概率论与数理统计-数学期望

在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了.

f (x )

x

o x P(x)o

然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

某型号电视机的平均寿命

18000小时±200小时

因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.

在这些数字特征中，最常用的是

期望和方差

我们先介绍随机变量的数学期望.

随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义来自习惯上的平均概念.

我们从离散型随机变量的数学期望开始.

一、离散型随机变量的数学期望

1、概念的引入：

某车间对工人的生产情况

进行考察. 车工小张每天生产

的废品数X是一个随机变量. 如

何定义X的平均值呢？

某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？

我们来看第一个问题.

若统计100天, 例1某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量. 如何定义X 的平均值呢？

32天没有出废品;

30天每天出一件废品;

17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;27.1100

213100172100301100320=⋅+⋅+⋅+⋅可以得到这100天中每天的平均废品数为

这个数能否作为

X 的平均值呢？

可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n 0天没有出废品;n 1天每天出一件废品;

n 2天每天出两件废品;

n 3天每天出三件废品.

n

n n n n n n n 32103210⋅+⋅+⋅+⋅可以得到n 天中每天的平均废品数为

(假定小张每天至多出三件废品) 一般来说,若统计n 天,

这是以频率为权的加权平均n n n n n n n n 32103210⋅+⋅+⋅+⋅由频率和概率的关系

不难想到，在求废品数X

的平均值时，用概率代替频率，得平均值为

3

2103210p p p p ⋅+⋅+⋅+⋅这是

以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值.

这样做是否合理呢？

不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:

2230

0031112200033

111有一个箱子，里面装有10个

大小，形状完全相同的球，

号码如图.规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验.

记X 为所取出的球的号码(对应废品数) . X 为随机变量，X 的概率函数为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2.02.03.03.03210~X 2230003111

n

n n n n n n n n M 32103210)(⋅+⋅+⋅+⋅=对试验次数(即天数)n ,及小张的生产情况进行统计，统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n 0,n 1,n 2,n 3 , 并计算

与3

2103210p p p p ⋅+⋅+⋅+⋅进行比较.2230

003111

则对X 作一系列观察(试验)，所得X 的试验值的平均值也是随机的.

由此引入离散型r.vX 的数学期望的定义如下: ∑∞=1k k

k p x

对于一个随机变量，若它可能取的值是X 1, X 2, …, 相应的概率为p 1, p 2,…,

但是，如果试验次数很大，出现X k 的频率会接近于p k ，于是可期望试验值的平均值接近

定义1设X 是离散型随机变量，它的概率函数是: P (X =X k )=p k , k =1,2,…

也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.

∑∞

==1)(k k

k p x X E ∑∞

=1||k k k p x 如果有限,定义X 的数学期望

例1某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.

解: 设试开次数为X,

P(X=k)= 1/n, k=1,2,…,n

E(X) ∑

=⋅

=

n

k

n

k

1

1

2

)

1(

1n

n

n

+

⋅

=

2

1

+

=

n

于是

二、连续型随机变量的数学期望

设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x ),在数轴上取很密的分点x 0<x 1<x 2< …,则X 落在小区间[x i , x i +1)的概率是

⎰+1

)(i i x x dx x f i

i x x f ∆=)(小区间[x i , x i+1)

阴影面积近似为i i x x f ∆)()

)((1i i i x x x f -≈+