(x )=ln x +1>0， ∴ f (x )单调递增，∴ x 1⋅f (x 1)+x 2⋅f (x 2)−[x 2f (x 1)+x 1f (x 2)] =x 1[f (x 1)−f (x 2)]+x 2[(x 2)−f (x 1)] =(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0，∴ 当x 2>x 1>1e 时， x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 2f (x 1)+x 1f (x 2)，故D 正确．故选CD . 三、填空题【答案】 2【考点】幂函数的性质【解析】利用幂函数的定义得到m 2−3m +3=1，由图象关于y 轴对称，可知函数为偶函数，可知m 为偶数，求解即可.【解答】解：∵幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m的图象关于y轴对称，∴m2−3m+3=1且m为偶数，∴m=2.故答案为：2.【答案】94【考点】基本不等式在最值问题中的应用基本不等式【解析】利用基本不等式直接求解即可.【解答】解：∵x>0，y>0，x+y=1，∴1x+1+4y+2=14[(x+1)+(y+2)](1x+1+4y+2)=14[5+y+2x+1+4(x+1)y+2]≥14(5+2√y+2x+1⋅4(x+1)y+2)=94，当且仅当y+2x+1=4(x+1)y+2，即x=13，y=23时等号成立，∴1x+1+4y+2的最小值为94.故答案为：94. 【答案】−√15 15【考点】二倍角的余弦公式三角函数的化简求值同角三角函数基本关系的运用【解析】先利用二倍角的余弦公式求出sinα=−14，再利用同角三角函数基本关系求出cosα和tanα.【解答】解：∵2cos2α+15sinα+2=0，∴2(1−2sin2α)+15sinα+2=0，解得sin α=−14或4(舍去)，又sin 2α+cos 2α=1，α∈(−π2,π2)，∴ cos α=√1−sin 2α=√154， ∴ tan α=sin αcos α=−14√154=−√1515. 故答案为：−√1515. 【答案】 4,−14 【考点】余弦定理正弦定理【解析】直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．【解答】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，已知sin A +sin B =54sin C ，则：a +b =5c 4，且△ABC 的周长为9，则：c +5c 4=9，解得：c =4．若△ABC 的面积等于3sin C ，则：12ab sin C =3sin C ，整理得：ab =6．由于：a +b =5c 4=5，故：{a +b =5，ab =6，解得：{a =2，b =3 或{a =3，b =2，所以：cos C =a 2+b 2−c 22ab =−14．故答案为：4；−14. 四、解答题【答案】解：(1)选条件①b sin A =√3a cos B ，由正弦定理边化角可得：sin B sin A=√3sin A cos B，由于sin A≠0，所以sin B=√3cos B，即tan B=√3，又B∈(0,π)，所以B=π3；选条件②(a+c+b)(a+c−b)=3ac，所以(a+c)2−b2=3ac，即a2+c2−b2=ac，由余弦定理：cos B=a 2+c2−b22ac=ac2ac=12，又B∈(0,π)，所以B=π3；选条件③2cos B(a cos C+c cos A)=b，由正弦定理边化角得：2cos B(sin A cos C+sin C cos A)=sin B，即2cos B sin(A+C)=sin B，由于sin(A+C)=sin(π−B)=sin B，所以2cos B sin B=sin B，又sin B≠0，所以2cos B=1，即cos B=12，又B∈(0,π)，所以B=π3.(2)由(1)知：B=π3，又S△ABC=12ac sin B=12×4×c×√32=√3c=6√3，所以c=6，由余弦定理得：b2=a2+c2−2ac cos B=16+36−2×4×6×12=28，解得b=2√7.【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值三角形的面积公式【解析】(1)分别利用正余弦定理，三角恒等变换，即可求出.(2)利用面积公式，求得c，再利用余弦定理求得b.【解答】解：(1)选条件①b sin A=√3a cos B，由正弦定理边化角可得：sin B sin A=√3sin A cos B，由于sin A≠0，所以sin B=√3cos B，即tan B=√3，又B∈(0,π)，所以B=π3；选条件②(a+c+b)(a+c−b)=3ac，所以(a+c)2−b2=3ac，即a2+c2−b2=ac，由余弦定理：cos B=a 2+c2−b22ac=ac2ac=12，又B∈(0,π)，所以B=π3；选条件③2cos B(a cos C+c cos A)=b，由正弦定理边化角得：2cos B(sin A cos C+sin C cos A)=sin B，即2cos B sin(A+C)=sin B，由于sin(A+C)=sin(π−B)=sin B，所以2cos B sin B=sin B，又sin B≠0，所以2cos B=1，即cos B=12，又B∈(0,π)，所以B=π3.(2)由(1)知：B=π3，又S△ABC=12ac sin B=12×4×c×√32=√3c=6√3，所以c=6，由余弦定理得：b2=a2+c2−2ac cos B=16+36−2×4×6×12=28，解得b=2√7.【答案】解：(1)若a=1，则x2−2ax−3a2<0可化为x2−2x−3<0，得−1<x<3．若q为真命题，则2≤x<4．∴p，q都为真命题时，x的取值范围是{x|2≤x<3}．(2)由x2−2ax−3a2<0（a>0），得−a<x<3a．∵ q：2≤x<4，q是p的充分不必要条件，∴{x|2≤x<4}⊆{x|−a<x<3a},则{−a<2,a>0,3a≥4,得a≥43，∴实数a的取值范围是{a|a≥43}．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题命题的真假判断与应用一元二次不等式的解法【解析】无无【解答】解：(1)若a=1，则x2−2ax−3a2<0可化为x2−2x−3<0，得−1<x<3．若q为真命题，则2≤x<4．∴p，q都为真命题时，x的取值范围是{x|2≤x<3}．(2)由x2−2ax−3a2<0（a>0），得−a<x<3a．∵ q：2≤x<4，q是p的充分不必要条件，∴{x|2≤x<4}⊆{x|−a<x<3a},则{−a<2,a>0,3a≥4,得a≥43，∴实数a的取值范围是{a|a≥43}．【答案】解：(1)α是第二象限角，且sinα=√63，所以cosα=−√33，所以f(α)=13−√3×√63×√33=1−√63．(2)f(x)=cos2x+√3sin x cos x=1+cos2x2+√32sin2x=sin(2x+π6)+12，由x∈[0,π2]可知2x+π6∈[π6,7π6]，所以−12≤sin(2x+π6)≤1，所以f(x)∈[0,32]．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的定义域和值域同角三角函数间的基本关系【解析】无无【解答】解：(1)α是第二象限角，且sinα=√63，所以cosα=−√33，所以f(α)=13−√3×√63×√33=1−√63．(2)f(x)=cos2x+√3sin x cos x=1+cos2x2+√32sin2x=sin(2x+π6)+12，由x∈[0,π2]可知2x+π6∈[π6,7π6]，所以−12≤sin(2x+π6)≤1，所以f(x)∈[0,32]．【答案】解：(1)∵f(x)=2√3sin x cos x+2sin2x−1 =√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为：[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z．(2)∵f(A)=2sin(2A−π6)=2，∴sin(2A−π6)=1，∵A∈(0, π)，2A−π6∈(−π6, 11π6)，∴2A−π6=π2，解得A=π3，∵C=π4，c=2，∴由正弦定理asin A =csin C，可得a=c⋅sin Asin C =2×√32√22=√6，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A，可得6=b2+4−2×b×2×12，解得b=1+√3，b=1−√3（舍去），∴S△ABC=12ab sin C=12×√6×(1+√3)×√22=3+√32．【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理正弦函数的单调性【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)＝2sin(2x−π6)，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（2）由题意可得sin(2A−π6)＝1，结合范围2A−π6∈(−π6, 11π6)，可求A的值，由正弦定理可得a，由余弦定理b，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：(1)∵f(x)=2√3sin x cos x+2sin2x−1=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为：[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z．(2)∵f(A)=2sin(2A−π6)=2，∴sin(2A−π6)=1，∵A∈(0, π)，2A−π6∈(−π6, 11π6)，∴2A−π6=π2，解得A=π3，∵C=π4，c=2，∴由正弦定理asin A =csin C，可得a=c⋅sin Asin C =2×√32√22=√6，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A，可得6=b2+4−2×b×2×12，解得b=1+√3，b=1−√3（舍去），∴S△ABC=12ab sin C=12×√6×(1+√3)×√22=3+√32．【答案】解：(1)f ′(x)=3x 2+2ax −1，因为函数f(x)在x =1取得极小值，由f ′(1)=0可得3+2a −1=0，解得a =−1，经检验，x =1是函数f(x)的极小值点，所以a =−1，当a =−1时，f ′(x)=3x 2−2x −1=(3x +1)(x −1)，由f ′(x)>0，解得x <−13或x >1，由f ′(x)<0，解得−13<x <1，所以f(x)的单调递增区间是(−∞,−13)，(1,+∞)，单调递减区间是(−13,1)．(2)由(1)知f(x)=x 3−x 2−x ，所以f(−1)=−1，由f ′(x)=3x 2−2x −1在点(−1,−1)处的切线的斜率k =f ′(−1)=4，所以切线的方程为y −(−1)=4[x −(−1)]，即4x −y +3=0，令x =0，可得y =3，令y =0可得x =−34 ，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S =12×3×34=98 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】解：（1）f ′(x)=3x 2+2ax −1，因为函数f(x)在x =1取得极小值，由f ′(1)=0可得3+2a −1=0，解得a =−1，经检验，x =1是函数f(x)的极小值点，所以a =−1，当a =−1时，f ′(x)=3x 2−2x −1=(3x +1)(x −1)，由f ′(x)＞0，解得x <13或x ＞1，由f ′(x)＜0，解得−13＜x ＜1，所以f(x)的单调递增区间是(−∞,−13)，(1,+∞)，单调递减区间是(−13,1)．【解答】解：(1)f ′(x)=3x 2+2ax −1，因为函数f(x)在x =1取得极小值，由f ′(1)=0可得3+2a −1=0，解得a =−1，经检验，x =1是函数f(x)的极小值点，所以a =−1，当a =−1时，f ′(x)=3x 2−2x −1=(3x +1)(x −1)，由f ′(x)>0，解得x <−13或x >1，由f ′(x)<0，解得−13<x <1，所以f(x)的单调递增区间是(−∞,−13)，(1,+∞)，单调递减区间是(−13,1)．(2)由(1)知f(x)=x 3−x 2−x ，所以f(−1)=−1，由f ′(x)=3x 2−2x −1在点(−1,−1)处的切线的斜率k =f ′(−1)=4，所以切线的方程为y −(−1)=4[x −(−1)]，即4x −y +3=0，令x =0，可得y =3，令y =0可得x =−34 ，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S =12×3×34=98 . 【答案】解：(1)f′(x)=1x+a +2x ，依题意有f ′(−1)=0，故a =32．从而f′(x)=2x 2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32．f(x)的定义域为(−32，+∞)，当−32<x <−1时，f ′(x)>0；当−1<x <−12时，f ′(x)<0；当x >−12时，f ′(x)>0，从而，f(x)分别在区间(−32，−1)，(−12,+∞)上单调递增，在区间(−1,−12)上单调递减．(2)f(x)的定义域为(−a, +∞)，f′(x)=2x 2+2ax+1x+a．方程2x 2+2ax +1=0的判别式Δ=4a 2−8．①若Δ<0，即−√2<a <√2，在f(x)的定义域内f ′(x)>0，故f(x)无极值． ②若Δ=0，则a =√2或a =−√2．若a =√2，x ∈(−√2，+∞)，f′(x)=√2x+1)2x+√2．当x =−√22时，f ′(x)=0，当x ∈(−√2,−√22)∪(−√22,+∞)时，f ′(x)>0，所以f(x)无极值．若a =−√2，x ∈(√2，+∞)，f′(x)=√2x−1)2x−√2>0，f(x)也无极值．③若Δ>0，即a >√2或a <−√2，则2x 2+2ax +1=0有两个不同的实根x 1=−a−√a 2−22，x 2=−a+√a 2−22．当a <−√2时，x 1<−a ，x 2<−a ，从而f ′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值．当a >√2时，x 1>−a ，x 2>−a ，f ′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知f(x)在x =x 1，x =x 2取得极值．综上，f(x)存在极值时，a 的取值范围为(√2，+∞)．由于x 1+x 2=−a ，x 1x 2=12，则f(x)的极值之和为f(x 1)+f(x 2)=ln (x 1+a)+x 12+ln (x 2+a)+x 22=ln 12+a 2−1>1−ln 2=ln e2．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】（1）先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′(−1)=0，代入可求a ，代入a 的值，分别解f′(x)>0，f′(x)<0，求解即可．（2）由题意可得在区间(−a, +∞)上，f′(x)=0有根，结合一元二次方程根的存在情况讨论该方程的△=4a 2−8，求a 的取值范围，结合a 的取值，把极值点代入函数f(x)可得，f(x 1)+f(x 2)=ln 12+a 2−1>1+ln 12=ln e2【解答】解：(1)f′(x)=1x+a +2x ，依题意有f ′(−1)=0，故a =32．从而f′(x)=2x 2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32．f(x)的定义域为(−32，+∞)，当−32<x <−1时，f ′(x)>0；当−1<x <−12时，f ′(x)<0；当x >−12时，f ′(x)>0，从而，f(x)分别在区间(−32，−1)，(−12,+∞)上单调递增，在区间(−1,−12)上单调递减．(2)f(x)的定义域为(−a, +∞)，f′(x)=2x 2+2ax+1x+a．方程2x 2+2ax +1=0的判别式Δ=4a 2−8．①若Δ<0，即−√2<a <√2，在f(x)的定义域内f ′(x)>0，故f(x)无极值． ②若Δ=0，则a =√2或a =−√2．若a =√2，x ∈(−√2，+∞)，f′(x)=√2x+1)2x+√2．当x =−√22时，f ′(x)=0，当x ∈(−√2,−√22)∪(−√22,+∞)时，f ′(x)>0，所以f(x)无极值．若a =−√2，x ∈(√2，+∞)，f′(x)=√2x−1)2x−√2>0，f(x)也无极值．试卷第21页，总21页 ③若Δ>0，即a >√2或a <−√2，则2x 2+2ax +1=0有两个不同的实根x 1=−a−√a 2−22，x 2=−a+√a 2−22．当a <−√2时，x 1<−a ，x 2<−a ，从而f ′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值．当a >√2时，x 1>−a ，x 2>−a ，f ′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知f(x)在x =x 1，x =x 2取得极值．综上，f(x)存在极值时，a 的取值范围为(√2，+∞)．由于x 1+x 2=−a ，x 1x 2=12，则f(x)的极值之和为f(x 1)+f(x 2)=ln (x 1+a)+x 12+ln (x 2+a)+x 22=ln 12+a 2−1>1−ln 2=ln e 2．。

广东省四校联考2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题及参考答案

2023~2024学年度第一学期四校联考（一）
数学试卷
说明：本试卷共4页，22道题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得0 分.
12. 已知函数())1(>=a a x f x ，()()()x f x f x g −−=，若21x x ≠，则（）
质，也了解到在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具。

（本小题满分分）
2023~2024学年第一学期四校联考（一）参考答案
【详解】。

2020-2021学年广东省清远市清城中学高三数学理模拟试题含解析

2020-2021学年广东省清远市清城中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C. D．(1,2)参考答案：C2. 已知关于x的方程的两根分别为，则的取值范围是A． B． C．D．参考答案：B3. 设,若,则的最大值为（）（A）（B）2 （C）（D）3参考答案：B 4. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由题意：第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第四次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,故选A.考点：合情推理.【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点,属于中档题. 本题易错的地方:没有读懂题意,题目中“第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值”的等于，那第二次第三次第四次都是用这个公式计算的.在2016年高考考纲中增加了“数学文化”.考查了学生的读题和计算能力,属于基础题.5. 若定义在上的函数满足对任意，都有，则下列说法一定正确的是（）A．是奇函数 B．是偶函数C．是奇函数 D．是偶函数参考答案：B∵，∴∴6. 复数（）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：，故选D.考点：复数的运算7. 已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．参考答案：B略8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.参考答案：B9. 集合，则=A. B. C. D.参考答案：10. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为()A．4+ 。

广东省清远市2021届上学期高三年级摸底考试(11月)数学试卷

广东省清远市2021届上学期高三年级摸底考试（11月）数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

本卷命题范围：集合与常用逻辑用语；函数、导数及应用；三角函数、解三角形；平面向量、复数；数列。

第I 卷(选择题共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1.已知集合M ＝{x|x>2}，N ＝{x|3x 2－8x<0}，则(RM)∩N ＝( )A{x|2<x<83} B.{x|x ≤2} C.{x|0<x<83} D.{x|0<x ≤2} 2.已知复数z 1＝1＋i ，z 1·z ＝1＋2i ，则z 2＝( ) A.－1－i B.－i C.1－2i D.32＋12i 3.若sin α＝－35，α是第三象限角，则1tan21tan 2αα-+＝( ) A.－2 B.2 C.－83 D.834.已知命题p ：α，β为任意角，若sinα＝sinβ，则α＝β；命题q ：函数f(x)＝sinix 是周期函数，下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∧(⌝q)C.(⌝p)∧qD.(⌝p)∧(⌝q) 5.某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是N ＝ae －bx；其中a ，b 都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a 个减少到2a 个时所经历的时间为t 1，由2a 个减少到4a个时所经历的时间为t 2，则12t t ＝( ) A.2 B.1 C.ln2 D.e 6.菱形ABCD 中，∠BAD ＝3π，E 为CD 的中点，|BD |＝2，则AE AB ⋅的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.87.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝2，则(sin 2A ＋sin 2B)c ＋4sin 2A ＝4(sin 2B ＋sin 2C)，则a ＝( )A.4B.1C.2D.38.已知定义在R 上的函数f(x)满足f'(x)>－1，则不等式f(2x)＋x ＋1>f(x －1)的解集为( )A.(－∞，－1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，1)D.(1，＋∞)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷

2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷一、选择题1. 若集合A ={x |−2<x ≤2} ,B ={x |−1≤x <3}，则A ∪B =( ) A.(−2,2] B.(−2,3) C.[−2,3） D.(−1,2]2. 已知复数z =5i2−i +5i ，则|z|=( ) A.3√2 B.√5 C.2√5 D.5√23. 已知a =e −13，b =ln 13，c =log 1e13，则a ，b ，c 的大小关系( )A.a <c <bB.a <b <cC.b <a <cD.c <b <a4. 《周髀算经》中一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为( ) A.12.5尺 B.15.5尺 C.10.5尺 D.9.5尺5. 2020年初，我国突发新冠肺炎疫情，面对“突发灾难”，举国上下齐心，在以习近平同志为核心的党中央的领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．在此疫情期间，为分担“逆行者”的后顾之忧，某教育机构团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线免费辅导功课．现教育机构安排了3位经验丰富的老师对小王、小李、小刘、小陈4名学生进行功课辅导，假设每位老师至少辅导一位学生，且每名学生至多一名老师辅导，则不同的分配方案共有( ) A.36种 B.12种 C.72种 D.24种6. 已知曲线f (x )=ln x +ax 在点(1,f(1))处的切线与直线y =x +1垂直，则a 的值为( )A.1B.−2C.2D.07. 点P 是双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与圆C 2:x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为C 1的左右焦点，则C 1的离心率为( ) A.√3+1 B.√3+12C.√5−1D.√5+128. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，∀x ∈R ，都有f(2−x)=f(2+x)，且当x ∈[0, 2]时，f(x)=2x −2，若函数g(x)=f(x)−log a (x +1)(a >0，a ≠1)在区间(−1, 9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是( )A.(19,1)∪(1, √3) B.(0, 19)∪(√7, +∞) C.(19, 15)∪(√3, √7) D.(17, 13)∪(√5, 3) 二、多选题5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出做出预测．由图提供的的信息可知( )A.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势B.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位C.运营商的经济产出逐年增加D.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓将函数f (x )=3sin (2x −π3)的图像向左平移π3个单位长度后得到y =g (x )的图像，则下列说法正确的是( ) A.函数g (x )的图像的对称轴为直线x =kπ+π6(k ∈Z ) B.函数g (x )为奇函数C.函数g (x )的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k ∈Z ) D.函数g (x )的最小正周期为π已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，直线的斜率为√3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AF|=8，则以下结论正确的是( ) A.|BF|=4B.|BD|=2|BF|C.p =4D.DF →=FA →已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=e x (x +1)，则下列说法正确的是( )A.f (x )>0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)B.当x >0时，f (x )=e x (1−x )C.∀x 1,x 2∈R ，都有|f (x 1)−f (x 2)|<2D.函数 f (x ) 有2个零点三、填空题已知向量a →=(2,1)，b →=(3,4)，c →=(k,2)，若(3a →−b →) // c →，则实数k =________.已知 f (x )={4x +1, x ≥1,12f (x +1), x <1，则f(log 43)=________.在(1−1x )(1+x )5的展开式中，x 2项的系数为________(用数字作答)．已知三棱锥A −BCD 中，二面角A −BC −D 的大小为120∘，AB =AC =BC =CD =BD =2，且A ，B ，C ，D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________. 四、解答题在①m →=(a +b,c −a )，n →=(a −b,c )，且m →⊥n →，②2a −c =2b cos C ，③sin (B +π6)=cos B +12这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (1)求角B ；(2)若b =4，求△ABC 周长的最大值．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，2S 2=a 2+a 3． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2n−1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ．目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．(1)求这500名患者潜伏期的平均数（同组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格， (i)请将表格补充完整：(ii)研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做Ⅰ期临床试验，再从选取的7人中随机抽取三人做Ⅰ期临床试验，设三人中所含“短潜伏者”的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．如图，△ABC ，△ACD ，△ABE 均为正三角形，AB =2，AB 中点为O ，将△ABE 沿AB 翻折，使得点E 折到点P 的位置．(1)证明：CD ⊥平面POC ；(2)当PC =√6时，求二面角B −PC −D 的余弦值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4√3，A(√3, −√132)是椭圆上一点．(1)求椭圆方程；(2)若G为椭圆C上异于顶点的任意一点，M，N分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线GM与y轴交于点P，直线GN与x轴交于点Q，求证：|PN|⋅|QM|为定值．已知函数f(x)=x2−2x+a ln x(a∈R)(1)当a=−4时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)，不等式f(x1)≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复根的务复于技数触序的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】指数表、对烧式守综合员较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】分步乘正且数原理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】利用导于研究轨函数成点有近的问题利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率双曲三定定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系函数于析式偏速站及常用方法函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦函因的周激性函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换正弦函射的单调长正弦函明的政偶性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质抛物三刺应用抛物常的铝义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性函数零都问判定定理函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻平面向明的推标运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二项正开形的来定恰与特定系数二项式射理的应题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球内较多面绕二面角的使面角及爱法球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表擦正弦公式两角和与验流余弦公式基本常等式簧最母问赤中的应用余于视理正因归理数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和等比数使的前n种和等比数表的弹项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】概较害应用众数、中正数、平均测频率都着直方图离散来随机兴苯的期钱与方差离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用空根冬条求才面间的夹角直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆锥来线中雨配点缺定值问题直线常椭圆至合业侧值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用都数资究不长式化成立问题利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2020-2021学年广东省清远市某校高三(上)9月月考数学试卷有答案 (2)

2020-2021学年广东省清远市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={x ∈N |x 2−4x ≤0}，集合B ={x|x 2+2x +a =0}，A ∪B ={0,1,2,3,4,−3}，则A ∩B 等于( )A.{1,−3}B.{1}C.{−3}D.⌀2. 已知向量a →=(λ, −2)，b →=(1+λ, 1)，则“λ=1”是“a →⊥b →”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知命题q:∀x ∈R ，x 2>0，则( )A.命题¬q:∀x ∈R ，x 2≤0为假命题B.命题¬q:∀x ∈R ，x 2≤0为真命题C.命题¬q:∃x ∈R ，x 2≤0为假命题D.命题¬q:∃x ∈R ，x 2≤0为真命题4. 已知函数f(x)=ln (x +√1+x 2)，则不等式f(x −1)+f(x)>0的解集是( )A.{x|x >2}B.{x|x <1}C.{x|x >12}D.{x|x >0}5. 已知函数 f (x )={(12)x , x ≥2,f (x +1), x <2，则函数f(log 23)的值为( ) A.3B.13C.6D.166. 若函数f(x)=(k −1)a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=log a (x +k)的图象是图中的( ) A. B.C.D.7. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0，ln x,x >0，g(x)=f(x)+x +a ，若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)8. 已知函数f(x)=x +e x−a ，g(x)=ln (x +2)−4e a−x ，其中e 为自然对数的底数．若存在实数x 0，使f(x 0)−g(x 0)=3成立，则实数a 的值为( )A.−1−ln 2B.ln 2−1C.−ln 2D.ln 2 二、多选题“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是( )A.月跑步里程逐月增加B.月跑步里程最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为6月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，其中正确的结论为( )A.直线AM与C1C是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线MN与AC所成的角为60∘已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线x2a +y22=1的离心率为( )A.√5B.√33C.√102D.√3对于函数f(x)=ln xx，下列说法正确的有( )A.f(x)在x=e处取得极大值1eB.f(x)有两个不同的零点C.f(π)<f(3)<f(2)D.若f(x)<k−1x在(0, +∞)上恒成立，则k>1三、填空题若x，y满足约束条件{x−y+1≤0,x−2y≤0,x+2y−2≤0则z=x+y的最大值是________.曲线y=ln x上的点到直线x−y+1=0的最短距离是________.二项式(√x+2x2)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=________．四、解答题在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)(sin A −sin B)=c(sin C −sin B)．(1)求A ；(2)若a =4，求△ABC 面积S 的最大值．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =43(a n −1)，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n =log 2a n ，记数列{1(b n −1)(b n +1)}的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列与数学期望．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v （米/单位时间），每单位时间的用氧量为(v10)3+1（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为v 2（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）．(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省清远市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】交集及其运算并集及其运算【解析】由并集定义得−3∈B ，从而a =−3，进而B ={x|x 2+2x −3=0}={−3, 1}，由此能求出A ∩B ．【解答】解：集合A ={x ∈N |x 2−4x ≤0}={x ∈N |0≤x ≤4}={0,1,2,3,4}，又A ∪B ={0, 1, 2, 3, 4, −3}，∴ −3∈B ，∴ (−3)2+2×(−3)+a =0，解得a =−3，∴ B ={x|x 2+2x −3=0}={−3,1}，∴ A ∩B ={1}．故选B .2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】解：向量a →=(λ, −2)，b →=(1+λ, 1)，若λ=1，则a →=(1, −2)，b →=(2, 1)，此时1×2−2×1=0，向量a →与向量b →垂直；若向量a →与向量b →垂直，则λ(1+λ)−2=0，即λ2+λ−2=0，解得：λ=−2或λ=1．∴ “λ=1”是“a →⊥b →”的充分不必要条件．故选A .3.【答案】D【考点】命题的否定【解析】本题考查全称命题的否定．【解答】解：命题q:∀x∈R，x2>0的否定是：¬q:∃x∈R，x2≤0，为真命题．故选D．4.【答案】C【考点】其他不等式的解法函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵函数f(x)=ln(x+√1+x2)，∴f(−x)=ln(−x+√1+x2)=x+√1+x2=−ln(x+√1+x2)=−f(x)，∴f(x)为奇函数，∵f(x−1)+f(x)>0，∴f(x−1)>−f(x)=f(−x)，又f(x)为增函数，∴x−1>−x，解得x>12.故选C.5.【答案】D【考点】分段函数的应用对数的运算性质函数的求值【解析】【解答】解：∵log24=2，∴log23<2，∴f(log23)=f(log23+1)=f(log 26).又log 26>2，∴ f(log 26)=(12)log 26=2−log 26=16. 故选D ．6.【答案】A【考点】对数函数的图象与性质奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k 的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：∵ 函数f(x)=(k −1)a x −a −x (a >0且a ≠1)在R 上是奇函数，∴ f(0)=0，∴ (k −1)−1=0，∴ k =2，∴ f(x)=a x −a −x .又∵ f(x)在R 上为减函数，∴ 0<a <1，∴ g(x)=log a (x +2)在(−2,+∞)上为减函数且过点(−1,0).故选A .7.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由g(x)=0得f(x)=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由g(x)=0得f(x)=−x −a ，作出函数f(x)和y =−x −a 的图象如图：当直线y=−x−a的截距−a≤1，即a≥−1时，f(x)和y=−x−a的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[−1, +∞).故选C．8.【答案】A【考点】函数与方程的综合运用利用导数研究函数的单调性基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)−g(x)=x+e x−a−ln(x+2)+4e a−x．令y=x−ln(x+2)(x>−2)，则y′=1−1x+2=x+1x+2，故y=x−ln(x+2)在(−2,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，所以当x=−1时，该函数有最小值为−1−0=−1．又因为e x−a+4e a−x≥4，当且仅当e x−a=4e a−x，即x=a+ln2时，等号成立，所以f(x)−g(x)≥3，要使f(x0)−g(x0)=3，需满足x0=a+ln2=−1，即a=−1−ln2．故选A．二、多选题【答案】B,D【考点】众数、中位数、平均数频率分布折线图、密度曲线【解析】【解答】解：在A中，2月跑步里程比1月的小，7月跑步里程比6月的小，10月跑步里程比9月的小，故A错误；在B中，月跑步里程最大的为9月，故B正确；在C中，月跑步平均里程的月份从高到低依次为：9月，10月，11月，6月，5月，8月，1月，⋯，2月，8月恰好在中间位置，故其中位数为8月份对应的里程数，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选BD．【答案】C,D【考点】异面直线的判定异面直线及其所成的角【解析】在A中，直线AM与C1C是异面直线；在B中，直线AM与BN是异面直线；在C中，直线BN与MB1是异面直线；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN与AC所成的角为60∘．【解答】解：如图，A，∵直线CC1⊂在平面CC1D1D上，而点M在平面CC1D1D内，且不在直线CC1上，点A不在平面CC1D1D内，∴直线AM与直线CC1异面.故选项错误；B，取D1D的中点F，连结AF，可得AF//BN，又AF与AM相交，∴直线AM与BN不平行.故选项错误；C，取CD的中点G，连结BG，可得BG//MB1，又BG与BN相交，∴直线MB1与BN是异面直线.故选项正确；D，连结CD1，AD1，可得MN // CD1，则∠ACD1为直线MN与AC所成的角，易知△ACD1为等边三角形，即直线MN与AC所成的角为60∘.故选项正确．故选CD.【答案】B,C【考点】双曲线的标准方程椭圆的标准方程等比数列的性质【解析】由已知求得a值，然后分类讨论求得圆锥曲线x 2a +y22=1的离心率．【解答】解：∵三个数1，a，9成等比数列，∴a2=9，则a=±3．当a=3时，曲线方程为x 23+y22=1，表示椭圆，则长半轴长为√3，半焦距为1，离心率为√33；当a=−3时，曲线方程为y 22−x23=1，表示双曲线，实半轴长为√2，半焦距为√5，离心率为√52=√102．故选BC．【答案】A,D【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：A，f(x)的导函数为f′(x)=(ln x)′x−x′ln xx2=1−ln xx2，∴f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴f(x)在x=e处有极大值为f(e)=ln ee =1e.故选项正确；B，令f(x)=ln xx=0，得x=1，即f(x)只有一个零点. 故选项错误；C，∵f(2)=ln22=2ln24=ln44=f(4)，且函数f(x)在(e,+∞)上单调递减，∴f(3)>f(π)>f(4)，∴f(3)>f(π)>f(2) .故选项错误；D，若f(x)<k−1x在(0, +∞)上恒成立，则k>ln x+1x.设g(x)=ln x+1x，则g′(x)=−ln xx2，则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(1)=1，∴k>1成立.故选项正确.故选AD.三、填空题【答案】1【考点】求线性目标函数的最值【解析】【解答】解：作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分（含边界）所示，直线z=x+y过点C(0,1)时，z=x+y取最大值为1．故答案为：1．【答案】√2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设M(x0,ln x0)为曲线y=ln x上的任意一点，由题意得，曲线y的导函数为y′=1，x=1，令1x0得x0=1，则曲线y=ln x上与直线x−y+1=0平行的切线的切点坐标为M(1,0)，=√2.所以M点到直线x−y+1=0的距离d=√12+(−1)2故答案为：√2．【答案】180【考点】二项式系数的性质【解析】)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，可得n=10．再利用通项公式即由(√x+2x2可得出．【解答】)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，解：∵(√x+2x2∴n=10．∴(√x+2)10的通项公式为：x2C10r(√x)10−r(2)r=2r C10r x5−5r2，x2=0，令5−5r2解得：r=2．∴展开式的常数项为：22C102=180．故答案为：180．【答案】32【考点】抛物线的性质与抛物线有关的中点弦及弦长问题直线的点斜式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设A(x A,y A)，B(x B,y B)，点A在第一象限，则|AF|=x A+1=3，所以x A=2，则y A=2√2，=2√2，则直线AB的斜率为k=2√22−1则直线AB的方程为y=2√2(x−1).与抛物线方程联立整理得2x2−5x+2=0，所以x A+x B=52，所以x B=12，所以|BF|=x B+p2=12+1=32.故答案为：32.四、解答题【答案】解：∵(a+b)(sin A−sin B)=c(sin C−sin B)，∴根据正弦定理得：(a+b)(a−b)=c(c−b)，即a2−b2=c2−bc，∴b2+c2−a2=bc.根据余弦定理得：cos A=b2+c2−a22bc，∴cos A=bc2bc =12，即cos A=12.由于0<A<π，∴A=π3．(2)由(1)得：a2=b2+c2−bc，由于a2≥2bc−bc=bc，即bc≤16，∴△ABC面积S=12bc sinπ3=√34bc≤4√3，当且仅当b=c=4时等号成立，故△ABC面积S的最大值为4√3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知根据正弦定理得a2−b2=c2−bc，利用余弦定理可求cos A的值，结合范围0<A<π，可求A的值．（2）根据余弦定理及基本不等式可求bc≤16，进而利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵(a+b)(sin A−sin B)=c(sin C−sin B)，∴根据正弦定理得：(a+b)(a−b)=c(c−b)，即a2−b2=c2−bc，∴b2+c2−a2=bc.根据余弦定理得：cos A=b2+c2−a22bc，∴cos A=bc2bc =12，即cos A=12.由于0<A<π，∴A=π3．(2)由(1)得：a2=b2+c2−bc，由于a2≥2bc−bc=bc，即bc≤16，∴△ABC面积S=12bc sinπ3=√34bc≤4√3，当且仅当b=c=4时等号成立，故△ABC面积S的最大值为4√3．【答案】(1)解：由题意得，S n=43(a n−1)①，当n=1时，a1=S1=43(a1−1)，解得a1=4.当n≥2时，S n−1=43(a n−1−1)②，①−②得，a n=43(a n−1)−43(a n−1−1)，整理得a n=4a n−1，则数列{a n}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n=4×4n−1=4n(n∈N∗).(2)证明：由(1)得b n=log2a n=log24n=2n，则1(b n+1)(b n−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，可得前n项和为T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)，易知数列{T n}为递增数列，所以T1≤T n<12，即13≤T n<12．【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】（I ）运用数列的递推式，求得首项，再由n ≥2时，a n ＝S n −S n−1，结合等比数列定义和通项公式可得所求；(II)由(I)有b n =log 2a n =log 24n =2n ，求得1(b n +1)(b n −1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，再由数列的求和：裂项相消求和，化简整理，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证．【解答】(1)解：由题意得，S n =43(a n −1)①，当n =1时，a 1=S 1=43(a 1−1)，解得a 1=4. 当n ≥2时，S n−1=43(a n−1−1)②，①−②得，a n =43(a n −1)−43(a n−1−1)，整理得a n =4a n−1，则数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以a n =4×4n−1=4n (n ∈N ∗).(2)证明：由(1)得b n =log 2a n =log 24n =2n ，则1(b n +1)(b n −1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，可得前n 项和为T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)，易知数列{T n }为递增数列，所以T 1≤T n <12，即13≤T n <12．【答案】解：(1)因为K 2=120×(15×40−35×30)245×75×50×70≈2.057，且2.057<2.706，所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关. (2)用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是645=215，则抽取女生为30×215=4（人），抽取男生为15×215=2（人）. 因此X 的可能取值为0，1，2，则P(X =0)=C 42C 62=25，P(X =1)=C 41C 21C 62=815，P(X =2)=C 22C 62=115.所以X 的分布列为：数学期望EX =0×25+1×815+2×115=23．【考点】离散型随机变量及其分布列独立性检验古典概型及其概率计算公式分层抽样方法【解析】(Ⅰ)根据公式计算K 2，对照数表即可得出概率结论；(Ⅱ)用分层抽样法求出抽取的男、女生数，由题意知X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望EX ．【解答】解：(1)因为K 2=120×(15×40−35×30)245×75×50×70≈2.057，且2.057<2.706，所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关. (2)用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是645=215，则抽取女生为30×215=4（人），抽取男生为15×215=2（人）.因此X 的可能取值为0，1，2，则P(X =0)=C 42C 62=25，P(X =1)=C 41C 21C 62=815，P(X =2)=C 22C 62=115.所以X 的分布列为：数学期望EX =0×25+1×815+2×115=23．【答案】解：(1)由题意，下潜用时60v（单位时间），用氧量为[(v 10)3+1]×60v=3v 250+60v（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时60v2=120v（单位时间），用氧量为120v×1.5=180v（升）， ∴ 总用氧量y =3v 250+240v+9(v >0)． (2)y′=6v 50−240v 2=3(v 3−2000)25v 2，令y ′=0得v =10√23，在0<v <10√23时，y ′<0，函数单调递减，在v >10√23时，y ′>0，函数单调递增，∴ 当c <10√23时，函数在(0,10√23)上递减，在(10√23，15)上递增，∴ 此时v =10√23时用氧量最少．当c ≥10√23时，[c, 15]上递增，此时v =c 时，总用氧量最少．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性函数模型的选择与应用【解析】（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；（2）利用基本不等式可得v =10√23，时取等号，再结合c ≤v ≤15(c >0)，即可求得确定下潜速度v ，使总的用氧量最少．【解答】解：(1)由题意，下潜用时60v （单位时间），用氧量为[(v 10)3+1]×60v=3v 250+60v（升），水底作业时的用氧量为10×0.9=9（升），返回水面用时60v2=120v（单位时间），用氧量为120v×1.5=180v（升）， ∴ 总用氧量y =3v 250+240v+9(v >0)． (2)y ′=6v50−240v 2=3(v 3−2000)25v 2，令y ′=0得v =10√23，在0<v <10√23时，y ′<0，函数单调递减，在v >10√23时，y ′>0，函数单调递增，∴ 当c <10√23时，函数在(0,10√23)上递减，在(10√23，15)上递增，∴此时v=10√23时用氧量最少．3时，函数在[c, 15]上递增，此时v=c时，总用氧量最少．当c≥10√2。

2021年广东省清远市英德第一中学高三数学理联考试题含解析

2021年广东省清远市英德第一中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．2. 对于定义在R上的奇函数A．0 B．—1 C．3 D．2参考答案：A3. 已知f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈(0,1)时，（）A. B. C.D.参考答案：B4. 在正中，，向量，则以B，C为焦点，且过D，E的双曲线离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D略5. 关于函数，看下面四个结论( )①f（x）是奇函数；②当x＞2007时，恒成立；③f（x）的最大值是；④f（x）的最小值是．其中正确结论的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意：依次分析命题：①运用f（﹣x）和f（x）关系，判定函数的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④运用sin2x=进行转化，然后利用cos2x和（）|x|，求函数f（x）的最值，综合可得答案．【解答】解：y=f（x）的定义域为x∈R，且f（﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2007，sin21000π=0，且（）1000π＞0∴f（1000π）=﹣（）1000π＜，因此结论②错．对于结论③，f（x）=﹣（）|x|+=1﹣cos2x﹣（）|x|，﹣1≤cos2x≤1，∴﹣≤1﹣cos2x≤，（）|x|＞0故1﹣cos2x﹣（）|x|＜，即结论③错．对于结论④，cos2x，（）|x|在x=0时同时取得最大值，所以f（x）=1﹣cos2x﹣（）|x|在x=0时可取得最小值﹣，即结论④是正确的．故选：A．【点评】本题涉及到函数奇偶性的判断，同时还涉及到三角函数、指数函数的范围问题，此题考查了函数奇偶性的判断及借助不等式知识对函数值域范围进行判断．6. 设命题p：?x∈[0，+∞），e x≥1，则￢p是（）A．?x0?[0，+∞），＜1 B．?x?[0，+∞），e x＜1C．?x0∈[0，+∞），＜1 D．?x∈[0，+∞），e x＜1参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，可以求出￢p．【解答】解：因为命题p是全称命题，所以利用全称命题的否定是特称命题可得：￢p：?x0∈[0，+∞），．故选：C7. 在等比数列中，若，则 ( ) A． B．3 C ． D ．9参考答案：B略8. 设是公差为正数的等差数列，若等于（）A．120 B．105 C．90 D．75参考答案：B9. 已知a、b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，+∞）D．[1，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数构造函数，判断函数的单调性即可．【解答】解：函数的导数为y′==1，x=1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y=x﹣a，得a+b=1，∵a、b为正实数，∴a∈（0，1），则=，令g（a）=，则g′（a）=，则函数g（a）为增函数，∴∈（0，）．故选：A10. 函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（）A．B．C．D．参考答案：C考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：将函数y解析式第一项利用诱导公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可得出y的最大值．解答：解：y=sin（x+）+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∵﹣1≤sin（x+θ）≤1，∴函数y的最大值为．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 给出下列命题:①“若,则有实根”的逆否命题为真命题;②命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是;③命题“,使得”的否定是真命题; ④命题:函数为偶函数;命题:函数在上为增函数,则为真命题.其中正确命题的序号是__________参考答案：①③12. 已知是常数，，且，则．参考答案：313. 已知为正六边形，若向量，则▲；▲（用坐标表示）．参考答案：【知识点】单元综合F4由=2则= +2=8-2 2 2 （- ）=12，则2，由2=（2，-2）。

2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷

2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷一、选择题1. 设集合A ={1,3,5,7}，B ={x|2≤x ≤5}，则A ∩B =( ) A.{1,7} B.{5,7} C.{1,3} D.{3,5}2. 设 f (x )={x +1,(x >0)，π,(x =0)，0,(x <0)，则f{f[f(−2)]}=（）A.πB.−1C.π+1D.03. 已知条件p:x >1或x <−3，条件q:x >a ，且q 是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（） A.[1,+∞) B.(−∞,1) C.(−∞, −3] D.[−3, +∞)4. 已知a =2log 52，b =21.1，c =(12)−0.8，则a ,b ,c 的大小关系是（） A.c <b <a B.a <c <b C.b <c <a D.a <b <c5. 函数f (x )=ln |x|x的图象可能是（ )A.B.C.D.6. 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A.y =14x 3−x B.y =14x 3+12x 2−2x C.y =12x 3−12x 2−xD.y =12x 3+12x 2−3x7. 奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +2)为偶函数，且f (1)=1，则f (24)+f (25)=（） A.1 B.−2C.0D.−18. 某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：∘C ）满足函数关系y =e kx+b （e =2.718…为自然对数的底数，k ,b 为常数）．若该食品在0∘C 的保鲜时间是192小时，在22∘C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33∘C 的保鲜时间是( )A.20小时B.16小时C.28小时D.24小时二、多选题下列说法正确的是（）A.y=2x−12x是奇函数且在R上为增函数B.y=sin x+2x是奇函数C.y=x2+sin x既不是奇函数，也不是偶函数D.y=|x−1|在(0,+∞)上为增函数设a<b<0，则下列不等式中成立的是（）A.|a|>−bB.1a <1bC.√−a>√−bD.1a−b>1a下列说法正确的是（）A.函数f(x)=ln x+x2−10的零点所在的区间为(2,3)B.命题“∃x∈R，使得x2+2x+3<0“的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3>0”C.f(x)=x−sin x，既是奇函数又在R上是增函数D."a>1"是”f(x)=log a x(a>0,a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件设a为非零实数，则关于函数f(x)=x2+a|x|+1，x∈R的以下性质中，正确的是()A.区间[0, +∞)一定是f(x)的单调递增区间B.函数f(x)一定是个偶函数C.函数f(x)不可能有三个零点D.函数f(x)一定没有最大值三、填空题已知幂函数y=(m2−5m−5)x2m+1在(0, +∞)上为减函数，则实数m=________．若2x+4y=4，则x+2y的最大值是________．已知2a=3b=k(k≠1)且1a +2b=1，则实数k=________.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=76000vv2+18v+20l．(1)如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l=5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．四、解答题设全集为R，A={x|2<x≤5}，B={x|3<x<8}，C={x|a−1<x<2a}．(1)求A∩B及∁R(A∩B)；(2)在①(A∩B)∩C=⌀，②C⊆B，③C⊇A，这三个条件中任选一个作为本题条件，求实数a的取值范围．已知二次函数f(x)=ax2+bx+a满足条件f(74+x)=f(74−x)，且方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根．(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式m>f(x)在[1,2]有解，求实数m能取的最小整数．设函数f(x)=xe a−x+bx，曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e−1)x+4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义域为(−1, 1)上的奇函数，且a>0．(1)用定义证明：函数f(x)在(−1, 1)上是增函数；(2)若实数t满足f(2t−1)+f(t−1)<0，求实数t的范围．已知不等式x2−5ax+b>0的解集为{x|x>4或x<1}.(1)求实数a，b的值；(2)若0<x<1，f(x)=ax+b1−x，求f(x)的最小值．已知函数f(x)=x4+ax−ln x−32，其中a∈R．(1)若曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线垂直于直线y=12x，求a的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间.参考答案与试题解析2020-2021学年广东清远高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】指数表、对烧式守综合员较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程导数来几何德义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】抽象函表及声应用函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】指数函表的声际应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】函数奇三性的判刺函较绕肠由的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式于较两姆大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性必要条水表综分条近与充要条件的判断命正算否定函数零都问判定定理函数奇三性的判刺【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域函根的盖调道及年调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质指数式与表镜式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本不常式室其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】集合体系拉的参污取油问题交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利来恰切研费函数的极值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数单验家的性质函较绕肠由的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基来雨等式一元二次正等式的解且【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

广东省清远市2021届高三上学期11月摸底数学试题

清远市2021届高三级摸底考试数学2020.11考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．. 3. 本卷命题范围：集合与常用逻辑用语；函数、导数及应用；三角函数、解三角形；平面向量、复数；数列.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知集合{}2M x x =>，{}2380N x x x =-<，则()R C M N =（）A. 823x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. {}2x x ≤C. 803x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. {}02x x <≤2. 已知复数11z i =+，1212z z i ⋅=+，则2z =（） A. 1i --B. i -C. 12i -D.3122i + 3. 若3sin 5α=-，α是第三象限角，则1tan21tan 2αα-=+（） A. -2B. 2C. 83-D.834. 已知命题p ：α，β为任意角，若sin sin αβ=，则αβ=；命题q ：函数()sin f x x =是周期函数，下列命题为真命题的是（） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝∧⌝5. 某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是bt N ae -=，其中a ，b 都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a 个减少到2a 个时所经历的时间为1t ，由2a 个减少到4a个时所经历的时间为2t ，则12t t =（）A. 2B. 1C. ln 2D. e6. 菱形ABCD 中，3BAD π∠=，E 为CD 的中点，2BD =，则AE AB ⋅的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 87. 已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则()()222224sin 4s s in s n i i si nn A B c A B C =+++，则a =（）A. 4B. 1C. 2D. 38. 已知定义在R 上的函数()f x 满足'()1f x >-，则不等式()()211f x x f x ++>-的解集为（） A. (),1-∞-B. ()1,-+∞C. (),1-∞D. ()1,+∞二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9. 如图是函数()y f x =的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A. ()f x 在[]2,1--上是增函数B. 当3x =时，()f x 取得最小值C. 当1x =-时，()f x 取得极小值D. ()f x 在[]1,2-上是增函数，在[]2,4上是减函数10. 若“m a >”是“函数11()23xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 的取值可以是（） A. 0B. -1C. -2D. -311. 已知函数()4sin 214f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A. ()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 将函数()f x 图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移6π个单位后关于y 轴对称D. 函数()f x 在,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为1- 12. 已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（）A. 17B. 18C. 19D. 20第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若a ，b 满足40a b =≠，1cos ,3a b =-，()234a a b ⋅-=，则b =________.14. 若数列{}n a 满足11a =，1162n n n a a ++=+，则数列{}n a 的通项公式n a =________.15. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()4f x f x =-；当[)0,1x ∈时，()21xF x =-，则12log 21f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为_________. 16. 函数2(1),0(),0x x x f x e x -⎧+<=⎨≥⎩，若存在(),,a b c a b c <<，使得()()()f a f b f c ==，则(1)b ca b ++的最小值是________.四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且234n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知12()22xx b f x ++=+是定义在R 上的奇函数.（1）求b 的值；（2）若()()2110f a f a -+-<，求实数a 的取值范围.19. 已知平面内三个向量：()1,2a =，()3,1b =，()4,3c =-. （1）若c ma nb =+，求m ，n 的值；（2）若1d =，且()0d a b ⋅+=，求d ；（3）若()()//d c b a --，且25d c -=，求d . 20. 已知函数()()2sin 0,0,2f x x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B -，又()f x 的图象向左平移π个单位之后与原图象重合，且在3,34ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调.（1）求()f x 的解析式；（2）当122,,33x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且12x x ≠时，若有()()12f x f x =，求()12f x x +. 21. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin sin sin B C aA C b c+=--. （1）求tan B ；（2）若ABC △是锐角三角形，且ABC △的面积为c 的取值范围. 22. 已知函数()()2ln f x x a x a =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()1212,x x x x <是2()()g x f x x ax =++的两个极值点，证明：()21g x x >.清远市2021届高三级摸底考试·数学参考答案、提示及评分细则一、单项选择题1. D {}2R C M x x =≤，803N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以(){}02R C M N x x =<≤，故选D.2. D 因为11z i =+，1212z z i ⋅=+，所以212(12)(1)311222i i i z i i ++-===++，故选D. 3. A1tancos sin 2221tancossin222αααααα--=++311sin 524cos 5αα+-===--，故选A.4. C 由题意知p 为假命题，q 为真命题，所以p q ⌝∧为真命题，故选C.5. B 当0t =时N a =，若2a N =，则12bt e -=，所以1ln ln 22bt -==-，所以ln 2t b =，若4a N =，则14bt e -=，所以1ln 2ln 24bt -==-，2ln 2t b =，所以1ln 2t b =，22ln 2ln 2ln 2t b b b=-=，121t t =，故选B.6. C AE AD DE =+，()AE AB AD DE AB AD AB DE AB ⋅=+⋅=⋅+⋅12212142=⨯⨯+⨯⨯=.7. C 依题意，()()22222sin sin 4sin sin sin A B c B C A +=+-，故()()222224a b c b c a +=+-，故()()222228a b cb b c a +=+-，则2242a b +=，解得2a =，故选C.8. C 令()()g x f x x =+，有'()'()10g x f x =+>，得函数()g x 单调递增，又由不等式()()211g x x f x ++>-可化为()()()2211f x x f x x +>-+-，有()()21g x g x >-，得1x >-.故选B.二、多项选择题9. CD 根据图象知当()2,1x ∈--，()2,4x ∈时，'()0f x <，函数单调递减；当()1,2x ∈-，()4,x ∈+∞时，'()0f x >，函数单调递增.故A 错误，D 正确；故当1x =-时，()f x 取得极小值，C 正确；当3x =时，()f x 不是取得最小值，B 错误.故选CD.10. BCD ()203f m =+，∵函数()y f x =的图象不经过第三象限，∴203m +≥，即23m ≥-，则“m a >”是“23m ≥-”的必要不充分条件，∴23a <-，故a 可取-1，-2，-3.11. AB 22T ππ==，故最小正周期为π，A 正确；当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,422x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，而当,22x ππ⎡∈⎤-⎢⎥⎣⎦时，sin y x =单调递增，故B 正确；将函数()f x 图象的横坐标缩短为原来的一半，得到4sin 414y x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，再向左平移6π个单位，得到54sin 414sin 416412y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，不关于y 轴对称，故C 错误；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,044x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故[]()5,1f x ∈--，故D 错误，故选AB.12. BCD 依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，()221212121231k k k a a a --+=+=++，即()2121323k k a a +-+=+.又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以121423k k a --=⋅-，故()21321412324312k k k a a S a k k +--=+++=-=---奇，2242422k k a a a S k +=+++=--偶，故32285k k S S k S +==-+-奇偶，故121828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.故选BCD.三、填空题13. 3 依题意，()22232323cos ,a a b a ab a a b a b ⋅-=-=-⋅⋅2364b ==，解得13b =. 14. 11262n n --⨯- 设()11262n n n n a x a x +++⋅=+⋅，则1642nn n a a x +=+⋅，∴42x =，12x =，数列122n n a ⎧⎫+⋅⎨⎬⎩⎭是以2为首项，6为公比的等比数列，112262n n n a -+⋅=⨯，11262n n n a --=⨯-.15.516由()()4f x f x =-，得对称轴2x =，又函数()f x 是偶函数， ∴()()()4f x f x f x -==-，∴函数()f x 的周期为 4.又125log 214-<<-，∴1214log 210-<+<，即12211log 016-<<，∴11122222121log 214log 21log log 1616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221log 16221215log 211161616f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭.16. C 设()()()f a f b f c t ===，则21a -<<-，10b -<<，0c>，且2a b +=-，由()()21f b b t =+=，得1b+=由()cf c e t -==，得ln c t =-，所以(1)b ct a b +=+，设m =则01m <<，ln t m m =，设()ln g m m m =，则()'1ln g m m =+，所以()g m 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()11g m g e e ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭，故(1)b c a b ++的最小值是1e-.四、解答题17. 解：（1）当1n =时，111a S ==-；当2n ≥时，221343(1)4(1)67n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.故对任意*n N ∈，67n a n =-.（2）依题意，(67)2nn b n =-⋅，故1231252112(67)2n n T n =-⋅+⋅+⋅++-⋅， 234121252112(67)2n n T n +=-⋅+⋅+⋅++-⋅，两式相减可得，123162626262(67)214n n n T n +-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅-，化简可得，1(613)226n n T n +=-⋅+.18. 解：（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-对x R ∈恒成立.∴11222222x x x x b b--+++=-++对一切x R ∈恒成立.∴112122222x x x x b b++⋅+--=++对x R ∈恒成立. ∴1b =-.经检验，1b =-符合题意.（本题也可利用()00f =得0(0)210f b b =+=+=.）（2）由（1）知：1b =-，∴11211()22221x x x f x +-+==-++.任取12x x R ∈、，且12x x <，则()()12121111221221x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()1212221212x x x x -=++，∵12x x <，∴12022x x <<，∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <. ∴()f x 在R 上单调递增.由()f x 为奇函数，及()2(1)10f a f a -+-<得：()()22(1)11f a f a f a -<--=-，∴211a a -<-， ∴220a a +->， ∴2a <-或1a >，故a 的取值范围为2a <-或1a >.19. 解：（1）由题意可得4332m n m n -=+⎧⎨=+⎩，解得：135115m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）()4,3a b +=，∵d 与a b +垂直，∴可设()()3,43,4d λλλ=-=-， ∵1d =，∴15λ=±，34,55d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）()2,1b a -=-，∵()()//d c b a --，∴()()2,1d c b a λλ-=-=-. ∵25d c -==，解得2λ=±. ∴()()22,10,1d c =+-=或()()22,18,5d c =--=-. 20. 解：（1）由题意易得6πϕ=-，又2nT nππω==，得：2n ω=，*n N ∈，又因为原函数在3,34ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴31124322T ππππωω-≤=⨯=， ∴125ω≤，∴2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令262x k πππ-=+，可得对称轴为1()23x k k Z ππ=+∈，当1k =-时，2,23633x πππππ⎛⎫=-+=-∈- ⎪⎝⎭， ∴12263x x ππ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭， ()1222sin 336f x x f πππ⎛⎫⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52sin 16π=-=-.21. 解：（1）由sin sin sin sin B C a A C b c +=--，得b c aa cb c+=--，得()()()b c b c a a c +-=-，即222a c b ac +-=，在ABC △中，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，又0B π<<，所以3B π=，所以tan B =.（2）因为ABC △是锐角三角形，所以02022032A B C A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以62A ππ<<.因为11sin sin 223ABC S ac B ac π====△8ac =. 设ABC △的外接圆半径为R ，则24sin sin 8ac R A C ==，所以284sin sin R A C=，所以2222sin sin sin 34sin 888sin sin sin sin A C C c R C A C A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭====1cos sin 228sin A A A +=4tan A=+. 因为62A ππ<<，所以tan A >，所以10tan A<<，所以4416tan A <+<，所以2416c <<，所以24c <<.22.（1）解：易知()f x 的定义域为()0,+∞.2'(2)ax a x f xx +=+=. 当0a ≥时，'()0f x >，所以()f x 在()0,+∞上为单调递增函数；当0a <时，若20,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则'()0f x >，若2,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，则'()0f x <，所以()f x 在20,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上为单调递增函数，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为单调递减函数. （2）证明：22()()2ln ()g x f x x ax x x a =++=++，则()22122()'()x ax x x a g x x x++++==. 由题意可知，1x ，2x 是方程210x ax ++=的两根，所以12x x a +=-，121x x =，由10x >，20x >，12x x <，所以1201x x <<<，221a x x =--，要证()21g x x >，需证()211g x x >. ()()()22222222221212ln 2ln g x x g x x x x x a x x x x ==++=+，令1()2ln (1)h x x x x x =+>，则21'()2ln 20h x x x=+->，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11h x h >=.所以()211g x x >，故()21g x x >.。

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