上海市虹口区2018届高三一模数学试题 含答案 精品

上海市虹口区2018届高三一模数学试卷

2017.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 函数()lg(2)f x x =-的定义域是

2. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++=

3. 首项和公比均为12

的等比数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，则lim n n S →∞= 4. 在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对边分别是a 、b 、c ，若::2:3:4a b c =，则cos C =

5. 已知复数z a bi =+（,a b R ∈）满足||1z =，则a b ⋅的范围是

6. 某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要 求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则 该生的可能选法总数是

7. 已知M 、N 是三棱锥P ABC -的棱AB 、PC 的中点，记三棱锥P ABC -的体积为1V ， 三棱锥N MBC -的体积为2V ，则21

V V 等于 8. 在平面直角坐标系中，双曲线2

221x y a

-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合，则 双曲线的两条渐近线的方程为

9. 已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆，则ABC ∆的面积等于

10. 设椭圆22

143

x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两 点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=

11. 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，点列n P （*n N ∈）在线段AC 上，且满足

1n n n n n P A a P B a P D +=⋅+，若11a =，则数列{}n a 的通项公式n a =

12. 设2()22x f x x a x b =+⋅+⋅，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数

(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 异面直线a 和b 所成的角为θ，则θ的范围是（ ）

A. (0,)2π

B. (0,)π

C. (0,]2π

D. (0,]π 14. 命题：“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）

A. 若1x ≠，则1x ≠或1x ≠-

B. 若1x =，则1x =或1x =-

C. 若1x ≠，则1x ≠且1x ≠-

D. 若1x =，则1x =且1x =-

15. 已知函数20()(2)0

x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(1)(2)(3)(2017)f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）

A. 2017

B. 1513

C. 20172

D. 30252

16. 已知Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB =，6AC =，在三角形

所在的平面内有两个动点M 和N ，满足||2AM =，MN NC =，

则||BN 的取值范围是（ ）

A. [32,34]

B. [4,6]

C. [25,42]

D. 22[

63122,63122]33-+

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC PC AB a ====，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点.

（1）求证：PM ⊥平面ABC ；

（2）求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小.

18. 已知函数()3cos(

)cos(2)2f x x x πωπω=-+-，其中x R ∈，0ω>，且此函数的最小正周期等于π.

（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；

（2）求此函数在[0,]2

x π

∈的最大值和最小值.

19. 如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km ，宽为1km 的矩形，矩形两边AB 、AD 紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C 修一条直线的路l ，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P 和Q .

（1）设AQ x =（km ），将APQ ∆的面积S 表示为x 的函数；

（2）求APQ ∆的面积S （km ）的最小值.

20. 已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于p （0p >），动圆M 过点F 且与直线l 相 切，记圆心M 的轨迹为曲线C ，在曲线C 上任取一点A ，过A 作l 的垂线，垂足为E .

（1）求曲线C 的轨迹方程；

（2）记点A 到直线l 的距离为d ，且3443

p p d ≤≤，求EAF ∠的取值范围； （3）判断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由.

21. 已知无穷数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，14a =.

（1）如果22a =，且对于一切正整数n ，均有221n n n a a a ++⋅=，求n S ；

（2）如果对于一切正整数n ，均有1n n n a a S +⋅=，求n S ；

（3）如果对于一切正整数n ，均有13n n n a a S ++=，证明：31n a -能被8整除.

参考答案

一. 填空题

1. (,2)-∞

2. 0

3. 1

4. 14-

5. 11[,]22-

6. 18

7. 14

8. 3x y =± 10. 4 11. 11()2n -- 12. (0,0)或(1,0)

二. 选择题

13. C 14. C 15. D 16. B

三. 解答题

17.（1）略；（2）. 18.（1）()2sin(2)6f x x π

=+，2ω=，[,]36k k π

π

ππ-++，k ∈Z ；

（2）最大值为2，最小值1-.

19.（1）2

1

x S x =-(1)x >；（2）2x =时，min 4S =. 20.（1）22y px =；（2）11[arccos ,arccos ]43π-；（3）一个交点.

21.（1）12q =，18(1)2

n n S =-，n ∈*N ； （2）当n 为偶数，284n n n S +=，当n 为奇数，2874

n n n S ++=；（3）数学归纳法，略.