圆的方程练习题答案

圆的方程练习题答案

A级基础演练

一、选择题

1．(2013·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ( )．

A．－1 B．1 C．3 D．－3

解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－

1)＋2＋a＝0，∴a＝1.

答案 B

2．(2013·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0

A．原点在圆上B．原点在圆外

C．原点在圆内D．不确定

解析将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为00，所以原点在圆外．

答案 B

3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 ( )．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5

解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.

答案 D

4．(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ( )．A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16

C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16

解析设P(x，y)，则由题意可得：2x－22＋y2＝x－82＋y2，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.

答案 B

二、填空题

5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．

解析由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为4－32＋2－12＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.

答案 (x －2)2＋(y －4)2

＝2

6．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2

＋(y －1)2

＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．

解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|

2－2＝ 2.

答案

2

三、解答题

7．(12分)求适合下列条件的圆的方程：

(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．

解 (1)法一 设圆的标准方程为(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

，

则有⎩⎪⎨⎪⎧

b ＝－4a ，

3－a 2

＋－2－b 2

＝r 2

，

|a ＋b －1|

2＝r ，

解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2

＋(y ＋4)2

＝8.

法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． ∴半径r ＝

1－3

2

＋

－4＋2

2

＝22，

∴所求圆的方程为(x －1)2

＋(y ＋4)2

＝8.

(2)法一 设圆的一般方程为x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪

⎧

1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.

解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.

∴所求圆的方程为x 2

＋y 2

－2x －4y －95＝0. 法二 由A (1,12)，B (7,10)， 得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，

则AB 的垂直平分线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0.

联立⎩

⎪⎨

⎪⎧

3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，

y ＝2，

即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝

1－12

＋2－12

2

＝10.

∴所求圆的方程为(x －1)2

＋(y －2)2

＝100.

8．(13分)已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．

解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ①

又直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2

＋b 2

＝40，

②

由①②解得⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＝－3，

b ＝6

或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝5，

b ＝－2.

∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，

∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40