54泰州市姜堰市2012-2013学年高三(上)期中数学试卷
江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量(教师版)
．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）如图,已知正方形 的边长为3, 为 的中点, 与 交于点 .则 __________.
【答案】 .
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知向量 , 满足 , ,且对一切实数 , 恒成立,则 与 的夹角大小为______.
．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题）已知向量 与 的夹角为 , ,则 在 方向上的投影为____________.
【答案】
．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）△ABC中, , , ,则 ____.
【答案】5
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知平面上的向量 . 满足 , ,设向量 ,则 的最小值是________________.
(3)∵ = , cos ·sin θ-cos(10- ) ·sin[(10- ) ]
=cos ·sin -cos( - )·sin( - )
=cos ·sin -sin ·cos =0,
∴ ∥
．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））如图,已知 的长为 ,求GA、GC的长.
江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量
填空题
．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,且AB , ,CD .
若 ,则 的值为______.
【答案】
．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）△ABC外接圆的半径为 ,圆心 为 ,且 , ,则 的值是______.
【答案】
．（2013江苏高考数学）设 分别是 的边 上的点, , ,若 ( 为实数),则 的值为__________.
63徐州市2012-2013学年高三(上)期中数学试卷(文科)
2012-2013学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，A∩B={0，1}．2．（5分）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是∃x∈（1，2），x2≤1．3．（5分）设（i为虚数单位），则a+b=．解：因为==，b=．故答案为：．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知该数列前10项的和为S10=120，那么a5+a6=24．=55．（5分）已知=（1，2m），=（2，﹣m），则“m=1”是“⊥”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）⊥”•=0：已知=⊥”，∴•“”⊥”6．（5分）设直线是y=3x+b是曲线y=e x的一条切线，则实数b的值是3﹣3ln3．﹣=3﹣+7．（5分）在△ABC中，a=14，b=7，B=60°，则边c=7（1+）．，，=，即=，又∴由正弦定理得：==14，sin75sin（××）1+8．（5分）（文）动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是[﹣7，3]．w=表示的平面区域如下图所示：w=，当w=9．（5分）下列四个命题：①函数f（x）=xsinx是偶函数；②函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；③把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）=3sin2x的图象；④函数f（x）=sin（x﹣）在区间[0，π]上是减函数．其中是真命题的是①②③（写出所有真命题的序号）．）x+））），图象向右平移个单位长度﹣10．（5分）（2008•长宁区二模）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．4+，利用基本不+==4++≥4+，11．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，对于任意的正整数n都有a n﹣a n+1≠1，a n a n+1a n+2=a n+a n+1+a n+2，则S2012=4023．12．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是﹣2．上，而而=2解：由题意可得：，故=2cos，，由基本不等式可得：≤213．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为3．±上，∴±＜﹣时，当﹣＜﹣（﹣．＜．，﹣=1967114．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=4．•sin（m﹣θ）=b（1﹣a）[注：sinθ=]≤﹣=二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2010•苏州一模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）若{a n}是等比数列，求{b n}的前项和S n．，=16．（14分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）设，试求的取值范围．cosB=．由此能求出），由，得，由此能求出cosB=…）因为）…的取值范围是17．（14分）在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？×（==x=）时，，x=）=．答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为18．（16分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．，由根系关系即可求得实数，），，=x，=x=﹣x==，=+（（==+=19．（16分）各项为正数的数列{a n} 的前n项和为S n，且满足：S n=2++（n∈N*）（1）求a n；（2）设函数f（n）=，c n=f（2n+4（n∈N*），求数列{c n} 的前n项和T n；（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n＞λS k恒成立，求实数λ的最大值．2（2（+恒成立．．20．（16分）设函数y=f（x）=x2﹣bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称．又y=f （x）的图象与一次函数g（x）=kx+2（k＜0）的图象交于两点A、B，且|AB=|．（1）求b及k的值；（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值；（3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：++≤．，可以求出≥≤得：=，，，）=恒成立，所以（≤（+[2=γ≥∴（）=时，等号成立．。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题填空题错误！未指定书签。
．（2010年高考（江苏））设实数x,y 满足3≤2xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最大值是_________【答案】27错误！未指定书签。
．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=,2741log log 6y x -≥,2741y x -≤,则x y +的取值范围是______. 【答案】56⎧⎫⎨⎬⎩⎭错误！未指定书签。
．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）设62,,22=+∈b a R b a ,则3-a b的最大值是_________________.【答案】1错误！未指定书签。
．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）定义在R 上的函数)(x f y =是增函数,且函数)2(-=x f y 的图象关于)0,2(成中心对称,设s ,t 满足不等式)4()4(22t t f s s f --≥-,若22≤≤-s 时,则s t +3的范围是____________.【答案】[8,16]-错误！未指定书签。
．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）设变量y x ,满足1||||≤+y x ,则y x 2+的最大值为____________.【答案】2错误！未指定书签。
．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知函数()3123f x x x =+,对任意的[]3,3t ∈-,()()20f tx f x -+<恒成立,则x 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭错误！未指定书签。
．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设，，x x f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是____________.【答案】2≥k .错误！未指定书签。
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |2＜x ＜4}C ．{x |0＜x ＜4}D ．{x |x ＜2或x ＞4}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +2≤0 B ．∃x ∈R ，x 2+2x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x 2+2x +2＜0D ．∃x ∈R ，x 2+2x +2＞03．“﹣2＜x ＜4”是“x 2﹣x ﹣6＜0”的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝log 1.80.8，b ＝1.80.8，c ＝0.80.8，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x 22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.78．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x )＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ）A ．y ＝﹣eB ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x10．下列说法正确的是（ ） A ．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B ．若函数f （x ）的定义域为[1，4]，则函数f （x +1）的定义域为[0，3]C ．函数y =2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D ．函数f(x)=√−x 2+2x 的单调递增区间为[0，1] 11．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．log 2a +log 2b ≥﹣2C ．1a +1b ≥4D ．(12)a−b ＜212．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值：（1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √518．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P＝{x||x|＝t}，若P⊆M，求t的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）={x+4，x≤1x+kx，x＞1，其中k＞0（1）若k＝1，f(m)=174，求实数m的值；（2）若函数f（x）的值域为R，求k的取值范围．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x（m|x|﹣1），m∈R．（1）若m＝1，写出函数f（x）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f（x）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|2＜x＜4}C．{x|0＜x＜4}D．{x|x＜2或x＞4}解：集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜4}，则A∪B＝{x|0＜x＜4}．故选：C．2．命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．3．“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：不等式x2﹣x﹣6＜0，即（x+2）（x﹣3）＜0，可得﹣2＜x＜3，因为条件“﹣2＜x＜4”对应的集合包含“﹣2＜x＜3”对应的集合，所以“﹣2＜x＜4”是“x2﹣x﹣6＜0”的必要而不充分条件．故选：A．4．已知a＝log1.80.8，b＝1.80.8，c＝0.80.8，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a解：∵a＝log1.80.8＜log1.81＝0，b＝1.80.8＞1.80＝1，0＜c＝0.80.6＜0.80＝1，故b＞c＞a．故选：D．5．函数y =1−x +√1−2x 的值域为（ ） A ．(−∞，12]B ．[0，+∞）C ．[12，+∞)D ．(12，+∞)解：易知函数的定义域为(−∞，12]，由于y ＝1﹣x 在(−∞，12]上单调递减，y =√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 则函数y =1−x +√1−2x 在(−∞，12]上单调递减， 故y ≥1−12+√1−2×12=12， 即函数的值域为[12，+∞)． 故选：C ．6．设函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，若f （x 0）＜3，则x 0的取值范围是（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，9）C ．（﹣∞，﹣2）∪（9，+∞）D ．（﹣2，0）∪（9，+∞）解：函数f(x)={2−x −1，x ≤0x 12，x ＞0，由f （x 0）＜3，可得①{x 0≤02−x 0−1＜3，解得﹣2＜x 0≤0，②{x 0＞0x 012＜3，解得0＜x 0＜9；则x 0的取值范围是：（﹣2，9）． 故选：B ．7．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为t =192×(732)x22，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于（ ）℃的环境中．（附：lg 2≈0.301，lg 7≈0.845，答案采取四舍五入精确到0.1） A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.7解：由题意得t =192×(732)x 22＞96， ∴(732)x 22＞12，∴x 22＜log 73212=−log 7322，∴x 22＜−log 7322=−lg2lg7−5lg2≈0.456，解得x ＜10.032，∴应储藏在温度低于10.0℃的环境中．故选：A ．8．若函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(x y)，则不等式f(x +3)−f(1x)＜2f(2)的解集为（ ） A ．（﹣1，4）B ．（﹣4，1）C ．（0，1）D ．（0，4）解：因为对一切x ＞0，y ＞0，满足f(x)−f(y)=f(xy )，所以令x ＝4，y ＝2，得f （4）﹣f （2）＝f （2），即f （4）＝2f （2）， 则不等式f （x +3）﹣f （1x ）＜2f （2）可化为f （（x +3）x ）＜f （4），又因为函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以{x +3＞0x ＞0(x +3)x ＜4，即{x ＞−3x ＞0x 2+3x −4＜0，解得0＜x ＜1．故选：C ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．若函数y ＝e x 的图象上存在不同的两点A ，B 到直线l 的距离均为e ，则l 的解析式可以是（ ） A ．y ＝﹣e B ．y ＝eC ．x ＝eD ．y ＝x解：如图所示：函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝﹣e 的距离都大于e ，故A 错误； 当x ＜1时，函数y ＝e x 的图象上的点到直线y ＝e 的距离都小于e ，当x ＞1时，函数y ＝e x 的图象上存在一个点到直线y ＝e 的距离等于e ，故B 错误；当x＜e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，当x＞e时，函数y＝e x的图象上存在一个点到直线x＝e的距离等于e，故C正确；点A（0，1）到直线x﹣y＝0的距离|AB|=√22＜e，则点A（0，1）两边各存在一点到直线x﹣y＝0的距离等于e，故D正确．故选：CD．10．下列说法正确的是（）A．不等式2x+1≥1的解集是（﹣1，1]B．若函数f（x）的定义域为[1，4]，则函数f（x+1）的定义域为[0，3]C．函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）D．函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]解：根据题意，依次分析选项：对于A，不等式2x+1≥1，变形可得1−xx+1≥0，解可得﹣1＜x≤1，即不等式的解集为（﹣1，1]，A正确；对于B，若函数f（x）的定义域为[1，4]，对于函数f（x+1），有1≤x+1≤4，解可得0≤x≤3，即函数f（x+1）的定义域为[0，3]，B正确；对于C，函数y=2x+1由函数y=2x向左平移1个单位得到，则函数y=2x+1在单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），C错误对于D，对于f(x)=√−x2+2x，有﹣x2+2x≥0，解可得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，设t＝﹣x2+2x，则y=√t，t＝﹣x2+2x在区间[0，1]上为增函数，在区间[1，2]上为减函数，y=√t在[0，+∞）上为增函数，故函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0，1]，D正确．故选：ABD．11．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则（）A．ab≤14B．log2a+log2b≥﹣2C．1a +1b≥4D．(12)a−b＜2解：对选项A，因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以ab≤(a+b)24=14，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确．对选项B，log2a+log2b=log2ab≤log214=−2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故B 错误． 对选项C ，因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，1a+1b=(1a+1b )(a +b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当ba=a b时，即a ＝b =12时等号成立，故C 正确．对选项D ，因为a ＞0，a +b ＝1，所以b ＝1﹣a ，2a ﹣1＞﹣1， 所以(12)a−b =(12)2a−1＜(12)−1=2，故D 正确． 故选：ACD ．12．用C （A ）表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B ={C(A)−C(B)，C(A)≥C(B)C(B)−C(A)，C(A)＜C(B)，已知集合A ＝{x |x 2+x ＝0}，B ＝{x ∈R |（x 2+ax ）（x 2+ax +1）＝0}，则下面正确结论正确的是（ ） A ．∃a ∈R ，C （B ）＝3 B ．∀a ∈R ，C （B ）≥2C ．“a ＝0”是“A *B ＝1”的必要不充分条件D ．若S ＝{a ∈R |A *B ＝1}，则C （S ）＝3解：对于A ，当a ＝2时，B ＝{0，﹣2，﹣1}，此时C （B ）＝3，故A 正确； 对于B ，当a ＝0时，B ＝{0}，此时C （B ）＝1，故B 错误；对于C ，当a ＝0时，B ＝{0}，所以C （B ）＝1，A ＝{0，﹣1}，所以C （A ）＝2，所以A *B ＝1； 当A *B ＝1时，因为C （A ）＝2，所以C （B ）＝1或3， 若C （B ）＝1，满足{a =0Δ=a 2−4=0，解得a ＝0；若C （B ）＝3，因为方程x 2+ax ＝0的两个根x 1＝0，x 2＝﹣a 都不是方程x 2+ax +1＝0的根，所以需满足{a ≠0Δ=a 2−4=0，解得a ＝±2， 所以“a ＝0“是“A *B ＝1”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，因为C （A ）＝2，要得A *B ＝1，所以C （B ）＝1或3，由C 可知：a ＝0或a ＝±2， 所以S ＝{0，2，﹣2}，所以C （S ）＝3，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 ． 解：要使函数有意义则{2−x ≥0x −1＞0，∴{x ≤2x ＞1，即1＜x ≤2， 即函数的定义域为{x |1＜x ≤2}． 故答案为：{x |1＜x ≤2}．14．已知幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减，则函数g （x ）＝b x +a ﹣1（b ＞1）的图象过定点 ．解：∵幂函数f （x ）＝（a 2﹣a ﹣1）x a 在区间（0，+∞）上单调递减， ∴{a 2−a −1=1a ＜0，解得a ＝﹣1， ∴g （x ）过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．15．若函数f （x ）的值域为（0，1]，且满足f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）的解析式可以是f （x ）＝ ． 解：由题意可知，函数的值域为（0，1]，且函数为偶函数，满足条件的其中一个函数为f(x)=(12)|x|． 故答案为：(12)|x|（答案不唯一）．16．已知函数f （x ）＝x 2，g （x ）＝a |x ﹣1|，a 为常数，若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），则实数a 的取值范围为 ．解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可， 当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x =a2≤1，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x =−a2≤0，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2]四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）计算求值： （1）（√23×√3）6−3235−√23×(4−13)﹣1+（5+2√6）0（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 解：（1）(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)−1+(5+2√6)0=108−8−2+1=99；（2）e 2ln 3+ln （e √e ）﹣log 49•log 278﹣log 2（log 216）+lg √2+lg √5 ＝9+32−2lg32lg2•3lg23lg3−2+lg √10 ＝9+32−1﹣2+12 ＝8．18．（12分）已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |（x +4）（x ﹣6）＜0}，N ＝{x |x ﹣5＜0}． （1）求M ∪N ，∁R N ；（2）设P ＝{x ||x |＝t }，若P ⊆M ，求t 的取值范围．解：（1）因为M ＝{x |﹣4＜x ＜6}，N ＝{x |x ＜5}，所以M ∪N ＝{x |x ＜6}，∁R N ＝{x |x ≥5}． （2）当P ＝∅时，t ＜0；当P ≠∅时，{t ≥0−4＜t ＜6−4＜−t ＜6，解得0≤t ＜4．综上所述，t ＜4，即t 的取值范围为（﹣∞，4）． 19．（12分）已知函数f （x ）={x +4，x ≤1x +kx，x ＞1，其中k ＞0（1）若k ＝1，f(m)=174，求实数m 的值； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求k 的取值范围． 解：（1）当k ＝1时，f(x)={x +4，x ≤1x +1x ，x ＞1， 由f(m)=174，得{m +4=174m ≤1或{m +1m =174m ＞1， 解得m =14或m ＝4， 所以实数m 的值为14或4．（2）当x ≤1时，f （x ）＝x +4，值域为（﹣∞，5]． 分以下两种情形来讨论：若0＜k ≤1，此时√k ≤1，则f(x)=x +kx 在区间（1，+∞）上单调递增，此时f （x ）的值域为（k +1，+∞），所以函数f （x ）的值域为（﹣∞，4]∪（k +1，+∞）＝R ，满足题意． 所以0＜k ≤1满足题意．若k＞1，此时√k＞1，则f(x)=x+kx在区间(1，√k]上单调递减，在区间(√k，+∞)上单调递增，此时f（x）的值域为[2√k，+∞)，所以f（x）的值域为(−∞，5]∪[2√k，+∞)，由题意可得2√k≤5，解得k≤254，所以1＜k≤254．综上：k的取值范围是{k|0＜k≤254 }．20．（12分）已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数．（1）求实数a的值．（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明．（3）解关于x的不等式f（4x）+f（8﹣9×2x）＞0．解：（1）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝0，即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=0恒成立，∴a＝1．（2）f（x）在R上为减函数，证明如下：由于f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1，任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)．∵x1＜x2，∴2x2−2x1＞0，又(2x1+1)(2x2+1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在R上为减函数．（3）由（2）得，奇函数f（x）在R上为减函数，∴f（4x）＞f（9×2x﹣8），即22x＜9•2x﹣8，令2x＝t（t＞0），则t2﹣9t+8＜0，可得1＜t＜8，即20＝1＜2x＜23，可得不等式的解集为（0，3）．21．（12分）函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为y关于x的奇函数，给定函数f(x)=13x+1．（1）求f（x）的对称中心；（2）已知函数g（x）＝﹣x2+mx，若对任意的x1∈[﹣1，1]，总存在x2∈[1，+∞），使得g（x1）≤f（x2），求实数m的取值范围．解：（1）假设f （x ）的图像存在对称中心（a ，b ），则h （x ）＝f （x +a ）﹣b 的图像关于原点成中心对称，因为h （x ）的定义域为R ，所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13a−x −b +13x+a −b =0恒成立， 即（1﹣2b ）（3a ﹣x +3a +x ）+2﹣2b ﹣2b •32a ＝0恒成立，所以{1−2b =02−2b −2b32a =0， 解得{a =0b =12， 所以 f （x ）的图像存在对称中心(0，12)；（2）因为 f （x ）在区间[1，+∞）上递减，可得f （x ）的最大值为f （1）=14，由题意可得﹣x 2+mx ≤14在x ∈[﹣1，1]上恒成立，当x ＝0时，不等式化为0≤14恒成立；当0＜x ≤1时，可得m ≤（x +14x ）min ， 由y ＝x +14x ≥2√14=1（当且仅当x =12∈（0，1]时，取得等号）， 则m ≤1；当﹣1≤x ＜0时，可得m ≥（x +14x ）max， 由y ＝x +14x ≤−2√14=−1（当且仅当x =−12∈[﹣1，0）时，取得等号），则m ≥﹣1；所以m 的取值范围是[﹣1，1]．22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |﹣1），m ∈R ．（1）若m ＝1，写出函数f （x ）在[﹣1，1]上的单调区间，并求f （x ）在[﹣1，1]内的最小值；（2）设关于对x 的不等式f （x +m ）＞f （x ）的解集为A ，且[﹣1，1]⊆A ，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝1，f （x ）＝x （|x |﹣1）={x 2−x ，x ≥0−x 2−x ，x ＜0， 所以f （x ）的单调增区间为[﹣1，−12]，[12，1]，递减区间为[−12，12]，又f （﹣1）＝0，f （12）=−14， 所以f （x ）在[﹣1，1]内的最小值为−14．（2）因为关于对x的不等式f（x+m）＞f（x）的解集为A，且[﹣1，1]⊆A，所以f（x+m）＞f（x）在[﹣1，1]上恒成立，当m＝0时，不符合题意，当m＜0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，符合题意，当m＞0时，令x＝0得f（m）＞f（0），所以m（m2﹣1）＞0，解得m＞1，当x∈[﹣1，0），x+m∈[m﹣1，m），则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（﹣mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2x2+2mx+m2﹣1＞0，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），当−m2＜−1，即m＞2时，h（x）在[﹣1，0）上单调递增，所以h（x）min＝h（﹣1）＝m2﹣2m+1＞0，所以m＞2；当−m2≥−1，即1＜m≤2时，h（x）在[﹣1，−m2）上单调递减，（−m2，0）单调递增，所以h（x）min＝h（−m2）＞0，所以m＞√2，所以√2＜m≤2，所以m＞√2时恒成立，当x∈（0，1]，x+m∈（m，m+1]，则f（x+m）＝（x+m）（mx+m2﹣1），f（x）＝x（mx﹣1），又f（x+m）＞f（x），所以2mx+m2﹣1＞0恒成立，令h（x）＝2x2+2mx+m2﹣1，x∈[﹣1，0），综上：实数m的取值范围为（﹣∞，0）∪（√2，+∞）．。
2023-2024学年江苏省泰州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12 B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣13．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1D ．x 216+y 225=14．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（ ）A ．56B ．65C ．23D ．325．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ） A ．4B ．1C ．12D ．146．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．a 2023＝26B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+1898．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（ ） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−1210．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（ ） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√212．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（ ） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 ．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 ． 15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为 ．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是 ，至少需要前 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54； （2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0． （1）求顶点C 的坐标． （2）求直线BC 的方程．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9． （1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ；（3）设∁n =(a n+4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围．2023-2024学年江苏省泰州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1．直线√3x −3y −2=0的倾斜角为（ ） A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°解：因为直线√3x −3y −2=0的斜率为√33，故直线的倾斜角为30°．故选：C ．2．抛物线y 2＝2x 的准线方程是（ ） A ．x =12B ．x ＝1C ．x =−12D ．x ＝﹣1解：根据题意，抛物线的标准方程为y 2＝2x ，则其焦点在x 轴正半轴上，且p ＝1，则其准线方程为x =−12， 故选：C ． 3．以双曲线x 216−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 216+y 29=1 B ．x 225+y 29=1C ．x 225+y 216=1 D ．x 216+y 225=1解：双曲线x 216−y 29=1，双曲线的焦点（±5，0），则椭圆的顶点（±5，0），双曲线顶点为（±4，0），椭圆的焦点（±4，0），可得a ＝5，c ＝4，则b ＝3， 所以椭圆方程为：x 225+y 29=1．故选：B ．4．正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5，则a 5a 7=（ ）A ．56B ．65C ．23D ．32解：因为正项等比数列{a n }中，a n +1＜a n ，a 2•a 8＝6，a 4+a 6＝5， 所以a 4•a 6＝6，a 4+a 6＝5，解得a 4＝3，a 6＝2，a 5a 7=a 4a 6=32．故选：D ．5．过原点的直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝6交于A ，B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线P A 的斜率为2，则直线PB 的斜率为（ ）A ．4B ．1C ．12D ．14解：由题意可设A （m ，n ），B （﹣m ，﹣n ），P （x ，y ）， 则m 2﹣n 2＝6，x 2﹣y 2＝6， 即有y 2﹣n 2＝x 2﹣m 2， 即y 2−n 2x 2−m 2=1，由k P A =y−nx−m ，k PB =y+nx+m ，可得k P A •k PB =y 2−n 2x 2−m 2=1，而k P A ＝2，所以k PB =12． 故选：C ．6．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度AB ＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．2.25mB ．2.5mC ．3.25mD ．3.5m解：取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则C （4，﹣4），设抛物线方程x 2＝﹣2py （p ＞0），将点C 代入抛物线方程得p ＝2， ∴抛物线方程为x 2＝﹣4y ， 行车道总宽度AB ＝6m ，∴将x ＝3代入抛物线方程，y ＝﹣2.25m ， ∴限度为6﹣2.25﹣0.5＝3.25m ． 故选：C ．7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前n 项，从而形成新的数列{a n }，数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A ．a 2023＝26 B ．a 2024＝26C ．S 2023＝264﹣3D ．S 2023＝264+189解：由题意，可知新数列{a n }为：在每项都为1的常数列的第n （n ∈N *）项与第n +1项之间等比数列{2n }的前n 项， 故新数列{a n }：1，21，1，21，22，1，21，22，23，1，21，22，23，24，… 可将数列{a n }进行分组，第1组为1，21，共2项， 第2组为1，21，22，共3项， 第3组为1，21，22，23，共4项， 第4组为1，21，22，23，24，共5项，… 第n 组为1，21，22，…，2n ，共n +1项， ∴前n ﹣1组一共有2+3+4+…+n ＝（1+2+3+4+…+n ）﹣1 =n(n+1)2−1项， ∵当n ＝63时，63×642−1＝2015＜2023，当n ＝64时，64×652−1＝2079＞2023，∴a 2023在数列{a n }的第64组的第2023﹣2015＝8个， ∴a 2023＝28﹣1＝27，故选项A 错误；同理，a 2024在数列{a n }的第64组的第2024﹣2015＝9个， 故a 2024＝29﹣1＝28，故选项B 错误；∴S 2023＝a 1+a 2+…+a 2023＝（1+21）+（1+21+22）+（1+21+22+23）+...+（1+21+...+262）+（1+21+ (27)=1−221−2+1−231−2+1−241−2+⋯+1−2631−2+1−281−2＝（22﹣1）+（23﹣1）+（24﹣1）+…+（263﹣1）+（28﹣1）＝（22+23+24+…+263）﹣62+28﹣1=22−2641−2−62+256﹣1＝264+189，故选项C 错误，选项D 正确． 故选：D ．8．已知抛物线C ：y 2＝4x ，P 为C 上一点，A （﹣2，0），B （2，0），当|PB||PA|最小时，点P 到坐标原点的距离为（ ） A ．2√5B ．3√2C ．2√3D ．8解：由题意设P （n 24，n ），A （﹣2，0），B （2，0），|PB||PA|=√(n 24−2)2+n 2√(n 24+2)2+n 2=√n 416+4n 416+4+2n 2=√1+n 216+4n 2，当n 216+4n2取得最小值时，|PB||PA|取得最小值，n 216+4n 2≥2√n216⋅4n 2=1，当且仅当n 216=4n2，即n =±2√2时，取等号．此时P （2，±2√2），则点P 到坐标原点的距离为：√4+8=2√3． 故选：C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．若三条直线l 1：3x +my ﹣1＝0，l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0不能围成三角形，则m 的值可以是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12解：因为l 2：3x ﹣2y ﹣5＝0，l 3：6x +y ﹣5＝0，可得l 2与l 3相交， 联立{3x −2y −5=06x +y −5=0，解得x ＝1，y ＝﹣1，即两条直线的交点（1，﹣1），且l 2的斜率为k 2=32，直线l 3的斜率k 3＝﹣6，要使三条直线不能围成三角形，则l 1∥l 2或l 1∥l 3或直线l 1过（1，﹣1）， 所以−3m =32或−3m =−6或3×1+m （﹣1）﹣1＝0，解得m ＝﹣2或m =12或m ＝2． 故选：ABC ．10．设{a n }是无穷数列，A n ＝a n +a n +1，（n ＝1，2，…），则下面给出的四个判断中，正确的有（ ） A ．若{a n }是等差数列，则{A n }是等差数列 B ．若{A n }是等差数列，则{a n }是等差数列 C ．若{a n }是等比数列，则{A n }是等比数列 D ．若{A n }是等差数列，则{a 2n }都是等差数列解：A ．若{a n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ，为常数，则{A n }是等差数列，故A 正确，B ..若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，A n ﹣A n ﹣1＝a n +a n +1﹣a n ﹣1﹣a n ＝a n +1﹣a n ﹣1＝2d ， 即{a n }的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，则整体{a n }不一定是等差数列，故B 错误，C ．若{a n }是等比数列，设公比为q ，则当q ＝﹣1时，A n ＝a n +a n +1＝0，则{A n }不是等比数列，故C 错误，D …若{A n }是等差数列，设公差为d ，则当n ≥2时，a 2n ﹣a 2（n ﹣1）＝a 2n ﹣a 2n ﹣2＝2d ，则{a 2n }都是等差数列，故D 正确， 故选：AD ．11．已知直线l 与圆O ：x 2+y 2＝9交于A ，B 两点，点P （4，0）满足P A ⊥PB ，若AB 的中点为M ，则|OM |的可能取值为（ ） A ．2+√22B ．2+√32C ．32+√22D ．32+√2解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点为M （x ，y ）， 则x 1+x 2＝2x ，y 1+y 2＝2y ，∵x 12+y 12=9，x 22+y 22=9，∴x 12+x 22+y 12+y 22=18，即(x 1+x 2)2−2x 1x 2+(y 1+y 2)2−2y 1y 2=18，∴x 1x 2+y 1y 2＝2x 2+2y 2﹣9①， ∵点P （4，0）满足的P A ⊥PB ， ∴PA →⋅PB →=0，∵PA →=(x 1−4，y 1)，PB →=(x 2−4，y 2)，∴x 1x 2﹣4（x 1+x 2）+16+y 1y 2＝0，即x 1x 2+y 1y 2＝4（x 1+x 2）﹣16＝8x ﹣16②， 结合①②可得，2x 2+2y 2﹣9＝8x ﹣16，即(x −2)2+y 2=12，（另解：设AB 的中点M （x ，y ），由OM ⊥AB ，可得OM 2+MB 2＝OB 2， 而MP ＝MA ＝MB ，即OM 2+MP 2＝OB 2， 即x 2+y 2+（x ﹣4）2+y 2＝9， 化为（x ﹣2）2+y 2=12），故中点M 的轨迹方程为(x −2)2+y 2=12，圆心为（2，0），半径为√22，则|OM |的最大值为√(2−0)2+(0−0)2+√22=2+√22， 则|OM |的最小值为√(2−0)2+(0−0)2−√22=2−√22， ∴|OM |的取值范围为[2−√22，2+√22]．故选：AC ．12．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)和双曲线E ：x 2a 02−y 2b 02=1(a 0＞0，b 0＞0)的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝60°，直线PF 2与双曲线交于另一点Q ，若|PF 2|＝2|F 2Q |，则下列说法正确的是（ ） A ．△PF 1Q 的周长为16a 5B ．双曲线E 的离心率为√133C ．椭圆C 的离心率为√135D ．|PF 1|＝4|PF 2|解：设|QF 2|＝t ，则|PF 2|＝2t ，|PF 1|＝2t +2a 0，|QF 1|＝t +2a 0，在△PF 1Q 中，由余弦定理|QF 1|2=|PF 1|2+|PQ|2−2|PF 1||PQ|cos∠F 1PQ ， 得(t +2a 0)2=(2t +2a 0)2+9t 2−2(2a 0+2t)⋅3t ⋅cos60°， 化简得a 0＝3t ，|PF 1|＝2t +2a 0＝8t ＝4|PF 2|，D 正确； 又2a ＝|PF 1|+|PF 2|＝10t ， 所以a ＝5t ， 又|QF 1|＝t +2a 0＝7t ，则△PF 1Q 的周长为8t +3t +7t =18t =185a ，A 错误； △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理得4c 2＝（8t ）2+（2t ）2﹣2×8t ×2t ×cos60°， 所以c =√13t ，因此双曲线的离心率为e 1=c a 0=√13t 3t =√133，B 正确；椭圆的离心率为e 2=c a =√13t 5t =√135，C 正确，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．设m 为实数，则双曲线x 2m 2+8−y 24−m 2=1的焦距为 4√3 ．解：∵双曲线的方程为x 2m 2+8−y 24−m 2=1，∴a 2＝m 2+8，b 2＝4﹣m 2，（m 2＜4）， ∴c 2＝a 2+b 2＝12，∴c ＝2√3， ∴双曲线的焦距为2c ＝4√3． 故答案为：4√3．14．已知直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动，则△ABC 面积的最大值与最小值之和为 27 ．解：作出与已知直线平行且与圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9相切的直线， 切点分别为P 1、P 2，如图所示：则动点C 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9上移动时，若C 与点P 1重合时， △ABC 面积达到最小值；而C 与点P 2重合时，△ABC 面积达到最大值， ∵直线3x +4y ﹣12＝0与x 轴、y 轴相交于A （4，0）、B （0，3）两点， 可得|AB |=√42+32=5，∴△ABC 面积的最大值和最小值之和为：S =S △ABP 2+S △ABP 1=12|AB |（d 2+d 1）=52（d 2+d 1）， 其中d 2、d 1分别为点P 2、点P 1到直线AB 的距离， ∵P 1、P 2是圆（x ﹣5）2+（y ﹣6）2＝9的两条平行切线， 设圆心到直线的距离为d ，∴点P 2、点P 1到直线AB 的距离之和等于2d ，即d 2+d 1＝2d ＝2×|15+4×6−12|√3+4=542，因此△ABC 面积的最大值和最小值之和为52（d 2+d 1）=52×542=27．15．已知椭圆C 1：x 236+y 2b 2=1的焦点分别为F 1，F 2，且F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，若P是C 1与C 2的交点，且|PF 1|＝7，则cos ∠PF 1F 2的值为57．解：依题意，由椭圆定义得|PF 1|+|PF 2|＝12，而|PF 1|＝7，则|PF 2|＝5，因为点F 2是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，则该抛物线的准线过点F 1，如图，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，由抛物线定义知|PQ |＝|PF 2|＝5，而F 1F 2∥PQ ， 则∠PF 1F 2＝∠F 1PQ ，所以cos ∠PF 1F 2＝sin ∠F 1PQ =|PQ||PF 1|=57， 故答案为：57．16．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第一个正方形A 1B 1C 1D 1的边长为3，往里第二个正方形为A 2B 2C 2D 2，…，往里第n 个正方形为A n B n ∁n D n .那么第7个正方形的周长是500243，至少需要前 8 个正方形的面积之和超过20．（本小题第一空2分，第二空3分，参考数据：lg 2＝0.301，lg 3＝0.477）．解：根据题意，设第n 个正方形的边长为a n ，则a 1＝3，∵每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上， ∴A 2B 1=23a 1，B 1B 2=13a 1， 又由∠A 2B 1B 2＝90°，∴A 2B 2=√A 2B 12+B 1B 22=√49a 12+19a 12=√53a 1， 即a 2=√53a 1，同理可得a n+1=√53a n ， 即数列{a n }是首项为3，公比为√53的等比数列， ∴a 7=a 1×(√53)6=3×125729=125243，∴第7个正方形的周长是4a 7=500243， ∵a n =a 1×(√53)n−1=3×(√53)n−1，∴第n 个正方形的面积为a n 2=9×(59)n−1，∴前n 个正方形的面积之和S ＝9[1+59+(59)2+⋯+(59)n−1]＝9×1×[1−(59)n]1−59=814[1﹣（59）n ]， 令814[1−(59)n ]＞2得，(59)n ＜181， 两边取常用对数得，nlg 59＜lg181，变形可得：n ＞lg81lg9−lg5=4lg32lg3−lg5≈7.48， 故至少需要前8个正方形的面积之和超过20． 故答案为：500243；8．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54； （2）渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4．解：（1）因为该双曲线的顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，离心率e =54， 所以{2a =8e =c a=54， 解得a ＝4，c ＝5， 则b 2＝c 2﹣a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 216−y 29=1；（2）当双曲线焦点在x 轴上时， 因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{ba =22b =4，解得a ＝1，b ＝2，则双曲线的标准方程为x 2−y 24=1； 当双曲线焦点在y 轴上时，因为渐近线方程是y ＝±2x ，虚轴长为4，所以{a b =22b =4，解得a ＝4，b ＝2， 则双曲线的标准方程为y 216−x 24=1．综上所述，双曲线的标准方程为x 2−y 24=1或y 216−x 24=1．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0． （1）求顶点C 的坐标． （2）求直线BC 的方程．解：（1）∵边AC 上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0 ∴k AC •k BH ＝﹣1， ∴k AC ＝﹣2，∵△ABC 的顶点A （5，1），∴直线AC 方程；y ﹣1＝﹣2（x ﹣5），即2x +y ﹣11＝0 与2x ﹣y ﹣5＝0联立，{2x +y −11=02x −y −5=0，解得：{x =4y =3．∴顶点C 的坐标为（4，3）．（2）∵CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，设点M （m ，2m ﹣5）∵M 是AB 中点，A （5，1）， ∴B （2m ﹣5，4m ﹣11）∵B （2m ﹣5，4m ﹣11）在BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣7＝0上 ∴2m ﹣5﹣2（4m ﹣11）﹣7＝0， 解得：m =53， 所以B(−53，−133)， ∴BC 的方程为：y −3=2217(x −4)， 即22x ﹣17y ﹣37＝0．19．（12分）已知A 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9． （1）求p 的值；（2）若斜率为1的直线l 经过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 相交于M 、N 两点．求线段|MN |的长． 解：（1）不妨设A （x ，y ）， 因为点A 在抛物线上， 所以y 2＝2px （p ＞0），因为点A 到抛物线C 的焦点F 的距离为12，点A 到y 轴的距离为9， 所以AF =9+p2=12， 解得p ＝6；（2）由（1）知抛物线C ：y 2＝12x ，焦点F （3，0）， 此时直线l 的方程为y ＝x ﹣3，联立{y 2=12x y =x −3，消去y 并整理得x 2﹣18x +9＝0，此时Δ＝182﹣4×9＞0，不妨设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由韦达定理得x 1+x 2＝18，则|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+p ＝18+6＝24．20．（12分）数列{a n }满足a 1＝2，a n a n +1＝16n （n ∈N *）． （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n ={a n ，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．解：（1）由a n a n+1=16n ，a 1=2，可得a 2＝8， 由a n+1a n+2=16n+1，又a n a n +1＝16n ， 上面两式相除得：a n+2a n=16，可得数列{a n }的奇数项和偶数项均为公比为16的等比数列， 则a 2k =8×16k−1=24k−1，即a n =22n−1， a 2k−1=2×16k−1=24k−3，即a n =22n−1， 综上所述，{a n }的通项公式为：a n =22n−1； （2）由题设及（1）可知：b n ={22n−1，n 为奇数b n−1+n ，n 为偶数，S 2n ＝b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n ﹣1+b 2n ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+⋯+b 2n ） ＝（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（b 1+2+b 3+4+b 5+6+⋯+b 2n ﹣1+2n ）＝2（b 1+b 3+b 5+⋯+b 2n ﹣1）+（2+4+6+⋯+2n ）＝2（21+25+29+⋯+24n ﹣3）+（2+4+6+⋯+2n ）=2×2(1−16n )1−16+n(2n+2)2=4(16n−1)15+n(n +1)．21．（12分）已知等差数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2，其中S n 为{a n }的前n 项和，递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）设{a n •b n }的前n 项和为T n ，求T n ； （3）设∁n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1，{∁n }的前n 项和为A n ，A n ≥λn+1恒成立，求实数λ的最大值．解：（1）数列{a n }的首项为a 1，公差为d 的等差数列，数列{a n }满足a 3＝S 2+1，S 3＝a 4+2， 整理得：{a 1+2d =2a 1+d +1S 3=3a 1+3×22d =a 1+3d +2，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝2n ﹣1．递增的等比数列{b n }满足：b 1＝1，且b 1，b 2，b 3﹣4成等差数列． 所以公比q ＞1．利用2×(b 1q)⬚=b 1+(b 1q 2−4)，解得q ＝3或﹣1（﹣1舍去）， 故b n =3n−1，（2）由（1）得：令c n =a n b n =(2n −1)⋅3n−1， 所以T n =1×30+3×31+...+(2n −1)⋅3n−1①， 3T n =1×31+3×32+...+(2n −1)⋅3n ②，①﹣②得：−2T n =1+2×[3×(3n−1−1)3−1]−(2n −1)⋅3n ，故T n =(n −1)⋅3n +1． （3）由于C n =(a n +4)(S n +n)⋅b n+1=2n+3(n 2+n)⋅3n =1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n，所以A n =11×30−12×31+...+1n⋅3n−1−1(n+1)⋅3n =1−1(n+1)⋅3n ， 由于A n ≥λn+1恒成立， 即1−1(n+1)⋅3n ≥λn+1恒成立， 故λ≤n +1−13n ， 由于函数f （x ）=x +1−13x 为增函数，故f(x)min =f(1)=2−13=53， 所以λ≤53， 故λ的最大值为53．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0），直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（1）求椭圆的C 的标准方程；（2）若直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29，求|PQ |的取值范围． 解：（1）由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为2√23，左顶点为A （﹣3，0）， 可得{c a =2√23a =3a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =1，c =2√2，故椭圆C 的标准方程为：x 29+y 2＝1；（2）直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1•k 2=−29， 由（1）得：x 29+y 2＝1，因为直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，由题可知，直线l 斜率为0时，k 1k 2＞0，所以直线l 的斜率不为0， 设直线l ：x ＝my +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立方程{x =my +n x 29+y 2=1，得（m 2+9）y 2+2mny +n 2﹣9＝0， 所以Δ＝4m 2n 2﹣4（m 2+9）（n 2﹣9）＝36（m 2﹣n 2+9），且y 1+y 2=−2mn m 2+9，y 1•y 2=n 2−9m 2+9， 所以k 1k 2=y 1x 1+3⋅y 2x 2+3=y 1y 2(my 1+n+3)(my 2+n+3)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(n+3)(y 1+y 2)+(n+3)2=n 2−99(n+3)2=n−39(n+3)=−29，解得n ＝﹣1，此时Δ＝36（m 2+8）＞0恒成立，所以直线l 的方程为x ＝my ﹣1，直线l 过定点（﹣1，0）， 此时y 1+y 2=2m m 2+9，y 1y 2=−8m 2+9， 所以|PQ|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√1+m 2⋅√4m 2(m 2+9)2+32m 2+9=6√(m 2+1)(m 2+8)m 2+9，令t ＝m 2+9≥9， 所以|PQ|=6√(t−8)(t−1)t 2=6√8t2−9t +1， 令u =1t，则t ∈（0，19]，故|PQ |＝6√8u 2−9u +1在(0，19]上单调递减， 故|PQ |的取值范围为[4√23，6）．。
江苏省泰州市姜堰区2016-2017学年八年级(上)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1．4的平方根是（）A．2 B．±2 C．D．﹣22．下面的图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，74．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（7﹣b）2=0，则此等腰三角形的底边长为（）A．3或7 B．4 C．7 D．35．下列说法正确的是（）A．无限小数都是无理数B．9的立方根是3C．平方根等于本身的数是0D．数轴上的每一个点都对应一个有理数6．如图，OP是∠AOB的平分线，点C、D分别在∠AOB的两边OA、OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．∠OPC=∠OPD B．PC=PD C．PC⊥OA，PD⊥OB D．OC=OD二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）7．比较大小：﹣|﹣3| ﹣．．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为cm．10．在镜子中看到电子表显示的时间是，电子表上实际显示的时间为．11．在等腰三角形ABC中，∠A=100°，则∠C=°．12．已知正数x的两个平方根是m+3和2m﹣15，则x=．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AB=5，AC=3，则△ACE的周长为．14．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为．15．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠AA′B′=20°，则∠B的度数为°．16．如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．三、解答题（共102分）17．求下列各式中x的值．（1）x2﹣2=0（2）（x+1）2﹣9=0．18．计算：（1）1+﹣（2）﹣32+（π﹣1）0+．19．如图，点E、F在线段BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：△ABF≌△DCE．20．已知5x﹣1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的值．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A＞∠B．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，垂足为D，交BC于E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若CE=DE，求∠A的度数．22．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB=AD=CD．（1）试说明∠ABC=2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE=AB．23．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B两格点位置如图所示．（1）在如图正方形网格中找格点C，使△ABC是等腰直角三角形，问：满足条件的点C有个；（2）如图，点D为正方形网格的格点，试求△ABD的面积．24．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C出发，沿线段CA向点A运动，到达A点后停止运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PBC是等腰三角形；（2）过点P作PH⊥AB，垂足为H，当H为AB中点时，求t的值．25．在小学，我们已经初步了解到，正方形的每个角都是90°，每条边都相等．如图，在正方形ABCD的AD边右侧作直线AQ，且∠QAD=30°，点D关于直线AQ 的对称点为E，连接DE、BE，DE交AQ于点G，BE的延长线交AQ于点F．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求∠ABE的度数；（3）若AB=4，求FG的长．26．已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B 向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，求证：QE=QF；（2）如图2，若AC=BC，求证：BF=AE+EF；（3）在（2）的条件下，若AE=6，QE=，求线段AC的长．2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1．4的平方根是（）A．2 B．±2 C．D．﹣2【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义求出4的平方根即可．【解答】解：4的平方根是±2；故选B．2．下面的图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念分别判断得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．3．如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．【解答】解：A、∵22+32≠42，∴此三角形不是直角三角形，不合题意；B、∵32+42=52，∴此三角形是直角三角形，符合题意；C、∵42+52≠62，∴此三角形不是直角三角形，不合题意；D、∵52+62≠72，∴此三角形不是直角三角形，不合题意．故选：B．4．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（7﹣b）2=0，则此等腰三角形的底边长为（）A．3或7 B．4 C．7 D．3【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分3是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，a﹣3=0，7﹣b=0，解得a=3，b=7，①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、7，∵3+3＜7，∴不能组成三角形，②3是底边时，三角形的三边分别为3、7、7，能组成三角形，所以，三角形底边长为3故选D．5．下列说法正确的是（）A．无限小数都是无理数B．9的立方根是3C．平方根等于本身的数是0D．数轴上的每一个点都对应一个有理数【考点】实数．【分析】根据实数的分类、平方根和立方根的定义进行选择即可．【解答】解：A、无限不循环小数都是无理数，故A错误；B、9的立方根是，故B错误；C、平方根等于本身的数是0，故C正确；D、数轴上的每一个点都对应一个实数，故D错误；故选C．6．如图，OP是∠AOB的平分线，点C、D分别在∠AOB的两边OA、OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．∠OPC=∠OPD B．PC=PD C．PC⊥OA，PD⊥OB D．OC=OD【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．【解答】解：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠BOP，OP是公共边，A、添加∠OPC=∠OPD可以利用“ASA”判定△POC≌△POD，B、添加PC=PD符合“边边角”，不能判定△POC≌△POD，C、添加PC⊥OA，PD⊥OB可以利用“AAS”判定△POC≌△POD，D、添加OC=OD可以利用“SAS”判定△POC≌△POD．故选B．二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）7．比较大小：﹣|﹣3| ＜﹣．【考点】实数大小比较．【分析】根据有理数大小比较的规律可知两个负数比较，绝对值大的反而小，即可得出答案．【解答】解：∵﹣|﹣3|=﹣，且|﹣|＞|﹣|，∴﹣＜﹣，∴﹣|﹣3|＜﹣．故答案是：＜．．【考点】近似数和有效数字．【分析】根据题目中的要求和四舍五入法可以解答本题．【解答】解：∵≈∴9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为5cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，∴CD=AB=×10=5cm．故答案为：5．10．在镜子中看到电子表显示的时间是，电子表上实际显示的时间为16：25：08．【考点】镜面对称．【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右，上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中从镜子中看到电子表的时刻16：25：08，所以此时实际时刻为16：25：08，故答案为：16：25：08．11．在等腰三角形ABC中，∠A=100°，则∠C=40°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】由条件可判断∠A为顶角，再利用三角形内角和定理求得∠C．【解答】解：∵∠A=100°，∴∠A只能为△ABC的顶角，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C=×=40°，故答案为：40．12．已知正数x的两个平方根是m+3和2m﹣15，则x=49．【考点】平方根．【分析】根据正数有两个平方根，它们互为相反数得出方程m+3+2m﹣15=0，求出m，即可求出x．【解答】解：∵正数x的两个平方根是m+3和2m﹣15，∴m+3+2m﹣15=0，∴3m=12，m=4，∴m+3=7，即x=72=49，故答案为：49．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AB=5，AC=3，则△ACE的周长为7．【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质．【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC===4．∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+BC=3+4=7．故答案为：7．14．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为﹣1．【考点】实数与数轴．【分析】根据勾股定理求出PB的长，即PD的长，再根据两点间的距离公式求出点D对应的数．【解答】解：由勾股定理知：PB===，∴PD=，∴点D表示的数为﹣1．故答案是：﹣1．15．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠AA′B′=20°，则∠B的度数为65°．【考点】旋转的性质．【分析】由将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，可得△ACA′是等腰直角三角形，∠CAA′的度数，然后由三角形的外角的性质求得答案．【解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠AB′C，∴∠CAA′=45°，∵∠AA′B′=20°，∴∠AB′C=∠CAA′+∠AA′B=65°，∴∠B=65°．答案为：65°．16．如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是18．【考点】角平分线的性质．【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OD=OF，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD=OF=3，∴△ABC的面积=×12×3=18．故答案为：18．三、解答题（共102分）17．求下列各式中x的值．（1）x2﹣2=0（2）（x+1）2﹣9=0．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】（1）移项后即可直接利用直接开平方法求解可得；（2）由原式可得（x+1）2=9，直接开平方法即可得．【解答】解：（1）x2﹣2=0，x2=2，x=±；（2）（x+1）2﹣9=0，（x+1）2=9，∴x+1=±3，即x=﹣1±3，∴x=﹣4或x=2．18．计算：（1）1+﹣（2）﹣32+（π﹣1）0+．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】（1）原式利用算术平方根及立方根定义计算即可得到结果；（2）原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=1+2﹣3=0；（2）原式=﹣9+1+5=﹣3．19．如图，点E、F在线段BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：△ABF≌△DCE．【考点】全等三角形的判定．【分析】由BE=CF，两边加上EF，得到BF=CE，利用AAS即可得证．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS）．20．已知5x﹣1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的值．【考点】立方根；算术平方根．【分析】利用平方根、立方根定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：5x﹣1=9，4x+2y+1=1，解得：x=2，y=﹣4，则4x﹣2y=8+8=16．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A＞∠B．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，垂足为D，交BC于E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若CE=DE，求∠A的度数．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出AB的垂直平分线即可；（2）根据CE=DE可得出△ACE≌△ADE，故可得出∠CAE=∠DAE，再由线段垂直平分线的性质得出∠B=∠DAE，根据直角三角形的性质得出∠DAE的度数，进而可得出结论．【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；（2）∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°．在Rt△ACE与Rt△ADE中，∵，∴Rt△ACE≌Rt△ADE，∴∠CAE=∠DAE．∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠B=∠DAE=∠CAE，∴3∠CAE=90°，∴∠CAE=30°，∴∠BAC=2∠CAE=60°．22．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB=AD=CD．（1）试说明∠ABC=2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE=AB．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质，以及等量关系即可求解；（2）根据角平分线的性质和平行线的性质可得∠E=∠ABE，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∴∠ABC=∠ADB，∵AD=CD，∴∠DAC=∠C，∵∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C，∴∠ABC=2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB=∠ABE，∠E=∠CAD，∴∠ABE=∠E，∴AE=AB．23．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B两格点位置如图所示．（1）在如图正方形网格中找格点C，使△ABC是等腰直角三角形，问：满足条件的点C有4个；（2）如图，点D为正方形网格的格点，试求△ABD的面积．【考点】等腰直角三角形；三角形的面积．【分析】（1）画出图形，结合图形即可得到点C的个数；（2）△ABD的面积=长方形的面积﹣三个直角三角形的面积．【解答】解：（1）由图可知：使△ABC是等腰直角三角形点C的个数为4，故答案为4；（2）△ABD的面积=8﹣1﹣﹣2=．24．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C出发，沿线段CA向点A运动，到达A点后停止运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PBC是等腰三角形；（2）过点P作PH⊥AB，垂足为H，当H为AB中点时，求t的值．【考点】等腰三角形的判定．【分析】（1）当△PCB为等腰三角形时，则可知其为等腰直角三角形，则有PC=BC，可求得t的值；（2）由题意可知PH为线段AB的垂直平分线，则有AP=BP，可用t表示出AP 和BP的长，在Rt△BCP中由勾股定理可列方程，可求得t的值．【解答】解：（1）∵∠C=90°，∴当△PBC为等腰三角形时，其必为等腰直角三角形，∴BC=PC，由题意可知PC=2t，且BC=6cm，∴2t=6，解得t=3，即当t为3秒时，△PBC为等腰三角形；（2）在Rt△ABC中，AB=10cm，BC=6cm，∴AC=8cm，∵PH⊥AB，且H为AB中点，∴PH垂直平分AB，∴PB=PA，由题意可知PC=2tcm，则PB=PA=（8﹣2t）cm，在Rt△PBC中，由勾股定理可得PB2=CB2+CP2，即（8﹣2t）2=62+（2t）2，解得t=，即当H为AB中点时t的值为．25．在小学，我们已经初步了解到，正方形的每个角都是90°，每条边都相等．如图，在正方形ABCD的AD边右侧作直线AQ，且∠QAD=30°，点D关于直线AQ 的对称点为E，连接DE、BE，DE交AQ于点G，BE的延长线交AQ于点F．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求∠ABE的度数；（3）若AB=4，求FG的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）欲证明△ADE是等边三角形，只要证明∠DAE=60°，AD=AE即可．（2）只要证明△ABE是顶角为30°的等腰三角形即可解决问题．（3）只要证明△EFG是等腰直角三角形即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∵D、E关于AQ对称，∴AD=AE，∠DAF=∠FAE=30°，∴∠DAE=60°，∵AD=AE，∴△AED是等边三角形．（2）解：由（1）可知AB=AE，∠BAE=90°﹣∠BAE=30°，∴∠ABE=∠AEB==75°．（3）解：在△ABF中，∵∠ABF=75°，∠FAB=60°，∴∠AFB=45°，∵AF⊥DE，∴∠FGE=90°，∴∠GFE=∠GEF=45°，∴FG=EG=DG=DE，∵AD=DE=AE=4，∴FG=2．26．已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B 向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，求证：QE=QF；（2）如图2，若AC=BC，求证：BF=AE+EF；（3）在（2）的条件下，若AE=6，QE=，求线段AC的长．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）先判断出∠BCF=∠EAC进而得出△BCF≌△CAE（AAS）即可得出结论；（3）先判断出△AEQ≌△BGQ进而得出△GFE是等腰直角三角形最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，（2）∵∠BCF+∠ECA=90°，∠EAC+∠ECA=90°∴∠BCF=∠EAC在△BCF和△CAE中：∴△BCF≌△CAE（AAS）∴BF=CE CF=AE∴BF=CF+EF=AE+EF（3）延长EQ交BF于G∵AE⊥CE、BF⊥CE∴∠AEF=∠BFE=90°∴AE∥BF∴∠EAQ=∠GBQ在△AEQ和△BGQ中：∴△AEQ≌△BGQ∴AE=BG、EQ=GQ∵AE=CF∴BG=CF∵BF=CE∴BF﹣BG=CE﹣CF，即GF=EF∴△GFE是等腰直角三角形∵EQ=GQ∴QF⊥EG、QF=EG=QE=∴EF==2∴在Rt△ACE中：AC==10．2017年3月18日。
2014届一轮复习数学试题选编15数列综合问题(教师版)
an 满 足
a1 1, an 1 1 an (an 1) , (n N ) ,且
____.
【答案】 解答题
1 1 1 =2,则 a2013 4a1 的最小值为 a1 a2 a2012
7 2
13． ｛a （江苏省苏南四校 2013 届高三 12 月月考试数学试题）设数列
由条件可得 2( 1) 又 b1= ( 6) ,所以 当 λ =-6 时,bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列, 当 λ ≠-6 时,b1= ( 6) ≠0,由上可知 bn≠0,∴
+
2 3
bn 1 2 (n∈N+). bn 3
5
故当 λ ≠-6 时,数列{bn}是以-(λ +6)为首项,-
当 n 为正奇数时,1<f(n) 当 a<b 3a 时,由-b-6 -3a-6,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 时存在实数 λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b, 且 λ 的取值范围是(-b-6, -3a-6)
【编号】706 【难度】较难 16． （镇江市 2013 届高三上学期期末考试数学试题） 已知函数 f ( x ) ln(2 x ) ax 在区间 (0,1)
【答案】
3
14． （南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷）已知数列 {an } 的各项都为正数,
2 且对任意 n N * ,都有 an 1 an an 2 k (k 为常数).
(1)若 k (a2 a1 )2 ,求证: a1 , a2 , a3 成等差数列;(2)若 k=0,且 a2 , a4 , a5 成等差数列,求
【解析版】江苏省姜堰市2013届高三下学期期初考试数学试卷
江苏省姜堰市2013届高三下学期期初考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合M={1，x2}，N={1，x}，且集合M=N，则实数x的值为0．考点：集合的相等．专题：阅读型．分析：根据集合相等的定义与集合中元素的互异性，判定x满足的条件，求出即可．解答：解：∵集合M=N，∴x2=x≠1⇒x=0，∴答案是0．点评：本题考查集合的相等与集合中元素的互异性．2．（5分）计算i2013=i（i为虚数单位）考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：由i2=﹣1，结合指数幂的运算可得i2013=（i4）503•i，代入计算即可．解答：解：i2013=i2012•i=i503×4•i=（i4）503•i，而i4=（i2）2=（﹣1）2=1，故上式=i故答案为：i点评：本题考查虚数单位的性质，属基础题．3．（5分）已知向量=（cos36°，sin36°），=（cos24°，sin（﹣24°）），则=．考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：直接利用向量的数量积的坐标表示，然后结合两角和的余弦公式进行化简即可求解解答：解：由题意可得，=cos36°cos24°+sin36°sin（﹣24°）=cos36°cos24°﹣sin36°sin24°=cos（36°+24°）=cos60故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及两角和的余弦公式的简单应用，属于基础试题4．（5分）圆x2+y2﹣6x+8y=0的半径为5．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为标准形式，即可求得半径．解答：解：圆x2+y2﹣6x+8y=0 即（x﹣3）2+（y+4）2=25，故此圆的半径为5，故答案为5．点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．5．（5分）双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的方程为标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值．解答：解：双曲线，a=1，b=，∴c=，∴双曲线的离心率为e==，故答案为：．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的方程化为标准形式是解题的突破口．6．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n，则该数列前8项之和S8=255．考点：等比数列的前n项和；等比数列．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得，数列{a n}是以1为首项以2为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，数列{a n}是以1为首项以2为公比的等比数列=255故答案为：255点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题7．（5分）点M（1，m）在函数f（x）=x3的图象上，则该函数在点M处的切线方程为y=3x ﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求切线斜率，即y′|x=1，然后由点斜式即可求出切线方程．解答：解：f′（x）=3x2，f′（x）|x=1=3，即函数y=x3在点（1，m）处的切线斜率是3，又m=f（1）=1，所以切线方程为：y﹣1=3（x﹣1），即y=3x﹣2．故答案为：y=3x﹣2．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程问题，函数在某点处的导数为该点处的切线斜率．8．（5分）将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，第二组的平均数为40，则整个数组的平均数是45．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：利用加权平均数的计算公式进行计算．用20个数的总和除以20即可．解答：解：这两组数据的总和为10×50+10×40=900，那么这20个数的平均数是=45．故答案为：45．点评：本题考查加权平均数的计算方法．一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的个数．9．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+x+1（x，a，b∈R），若对任意实数x，f（x）≥0恒成立，则实数b的取值范围是[，+∞）．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要使得f（x）≥0恒成立，结合已知函数解析式可知，只有让a=0且二次函数开口向上且与x轴没有交点，结合二次函的性质可求解答：解：∵f（x）=ax3+bx2+x+1的定义域为R当a≠0时，函数的值域为R与题意矛盾故a=0若使得f（x）≥0恒成立，即bx2+x+1≥0恒成立则根据二次函数的性质可知∴b故答案为：[，+∞）点评：本题主要考查了函数的恒成立为题的求解，解题的关键是灵活利用函数知识10．（5分）（2013•黄埔区一模）已知直线l1：x+ay+6=0和l2：（a﹣2）x+3y+2a=0，则l1∥l2的充要条件是a=﹣1．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．。
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．B．x2﹣4＝4C．5x2+3x﹣2y＝0D．x﹣5＝02．（3分）如图，⊙O半径为5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是（ ）A．P点B．Q点C．M点D．N点3．（3分）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）A．B．C．D．4．（3分）杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（ ）A．x（x+12）＝864B．x（x﹣12）＝864C．x（x+6）＝864D．x（x﹣6）＝8645．（3分）如果一组数据2，3，4，5，x的方差大于另一组数据101，102，103，104，105的方差，那么x的值可能是（ ）A．3B．5C．6D．86．（3分）已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数且m≠0）的解是x1＝3，x2＝6则关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是（ ）A．x1＝﹣3，x2＝﹣6B．x1＝﹣4，x2＝﹣7C．x1＝4，x2＝7D．x1＝3，x2＝6二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只.需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是 ．8．（3分）若a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两根，则ab＝ ．9．（3分）一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到 球的可能性最大．（填球的颜色）10．（3分）已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径6，则它的侧面积为 ．11．（3分）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为 ；12．（3分）某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按80%、面试成绩按20%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为 分．13．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝ ；14．（3分）如图由正方形、正五边形、正六边形组合而成的图形中，∠2+∠3＝100°，则∠1＝ °．15．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为OB上一点，E、C关于BD对称，∠ODE＝30°，则∠C＝ °．16．（3分）如图，等边△ABC内接于⊙O，D为边AC上一动点（不与A、C重合），连接DO 并延长交边AB于E，将△ADE沿DE翻折为△FDE，边DF交BC于点G，若△CDG的周长记为C1，△ABC的周长记为C2，则的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）解方程：（1）x2﹣2x＝3；（2）（x+4）2＝5（x+4）．18．（8分）先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4＝0．19．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀．（1）从袋子中任意摸出1个球，则摸到的球是红球的概率为 ；（2）从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次中至少有一次是红球的概率．20．（8分）2023年10月8日，随着第19届亚运会在杭州闭幕，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，创造历史！第19届亚运会奖牌榜（部分）名次国家地区金牌银牌铜牌总数1中国201111713832日本5267691883韩国4259891904印度2838411075乌兹别克斯坦221831716中国台北192028677伊朗132120548泰国121432589巴林12352010朝鲜11181039（1）表中十个国家或地区金牌的众数是 ；奖牌总数的极差是 ；（2）根据表中数据，要清楚地反映各国家和地区金牌的占比，适合的统计图是 ；A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图（3）结合表中数据，简要评价中国在本届亚运会的成绩．21．（10分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DF⊥AB于F．（1）只用圆规在射线AC作一点E，使DE是⊙O的切线（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连结BC、OD，若AC＝6，AB＝10，求DF的长．22．（10分）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．（1）求小路的宽度；（2）某公司希望用200万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以128万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O 于点D．（1）求证：DI＝DB；（2）连结IO、BI，BD＝2，若IO⊥BI，求AI的长．24．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上异于B、C的一动点，以A为圆心，AD的长为半径作⊙A与AB、AC分别交于E、F．（1）若∠B＝50°，随着点D的运动，∠BDE+∠CDF的值是否为定值？若不是，请说明理由，若是，求出该定值；（2）从下列提供的条件中选择不超过两个条件，求∠FDC的度数，（供选择的条件：①DE∥AC，②⊙A与BC相切，③D为BC的中点）解：你的选择是： （填序号）25．（12分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“间根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“间根方程”．（1）方程x2﹣4x+3＝0是“间根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”．①若c＞0，判断方程cx2+bx+a﹣2＝0根的情况，并说明理由；②若a＝1，且c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，求b的值．26．（14分）【材料阅读】材料1：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，则这一点在该角的角平分线上．如图1，P为∠MON内一点，⊙P在射线OM、ON截得弦AB、CD，AB＝CD，则P在∠MON角平分线OQ上．材料2：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作这个三角形的“等弦圆”．认真研读以上材料，完成以下问题：【问题1】对于“等弦圆”下列描述正确得有 （填序号）；①每个三角形都有“等弦圆”；②一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心；③每个三角形都只有一个“等弦圆”；④若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，那么这个三角形一定是等边三角形．【问题2】如图2，⊙O是△ABC经过B、C两点的“等弦圆”，交边AB、AC于D、E．求证：AD＝AE；【问题3】已知等腰直角三角形腰为2，则“等弦圆”半径的取值范围为 ；【问题4】如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC经过C点的“等弦圆”，交边AC于E，交边BC于D，交边AB于F、G（G在F的右边）．（1）连结FC、GC，则∠FCG＝ °；（2）若AF⋅BG＝5，求弦FG与弧FG围成阴影部分的面积．2023-2024学年江苏省泰州市姜堰区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．【解答】解：A、是分式方程，不符合题意；B、x2﹣4＝4是一元二次方程，符合题意；C、5x2+3x﹣2y＝0是二元二次方程，不符合题意；D、x﹣5＝0是一元一次方程，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．2．【分析】根据图中的点在圆的分布位置，即可作答．【解答】解：A、因为点P在圆上，所以点P到圆心O距离即为半径，为5，故该选项是错误的；B、因为点Q在圆内，所以点Q到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的；C、因为点M在圆内，所以点M到圆心O距离小于半径5，故该选项是错误的；D、因为点N在圆外，所以点N到圆心O距离大于半径5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是点N，故该选项是正确的；故选：D．【点评】本题考查了点与圆心的位置关系，难度较小．3．【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，则它最终停留在黑砖上的概率是．故选：C．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．4．【分析】根据矩形长与宽之间的关系，可得出长为（x+12）步，再结合矩形的面积为八百六十四平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵宽比长少一十二步，且阔（宽）为x步，∴长为（x+12）步，又∵直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），∴根据题意可列出方程x（x+12）＝864．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．【分析】观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．【解答】解：数据101，102，103，104，105中，相邻两个数相差为1，一组数据2，3，4，5，x前4个数据也是相差1，若x＝1或x＝6时，两组数据方差相等，而数据2，3，4，5，x的方差比另一组数据101，102，103，104，105的方差大，则x的值可能是8；故选：D．【点评】本题主要考查方差，熟练掌握方差的定义是解题的关键．6．【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系求出二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象与x轴的交点坐标，进而根据二次函数图象的平移特征，求出二次函数y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k的图象与x轴的交点坐标，即可求出m（x﹣h﹣1）2＝k的解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0的解是x1＝3，x2＝6，∴二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象与x轴的交点坐标为（3，0），（6，0），∵将二次函数y＝m（x﹣h）2﹣k的图象向右移动1个单位长度，新图象的函数解析式为：y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k，∴二次函数y＝m（x﹣h﹣1）2﹣k的图象与x轴的交点坐标为（3+1，0），（6+1，0），即（4，0），（7，0），∴关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2﹣k＝0的解为x1＝4，x2＝7，即关于x的一元二次方程m（x﹣h﹣1）2＝k的解是x1＝4，x2＝7．故选：C．【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的平移，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只.需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2＝16，开方得：x＝±4，解得：x1＝﹣4，x2＝4．故答案为：x1＝﹣4，x2＝4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．8．【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，进行解答即可．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两根，∴ab＝﹣2023，故答案为：﹣2023．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．9．【分析】哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可．【解答】解：∵红球数量最多，∴摸到红球的可能性最大，故答案为：红．【点评】考查了可能性大小的知识，解题的关键是了解“哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大”，难度不大．10．【分析】根据圆锥的侧面积公式S＝πrl，进行计算即可熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．【解答】解：依题意知母线长l＝4，底面半径r＝6，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×6×4＝24π，故答案为：24π．【点评】此题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式．11．【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值，然后计算m﹣n的值．【解答】解：x2+6x+3＝0，x2+6x＝﹣3，x2+6x+9＝6，（x+3）2＝6，所以m＝3，n＝6，所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．﹣12．【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．【解答】解：∵笔试成绩按80%、面试成绩按20%，∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分），故答案为：81．【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．13．【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，∴b2﹣2（1+2c）＝b2﹣4c﹣2＝0﹣2＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式．14．【分析】利用正多边形求出每一个内角，然后通过角度和差即可求解．【解答】解：如图所示，正方形的每个内角为：90°，正五边形的每个内角为：108°，正六边形的每个内角为：120°，根据图形可知：∠2+90°+∠BAC＝180°①，∠3+90°+∠BCA＝180°②，∠1+∠ABC+120°+108°＝360°③，①+②+③得：∠2+90°+∠BAC+∠3+90°+∠BCA+∠1+∠ABC+120°+108°＝720°，∵∠2+∠3＝100°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠1＝32°，故答案为：32°．【点评】此题考查了正多边形的内角及三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握正多边形及其应用．15．【分析】连接OC，设∠EDB＝x，利用圆周角定理及三角形内角和定理可求得∠BOD＝100°，进而可得∠A＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．【解答】解：连接OC，如图：设∠EDB＝x，则∠ODB＝30°+x，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°+x，∵E、C关于BD对称，∴∠CDB＝∠EDB＝x，∠EBD＝∠CBD＝30°+x，∴∠BOC＝2∠BCD＝2x，∠DOC＝2∠DBC＝60°+2x，∴∠BOD+∠ODB+∠OBD＝180°，即：2x+60°+2x+30°+x+30°+x＝180°，解得：x＝10°，∴∠BOD＝60°+4×10°＝100°，∴，又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝130°，故答案为：130．【点评】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理以及圆内接四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．【分析】连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，由折叠性质可知：AD＝FD，则∠CAF＝∠HFA，从而有，通过弧度和差可得，所以∠HFC＝∠BCF，再由周长即可求解．【解答】解：如图，连接AF，CF，延长FD交⊙O于点H，连接AH，由折叠性质可知：AD＝FD，∴∠CAF＝∠HFA，∵∠CAH＝∠HFC，∴∠CAH+∠CAF＝∠HFC+∠HFA，即∠HAF＝∠CFA，∴，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∴，∴，AC＝FH，∴，∴∠HFC＝∠BCF，∴CG＝GF，设AC＝a，∴△CDG的周长C1＝CD+DG+CG＝CD+DG+GF＝CD+AD＝AC＝a，△ABC的周长C2＝AC+BC+AB＝3a，∴，故答案为：．【点评】此题考查了折叠的性质，圆周角定理，等边三角形的性质，在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先整理成一般式，再利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝3，∴x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）∵（x+4）2＝5（x+4），∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，即（x+4）（x﹣1）＝0，∴x﹣1＝0或x+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝x+1，接着利用因式分解法解一元二次方程，然后根据分式有意义的条件确定x＝4，最后把x＝4代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝x+1，解方程x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1∵x﹣1≠0且x+1≠0，∴x＝﹣4，当x＝﹣4时，原式＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了因式分解法解一元二次方程．19．【分析】（1）由共有3种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有2种，根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵袋中共有3个球，∴共有3种等可能结果，其中摸到红球可能的结果有2种，∴，故答案为：；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果，所有的结果中，满足“至少有一次是红球”的结果有8种，∴．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A 或B的概率．20．【分析】（1）利用众数和极差概念即可求解；（2）根据反映各国家和地区金牌的占比适合统计图是扇形统计图；（3）评价中国在本届亚运会的成绩合理即可．【解答】解：（1）由201，52，42，28，22，19，13，12，12，11中，12出现了2次，最多，则众数为12；由383，188，190，107，71，67，54，58，20，39中，最大的为383，最小的为20，则极差为383﹣20＝363，故答案为：12，363；（2）根据反映各国家和地区金牌的占比适合统计图是扇形统计图，故选：C；（3）中国代表团在本届亚运会上的成绩十分优异，均位居首位，尤其是本届中金牌数和奖牌数都创造了亚运会的历史最高纪录．【点评】此题考查了统计图的选择、加权平均数、众数以及极差等知识点，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．【分析】（1）如图1，连接OD，BC，AD，由点D是的中点，则＝，∠BAD＝∠CAD，AD为∠BAC的平分线，由垂径定理可得，OD⊥BC，由直径所对的圆周角为直角可得，∠ACB＝90°，则OD∥AC，由DE是⊙O的切线，可知DE⊥OD，则DE⊥AE，由角平分线的性质定理可得，DE＝DF，以D为圆心DF长为半径画弧，交AC于点E，点E即为所求；（2）如图2，连接BD，由（1）知，∠ACB＝90°，OD⊥BC，，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可．【解答】解：（1）如图1，点E即为所求；（2）由题意知，OB＝OD＝5，如图2，连接BD，BC，OD，OD与BC交于点M，由（1）知，∠ACB＝90°，OD⊥BC，，由勾股定理得，，∴，∵，∴，解得：DF＝4，∴DF＝4．【点评】本题考查了切线的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，直径所对的圆周角为直角，角平分线的性质定理，勾股定理等知识．有中点，连圆心，运用垂径定理解决问题是解题的关键．22．【分析】（1）设小路的宽度为x m，根据总面积为480m2，列方程求解即可；（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程200（1﹣y）2＝128，解方程即可求解．【解答】解：（1）设小路的宽度为x m，根据题意得：（20+2x）（16+2x）＝480，整理得：x2+18x﹣40＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣20（舍去），答：小路的宽度为2m；（2）设每次降价的百分率为y，根据题意，得：200（1﹣y）2＝128，解得：y1＝0.2，y2＝1.8（不合题意，舍去），0.2＝20%，答：每次降价的百分率为20%．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．23．【分析】（1）由内心的定义可知I为角平分线的交点，根据直径所对的圆周角是直角，三角形内角和以及角平分线的定义得出∠AIB＝135°，计算得出∠BID＝45°，即可证明；（2）过点O作OE⊥AD，交AD于点E，证明△BAD∽△OAE，△OIE是等腰直角三角形，利用相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵I是△ABC的内心，∴AI、BI分别平分∠CAB和∠CBA，∵AB为直径，∴∠C＝90°，∠D＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∴，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAO+∠IBO）＝135°，∴∠BID＝180°﹣135°＝45°，∴∠IBD＝180°﹣90°﹣135°＝45°，∴DI＝DB；（2）解：如图，过点O作OE⊥AD，交AD于点E，∵OE⊥AD，IO⊥BI，∴∠AEO＝90°，∠OIB＝90°，∵∠AEO＝∠D＝90°，∠BAD＝∠OAE，∴△BAD∽△OAE，∴，∵∠BID＝45°，∠OIB＝90°，∴∠OIE＝180°﹣∠BID﹣∠OIB＝45°，∵OE⊥AD，∴∠OEI＝90°，∴∠IOE＝180°﹣∠OEI﹣∠OIE＝45°，∴OE＝EI，∵，∴，∵BD＝2，∴OE＝1，DI＝BD＝2，∴EI＝1，DE＝EI+DI＝3，∵，∴AD＝2AE即AE+3＝2AE，∴AE＝3，∴AI＝AE+EI＝3+1＝4．【点评】本题考查圆的综合问题，以及相似三角形的判定与性质，内心是三角形内接圆的圆心，是三角形角平分线的交点；直径所对的圆周角是直角，这是隐含的直角条件．24．【分析】（1）在⊙A上取任意一点G，连接EG，FG，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得∠G＝40°，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得可得∠EDA+∠FDA＝100°+∠BDE+∠CDF，再根据圆内接四边形的性质即可求解．（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∠AED＝∠ADE＝∠ADF＝∠AFD，再根据平行线的性质可得∠EDA＝∠DAF，进而可得∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，进而可求解．【解答】解：（1）∠BDE+∠CDF＝40°，理由：在⊙A上取任意一点G，连接EG，FG，如图：∴四边形EDFG是圆内接四边形，∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝80°，∴，∴∠EDF＝180°﹣∠G＝140°，∵∠AED、∠AFD分别是△BED、△FCD的一个外角，∴∠AED＝∠B+∠BDE＝50°+∠BDE，∠AFD＝∠C+∠CDF＝50°+∠CDF，∵AE＝AD＝AF，∴∠EDA＝∠AED＝50°+∠BDE，∠FDA＝∠AFD＝50°+∠CDF，∴∠EDF＝∠EDA+∠FDA＝100°+∠BDE+∠CDF＝140°，∴∠BDE+∠CDF＝40°，为定值．（2）选择①DE∥AC，③D为BC的中点为条件，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵AE＝AD＝AF，∴，，∴∠AED＝∠ADE＝∠ADF＝∠AFD，∴，∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣60°＝30°，故答案为：①③．【点评】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关的性质，借助适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解法和根的判别式．（1）求出方程x2﹣4x+3＝0的根即可判断；（2）①由方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”可得b2﹣4ac＝4a2，然后结合根的判别式判断即可；②c是“间根方程”方程ax2+bx+c＝0的一个根，可得c＝0或c＝﹣b﹣1，结合可得b2﹣4c＝4，然后分2种情况计算即可．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x1＝1，x2＝3．∵3﹣1＝2，∴方程x2﹣4x+3＝0是“间根方程”；（2）①∵ax2+bx+c＝0，∴．∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0是“间根方程”，∴，∴b2﹣4ac＝4a2．∵cx2+bx+a﹣2＝0，∴Δ＝b2﹣4c（a﹣2）＝b2﹣4ac+8c＝4a2+8c，∵c＞0，∴方程cx2+bx+a﹣2＝0有两个不相等的实数根；②∵a＝1，∴ax2+bx+c＝0变为x2+bx+c＝0，∴．∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0是“间根方程”，∴，∴b2﹣4c＝4．∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，∴c2+bc+c＝0，∴c（c+b+1）＝0，∴c＝0或c＝﹣b﹣1，当c＝0时，b2﹣4×0＝4，b＝±2，当c＝﹣b﹣1时，b2﹣4×（﹣b﹣1）＝4，b＝0或b＝4，综上所述：b＝0，b＝±2，b＝4．【点评】本题考查了新定义的理解，一元二次方程根的判别式及公式法求解一元二次方程．26．【分析】[问题1]根据材料1和材料2逐项分析判断即可求解；[问题2]连接OD，OE，OB，OC，证明△AOB≌△AOC得出AB＝AC，即可得证；[问题3]过点A作AD⊥BC于点D，则，过点O作OE⊥AC，则△AOE是等腰直角三角形，分别求得AO，OE，即可求解；[问题4]（1）连接OC，OD，OF，OG，得出△OCD是等腰直角三角形，进而可得∠FOG ＝∠COD＝90°，根据圆周角定理即可求解；（2）根据问题2可得，AE＝AF，BG＝BD，设AE＝AF＝x，BG＝BD＝y，EC＝CD＝FG＝a，勾股定理得出a2＝2xy，又AF⋅BG＝5，即xy＝5，得出，则半径为，进而根据S阴影部分＝S扇形OFG﹣S△OFG，即可求解．【解答】解：[问题1]根据材料1材料2，可得一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，①每个三角形都有“等弦圆”，故①正确，符合题意；②一个三角形的“等弦圆”的圆心就是这个三角形的内心，故②正确，符合题意；③每个三角形有无数多个“等弦圆”，故③错误，不符合题意；④若一个三角形的三个顶点可以同时在它的“等弦圆”上，则三条弦相等，那么这个三角形一定是等边三角形，故④正确，符合题意，[问题2]证明：如图所示，连接OD，OE，OB，OC，∵⊙O是△ABC经过B、C两点的“等弦圆”，∴DB＝BC＝CE，∴弧DB＝弧BC＝弧CE，∴∠DOB＝∠EOC，又∵OD＝OB＝OE＝OC，∴∠OBA＝∠OCA，根据材料1，可得AO是∠BAC的角平分线，∴∠OAB＝∠OAC，又AO＝AO，∴△AOB≌△AOC（AAS），∴AB＝AC，∴AB﹣BD＝AC﹣CE，即AD＝AE；[问题3]解：如图所示，等腰直角三角形腰为2，即AB＝AC＝2，∴，过点A作AD⊥BC于点D，则，过点O作OE⊥AC，则△AOE是等腰直角三角形，设OE＝x，则OD＝OE＝x，，又∵，∴，解得：，则，∵⊙O是△ABC的“等弦圆”，当⊙O经过点直角顶点，点A时，此时半径为，当⊙O与AC相切时，半径为，∴“等弦圆”半径的取值范围为，故答案为：．[问题4]（1）如图所示，连接OC，OD，OF，OG，∵△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC经过C点的“等弦圆”，∴CD＝FG，，∵OC＝OD，∴△OCD是等腰直角三角形，又∵CD＝FG，∴弧CD＝弧FG，∴∠FOG＝∠COD＝90°，∴，故答案为：45．（2）AE＝AF，BG＝BD，设AE＝AF＝x，BG＝BD＝y，EC＝CD＝FG＝a，∴AC2+BC2＝AB2，即（x+a）2+（y+a）2＝（x+y+a）2，整理得，a2＝2xy，又∵AF⋅BG＝5，即xy＝5，∴（负值舍去），即，∴，∴．【点评】本题考查了“等弦圆”的定义，圆周角定理，三角形的内心，全等三角形的性质与判定，勾股定理，求扇形面积，理解新定义解题的关键．。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编13：等比数列及其前n项和(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编13：等比数列及其前n 项和（教师版）填空题错误！未指定书签。
．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知等比数列{}n a 满足43713a a a a =⋅,则数列{}n a 的公比q =____.【答案】3错误！未指定书签。
．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和,若3620a a +=,则63S S 的值是___________. 【答案】12错误！未指定书签。
．（2013江苏高考数学）在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为_____________.【答案】解析:本题主要考察等比数列的有关概念及性质.指数函数二次函数的单调性.猜想与证明等知识及推理论证能力. 由215=a ,及376=+a a 得方程组: ⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a 两式相除得:062=-+q q ,∴2=q (3-=q 舍)∴3211=a ∵n n a a a a a a 2121>+++∴)1(21111)1(-+++>--n nn q a qq a ∴2)10)(1(212-->-n n n ①∴n2>2)10)(1(212-->-n n n∴n2>2)10)(1(2--n n ②先通过②式利用函数xx f 2)(=大致确定n 的取值范围:∴2)10)(1(-->n n n ∴01132+-n n <0∴212913-<n <212913+又∵+∈N n 且12212113=+<212913+<13216913=+∴最大正整数n 的值为12 再通过①式利用函数12)(-=nn g 及2)10)(1(2)(--=n n n h 在区间[)+∞,6上是单调性说明最大正整数n的值为12 又∵2)1012)(112(12212-->- 1213-<2)1013)(113(2--且函数12)(-=nn g 及2)10)(1(2)(--=n n n h 在区间[)+∞,6上是单调增函数∴最大正整数n 的值为12错误！未指定书签。
江苏省淮阴中学、姜堰中学、徐州一中2023-2024学年高三上学期12月联考数学试题(含解析)
江苏省淮阴中学、姜堰中学等三校2024届高三上学期12月数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.设集合{}2log 1M x x =>，303x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（）A.[)2,3 B.()2,3 C.()2,+∞ D.()1,+∞2.设m ∈R ，则“2m =”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要3.(sin 40tan10=（）A.2B.－2C.1D.－14.已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则5a 的值为（）A.18B.54C.162D.4865.在ABC 中，点D 为BC 边中点，点E 在线段AC 上，且2AE EC =，若AD a = ，BE b = ，则AB为（）A.1324a b - B.1223a b+C.1324a b+D.1223a b -6.设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1ABF 为钝角三角形，则离心率的取值范围为（）A.01e <<-B.11e -<< C.112e << D.102e <<7.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图1，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差，某同学受此法的启发设计了另一种测量此山高度的方案（如图2）；他站在水平线AC 上，同时在水平线AC 上放一个小镜子（视为点P ），他在距离镜子a 米点Q 时，通过镜子看到了山顶，然后沿水平线AC 向靠近山的方向走了m 米，到达M 点，再将镜子放在距离自己b 米的前方点N 处，此时又看到了山顶，若此人的眼睛到水平线AC 的距离为h 米，则此山的高度约为（）米A.mhh a b+- B.mhh a b-- C.hmh a b-- D.hmh a b+-8.设tan 0.21a =，ln1.21b =，21121c =，则下列大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c<a<b二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）9.已知0a >，0b >，且1a b +=，下列说法正确的是（）A.114a b+≤ B.2212a b +≥C.122a b -<D.+≤10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则120z z = B.11,Z nnz z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅11.已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，则下列各选项正确的是（）A.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 B.ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()f x 在区间()0,2π有2个极小值点D.()f x 在区间()0,2π有3个极大值点12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与a 垂直，则实数x =____________.14.已知直线l 满足：原点到它的距离为2，点()3,0到它的距离为，请写出满足条件的直线l 的一个方程：______________.15.当实数0a ≠时，函数()()1e xf x x a x =--有且只有一个可导极值点，则实数a 的取值范围为________.16.已知[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]0.20=，[]1.21=，[]0.51-=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为()12n n nS a =+且515S =，记[]2log n n b a =，则数列{}n b 的前100项和为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知π(sin(),1)4a x =+ ，2)b x = .（1）当π[0,]4x ∈，5a =时，求7πsin()12x +；（2）若()f x a b =⋅，求()f x 的值域.18.已知圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C .（1）求圆T 的方程；（2）过点71,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 交圆T 于M 、N 两点，且2MP PN = ，求直线l 的方程.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c =，且12cos 2a Bb =+.（1）求ABC 周长的最大值；（2）若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，且a b <，求角A.20.已知数列{}n a 满足13a =，当()*2N n n ≥∈时，()111nn na n a-=++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列πsin2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21.已知函数()()e0xf x ax a =≠，()2g x x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()f x 与()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，过点()2,1P -作直线l 交椭圆C 于点M 、N .（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线QM ，QN 的斜率1k ，2k 满足1211k k +为常数？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.2023~2024学年度第一学期阶段性测试高三数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2log 1M x x =>，303x N x x +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（）A.[)2,3 B.()2,3 C.()2,+∞ D.()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，22{|log log 2}{|2}Mx x x x =>=>，{|(3)(3)0}{|33}N x x x x x =+-<=-<<，解得(2,3)M N = .故选：B2.设m ∈R ，则“2m =”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断.【详解】当2m=时，直线1:2210l x y +-=，直线2:3310l x y ++=，此时221331-=≠，所以直线1l ‖2l ，当1l ‖2l 时，21(10)311m m m -=≠+≠+，得(1)61210m m m m +=⎧⎪+≠-⎨⎪+≠⎩，解得2m =，所以“2m=”是“直线1:210l mx y +-=与直线()2:3110l x m y +++=”平行的充要条件，故选：C3.(sin 40tan10= （）A.2B.－2C.1D.－1【答案】D 【解析】【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.【详解】(sin 40tan10sin10=sin40(cos10sin 4012(sin10)22sin 40cos102(cos 60sin10sin 60cos10)sin 40cos102sin(1060)sin 40cos102sin 50sin 40cos102sin ︒︒⋅︒=︒︒=︒⋅︒︒⋅︒-︒⋅︒=︒⋅︒︒-︒=︒⋅︒-︒=︒⋅︒-=⋅ 40cos 40cos10sin 80cos101︒⋅︒︒-︒=︒=-故选:D4.已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则5a 的值为（）A.18B.54C.162D.486【答案】C 【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于1,a q 的方程组，从而利用等比数列的通项公式即可得解.【详解】因为122n n a S +=+，{}n a 为等比数列，设其公比为q ，当1n=时，2122a a =+，即1122a q a =+，当2n =时，()31222a a a =++，即()211122a q a a q =++，联立()1121112222a q a a q a a q =+⎧⎨=++⎩，解得12,3a q ==（0q =舍去），则445123162a a q ==⨯=.故选：C.5.在ABC 中，点D 为BC 边中点，点E 在线段AC 上，且2AE EC =，若AD a = ，BEb = ，则AB为（）A.1324a b -B.1223a b +C.1324a b +D.1223a b -【答案】A 【解析】【分析】先以,AB AC 为基底表示出AD 和BE，然后消去AC 可得.【详解】因为点D 为BC 边中点，2AE EC =，所以()1213AD AB AC BE AE AB AC AB ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩，消去AC 得234AD BE AB -= ，即13132424AB AD BE a b =-=-.故选：A.6.设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1ABF 为钝角三角形，则离心率e 的取值范围为（）A.01e <<B.11e -<< C.112e << D.102e <<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到212b F F a<，得到2220c ac a +-<，转化为2210e e +-<，进而求得椭圆C 的离心率的取值范围.【详解】由1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点，过2F 作x 轴的垂线与椭圆C 交于,A B 两点，可得22b AB a=，即22b AF a=，因为1ABF 为钝角三角形，则1245AF F ∠>︒，可得212b F F a <，即22b c a<，即22b ac >，又因为222b a c =-，可得222a c ac ->，即2220c ac a +-<，即2210e e +-<，且01e <<，解得01e <<-，即椭圆C 的离心率的取值范围为1)-.故选：A.7.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图1，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差，某同学受此法的启发设计了另一种测量此山高度的方案（如图2）；他站在水平线AC 上，同时在水平线AC 上放一个小镜子（视为点P ），他在距离镜子a 米点Q 时，通过镜子看到了山顶，然后沿水平线AC 向靠近山的方向走了m 米，到达M 点，再将镜子放在距离自己b 米的前方点N 处，此时又看到了山顶，若此人的眼睛到水平线AC 的距离为h 米，则此山的高度约为（）米A.mhh a b+- B.mhh a b-- C.hmh a b-- D.hmh a b+-【答案】B 【解析】【分析】利用三角形相似得到线段比，从而转化得解.【详解】记此人的眼睛在,M Q 处的位置分别为,D E ，如图，由题意可知ABN MDN ∽，ABP QEP ∽，所以AB ANMD MN=，AB APQE PQ=，又DM EQ h ==，MQ m =，,PQ a MN b ==，所以AB ANh b=，AB AP h a =，则b AB AN h ⋅=，a ABAP h⋅=，因为AP AN PN MP MN m a b -==+=-+，所以a AB b AB m a b h h ⋅⋅-=-+，解得mhAB ha b=--.故选：B.8.设tan 0.21a=，ln1.21b =，21121c =，则下列大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c b a<< D.c<a<b 【答案】C 【解析】【分析】首先通过构造函数得到当π02x <<时，tan x x >，再通过构造函数()()πln 1,02f x x x x =-+<<进一步得到()ln 1x x >+，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由此即可比较,a b ，通过构造函数()()ln 1,01x g x x x x=+->+即可比较,c b ，由此即可得解.【详解】设()πtan ,02h x x x x =-<<，则()()22cos cos sin sin 1π110,0cos cos 2x x x x h x x x x ⋅--'=-=-><<，所以()tan hx x x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()tan 00hx x x g =->=，即πtan ,02x x x ><<，令()()πln 1,02f x x x x =-+<<，则()11011x f x x x'=-=>++，所以()()ln 1f x x x =-+在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而()()()ln 100f x x x f =-+>=，即()ln 1x x >+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()tanln 1x x x >>+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而当0.21x =时，tan 0.21ln1.21a b =>=，令()()ln 1,01x g x x x x =+->+，则()()()()22110111x x x g x x x x +-'=-=>+++，所以()()ln 11xg x x x =+-+在()0,∞+上单调递增，所以()()210.21ln1.2100121g g =->=，即21ln1.21121b c =>=，综上所述：21tan 0.21ln1.21121a b c =>=>=.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是在比较,a b 的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，而在比较,c b 大小关系时，关键是通过构造适当的函数，通过导数研究函数单调性，从而来比较大小.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知0a >，0b >，且1a b +=，下列说法正确的是（）A.114a b+≤ B.2212a b +≥C.122a b -< D.≤【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合基本不等式和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】因为0a >，0b >，且1a b +=，对于A 中，由1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当b a a b=时，即12ab ==时，等号成立，所以A 不正确；对于B 中，由22221()21212(22a b a b a b ab ab ++=+-=-≥-⋅=，当且仅当12ab ==时，等号成立，所以B 正确；对于C 中，因为0a >，0b >，且1a b +=，可得10b a -=-<，又因为函数2x y =为单调递增函数，可得22a a ->，所以122a b ->，所以C 不正确；对于D 中，因为0a >，0b >，且1a b +=，设22πsin ,cos ,(02a b θθθ==<<，sin 2cos )θθθϕ+=+=+≤，其中tan 2ϕ=，所以D 正确.故选；BD.10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则12z z = B.11,Znn z z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】BCD 【解析】【分析】举例说明判断A ；利用复数的三角形式计算判断B ；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD.【详解】对于A ，当121i,1i =+=-z z 时，12122z z z z +==-，而1220z z =≠，A 错误；对于B ，令1(cos isin ),0,R z r r θθθ=+≥∈，则1(cos isin )n n z r n n θθ=+，于是1|||cos isin |n n n z r n n r θθ=+=，而1||z r =，即有1||n n z r =，因此11nn z z =成立，B 正确；设复数1i(,R)z a b a b =+∈，2i(,)z c d c d =+∈R ，对于C ，由22120z z +=，得2222()(22)i 0a b c d ab cd -+-++=，则22220220a b c d ab cd ⎧-+-=⎨+=⎩，2222120z z -=-=，因此12=z z ，C 正确；对于D ，21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，则21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，因此1212z z z z ⋅=⋅，D 正确.故选：BCD11.已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，则下列各选项正确的是（）A.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B.ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()f x 在区间()0,2π有2个极小值点D.()f x 在区间()0,2π有3个极大值点【答案】BC 【解析】【分析】由题意得到当且仅当ω满足π2π4π6π2π5π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，即2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭由此判断B ；进一步结合复合函数单调性、三角函数单调性以及B 选项分析即可进一步判断ACD.【详解】对于B ，由题意当[]0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由题意函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π有且仅有4个零点，所以当且仅当π2π4π6π2π5π6ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得23291212ω≤<，即ω的取值范围是2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故B 正确；对于C ，()0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由B 选项分析可知π4π2π5π6t ω≤=+<，而sin y t =在ππ,2π66ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭确定的极小值点有且仅有两个：3π7π,22，故C 选项正确；对于D ，()0,2πx ∈时，πππ,2π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由B 选项分析可知π4π2π5π6t ω≤=+<，而sin y t =在ππ,2π66ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭确定的极大值点有两个：π5π,22，但当π9π4π2π62t ω≤=+≤时，()f x 在区间()0,2π有且仅有2个极大值点，故D 选项错误；对于A ，由B 选项分析可知2329,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，不妨取2329,11252212ω∈=⎡⎫⎪⎢⎣⎭，此时ππ37π,6672t x ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，而sin y t =在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π37π,272⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 选项错误.故选：BC.12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，若()g x 为奇函数，则（）A.()22f = B.()()042g g ''+=- C.()()13f f -=- D.()()44g g ''-=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知()g x '为偶函数，()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.【详解】已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，因为()()1f x g x +'=，()()43f x g x -'-=，可得()()42'+-=-'g x g x ，又因为()g x 为奇函数，则()()g x g x =--，可得()()g x g x ''=-，即()g x '为偶函数，则()()42+=''--g x g x ，即()()42''++=-g x g x ，可得()()842''+++=-g x g x ，所以()()8x g x g ''+=，可知()g x '的周期为8.对于选项A ：因为()()42'+-=-'g x g x ，()()1f xg x +'=令2x =，则()()222''+=-g g ，()()221+='f g ，可得()21g '=-，()22f =，故A 正确；对于选项B ：因为()()42'+-=-'g x g x ，令0x =，可得()()042g g ''+=-，故B 正确；对于选项C ：因为()()42'+-=-'g x g x ，且()g x '为偶函数，则()()42''-++=-g x g x ，令=1x -，可得()()132''+=-g g ，又因为()()1f x g x +'=，令1,3x =-，则()()111'-+-=f g ，()()331+='f g ，可得()()()()13132'-++-+='f f g g ，可得()()134f f -+=，但由题设条件无法推出()()13f f -=-，故C 错误；对于选项D ：因为()g x '的周期为8，故()()44g g ''-=，故D 正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()1,a x = ，()1,b x =- ，若2a b - 与a垂直，则实数x =____________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的坐标表示，列出方程求解即得.【详解】由()1,a x =，()1,b x =- ，得2221,1a x a b x =+⋅=-+ ，由2a b - 与a 垂直，得2(2)20a b a a a b -⋅=-⋅= ，即有22(1)2(1)0x x +--+=，解得x =所以实数x =.故答案为：14.已知直线l满足：原点到它的距离为2，点()3,0到它的距离为，请写出满足条件的直线l 的一个方程：______________.【答案】10x y -+=（答案不唯一，10x y ++=）【解析】【分析】设出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式，列式不解即得.【详解】当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x a =，于是||2a =，且|3|a -=，显然无解，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，于是2==，整理得22222168k b k kb b ⎧-=-⎨++=⎩，消去常数项得()(35)0k b k b -+=，即有0k b -=或350k b +=，由22210k b k b ⎧-=-⎨-=⎩解得1k b ==或1k b ==-，而方程组2221350k b k b ⎧-=-⎨+=⎩无解，因此1k b ==或1k b ==-，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=.故答案为：10x y -+=15.当实数0a ≠时，函数()()1e xf x x a x=--有且只有一个可导极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】1[e,)-+∞【解析】【分析】根据题意，转化为()e x g x x =与y a =±的图象交点个数问题，分类讨论，利用导数求得函数()g x 的单调性与极小值，结合图象，即可求解.【详解】由函数()()()()1e ,01e 1e ,0xxxx ax x f x x a x x ax x ⎧--≥⎪=--=⎨-+<⎪⎩，当0x ≥时，可得()e xf x x a '=-；当0x <时，可得()e x f x x a '=+，令()e x g x x =，可得()(1)e x g x x '=+，当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以，当=1x -时，函数取得极小值，极小值为()11eg --=-，且0x <时，()0g x <，()00g =，其函数()g x 的图象，如图所示，因为函数()f x 有且只有一个可导极值点，显然当0a <时，y a =与()e x g x x =在[)0,∞+上无交点，y a =-与()e xg x x =在(),0∞-上无交点，故不合题意，舍去，且由题目条件所知0a ≠，则0a >，①当函数()e x g x x =在[)0,∞+上与y a =，在(),0∞-上与y a =-上总共有一个交点时，当0a >时，设函数()f x 的唯一可导极值点为0x ，由图知00x >，若()e 0x f x x a ='-=在[0,)+∞有一个实数根，且()e 0x f x x a '=+=在(,0)-∞上没有实数根，则1ea a ->⎧⎨>⎩，可得1e a ->，此时0x 即为直线y a =与()()e 0x g x x x =≥的交点横坐标，符合题意；②若()e 0x f x x a ='-=在[0,)+∞有一个实数根，且在()e 0x f x x a '=+=在(,0)-∞上有且仅有一个实数根，且此零点的左右两侧导函数值不变号，则10ea a ->⎧⎨-=-⎩，可得1e a -=，此时满足题意，综上可得，实数a 的取值范围为1[e ,)-+∞.故答案为：1[e,)-+∞.16.已知[]x 为不超过x 的最大整数，例如[]0.20=，[]1.21=，[]0.51-=-，设等差数列{}n a 的前n 项和为()12n n n S a =+且515S =，记[]2log nn b a =，则数列{}n b 的前100项和为__________.【答案】480【解析】【分析】求出na n =，则得到[]2log nb n =，再利用[]x 的定义即可求出答案.【详解】由题意得()()1122nn n n nS a a a =+=+，所以11a =，()515355152S a a a =+==，所以33a =，所以公差3112d -==，所以n a n =，[][]22log log n n b a n ==，当1n=时，10b =，当23n ≤≤时，1n b =，当47n ≤≤时，2n b =，当815n ≤≤时，3n b =，当1631n ≤≤时，4n b =，当3263n ≤≤时，5n b =，当64100n ≤≤时，6n b =，所以数列{}n b 的前100项和为0122438416532637480+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：480.【点睛】关键点睛：本题的关键是求出na n =，再利用取整函数的定义对nb 分类讨论，最后计算出答案.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知π(sin(),1)4a x =+ ，2)b x = .（1）当π[0,4x ∈，5a = 时，求7πsin()12x +；（2）若()f x a b =⋅ ，求()f x 的值域.【答案】（1）410+；（2）5[,14-.【解析】【分析】（1）利用给定的模求出π4x +的正余弦，再利用和角的正弦公式求解即得.（2）利用数量积的坐标表示求出()f x ，再利用换元法，结合二次函数求出函数值域.【小问1详解】由π(sin(),1)4a x =+ ，5a = ，得2π41sin ()1425x ++=，即2π16sin (425x +=，由π[0,]4x ∈，得πππ[,442x +∈，解得π4π3sin(),cos()4545x x +=+=，所以7πππππππ4134sin()sin[()]sin()cos cos()sin 12434343525210x x x x ++=++=+++=⨯+⨯=.【小问2详解】依题意，π())sin 2sin cos 2sin cos 4f x a b x x x x x x=⋅=++=++2sin cos (sin cos )1x x x x =+++-，令πsin cos )[4t x x x +=∈=+，则22151()24y t t t =+-=+-，当12t =-时，min 54=-y ，当t =时，max 1y =+所以()f x 的值域是5[,14-+.18.已知圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C .（1）求圆T 的方程；（2）过点71,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 交圆T 于M 、N 两点，且2MP PN =，求直线l 的方程.【答案】（1）226480x y x y +--+=（2）1x =，或351270--=x y 【解析】【分析】（1）设圆T 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入A 、B 、C 三点坐标可得答案；（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，求出M 、N 点坐标满足题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为()713-=-y k x ，与圆T 的方程联立，设()()1122,,,Mx y N x y ，利用2MP PN =可得2123+=x x ，再由韦达定理求出1x 、2x ，再根据12x x 可得答案.【小问1详解】设圆T 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为圆T 经过()4,0A ，()2,4B ，()5,3C ，所以16040416240259530D F D E F D E F +++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得648D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足224361632200+-=+-=>D E F ，所以圆T 的方程226480x y x y +--+=；【小问2详解】由（1）圆T 的方程为226480x y x y +--+=，因为2277816480339⎛⎫+--⨯+=-< ⎪⎝⎭，所以点P 在圆T 内，当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，与圆T 的方程联立即2216480x x y x y =⎧⎨+--+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩，当()1,1M 时，则()1,3N ，所以8220,0,33⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ MP PN ，不满足题意，当()1,1N 时，则()1,3M ，所以4420,,0,33⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ MP PN ，满足题意，当直线l 的斜率存在时，设方程为()713-=-y k x ，与圆T 的方程联立即()227136480y k x x y x y ⎧-=-⎪⎨⎪+--+=⎩，整理得()222222371260339⎛⎫++-+-+-+= ⎪⎝⎭k x k k x k k ，设()()1122,,,Mx y N x y ，可得212222631-+=++x x k k k ，2122237391-++=x k k kx ，1122771,,1,33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ MP x y PN x y ，由2MP PN =得12221x x -=-，可得2123+=x x ，221211122263231-++=++=+=+k k x x x x x x k ，可得2122331+-=+k k x k ，2224931-+=+k k x k ，所以2222221223724393933111-+++=+=-++⨯-x k k k k k k x k k k ，解得3512k =，所以直线l 的方程为()7351312-=-y x ，即351270--=x y ，综上所述，直线l 的方程为1x =，或351270--=x y.19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2c =，且12cos 2a Bb =+.（1）求ABC 周长的最大值；（2）若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，且a b <，求角A .【答案】（1）6；（2）π6.【解析】【分析】（1）根据给定等式，借助正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简并求出C ，然后利用余弦定理求解即得.（2）利用和差角的正弦公式、二倍角的正弦公式求解即得.【小问1详解】在ABC 中，由正弦定理及12cos 2a Bb =+，2c =，得1sin sin cos sin 2A C B B =+，则有1sin()sin cos sin 2B C C B B +=+，即1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C C B B +=+，即有1sincos sin 2B C B =，而0πB <<，即sin 0B >，因此1cos 2C =，又0πC <<，则π3C =，由余弦定理得2222222π142cos()3()3()()324a b c a b ab a b ab a b a b +==+-=+-≥+-⋅=+，当且仅当a b =时取等号，此时max ()4a b +=，所以当2ab c ===时，ABC 的周长取得最大值6.【小问2详解】在ABC 中，由sin sin()2sin 2C B A A +-=，得sin()sin()2sin 2B A B A A ++-=，化简得2sin cos 4sin cos B A A A =，由a b <，知A 是锐角，即cos 0A >，因此sin 2sin B A =，由（1）得，πsin()2sin 3A A +=，即1cos sin 2sin 22A A A +=，整理得tan 3A =，所以π6A =.20.已知数列{}n a 满足13a =，当()*2N n n ≥∈时，()111n n na n a -=++.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）21,N na n n *=+∈（2）2,431,42,N 1,41,4n n n k n n k T k n n k n n k*+=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨--=-⎪⎪-=⎩【解析】【分析】（1）根据题意构造新数列1nna b n =+，利用累加法求得{}n b 的通项公式，进而求得{}n a 的通项公式.（2）根据（1）中所求知21,430,42πsin 21,4120,4n n n n k n k n c a n n k n k+=-⎧⎪=-⎪==⎨--=-⎪⎪=⎩，分四种情况依次求数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 即可.【小问1详解】由题13a =且当()*2N n n ≥∈时，()111nn na n a -=++，则11,21(1)n n a a n n n n n -=+≥++，令113,1112n n a a b b n ===++，即11111,2(1)1nn n n b b b b n n n n n --=+⇒-=-≥++，则211123bb -=-，323411b b -=-，L ，1111n n b b n n --=-+，累加得1111,22,2211n nb b n b n n n -=-≥⇒=-≥++，132b =也符合，所以12,N 1n b n n *=-∈+，1221,N 11n n n a b a n n n n *=-=⇒=+∈++.【小问2详解】由（1）得21na n =+，令πsin2n n n c a =，则21,430,42πsin 21,4120,4n n n n k n k n c a n n k n k+=-⎧⎪=-⎪==⎨--=-⎪⎪=⎩，其中N k *∈，即12343,0,7,0c c c c ===-=，L，434241485,0,81,0,N k k k k c k c c k c k *---=-==-+=∈，因为43424144,N k k k k cc c c k *---+++=-∈所以当4n k =时，1244n n nT c c c n =+++=-⨯=- ，当41n k =-时，1114014n n n n T T c n +++=-=-⨯-=--，当42n k =-时，()()2212421114n n n n n T T c c n n ++++=--=-⨯--+-=+，当43n k =-时，111102n n n T T c n n ++=-=++-=+，则数列πsin 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和122,431,42,N 1,41,4n n n n k n n k T c c c k n n k n n k*+=-⎧⎪+=-⎪=+++=∈⎨--=-⎪⎪-=⎩ .21.已知函数()()e 0x f x ax a =≠，()2g x x =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）当0x >时，()f x 与()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.【答案】21.答案见解析22.1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据题意，求得()(1)e x f x a x '=+，分类讨论，即可求得函数的单调区间；（2）设公切线与()y f x =和()y g x =的切点分别为121(,))e ,(,x x b t b a -，根据导数的几何意义求得切线方程，转化为()1211214,(0)1ex x a x x -=>+，设()()2241exx h x x =+，利用导数求得函数()hx 的单调性与极值，得出函数()h x 的值域，即可求解.【小问1详解】解：由函数()()0x f x axe a =≠，可得()(1)e x f x a x '=+，当0a >时，可得(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，(1,)∈-+∞x 时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0a <时，可得(,1)x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，(1,)∈-+∞x 时，()0f x '<，()f x 单调递减.【小问2详解】解：设公切线与()y f x =和()y g x =的切点分别为121(,))e ,(,x x b t b a -，可得()111(1)e x kf x a x '==+，可得切线方程为1111(1)e ()x x y ate a x x x -=+-，即112111(1)e ()e x x t y a x x ate a x t =++-+，即()112111e e x x y a x x ax =+-由()2g x x =-，可得()2g x x '=-，则2k b =，所以切线方程为22y bx b =-+所以1112212(1)e x x b a x b ax e⎧-=+⎨=-⎩，可得1211214,(0)(1)ex x a x x -=>+，设()2124,(0)(1)e xx h x x x =>+，可得()34(2)(1)(1)e x x x x h x x -+-'=+，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以，当1x =时，函数()h x 取得极大值，极大值为()11eh =，又由当0x →时，()0h x →；当x →+∞时，()0h x →，所以()10e h x <≤，所以10e a <-≤时，即实数a 的取值范围为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法策略：利用导数研究参数问题的求解策略：1、分离参数法：根据不等式的基本性质将参数分离出来，得到一端是参数，一端是变量的表达式的不等式，转化为求解含有变量的表达式对应的函数的最值问题，进而求得参数的范围；2、构造函数法：根据不等式的恒成立，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，求出函数的最值（值域），进而得出相应的含参数的不等式，从而求解参数的取值范围；3、图象法：画出不等式对应的函数的图象，结合函数图象的走势规律，确定函数的极值点或最值点的位置，进而求得参数的取值范围.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，过点()2,1P -作直线l 交椭圆C 于点M 、N .（1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一定点Q ，使得直线QM，QN 的斜率1k ，2k 满足1211k k +为常数？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）()2,0【解析】【分析】（1）由题意根据准线方程、长轴长、平方关系列出方程组，即可得解.21（2）不妨设直线:(2)1l y k x =++，0(,0)Q x ，1122(,),(,)M x y N x y ，将直线方程与椭圆方程联立根据韦达定理，可将1211k k +表示成含0,x k 的代数式，根据1211k k +定值的条件判断0x 是否存在即可.【小问1详解】由题意椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一条准线方程为4x =，长轴长为4，即24,24a a c==，又因为222a b c =+，所以2,1,a c b ===C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知，直线l 的斜率的存在，所以可设:(2)1l y k x =++，联立22143x y +=可得222(34)8(21)4(21)120k x k k x k +++++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，()()()()22221642144342112961202k k k k k k ⎡⎤∴∆=+-++-=->⇒<⎣⎦，21212228(21)4(21)12+=,=3+43+4k k k x x x x k k ++--，若存在满足条件的0(,0)Q x ，10201020121212112121x x x x x x x x k k y y kx k kx k ----∴+=+=+++++10220112()(21)()(21)(21)(21)x x kx k x x kx k kx k kx k -+++-++=++++1201202212122(21)()2(21)(21)()(21)kx x k kx x x x k k x x k k x x k ++-+-+=+++++00(2412)6123x k x k -+-=+当00(2412)6=123x x -+-时，0=2x ，这时12114k k +=-，即满足条件的(2,0)Q .。
江苏省泰州市靖江市2024-2025学年高三上学期11月期中调研测试数学试题(无答案)
2024~2025学年度第一学期调研测试高三数学（考试时间：120分钟总分：150分）注意事项：1.请将选择题、填空题的答案和解答题的解题过程涂写在答题卷上，在本试卷上答题无效.2.答题前，务必将自己的考场号、座位号、姓名、准考证号涂写在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设集合，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数满足，则（）A. B. C. D.3.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.4.函数的图象大致是（）A. B. C. D.5.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.设数列的前项之积为，满足，则（）A. B. C. D.7.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少。
已知改良工艺前的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过{}2|log1=>A x xR=C A()0,2(]0,2(),2-∞(],2-∞z()34512i+=+z i=z5131351251340.32=a20.3=b()2log0.3(1)=+>xc x x a b c<<b a c<<a b c<<c b a<<b c a()2cos22π=--xy x()33=-f x x x()212,-a a a(-()1,4-(]1,2-()1,2-{}na nnT()*21N+=∈n na T n2024=a4047404910111012101110134048404932.25g/m32.21g/m nnr()()0.25*0103R,N+=+-⋅∈∈n tnr r r r t nr1rn时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）A.12B.13C.14D.158.已知某个三角形的三边长为，，，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ）A.B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列说法正确的是（ ）A.若，则B.不存在实数，使得C.若向量，则或D.若向量在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为10.对于函数，给出下列结论，其中正确的有（ ）A.函数的图象关于点对称B.函数在区间上的值域为C.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象D.曲线在处的切线的斜率为111.已知函数，及其导函数，的定义域均为R ，若的图象关于直线对称，，，且，则（ ）A.为偶函数B.的图象关于点对称C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.30.65g /m lg20.30≈lg30.48≈a b c <a b a b 2=-+y ax bx c a ()1,1212⎛⎝⎛ ⎝⎫⎪⎭)=a m ()0,1=b 2= a 1⋅= a b m ∥a b()4⊥-a ab 1=m 3=m a b - b ab 23π()21cos sin 2=+-f x x x x ()=y f x ()5,012π()=y f x 2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()=y f x 3πcos2=-y x ()=y f x 4π=x ()f x ()g x ()'f x ()'g x ()21-f x 1=x ()()11++=+f x g x x ()()1+=-+f x g x x ()21=g ()f x ()g x ()3,3()2021'=g ()991g 4949==∑i i12.函数的单调递增区间为________.13.已知是数列的前项和，是和的等差中项，则________.14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知集合，.（1）当时，求；（2）在“充分条件”“必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.是否存在正实数，使得“”是“”的________？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在中，角，，所对的边分别为，，，设向量，，，且对任意，都有.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求的面积.17.（本小题满分15分）已知函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）若且恒成立，求的最小值.18.（本小题满分17分）已知数列前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状()()2ln 812=-+f x x x n S {}n a n n S 3n a 2-=n S △ABC A B C a b c 22233=-c a b ()tan -A B {}2|7100,R =-+<∈M x x x x {2,R}=-<∈‖∣N xx m x 1=m ⋂M N m ∈x M ∈x N m m △ABC A B C a b c ()()2sin ,sin =-m x A A ()cos ,1= n x ()=⋅ f x m n R ∈x ()()512π≤f x f ()fx =a sin sin +=B C △ABC ()ln =-f x x ax ()2=g x ax0≠a ()f x 0>a ()()≤f x g x a {}n a n n S ()*21N =-∈n n S a n {}n a =n n b na {}n b n n T ()32(1)0λλ=-⋅-≠n n n n c a λ*N ∈n 1+>n n c c λ态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.（1）证明：曲线是轴对称图形；（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，，，证明：；（3）已知函数，其中，，.若对任意的恒成立，求的最大值.()e e 2-+=x xD x ()e e 2--=x xR x ()()()()[]2222=--R x y D x R x D x =y t ()=y D x ()=y R x 1x 2x 3x (123ln 1++>+x x x ()()()2=--f x D x aR x b 2840+≤a b a R ∈b ()4f x …))ln1,ln 1⎡⎤∈-⎣⎦x +a b。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式填空题1 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m .【答案】14000 m .2 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为____.【答案】 3 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b ,设222223111p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】1034 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____.【答案】37(,]6-∞ 5 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1,则21x x +-的最小值为_________.【答案】16 ．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是______________【答案】37 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则11a c c a+++的最小值为_____. 【答案】48 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z++++的最小值为________________. 【答案】79 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22a b a b+-的最小值等于_________.【答案】10．（2013江苏高考数学）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】解析:本题主要考察二次函数的值域等基础知识,以及设元.换元法.分类讨论等数学思想方法.设点)1,(x x P (0>x ),则222222)1(2)1()1()(a x x a xx a x a x d ++-+=-+-=设t x x =+1(2≥t ),则21222-=+t xx 2)(22-+-=a a t d ,设2)()(22-+-=a a t t f (2≥t )对称轴为a t = 分两种情况:(1)2≤a 时,)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数,故2=t 时,)(t f 取最小值 ∴222)2(22min =-+-=a a d ,∴0322=--a a ,∴1-=a (3=a 舍)(2)a >2时,∵)(t f 在区间[]a ,2上是单调减,在区间[)+∞,a 上是单调增, ∴a t =时,)(t f 取最小值 ∴222)(22min =-+-=a a a d ,∴10=a (10-=a 舍)综上所述,1-=a 或1011．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为_______.【答案】3212．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）设,x y 是正实数,且1x y +=,则2221x y x y +++的最小值是____.【答案】14解:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t--+=-++-+ 4141()()6()2s t s t s t =+++-=+-.因为41141149()()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥所以221214x y x y +≥++. 13．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知正数x,y 满足2x+y-2 =0,则2x yxy+的最小值为___________________.【答案】9214．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于,M N两点,则线段MN 长的最小值是________【答案】【命题立意】本题考查了函数的图像、直线的方程、基本不等式等基础知识,重在考查学生分析问题和解决问题的能力4．【解析】设过原点与f(x)相交的直线方程为(0)y kx k =>,该直线与函数xx f 2)(=的交点坐标为和(,则线段PQ的长4PQ =≥,当且仅当22k k=即1k =时上式取等号.15．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）常数,a b 和正变量,x y 满足16a b ⋅=,x a +2b y =12,若2x y +的最小值为64,则ba =________.【答案】6416．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知x ,y 为正数,则22x yx y x y+++的最大值为______. 【答案】32.本题可以进一步推广为:是否存在实数k ,使得2222x y x yk x y x y x y x y+≤≤+++++当 0xy >时恒成立?17．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,+∞),则1a +9c的最小值是________.【答案】3 解答题18．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为36平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)要最小.(1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高h 为多少米? (2)如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内,外周长最小为多少米?【答案】19．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）如图,某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为800平方米. (1)设试验田ABCD 的面积为S ,x AB =,求函数)(x f S =的解析式; (2)求试验田ABCD 占地面积的最小值.【答案】解:(1)设ABCD 的长与宽分别为x 和y ,则800)2)(4(=--y x42792-+=x xy试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x xx(2令t x =-4,0>t ,则32002808S t t=++,968≥当且仅当tt 32002=时,40=t ,即44=x ,此时,22=y答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时,占地面积最小为968米220．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图),长、宽分别是x 米、y 米,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路,大棚所占地面积为S 平方米,其中a ∶b =1∶2. (1)试用x ,y 表示S ;(2)若要使S 最大,则x ,y 的值各为多少?【答案】解:(1)由题意可得:1800xy =,2b a =则333y a b a =++=+38(2)(3)(38)(38)1808333y yS x a x b x a x x -=-+-=-=-=--8818001600180831808318083()33y S x x x x x =--=--⋅=-+1808318082401568-⨯=-=≤ 当且仅当1600x x =,即 40x =时取等号, S 取得最大值.此时 180045y x== 所以当40x =,45y =时,S 取得最大值。
2014届一轮复习数学试题选编32导数在切线上的应用(教师版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编32：导数在切线上的应用填空题1 ．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1,则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为__________.【答案】6x -y -5=0 ;2 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）在曲线331y x x =-+的所有切线中,斜率最小的切线的方程为________.【答案】y=3x+13 ．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）在平面直角坐标系xOy 中,点P是第一象限内曲线y = x 31上的一个动点,以点P 为切点作切线与两个坐标轴交于A ,B 两点,则△AOB 的面积的最小值为______.【答案】4233 ;4 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）曲线12++=x xe y x在点(0,1)处的切线方程为_____________..【答案】5 ．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点()1,0-.与函数()x f x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.【答案】1+=x y6 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知直线2+=x y 与曲线()a x y+=ln 相切,则a 的值为 _______.【答案】37 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）若函数))(2()(2c x x x f +-=在2=x 处有极值,则函数)(x f 的图象在1=x 处的切线的斜率为_________.【答案】5-;8 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线,则切线斜率为_____.【答案】1e9 ．（2010年高考（江苏））函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5=_________【答案】2110．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知直线kx y =是x y ln =的切线,则k 的值为___________【答案】1e11．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点,该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__ 【答案】【命题立意】本题主要考查了导数的应用、直线的方程、函数的最值等知识,对学生的运算求解能力、抽象概括能力都有较高的要求.)1(21ee +【解析】设则直线的方程为:,令,则,与垂直的直线方程为:,令,则,所以,考查函数,求导可得当时函数取得最大值.12．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））曲线()sin f x x x =在2x π=处的切线方程为______________.【答案】0x y -=13．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为________.【答案】 答案:1e 2y x =-.本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义.(1)()e (0)e x f f x f x ''=-+1(1)(1)e (0)1ef f f ''⇒=-+(0)1f ⇒=.在方程2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+中,令x =0,则得(1)e f '=. 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别.14．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）曲线y=2lnx 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为_____________【答案】(0,0)15．（2009高考(江苏)）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为__★___.【答案】【答案】(2,15)-16．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C :32(,,y ax bx d a b d =++为常数上,若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行,则32a b d ++=______.【答案】717．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.【答案】2e18．（2013江苏高考数学）抛物线2x y =在1=x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是__________.【答案】解析:本题主要考察导数的几何意义及线性规划等基础知识.x y 2'= ∴21'===x y k ∴切线方程为)1(21-=-x y与x 轴交点为)0,21(A ,与y 轴交点为)1,0(-B , 当直线y x z 2+=过点)0,21(A 时021m ax +=z 当直线y x z 2+=过点)1,0(-B 时2)1(20m in -=-⨯+=z ∴y x 2+的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,2解答题19．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知曲线x()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线相同,求ϕ的值.【答案】k 切=y ’=2221≥+++x x ,当且仅当x+2=1x+2,即x+2=1,x=-1时,取等号又k 切=y ’=2)2cos(2≤+ϕx ,∴k 切=2,此时切点A(-1,-1),切线l :y=2x+1 由)2cos(2ϕ+x =2得)2cos(ϕ+x =1,∴)2sin(ϕ+x =0,从而B(21-,0) ∴)1sin(ϕ+-=0, ϕ+-1=k π,Z k ∈,∴ϕ=k π+1,Z k ∈ 又22πϕπ<<-,∴ϕ= 120．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知0a >,函数3()(f x ax bx x =-∈R)图象上相异两点,A B 处的切线分别为12,l l , 且1l ∥2l .(1)判断函数()f x 的奇偶性;并判断,A B 是否关于原点对称; (2)若直线12,l l 都与AB 垂直,求实数b 的取值范围.【答案】解:(1)()()()()()x f bx ax x b x a x f -=--=---=-33,()x f ∴为奇函数设()()2211,,,y x B y x A 且21x x ≠,又()b ax x f -='23,()x f 在两个相异点,A B 处的切线分别为12,l l ,且1l ∥2l ,∴()()()22111222330k f x ax b k f x ax b a ''==-===->,∴2221x x =又21x x ≠,∴21x x -=, 又()f x 为奇函数, ∴点B A ,关于原点对称(2)由(1)知()()1111,,,y x B y x A --, ∴b ax x y k AB -==2111, 又()x f 在A 处的切线的斜率()b ax x f k -='=2113, 直线12,l l 都与AB 垂直,∴()()22111,31AB k k axb ax b ⋅=--⋅-=-,令021≥=ax t ,即方程014322=++-b bt t 有非负实根,∴302≥⇒≥∆b ,又212103b t t +=> , ∴0034>⇒>b b.综上3≥b 【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布;考查换元法考查推理论证能力.。
两角和与差的三角函数及二倍角公式(教师版)-推荐下载
的值
.
3
6
sin
cos
4
6
=2A3A4 55
7
,
=
3
24 25
,
.
5 6
14
,若
16
【答案】
65
7. ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研（3 月）测试数学试题）设 ，， ，
2
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
江苏省2014届一轮复习数学试题选编15：数列综合问题(教师版)
(ⅰ)求证: ;
(ⅱ)若存在 使 ,试问数列 能否为 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.
【答案】解:(1)若 ,则由① =0,得 ,
由②得 或 .
若 ,由①得, ,得 ,不可能.
综上所述, .
(2)设等差数列 的公差为 , >0.
命题 : 是等差数列;命题 :等式 对任意 ( )恒成立,其中 是常数.
⑴若 是 的充分条件,求 的值;
⑵对于⑴中的 与 ,问 是否为 的必要条件,请说明理由;
⑶若 为真命题,对于给定的正整数 ( )和正数M,数列 满足条件 ,试求 的最大值.
【答案】解:(1)设 的公差为 ,则原等式可化为
所以 ,
【答案】解:(1)由 ,得(n-1)an+1-(n+1)an=-(n+1),当n≥2时,
有-=-,
所以,-=-=-(-),
由叠加法,得当n≥3时,an=n(2n-1)
把n=1,a2=6代入 ,得a1=1,经验证:a1=1,a2=6均满足an=n(2n-1).
综上,an=n(2n-1),n∈N*
(2)由(1)可知:bn=,于是b1=,b2=,b3=,
则这 个正整数的和S=______________.
【答案】
．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案)）设等比数列 的公比 , 表示数列 的前n项的和, 表示数列 的前n项的乘积, 表示 的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积,
即 ,则数列 的前n项的和是____(用 和q表示)
①
当n为正奇数时,1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)= ,f(n)的最小值为f(2)= ,
江苏省泰州2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学含答案
江苏省泰州2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟；总分：150分）命题人：一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）1.直线x =的倾斜角为（）A.0B.30oC.60oD.902.“1a =-”是“直线330ax y ++=和直线()210x a y +-+=平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.抛物线214x y =的焦点到准线的距离是（）A.18B.14C.1D.24.与双曲线22154x y -=有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（）A.2212x y += B.22154x y += C.22110x y += D.221134x y +=5.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.46.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60o ），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（）A.该椭圆的离心率为312B.该椭圆的离心率为23C.该椭圆的焦距为3263- D.该椭圆的焦距为31-7.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是．A.()()22110x y x y --⋅-+= B.()22110x y x y ---+=C.()22110x y x y ---+ D.22110x y x y ---+=8.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>具有相同的左、右焦点1F ，2F ，点P 为它们在第一象限的交点，动点Q 在曲线1C 上，若记曲线1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，满足121e e ⋅=，且直线1PF 与y 轴的交点的坐标为230,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，则12F QF ∠的最大值为（）A.π3B.π2C.2π3 D.5π6二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.）9.已知直线()()()()12:12250,:3480R l t x t y t l x y t +-+++=-+=∈，则（）A.直线1l 过定点()1,3B.当1t =时，12l l ⊥C.当2t =时，12l l ∥ D.当12l l ∥时，两直线12,l l 之间的距离为110.已知F 是抛物线2:C y x =的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（）A.若54AF =，则AOF 的面积为18 B.若BB '垂直C 的准线于点B '，且2BB OF '=，则四边形OFBB '的周长为354C.若直线AB 过点F ，则AB 的最小值为1D .若14OA OB ⋅=- ，则直线AB 恒过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（）A.2212PF PF -的最小值为8B.212PF PF OP -为定值C.若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D.若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6.三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.经过点()1,2P ，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______.13.已知P 为椭圆22:193x y C +=上的一个动点，过P 作圆22:(1)2M x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 的最小值为__________.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与平行于x 轴的动直线交于,A B 两点，点A 在点B 左侧，双曲线C 的左焦点为F ，且当AF AB ⊥时，AF AB =.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长BF 至点P 使AF FP =，连接AP 交x 轴于点Q ，则FQ FP的值是__________.四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知ABC V 的顶点()1,2A ，AB 边上的中线所在直线的方程为30x y +=，AC 边上的高BH 所在直线的方程为2340x y --=．（1）求点B ，C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．16.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点(5,2)-的直线与抛物线交于P ，Q 两点.（1）求||||PF QF +的最小值；（2）判断点(1,2)N 是否在以PQ 为直径的圆上，并说明理由.17.椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1.2点3(1,2P 、A 、B 在椭圆E 上，且(R)PA PB mOP m +=∈．（1）求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；（2）当3m =-时，证明原点O 是PAB 的重心，并求直线AB 的方程．18.已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点.（1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上.19.已知曲线C 由()2240x x y +=≤和221(0)84x y x +=>组成，点()2,0A -，点()2,0B ，点,P Q 在C上.（1）求PA PB +的取值范围（当P 与A 重合时，0PA =）；（2）若OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.江苏省泰州2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）命题人：一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）1.直线x =的倾斜角为（）A.0B.30oC.60oD.90【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可直接求得结果.【详解】 直线x =的斜率不存在，∴直线x =的倾斜角为90 .故选：D.2.“1a =-”是“直线330ax y ++=和直线()210x a y +-+=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行的等价条件求出a 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当1a =-，则直线分别为330x y -++=和直线310x y -+=满足平行，即充分性成立，若直线330ax y ++=和直线(2)10x a y +-+=平行，当0a =时，直线分别为330y +=和210x y -+=，不满足条件，当0a ≠时，满足12133a a -=≠，即(2)3a a -=，解得3a =或1a =-，当3a =时，两直线重合，故不满足条件，故1a =-，即必要性成立，综上“1a =-”是“直线330ax y ++=和直线(2)10x a y +-+=平行”的充要条件，故选：C ．3.抛物线214x y =的焦点到准线的距离是（）A.18B.14C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线方程确定焦准距p 的值，即得答案.【详解】因为抛物线方程为214x y =，故焦准距18p =，即焦点到准线的距离是18，故选：A.4.与双曲线22154x y -=有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（）A.2212x y += B.22154x y += C.22110x y += D.221134x y +=【答案】C 【解析】【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出1b =，求出双曲线的焦点坐标，进而求出210a =，得到椭圆方程.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=，双曲线22154x y -=的焦点坐标为()()3,0,3,0-，又短轴长为2，故22b =，解得：1b =，则29110a =+=，故椭圆方程为22110x y +=.故选：C5.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2==.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60o ），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（）A.该椭圆的离心率为12B.该椭圆的离心率为2C.该椭圆的焦距为3- D.该椭圆的焦距为1-【答案】BC 【解析】【分析】先求得1BF ，结合椭圆的知识以及正弦定理求得,a c ，进而求得椭圆的离心率和焦距.【详解】()62sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 454+︒+︒=︒︒+︒︒=，如图，,A B 分别是椭圆的左､右顶点，1F 是椭圆的左焦点，BC 是圆的直径，D 为该圆的圆心.因为111,BD DF DF BC ==⊥，所以1BF =设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，则a c +=因为60,45,2,2A B BC AB a ∠∠====，由正弦定理得()22sin60sin 6045a=+ ，解得6a =，所以6c a ==，所以223c c a ==-=.故选：BC7.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是．A.()()22110x y x y --⋅-+= B.()2210x y -+=C.()10x y -- D.=【答案】C 【解析】【分析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可.【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项等价于10x y --=或2210x y -+=，表示折线y 1x =-的全部和双曲线，故错误；B 选项，等价于221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩或10x y --=，又10x y --=表示折线y 1x =-的全部，故错误；C 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或2210x y -+=，∴221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，2210x y -+=表示双曲线2x -21y =，符合题中的图象，故C 正确.D 选项，等价于221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩或221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩，221010x y x y ⎧--=⎨-+≥⎩表示折线y 1x =-在双曲线外部（包含有原点）的部分，和221010x y x y ⎧--≥⎨-+=⎩表示双曲线在x 轴下方的部分，故错误.故选C.【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时同时需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题．8.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>具有相同的左、右焦点1F ，2F ，点P 为它们在第一象限的交点，动点Q 在曲线1C 上，若记曲线1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，满足121e e ⋅=，且直线1PF 与y 轴的交点的坐标为230,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，则12F QF ∠的最大值为（）A.π3B.π2C.2π3 D.5π6【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，结合离心率可得11211a c e a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，在12PF F 中，利用余弦定理可得112e =，进而结合椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，12F QF ∠取到最大值，分析求解即可.【详解】由题意可知：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，又因为1122121c e a c e a e e ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，可得11211a c e a e c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，由直线1PF 与y 轴的交点的坐标为230,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得12cos PF F ∠=，在12PF F 中，由余弦定理可得()()()()()2222221212112212112122cos 222a a c a a PF F F PF PF F PF F F a a c ++--+-∠==⋅+⋅()22212121111211a a c c c a a c e c e c c e e ++===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1121e e =+，整理得42118210e e +-=，解得2114e =或2112e =-（舍去），且10e >，所以112e =，由椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，12F QF ∠取到最大值，此时12111sin22F QF c e a ∠===，且()120,πFQF ∠∈，则12π0,22F QF ⎛∠⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12π26F QF ∠=，即12π3F QF =∠.故选：A..【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到12cos PF F ∠的两种表达方式，构造了关于1e 的方程，从而得解.二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.）9.已知直线()()()()12:12250,:3480R l t x t y t l x y t +-+++=-+=∈，则（）A.直线1l 过定点()1,3B.当1t =时，12l l ⊥C.当2t =时，12l l ∥ D.当12l l ∥时，两直线12,l l 之间的距离为1【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，将直线1l 化简整理为()2250t x y x y -++-+=，令20250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解方程组即可求出所过定点；对于B ，将1t =代入直线1l 中，分别求出直线1l 与2l 的斜率，通过两条直线垂直的判定条件判断选项正误即可；对于C ，将2t =代入直线1l 中，分别求出直线1l 与2l 的斜率，通过两条直线平行的判定条件判断选项正误即可；对于D ，通过12l l //，求出参数2t =，然后根据平行线间距离公式求解即可.【详解】对于A ，直线()()()1:12250l t x t y t +--++=化为()2250t x y x y -++-+=，令20250x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 过定点()1,3，故A 选项正确；设直线1l 的斜率为1k ，设直线2l 的斜率为2k ，对于B ，当1t =时， 1:2370l x y -+=，∴123k =，2:3480l x y -+= ，234k ∴=，又 1k 与2k 均存在且121k k ⋅≠-，1l ∴与2l 不垂直，故B 选项错误；对于C ，当2t =时，1:3490l x x -+= ，∴134k =，2:3480l x y -+= ，234k ∴=，又12k k = ，且1l 与2l 不重合，1l ∴与2l 平行，故C 选项正确；对于D ，12//l l ，()()4132t t ∴-+=-+，解得：2t =，得1:3490l x y -+=，2:3480l x y -+=，故两条直线之间的距离为15d =，故D 选项错误.故选：AC10.已知F 是抛物线2:C y x =的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（）A.若54AF =，则AOF 的面积为18 B.若BB '垂直C 的准线于点B '，且2BB OF '=，则四边形OFBB '的周长为354C.若直线AB 过点F ，则AB 的最小值为1D.若14OA OB ⋅=- ，则直线AB 恒过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用抛物线焦点弦的性质，可判定A ，C 正确；利用拋物线的定义，数形结合求解四边形OFBB '的周长，可判定判断B 不正确；设直线AB 的方程为x my t =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得t 的值，可判定D 正确．【详解】对于选项A 中，设()11,A x y ，由焦半径公式得11544x +=，解得11x =，所以11y =±，所以1111248AOF S =⨯⨯=△，所以A 正确；对于选项B 中，由题意知14OF =，根据抛物线的定义可知12BF BB '==，设BB '与y 轴的交点为D ，易知12OD BF ==，14B D '=，故4OB '==，所以四边形OFBB '的周长为111542244++++=，所以B 错误；对于选项C 中，若直线AB 过点F ，则当AB x ⊥轴时，AB 最小，且最小值为1，所以C 正确；对于选项D ，设直线:AB x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 与抛物线方程得20y my t --=，则12y y t =-，所以2221212x x y y t ==，由14OA OB ⋅=- 可得121214x x y y +=-，即214t t -=-，解得12t =，故直线AB 的方程为12x my =+，即直线AB 恒过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，选项D 正确．故选ACD ．【点睛】对于抛物线的焦点弦的性质的结论拓展：若AB 是一条过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，当AB 所在直线的倾斜角为α，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得121cos p p AF x α=+=-，则221cos p p BF x α=+=+，弦长1222sin p AB x x p α=++=；同时通径是指过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦，弦长等于2p ，且通径是过焦点的最短的弦．11.已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（）A.2212PF PF -的最小值为8B.212PF PF OP -为定值C.若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D.若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6.【答案】AB 【解析】【分析】设00(,)P x y ，由222128PF PF x -=，可判定A 正确；化简2122PF PF OP -=，可判定B 正确；设直线l 的方程为x my n =+，联立方程组，结合0∆=，得到2213n m =-，在化简123y y =-，可判定C 不正确；根据通经长和实轴长，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ==，所以焦点12(2,0),(2,0)F F -，且1222PF PF a -==，设00(,)P x y ，则01x ≥，且220013y x -=，即220033=-y x ，双曲线C 的两条渐近线的方程为y =，对于A 中，由()][()22222212000002288PF PF x y x y x ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以A 正确；对于B中，2221200()PF PF OP x y -=-+2200(33)x x =-+-2000(21)(21)(43)2x x x =+---=（定值），所以B 正确；对于C 中，不妨设1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为x my n =+，联立方程组2213x my ny x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(31)6330m y mny n -++-=，若直线l 与双曲线C 相切，则22223612(31)(1)0m n m n ∆=---=，整理得2213n m =-，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =M的纵坐标为1y =联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =N的纵坐标为2y =，则点,M N的纵坐标之积为21222233(13)33113y n m mm y ---==-=--所以C 不正确；对于D 中，若点Q 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为226b a=，若点Q 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为226a =<，所以D 错误.故选：AB.三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.经过点()1,2P ，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______.【答案】20x y -=和250x y +-=；【解析】【分析】根据直线过原点和不经过原点两种情况，即可由待定系数的方法求解.【详解】若直线经过原点，则设直线方程为y kx =，将()1,2P 代入可得20x y -=，若直线不经过原点，设直线方程为12x ya a+=，将()1,2P 代入可得52a =，所以直线方程为1552x y+=，即250x y +-=，故答案为：20x y -=和250x y +-=；13.已知P 为椭圆22:193x y C +=上的一个动点，过P 作圆22:(1)2M x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】设(),,P x y MAB θ∠=，解三角形可得AB θ=，sin PMθ=，利用两点距离公式求PM 的最小值，结合平方关系可求A 的最小值.【详解】设(),,P x y MAB θ∠=，由已知MA AP ⊥，由对称性可得AB PM ⊥,所以ππ,22PAB MAB MPA PAB ∠+∠=∠+∠=，则AB θ=，MPA MAB ∠∠θ==，且sin PMθ=，因为PM ===，因为33x -≤≤，所以2PM ≥，当且仅当32x =时等号成立，所以sinPM θ=≤π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos5θ=，所以521055AB θ=≥=.所以A 的最小值为5.故答案为：5.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与平行于x 轴的动直线交于,A B 两点，点A 在点B 左侧，双曲线C 的左焦点为F ，且当AF AB ⊥时，AF AB =.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长BF 至点P 使AF FP =，连接AP 交x 轴于点Q ，则FQ FP的值是__________.【答案】①.1+##1②.1##1-【解析】【分析】根据条件，设0(,)A c y -，代入双曲线方程得4202b y a =，再根据条件即可得22b c a=，从而求出结果；利用PQF PAB ，得到FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，则有2AB x =，AF =，BF =.【详解】当AF AB ⊥时，设0(,)A c y -，则有220221y c a b -=，解得4202b y a =，又AF AB =，所以22b c a=，又222b c a =-，所以222c a ac -=，两边同除2a ，得到2210e e --=，解得1e =+1e =-，因为PQF PAB ，有FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，则(,)B x y -，2AB x =，AF =，BF =所以22FQ a aFPc c==，又1ca=+，所以1a c ==，1+；1-.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用PQF PAB ，得到FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，(,)B x y -，求出,,AB AF BF ，化简并结合双曲线定义，即可求解.四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知ABC V 的顶点()1,2A ，AB 边上的中线所在直线的方程为30x y +=，AC 边上的高BH 所在直线的方程为2340x y --=．（1）求点B ，C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）()1,2B --,()3,1C -（2）7【解析】【分析】（1）设点(),B a b ，由题意可知点(),B a b 坐标满足BH 的方程，再表示出AB 的中点，代入AB 边上的中线方程，解方程组可求出点B 的坐标，求出AC 的斜率，可求出直线AC 的方程，再与30x y +=联立，可得点C 的坐标，（2）利用两点间的距离公式求出AC 的长，再利用点到直线的距离公式求出B 到直线AC 的距离，从而可求出三角形的面积.【小问1详解】设点(),B a b ，因为B 在直线BH 上，所以2340a b --=，①又A ，B 的中点为12,22a b D ++⎛⎫⎪⎝⎭，且点D 在AB 的中线上，所以123022a b+++⨯=，②联立①②，得12a b =-⎧⎨=-⎩，即点()1,2B --．由题意，得1AC BH k k ⋅=-，所以32AC k =-，所以AC 所在直线的方程为32(1)2y x -=--，即3270x y +-=，③因为点C 在AB 边上的中线上，所以点C 的坐标满足直线方程30x y +=，④联立③④，得31x y =⎧⎨=-⎩，即()3,1C -．【小问2详解】由（1）得AC =，B 到直线AC的距离为13d ==，所以17213ABC S ==△，故ABC V 的面积为7．16.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点(5,2)-的直线与抛物线交于P ，Q 两点.（1）求||||PF QF +的最小值；（2）判断点(1,2)N 是否在以PQ 为直径的圆上，并说明理由.【答案】（1）11（2）在，理由见解析【解析】【分析】（1）需对直线分斜率存在和不存在，分别将两种情况下的直线与抛物线联立，从而求解.（2）由（1）知分情况对以PQ 为直径的圆对点N 进行验证，从而求解．【小问1详解】从而求（2）由（1）中当直线斜率，由题意知：抛物线焦点()1,0F ，准线：=−1，直线过定点()5,2-，且定点在抛物线内，所以得：直线的斜率不为0，设直线方程为()25x m y =++，当0m =时，直线率不存在，即直线方程为：5x =，此时：(5,P，(5,Q -，所以：12255212PF QF x x +=++=++=；当0m ≠时，即直线斜率存在时，得直线方程为：()25x m y =++，将直线与抛物线联立得：()2425y x x m y ⎧=⎪⎨=++⎪⎩，化简得：()248200y my m --+=，()()22164820161640m m m ∆=+⨯+=++>，设：211,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，由根与系数关系得：()12124820y y m y y m +=⎧⎨=-+⎩，()()22221212121228162820882444y y y y m m y y PF QF x x +-+++++++=++===()224412211111m m m =++=++≥，所以：当直线斜率存在时，PF QF +的最小值为：11.综上所述：PF QF +的最小值为：11.【小问2详解】在，理由如下：由（1）知：当直线斜率不存在时：直线为：5x =，(5,P，(5,Q -以PQ 为直径的圆方程为：()22520x y -+=，将()1,2N 代入得：()2215220-+=，所以点N 在以PQ 为直径的圆上；当直线斜率存在时：由（1）知：2114,24y NP y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭ ，2224,24y NQ y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()()()22222212121212121241644·22244416y y y y y y NP NQ y y y y y y -++--=⨯+--=+-++ ()()()22254410820850m m m m m =+-++-+-+=，所以得：NP NQ ⊥，90PNQ ∠=︒，所以得：点N 在以PQ 为直径的圆上.综上所述：点N 在以PQ 为直径的圆上.17.椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1.2点3(1,2P 、A 、B 在椭圆E 上，且(R)PA PB mOP m +=∈．（1）求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；（2）当3m =-时，证明原点O 是PAB 的重心，并求直线AB 的方程．【答案】（1）22143x y +=，12-；（2）证明见解析，220x y ++=.【解析】【分析】（1）设出椭圆方程，利用给定条件列出方程组求解；再设出点,A B 的坐标，利用点差法求解作答；（2）证明PAB 的重心坐标为(0,0)，确定AB 中点坐标，点差法求出AB 的斜率，即可求解AB 的方程．【小问1详解】设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则222114b e a =-=，且221914a b +=，解得224,3a b ==，所以椭圆E 的方程为22143x y +=；设1122()A x y B x y ,,(,)，而3(1,)2P ，则112233(1,),(1,)22PA x y PB x y =--=-- ，由PA PB mOP += ，得12122332x x m y y m +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，即12122332x x m y y m +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，又由22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，则直线AB 的斜率121212123()3(2)134()24(3)2AB y y x x m k x x y y m -++==-=-=--++.【小问2详解】当3m =-时，由（1）知，点1122()A x y B x y ,,(,)的坐标满足1212132x x y y +=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，而3(1,)2P ，因此PAB 的重心坐标为(0,0)，所以原点O 是PAB 的重心；显然线段AB 的中点坐标为13(,)24--，此点在椭圆E 内，即直线AB 与椭圆E 必相交，由（1）知直线AB 的斜率121212123()3(1)134()24()2AB y y x x k x x y y -+⨯-==-=-=--+⨯-，所以直线AB 的方程为311(422y x +=-+，即220x y ++=.18.已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点.（1）若3CN ND = ，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上.【答案】（1）0y --=或0y +-=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为2x my =+并联立双曲线根据韦达定理可得1y 与2y 关系，结合3CN ND = 可得123y y =-，从而求得m 值得直线方程；（2）列出直线AC 与BD 方程，并求点P 坐标得12P x =，故得证.【详解】解：设直线l 的方程为2x my =+，设()11,C x y ，()22,D x y ，把直线l 与双曲线E 联立方程组，22214x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()224116120m y my -++=，则1212221612,4141m y y y y m m +=-=--，（1）()112,CN x y =-- ，()222,ND x y =- ，由3CN ND = ，可得123y y =-，即22841m y m =-①，22212341y m -=-②，把①式代入②式，可得22281234141m m m ⎛⎫-= ⎪--⎝⎭，解得2120m =，10m =±，即直线l的方程为0y --=或0y +-=．（2）直线AC 的方程为()1111y y x x =++，直线BD 的方程为()2211y y x x =--，直线AC 与BD 的交点为P ，故()1111y x x ++()2211y x x =--，即()1113y x my ++()2211y x my =-+，进而得到122121311my y y x x my y y ++=-+，又()121234my y y y =-+，故()()122121212133391433134y y y y y x x y y y y y -++-++===----++，解得12x =故点P 在定直线12x =上．【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.19.已知曲线C 由()2240x x y +=≤和221(0)84x y x +=>组成，点()2,0A -，点()2,0B ，点,P Q 在C 上.（1）求PA PB +的取值范围（当P 与A 重合时，0PA =）；（2）若OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.【答案】（1）4,⎡⎣（2）2,⎡⎣【解析】【分析】（1）注意到,A B 是椭圆的左右焦点，且是圆与x 轴的交点，分点P 是否在y 轴的右侧两种情况讨论即可得解；（2）当两点在半椭圆上时（不含y 轴），设()1:,:0OP y kx OQ y x k k==-≠，求出O ，同理求出O ，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含y 轴）和一点在y 轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案.【小问1详解】注意到,A B 是椭圆的左右焦点，且是圆与x 轴的交点，当点P 在y 轴的右侧时，由椭圆的定义可得PA PB +=；当点P 不在y 轴的右侧时，设π,0,4PBA αα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则π4sin 4cos 4PA PB ααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ,442α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π4,4PA PB α⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，综上所述，4,PA PB ⎡+∈⎣；【小问2详解】记OPQ △的面积为S ，当两点在半椭圆上时（不含y 轴），设()1:,:0OP y kx OQ y x k k==-≠，联立22184x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则有22821P x k =+，故()()222222281121P P P k OP x y k x k +=+=+=+，同理可得()2222218181221k k OQ k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，故()()()22222221614212k OP OQS k k +==++，令21,1t k t =+>，则21k t =-，则()()222216161611211119224t S t t t t t ===-+⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，由1t >，得101t<<，所以221664,8911924S t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，所以8,3S ⎡∈⎢⎣；当两点都在半圆上时，2OP OQ ==，则22OP OQS ==；当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含y 轴），由对称性，可设点P 在半椭圆上，则2OQ =，故()222222814442121k OP OQS k k +===+++，由0k ≠，可得2211k +>，所以()22444,821S k =+∈+，所以(2,S ∈；当一点在y 轴上一点在半椭圆上时，由对称性，可设点Q 是曲线与y 轴的交点，则点P 为椭圆的右顶点，则2,OQ OP ==2OP OQS ==，综上所述，OPQ △面积的取值范围为2,⎡⎣.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。
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2012-2013学年江苏省泰州市姜堰市高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．（5分）已知点A（1，1），点B（3，5），则向量的模为2．
的坐标，然后由向量的模长公式可得．
的坐标为：
的模为
=
2．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3=0}，N={x|﹣4＜x≤2}，则M∩N={﹣1}．
3．（5分）各项是正数的等比数列{a n}中，a2，a3，a1成等差数列，则数列{a n}公比q=
．
a
a
q=
故答案为：
4．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），且此函数的图象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（2，）．
（
，又因为函数过（
+＜
）
）
5．（5分）已知x＞1，则x+的最小值为2+1．
化为：+1
=+11=，x=
+1
+1
y=x++1
6．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，，，
则cosB=．
，，
===
A=
cosB==．
故答案为：
7．（5分）若函数f（x）=（x﹣2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1
处的切线的斜率为﹣5．
8．（5分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0，则cosβ=．
，=
=
=
故答案为：．
9．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（5）=1．
=
=
10．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+2n=2a n，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1﹣2．
∴
11．（5分）设函数f（x）=n﹣1，x∈[n，n+1），n∈N，则方程f（x）=log2x有3个根．
12．（5分）已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是（﹣1，）．
=x
∴
＜
，
13．（5分）设等比数列{a n}的公比q≠1，S n表示数列{a n}的前n项的和，T n表示数列{a n}的前n项的乘积，T n（k）表示{a n}的前n项中除去第k项后剩余的n﹣1项的乘积，即T n（k）
=（n，k∈N+，k≤n），则数列的前n项的和是
（n+nq﹣）（用a1和q表示）
由题设知
，故
，∴
，
∴，
[
[n+nq]
（﹣
故答案为：（﹣
f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表．
下列关于f（x）的命题：
①函数f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；
⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是②⑤．
二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）已知各项均不相同的等差数列{a n}的前四项和S n=14，且a1，a3，a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n为数列{}的前n项和，求T2012的值．
==
∴
∴=
+﹣=
16．（14分）已知=（），=（sinx，cosx），设函数f（x）=，x
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值和最小值．
==
sin
x x=
或
=（sin2x=sin﹣
∈
﹣，即x=）的最大值为
﹣，即x=
17．（14分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x0＜x1＜…＜x i＜…＜x n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式
恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，
试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：…+f（x n））
；
＜
=f
18．（16分）（2009•浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．
的中点，易得，
）若
）…分）
，，
，…
时，
=
，所以
分）
于是当．的最小值
答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为
19．（16分）已知常数a＞0，函数
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若0＜a≤2，求f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）；
（3）是否存在常数t，使对于任意时，f（x）f（2t﹣x）+f2（t）≥[f（x）+f（2t﹣x）]f（t）恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
）当时，为增函数．
2
和（
，
）最小值
或
时，
20．（16分）已知等比数列{a n} 的首项a1=2011，公比，数列{a n} 前n项和记为s n，
前n项积记为
（1）证明s2≤s n≤s1
（2）判断与的大小，n为何值时，取得最大值
（3）证明{a n} 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为d1，d2，d3，…d n，…，，证明：数列{d n}为等比数列．（参考数据210=1024）
，根据
，公比
=
是奇数时，﹣时，﹣
是偶数时，时，
，∴=|a×
∵，
∵=
111，11
111，
1=a1
[1
[]1
1，则
a，公比为。