概率论与数理统计-数学期望
概率论与数理统计 --- 第四章{随机变量的数字特征} 第一节：数学期望
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2
a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:
f ( xi )xi
x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论
绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )
xf X ( x )dx
yfY
( y )dy
xf ( x , y )dxdy,
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
概率论与数理统计复习4-5章
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
第一节 数学期望(概率论与数理统计)
x 5
E ( M ) xf M ( x)dx
0 5xe
137 60
x
(1 e
x 4
) dx
E ( M ) 13760 11 1 E( N ) 5
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长11倍之多.
例13 设X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y )) .
e
dy
y
xe
x2 2
dx
1
x2 2
e
dx x ye
y2 2
dy
1
e
x2
dx
1
其中 e dx
x2
称为 概率积分
( e dx )
x2 2
e
( x 2 y 2 )
X ,Y 相互独立，则
E (max{ X , Y })
E (min{ X , Y })
四、数学期望的性质
E (C ) = C E (aX ) = a E (X ) 常数
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E ai X i C ai E ( X i ) C i1 i1
由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 , 这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.
随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写
概率论与数理统计课件数学期望
则有
E( g( X )) g( xk ) pk .
k 1
例5，P94，6
2. 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的,它的分布密度为 f (x) , 则
E(g( X )) g( x) f ( x)d x.
例6：P94，10
例7 某公司计划开发一种新产品市场, 并试图 确定该产品的产量.他们估计出售一件产品可获 利 m 元,而积压一件产品导致n元的损失.再者,他
D( X ) D(Y ).
推广 若 X1, X2 ,, Xn 相互独立,则有
D( X1 X2 Xn ) D( X1) D( X2 ) D( Xn ).
(4) D( X ) 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即
P{X C} 1.
由此
E
(
X
i
)
1ห้องสมุดไป่ตู้
9 10
20
,
i 1,2,.
得 E( X ) E( X1 X2 X10)
E( X1) E( X2 ) E( X10)
101
9 20
10
8.784(次).
四、小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权 平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值.
k
k
E( X ) 5, 则 E(3X ) 3E( X ) 3 5 15.
3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有
E( X Y ) E( X ) E(Y ).
【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差
8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件
概率论与数理统计数学期望
X
x1 x2 x3
xn
P
p1 xk pk
p2
p3
pn
k 1
则称 xk pk 为离散型随机变量X的数学期望
k 1
（或均值），记作E（X），即
E( X ) xk pk k 1
例1 已知甲、乙两射手射击中靶概率的
分布如下：
甲得 分 X1
P
012 0 0.2 0.8
乙得 分X 2
P
012 0.6 0.3 0.1
试判定他们成绩的好坏。
例2 投两粒骰子，所得点数之和X是随机变量， 求X的数学期望。
3个常用的离散型随机变量的数学期望
1、（0-1）分布
X
0
1
P
q
p
其中 0 p 1, p q 1,则
E(X ) 0 q 1 p p
2、二项分布
pk P（X =k)=Ckn pkqnk (k=0,1,2, ,n)
n
n
E( X ) kpk kCnk pk qnk
k 0
k 0
*n
= nCnk11 pk qnk k 1
n
=np
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
k=1
=np(p+q)n-1 np
3、泊松分布
pk
P（X
=k)=
ke
k!
(k=0,1,2, ,n)
f (x)
0
x0
则
E(X ) + xf (x）dx= xexdx xd(ex )
-
0
0
=-xe-x
|0
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
概率论与数理统计-数学期望_图文
因每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, 所以，对第i 个盒子，一个球不落入这个盒子 内的概率为(1-1/M)。故N个球都不落入这个 盒子内的概率为(1-1/M)n ，即
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量 。如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现 ： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
这是以频率为 权的加权平均
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
这样，就得到一个确定的数
这是以概率为 权的加权平均
——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
解：设组织货源 t 吨。显然，应要求
2000≤t ≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X
的函数Y=g(X)。表达式为
由已知条件, 知X的概率密度函为
可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000
达到最大值 1.55×106。 因此，应组织3500吨货源。
概率论与数理统计-数学期望_图文.ppt
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
(完整word版)概率论与数理统计教案第四章(word文档良心出品)
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解随机变量方差的定义及方差的概率含义
熟悉方差的性质
掌握随机变量的方差计算公式
熟练常用随机变量的方差
教 学 基 本 内 容
一、基本概念:
1.方差和标准差的定义
设是一个随机变量,如果存在,则称
为随机变量 的方差。称方差 的算术平方根
为随机变量 的标准差。
二、方差的性质
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第四章第二节方差和标准差
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
方差的定义及求解,方差的性质
教学难点
方差的性质及其与期望性质的比较
参考教材
高教版、浙大版《概率论与梳理统计》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
2.变异系数
随机变量的数学期望, 方差存在, 那么称
为随机变量 的变异系数。
3. 连续型随机变量的分位数和中位数
设连续型随机变量的分布函数为, 密度函数为,, 则称为的分布的分位数。特别地, 当时, 称为中位数。
4、众数
当为离散型随机变量时, 假定的分布律为。如果存在实数, 使得。那么, 称为（或所服从的分布）的众数。
90
100
乙班分数
40
60
70
80
90
100
人数
2
9
18
9
2
人数
3
1
8
13
8
7
频率
频率
甲、乙两班概率统计的平均成绩是一样的,现选出一个班级参加比赛,应选哪个班级？
概率论与数理统计第四章数学期望
如果 | xk | pk 有限,定义X的数学期望
k 1
P(X=xk)=pk , k=1,2,…
E ( X ) xk pk
k 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个 绝对收敛的级数的和.
分赌本问题 A 期望所得的赌金即为 X 的数学期望
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利 润为
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手射中的环数分别为 X 1 , X 2 . 甲射手
击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环),
200
即为 X 的可能值与其概率之积的累加.
引例2 射击问题 设某射击手在同样的条件下, 瞄准靶子相继射击90次,(命中的 环数是一个随机变量).射中次数 记录如下 命中环数 k 0 1 2 3
命中次数 nk
2 13 15
4 20
5
10
30
2 13 15 nk 10 20 30 频率 90 90 90 n 90 90 90 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
1 3 200 0 4 4
50(元).
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局 B 胜1局 的前提下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
0 3 1 其概率分别为: 4 4 因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 3 1 200 0 150(元). 等于 4 4
概率论与数理统计第四章期末复习
概率论与数理统计第四章期末复习(一)随机变量的数学期望1.数学期望的定义定义1设离散随机变量X 的分布律为)()(i i i x X P x p p ===， ,2,1=i ．若+∞<∑+∞=1i i i p x ，则称∑+∞==1)(i i i p x X E 为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．定义2设连续随机变量X 的密度函数为)(x f ．若+∞<⎰∞+∞-x x f x d )(，则称xx xf X E d )()(⎰∞+∞-=为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．2.随机变量函数的数学期望定理1设随机变量Y 是随机变量X 的连续函数：)(X g Y =．设X 是离散型随机变量，其分布律为)(i i x X P p ==， ,2,1=i ，若∑+∞=1)(i i i p x g 绝对收敛，则有∑+∞===1)()]([)(i i i p x g X g E Y E ．设X 是连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，若⎰∞+∞-x x f x g d )()(绝对收敛，则有x x f x g X g E Y E d )()()]([)(⎰∞+∞-==．【例1】设随机变量X 的分布律为X 2-1-0123P1.02.025.02.015.01.0求随机变量X 的函数2X Y =的数学期望．【解】1.0315.022.0125.002.0)1(1.0)2()(222222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=Y E 3.2=．【例2】设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=，其他．；，001)(ππx x f X ，求X Y sin =的数学期望．【解】x x f x g X g E Y E d )()()]([)(⎰∞+∞-==πππ2d 1sin 0=⋅=⎰x x ．【例3】某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X (单位：吨)服从)500,300(上的均匀分布．每售出1吨该原料，公司可获利1.5(千元)；若积压1吨，则公司损失0.5(千元)．问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？【解】设该公司应该组织a 吨货源，则显然应该有500300≤≤a ．又记Y 为在a 吨货源条件下的收益额(单位：千元)，则收益额Y 为需求量X 的函数，即)(X g Y =．由题设条件知：当a X ≥时，此a 吨货源全部售出，共获利a 5.1．当a X <时，则售出X 吨(获利X 5.1)，且还有X a -吨积压(获利)(5.0X a --)，所以共获利a X X a X 5.02)(5.05.1-=--．由此知⎩⎨⎧<-≥=．，；，a X a X a X a X g 5.025.1)(则x x g x x f x g Y E X 2001)(d )()()(500300⎰⎰==∞+∞-]d 5.1d )5.02([2001500300x a x a x a a ⎰⎰+-=)300900(200122-+-=a a ．易知，当450=a 时，能使)(Y E 达到最大，即公司应该组织450吨货源．定理2设随机变量Z 是随机变量X ，Y 的连续函数：),(Y X g Z =．设),(Y X 是二维离散型随机变量，其联合分布律为),(j i ij y Y x X P p ===，,2,1,=j i ，若∑∑+∞=+∞=11),(i j ij j i p y x g 收敛，则有∑∑+∞=+∞===11),()],([)(i j ij j i p y x g Y X g E Z E ．设),(Y X 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为),(y x f ，若y x y x f y x g d d ),(),(⎰⎰∞+∞-∞+∞-收敛，则有y x y x f y x g Y X g E Z E d d ),(),()],([)(⎰⎰∞+∞-∞+∞-==．【例4】设随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．，，，，010102),(y x y x y x f 求)(X E ，)(XY E ．【解】⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(125d d )2(1010=--=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f xy XY E d d ),()(61d d )2(1010=--=⎰⎰y x y x xy ．3.数学期望的性质性质1若a 是常数，则a a E =)(．性质2对任意常数a ，有)()(X aE aX E =．性质3对任意的两个函数)(1x g 和)(2x g ，有)]([)]([)]()([2121X g E X g E X g X g E +=+．性质4设),(Y X 是二维随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+．推广到n 维随机变量场合，即)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ．性质5若随机变量X 与Y 相互独立，则有)()()(Y E X E XY E =．推广到n 维随机变量场合，即若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =．【例5】设随机变量X 与Y 相互独立，X ～)4,1(-N ，Y ～)2,1(N ，则=-)2(Y X E ．【解析】因为X ～)4,1(-N ，Y ～)2,1(N ，所以1)(-=X E ，1)(=Y E ，故3)(2)()2(-=-=-Y E X E Y X E ．(二)随机变量的方差1.方差的定义定义1设X 是一个随机变量，若})]({[2X E X E -存在，则称})]({[2X E X E -为X 的方差，记为)(X D ，即})]({[)(2X E X E X D -=．称方差的平方根)(X D 为随机变量X 的标准差，记为)(X σ或X σ．定理1(方差的计算公式)【例1】设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-+=其他．，；，；，0101011)(x x x x x f ，求)(X D ．【解】0d )1(d )1()(101=-++=⎰⎰-x x x x x x X E ，61d )1(d )1()(120122=-++=⎰⎰-x x x x x x X E ，所以61)]([)()(22=-=X E X E X D ．2.方差的性质性质1常数的方差为0，即0)(=c D ，其中c 是常数．性质2若a ，b 是常数，则)()(2X D a b aX D =+．性质3若随机变量X 与Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=±．推广到n 维随机变量场合，即若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=±±± ．【例2】已知2)(-=X E ，5)(2=X E ，求)31(X D -．【解】9})]([)({9)()3()31(222=-=-=-X E X E X D X D ．(三)常见随机变量的数学期望、方差1.两点分布X ～),1(p b p X E =)(，)1()(p p X D -=．2.二项分布X ～),(p n b np X E =)(，)1()(p np X D -=．3.泊松分布X ～)(λP λ=)(X E ，λ=)(X D ．4.均匀分布X ～),(b a U )(21)(b a X E +=，12)()(2a b X D -=．5.指数分布X ～)(λE λ1)(=X E ，21)(λ=X D ．6.正态分布X ～),(2σμN μ=)(X E ，2)(σ=X D ．【例1】设X ～),(p n b 且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则下列结论正确的是()A ．15=n ，4.0=pB ．20=n ，3.0=pC ．10=n ，6.0=p D ．12=n ，5.0=p 【解析】6)(==np X E ，6.3)1()(=-=p np X D ，解之得15=n ，4.0=p ．正确选项为A ．【例2】若X ～)5,2(N ，Y ～)1,3(N ，且X 与Y 相互独立，则=)(XY E ()A ．6B ．2C ．5D ．15【解析】因为X ～)5,2(N ，所以2)(=X E ，因为Y ～)1,3(N ，3)(=Y E ，故6)()()(==Y E X E XY E ，正确选项为A ．【例3】X 与Y 相互独立，X ～)2(P ，Y ～)1(E ，则=-)2(Y X D ．【解析】因为X ～)2(P ，所以2)(=X D ，因为Y ～)1(E ，所以1)(=Y D ，又因为随机变量X 与Y 相互独立，所以9)()1()(2)2(22=-+=-Y D X D Y X D ．(四)协方差、相关系数与矩1.协方差定义1设),(Y X 是一个二维随机变量，若)]}()][({[Y E Y X E X E --存在，则称其为X 与Y 的协方差，记为),(Cov Y X ．即)]}()][({[),(Cov Y E Y X E X E Y X --=．定理1)()()(),(Cov Y E X E XY E Y X -=．【例1】设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为：求协方差),(Cov Y X ．【解】由题易得32)(=X E ，0)(=Y E ，0311131003111)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=XY E ．于是0)()()(),(Cov =-=Y E X E XY E Y X ．定理2若X 与Y 相互独立，则0),(Cov =Y X ，反之不然．定理3对任意二维随机变量),(Y X ，有),(Cov 2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±．关于协方差的计算，还有下面四条有用的性质．性质1协方差),(Cov Y X 的计算与X ，Y 的次序无关，即),(Cov ),(Cov X Y Y X =．性质2任意随机变量X 与常数a 的协方差为零，即0),(Cov =a X ．性质3对任意常数a ，b ，有),(Cov ),(Cov Y X ab bY X a =．性质4设X ，Y ，Z 是任意三个随机变量，则),(Cov ),(Cov ),(Cov Z Y Z X Z Y X +=+．2.相关系数定义2设),(Y X 是一个二维随机变量，且()0D X >，()0D Y >，则称Y X XY Y X Y D X D Y X σσρ),(Cov )()(),(Cov ==为X 与Y 的相关系数．性质11≤XY ρ．性质21=XY ρ的充要条件是X 与Y 间几乎处处有线性关系，即存在)0(≠a 与b ，使得1)(=+=b aX Y P ．其中当1=XY ρ时，有0>a ；当1-=XY ρ时，有0<a ．性质3设随机变量X 与Y 独立，则它们的相关系数等于零，即0=XY ρ．【例2】设1)()(==Y D X D ，21=XY ρ，则=+)(Y X D 3．【解析】因为21)()(),(Cov ==Y D X D Y X XY ρ，所以)()(21Y D X D XY =ρ21=，故),(Cov 2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+3=．【例3】已知1)(-=X E ，3)(=X D ，则=-)]2(3[2X E 6．【解析】)]2([3)]2(3[22-=-X E X E }2)]([)({32-+=X E X D 6=．【例5】设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．，，，，02020)(81),(y x y x y x f 求),(Cov Y X ，)(Y X D +和XY ρ．【解】⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f x X E d d ),()(67d d )(822=+=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f x X E d d ),()(2235d d )(820202=+=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f xy XY E d d ),()(34d d )(82020=+=⎰⎰y x y x xy ，由轮换对称性，有67)(=Y E ，35)(=Y E ，361)()()(),(Cov -=-=Y E X E XY E Y X ，3611)]([)()()(22=-==X E X E X D Y D ，95),(Cov 2)()()(=++=+Y X Y D X D Y X D ，111)()(),Cov(-==Y D X D Y X XY ρ．。
《概率论与数理统计》六
E( X ) xk pk . k 1
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一
随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律
X 10 9 8 7
Y 10 9 8 7
Pk 0.6 0.1 0.2 0.1
Pk 0.4 0.3 0.1 0.2
试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
解 100.6 90.180.2 70.1 100.4 90.3 80.1 70.2
i1 j1
2
E(Y )
yf ( x, y)dxdy dx
ydy
0
0
3
1
2(1 x )
1
E(XY )
xyf ( x, y)dxdy dx
xydy
0
0
6
三、数学期望的性质
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数） 2. E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(X+Y)=E(X)+E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
1
e
x
,
0,
x0 x0
( 0)
求将这5个元件串联组成的系统的平均寿命．
解
Xk的分布函数为
F
(
x)
1
e
x
,
0,
x0 x0
串联时系统寿命 N min( X1 , X2 , , X5 ) ，
其分布函数为 Fmin ( x) 1
[1
F(
x)]5
1
e
5x
,
0,
x 0, x 0.
fmin
2 X 3, 一台付款 2500 元; X 3, 一台付款3000元.
概率论与数理统计：数学期望
前面讨论了随机变量的分布函数，分布函数能全面地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，一方面，求分布函数有时是困难的；另一方面，有时不需要了解全貌，只需了解随机变量的某些特征或某个侧面就可以了，例如分布的中心，只要知道它的这方面的特征就够了，这时可以用一个或几个实数来描述这个侧面，这种实数就称为随机变量的数字特征.在这些数字特征中最常用的数字特征有：数学期望，方差，协方差，相关系数和矩等，本章将着重介绍这些常用的数字特征， 要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念.§4.1 数学期望先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为7.19100)102156203019218217(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯或 22305610171819202119.7100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。
而1718192021195++++=是把这五个数的地位或权重看得相同。
对于一般随机变量，其平均值定义如下：4.1.1离散型随机变量的数学期望定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,i i P X x p i ===, 若1i i i xp ∞=<+∞∑,则称1i i i x p ∞=∑为随机变量X 的数学期望,简称期望或均值,记为()E X , 即()E X =1i i i x p ∞=∑. 若级数1i i i xp ∞=∑发散,则称随机变量X 的数学期望不存在.注 （1）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定；（2）离散型随机变量的数学期望)(X E 在数学上解释就是X 加权平均，权就是其分布列；（3）级数∑∞=1)(i i i x P x 绝对收敛保证了级数的和不随各项次序的改变而改变，这是因为i x 的顺序对随机变量并不是本质的.（4）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个绝对收敛的级数的和. 引例 设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为Y X ,，且分布如下：试比较他们的射击水平。
概率论与数理统计期望
23
定理 1 设离散随机变量 X 的分布律为 P{X=xi}=pi, i=1,2,…, g(x)是实值连续函数， 且级数 g ( xi ) pi 绝对收
i 1
敛，则随机变量函数 g(X)的数学期望为
E[ g ( X )] g ( xi ) pi
i 1
(7)
24
定理 2 设连续随机变量 X 的概率密度为 f(x), g(x)是实值连续函数，且广义积分
E ( X ) k
k 0 -l
l e
k
-l
k!
l
le
-l
(k - 1)!
K 1
l
k -1
l e e l.
10
例3 甲乙两工人每天生产出相同数量同种类 型的产品，用X1,X2分别表示甲、乙两人某天 生产的次品数，经统计得以下数据： 次品数X1 pk 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2
-
g ( x) f ( x)d x 绝对收敛，则随机变量函数
g(X)的数学期望为
E[ g ( X )] g ( x) f ( x)d x
-
25
例8 设随机变量X的分布律为
X p -2 0.10 -1 0.20 0 0.25 1 0.20 2 0.15 3 0.10
求随机变量函数Y=X2的数学期望.
y
D 解 如图所示 E ( X ) xf ( x, y )d
D 1 x 2
O
1
x
4 xd x 12 y d y 0 0 5 3 E (Y ) y y d d x 12 y d y 12 0 0 5 D
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在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了.f (x )xo x P(x)o然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.某型号电视机的平均寿命18000小时±200小时因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是期望和方差我们先介绍随机变量的数学期望.随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义来自习惯上的平均概念.我们从离散型随机变量的数学期望开始.一、离散型随机变量的数学期望1、概念的引入：某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？某电话交换台每天8:00-9:00收到的呼叫数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值即该交换台每天8:00-9:00收到的平均呼叫数呢？我们来看第一个问题.若统计100天, 例1某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量. 如何定义X 的平均值呢？32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;27.1100213100172100301100320=⋅+⋅+⋅+⋅可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X 的平均值呢？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n 0天没有出废品;n 1天每天出一件废品;n 2天每天出两件废品;n 3天每天出三件废品.nn n n n n n n 32103210⋅+⋅+⋅+⋅可以得到n 天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品) 一般来说,若统计n 天,这是以频率为权的加权平均n n n n n n n n 32103210⋅+⋅+⋅+⋅由频率和概率的关系不难想到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为32103210p p p p ⋅+⋅+⋅+⋅这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值.这样做是否合理呢？不妨把小张生产中出废品的情形用一个球箱模型来描述:22300031112200033111有一个箱子，里面装有10个大小，形状完全相同的球，号码如图.规定从箱中任意取出一个球，记下球上的号码，然后把球放回箱中为一次试验.记X 为所取出的球的号码(对应废品数) . X 为随机变量，X 的概率函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.02.03.03.03210~X 2230003111nn n n n n n n n M 32103210)(⋅+⋅+⋅+⋅=对试验次数(即天数)n ,及小张的生产情况进行统计，统计他不出废品，出一件、二件、三件废品的天数n 0,n 1,n 2,n 3 , 并计算与32103210p p p p ⋅+⋅+⋅+⋅进行比较.2230003111则对X 作一系列观察(试验)，所得X 的试验值的平均值也是随机的.由此引入离散型r.vX 的数学期望的定义如下: ∑∞=1k kk p x对于一个随机变量，若它可能取的值是X 1, X 2, …, 相应的概率为p 1, p 2,…,但是，如果试验次数很大，出现X k 的频率会接近于p k ，于是可期望试验值的平均值接近定义1设X 是离散型随机变量，它的概率函数是: P (X =X k )=p k , k =1,2,…也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.∑∞==1)(k kk p x X E ∑∞=1||k k k p x 如果有限,定义X 的数学期望例1某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.解: 设试开次数为X,P(X=k)= 1/n, k=1,2,…,nE(X) ∑=⋅=nknk112)1(1nnn+⋅=21+=n于是二、连续型随机变量的数学期望设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x ),在数轴上取很密的分点x 0<x 1<x 2< …,则X 落在小区间[x i , x i +1)的概率是⎰+1)(i i x x dx x f ii x x f ∆=)(小区间[x i , x i+1)阴影面积近似为i i x x f ∆)())((1i i i x x x f -≈+小区间[X i , X i+1)由于x i 与x i +1很接近, 所以区间[x i , x i +1)中的值可以用x i 来近似代替.∑∆i iii x x f x )(这正是⎰∞∞-dxx f x )(的渐近和式.阴影面积近似为ii x x f ∆)(近似,i i x x f ∆)(因此X 与以概率取值x i 的离散型r.v该离散型r.v 的数学期望是由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),如果⎰∞∞-dx||(xfx)有限,定义X的数学期望为⎰∞∞-=dx(()E)xXfx也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.2)(b a X E +=若X ~U (a ,b ),即X 服从( a ,b )上的均匀分布,则μ=)(X E 若X 服从则),,(2σμN λ=)(X E 若X 服从参数为的泊松分布，则λ由随机变量数学期望的定义，不难计算得：这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是1.68.68.1)(==μX E 已知某地区成年男子身高X ~),,.(2681σN三、随机变量函数的数学期望1. 问题的提出：设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.类似引入上述E (X )的推理，可得如下的基本公式:设X 是一个随机变量，Y =g (X )，则⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞-∞=连续型离散型X dx x f x g X p x g X g E Y E k k k ,)()(,)()]([)(1当X 为离散型时,P (X = x k )=p k ;当X 为连续型时,X 的密度函数为f (x ).⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞-∞=连续型离散型X dx x f x g X p x g X g E Y E k k k ,)()(,)()]([)(1该公式的重要性在于: 当我们求E [g (X )]时, 不必知道g (X )的分布，而只需知道X 的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.将g(X)特殊化，可得到各种数字特征: k阶原点矩XE(k)XEk-E阶中心矩X))]([k(EXk阶绝对原点矩(|k)|E阶绝对中心矩Xk-X)|)E((|k 其中k 是正整数.四、数学期望的性质1. 设C 是常数，则E (C )=C ;4. 设X 、Y 独立，则E (XY )=E (X )E (Y );2. 若k 是常数，则E (kX )=kE (X );3. E (X 1+X 2) =E (X 1)+E (X 2);∑∑===n i i ni i X E X E 11)(][:推广∏∏===ni i n i i X E X E 11)(][:推广（诸X i 独立时）注意:由E (XY )=E (X )E (Y )不一定能推出X ,Y 独立五、数学期望性质的应用例1求二项分布的数学期望若X~B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.现在我们来求X的数学期望.可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np .X ~B (n ,p ), 若设则X = X 1+X 2+…+X n=np⎩⎨⎧=次试验失败如第次试验成功如第i i X i 01i =1,2，…，n 因为P (X i =1)= p ,P (X i =0)= 1-p ∑=n i i X E 1)(所以E (X )=则X 表示n 重贝努里试验中的“成功”次数.E (X i )= )1(01p p -⋅+⋅= p例2把数字1,2,…,n 任意地排成一列，如果数字k 恰好出现在第k 个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.由于E (X k )=P (X k =1) 解: 设巧合个数为X ,⎩⎨⎧=否则，个位置上恰好出现在第数字0,1k k X k k =1,2, …,n ∑==n k kX X 1则!)!1(n n -=n 1=∑==n k k X E X E 1)()(故11=⋅=n n 引入例3 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏，假定游戏的规则不公正，以致两人获胜的概率不等，甲为p ,乙为q ，p >q ,p+q =1.为了补偿乙的不利地位，另行规定两人下的赌注不相等，甲为a , 乙为b , a >b . 现在的问题是：a 究竟应比b 大多少，才能做到公正？解：设甲赢的钱数为X ，乙赢的钱数为Y ，依题意,~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-q p a b X ,~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q b a Y解：设甲赢的钱数为X ，乙赢的钱数为Y ，为对双方公正,应有依题意,~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-q p a b X ,~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q b a Y E (X )=bp +(-a )q , E (Y )=aq +(-b )pbp -aq =aq -bp=0, qbp a =故期望与风险并存．数学家从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策．例如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)；如经营工艺品，风险小但获利少(95％会赚，但利润为1000元)．究竟该如何决策？于是计算期望值：若经营西瓜，期望值E1=0.7×2000=1400元．而经营工艺品期望值E2＝0.95×1000＝950元．所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高．我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.接下来我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：方差。