港澳台华侨联考真题：数学必考：导数讲义及练习

导数的应用知识点讲解
一.导数的运算
导数的定义
如果当0→∆x 时，
x
y
∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′|0x x =。

即f′（x 0）=0
lim →∆x x y
∆∆=0lim
→∆x x
x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x
y
∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：①求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）②求平均变化率
x y ∆∆=x
x f x x f ∆-∆+)
()(00③取极限，得导数f’(x 0)=x
y
x ∆∆→∆0lim
（在极限存在的前提下。

若极限不存在，则导数不存在）
连续就是左值等于右值；可导是“左值等于右值，且左导等于右导”
例1．⎩⎨
⎧>+≤==1
1)(2
x b
ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =
b 几个结论:
（1）奇函数的导函数是偶函数。

（2）偶函数的导函数是奇函数。

（3）周期函数的导函数是周期函数，且周期不变。

（4）轴对称函数在对称轴处的导数为零（特别的偶函数有()00f '=），奇函数没有此性质。

1.常见函数的导数（1）0C '=(C 为常数)
（2）()1m m x mx -'=（m Q ∈）
（3）()x x
e e '=（4）()ln x x a a a '=（5）()1
ln x x
'=
（6）()11
log log ln a a x e x a x
'=
=（7）()sin cos x x '=（8）()cos sin x x
'=-2.两个函数和、差、积、商的导数若()f x 、()g x 的导数都存在，则（1）()f g f g '''±=±（2）()f g f g f g '''
=+ （3）()2
0f f g f g g g g '''
⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭
3.复合函数的导数
设()u g x =在点x 处可导，()y f u =在()u g x =处可导，则复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦在点x 处可
导，且()()
()()f g x f u g x '
''=⎡⎤⎣⎦ 。

练习：求下列函数的导数
1.3())(0)
3
x
f x x x =->2.()ln(1)(1)
f x x x x =-+>-3.()f x 32395
x x x =--+4.2()5f x x x x
=-+
5.2
()1ln f x x a x x
=-
+-二、导数的应用
1.求切线方程
若点()00,x y 是曲线()y f x =上一点（即()00y f x =），求过此点的切线方程。

步骤：（1）求()0f x '；（2）切线方程()()000y f x x x y '=-+。

（2）若(),a b 是曲线()y f x =外一点，求过此点与曲线相切的直线方程。

设点()00,x y 是切
点。

则()()()
00000y f x b y f x a x =⎧⎪⎨'-=-⎪⎩，解得。

（3）已知切线求参数，设切点，切点既满足直线又满足曲线方程，且直线斜率等于曲线导数练习1.若直线l 与曲线6xy =相切于点(2,3)p ，则直线l 的斜率为
2曲线1323+-=x x y 在点)1,1(-处的切线方程为（）.
A.43-=x y
B.23+-=x y
C.34+-=x y
D.54-=x y 3曲线x
y 1
=
有一切线与直线012=+-y x 垂直，则切点为（）
（A ）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛22,
2（B ）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22,22（C ）⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-222（D ）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-22,
24曲线24x y =的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a =
．
2.求单调性及单调区间
()f x 在某个区间内可导，若()0f x '>,则()f x 是增函数；若()0f x '>，则()f x 是减函数
则对应的区间就是单调区间。

步骤：（1）求()f x '；（2）解()0f x '>或()0f x '>。

注意：()0f x '>⇒()f x 增；而()f x 增⇒()0f x '≥。

注意：不单调⇔函数有增有减⇔()f x '有正有负⇔()0f x '=在定义域内有解，需讨论导数变号。

如何讨论函数的单调性：（1）求()f x '；（2）令()0f x '=求解，需讨论导数变号。

练习1.已知函数2
()1ln f x x a x x
=-
+-，a ＞0，（I ）讨论()f x 的单调性;（II ）设a =3，求()f x 在区间(1，2e )上值域。

2．知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R
∈（1）当0a =时，求曲线()()(1,1)y f x f =在点处的切线的斜率；（2）当2
3
a ≠
时，求函数()f x 的单调区间与极值。

3．设0>a ，x x e
a
a e x f +=)(是R 上的偶函数。

（I ）求a 的值；（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数。

3.求极值
（1）求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如3y x =,当x =0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0
注意：极值点⇒()00f x '=；而()0f x '推不出是极值点，需要导数变号。

（2）求可导函数极值的步骤:
1
求导数)('x f ；
②求导数)('x f =0的根；
③列表，用根判断)('x f 在方程根左右的值的符号，确定)(x f 在这个根处取极大值还是取极小值。

1．求函数()1x f x e x =--的极值。

2．求函数()ln f x x x =-,求f (x )的单调区间和极值。

3．已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
4.求最值即最大最小值
设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，求()f x 在[],a b 上的最大、最小值。

步骤：（1）求函数的极值；（注意：可以仅仅求出使()0f x '=的点的函数值，而不必区分谁是极大极小值）（2）极值与端点值比较大小。

注意：函数()f x 在(),a b 上连续且可导，若函数在(),a b 上仅有一个极值，则此极值就是
()f x 在(),a b 上的最值。

练习：求函数()f x 32395x x x =--+（0≦x≤4）的值域.
1函数3()123(33)f x x x x =-+-≤≤的值域为区间
2.设函数()ln(1)(1)f x x x x =-+>-.求函数()f x 的单调区间和最小值。

3.3())(0)3
x
f x x x =
->，求函数()f x 的最小值以及对应的x 值。

5.恒成立问题
对任意x 都有()f x a ≥⇔()min f x a ≥；()f x a ≤⇔()max f x a ≤。

一般的：对任意x 都有()()f x g x ≥⇔()()0f x g x -≥⇔()()min 0f x g x -≥⎡⎤⎣⎦；
()()f x g x ≤⇔()()0f x g x -≤。

转化为最值问题，此可以证明函数不等式。

设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围
求证下列不等式（1）1
x e x ≥+（2）()ln 1x x +≤或ln 1
x x ≤-6.求参数问题
已知函数在某个区间上恒为增函数或恒为减函数，求参数范围。

即()00f x '≥≤或恒成立
（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数
（2）使a ax x y ++=3为R 上……
（3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上↑
1.函数与x 轴交点个数问题。

（画图）
已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。

（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。