决策理论与方法 第4部分
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g j 1 e j , （ j 1, 2, , n ）
（4-11）
（4）确定指标权重。第 j 个指标权重为
j
gj
g
j 1
n
，（ j 1, 2, , n ）
j
（4-12）
熵值法的最大特点是根据原始数据所带来的信息确定指标权重， 在一定程度上避免了主观随意性。
第三节 层次分析法（AHP）
... 1 m ... 2 m ... m m
若决策人能够准确估计 aij（ i, j J ），则有：
aij 1
aij aห้องสมุดไป่ตู้k akj
a ji
(i, j, k J )
aii 1
第三节 层次分析法（AHP）
定义 1 设 A (aij ) mm , A 0 ，（即 aij>0；i,j=1,2,..,m）,如果满 足条件 (1) aii 1 （i=1,2,..,m）， (2) aij 1
多属性决策问题的决策矩阵是求解多属性决策问题的依据，是属 性值和决策准则这两个要素的基础。先引入用来描述决策问题的常用 符号。 属性集通常使用 F={ f1 , f 2 ,, f n }，或者用符号 Y={ y1 , y 2 ,, y n } 来表示。属性集是由为综合评价各个方案而选定的各个指标构成的集 合。
第三节 层次分析法（AHP）
判断矩阵是由第 i 个目标（i=1,2,…,m）对第 j 个目标的相对重 要性 aij i 构成的，n 个目标成对比较的结果为矩阵 A。 j
a11 a A 21 a m1
a12 a 22 am2
a1m 1 1 1 2 ... a 2 m 2 1 2 2 ... a mm m 1 m 2 ...
a ji
，(i,j=1,2,…,m)，
则称矩阵 A 互反正矩阵。 定义 2 设 A (aij ) mm , A 0 ，如果满足条件
aij aik a jk (i,j,k=1,2,…,m)
则称矩阵 A 为一致性矩阵。
第三节 层次分析法（AHP）
（一）本征向量法
1 / 1 1 / 2 / / 2 2 AW 2 1 m / 1 m / 2
第三节 层次分析法（AHP）
综合评价科研课题 AAAAAA 成果贡献 B1 人才培养 B2 可行性 B3 发展前景 B4
实用价值 C1
科技水平 C2
优势发挥 C3
难易程度 C4
研究周期 C5
财政支持 C6
经 济 效 益
社 会 效 益
C11
C12
课题 1
课题 2
图 4—2 科研课题层次结构模型
第三节 层次分析法（AHP）
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
熵值法是利用指标熵值来计算权重，其计算步骤如下： （1）对决策矩阵 X ( xij ) mn 用线性变换法作标准化处理，得到标 准化矩阵 Y ( y ij ) mn ，并进行归一化处理，得到
p ij y ij
y
i 1
m
， (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
方案集 X={ x1 , x 2 ,, x m }，也可以简记为 X={ 1,2,, m }，方案集即为待评价的 方案构成的集合。
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
设多目标决策问题中可供选择的方案集为 X x1 , x2 , xm ；用 向 量
Yi ( yi1 ,, yin ) 表示方案 xi 的 n 个属性值，其中 yij 是第 i 个方案的
（4-4）
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
（三）熵值法
熵值法是一种客观赋权法，根据各指标所包含的信息量大小，确定指标权重。设 有 m 各方案，n 个指标，指标值为 xij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 。熵的概念 源于热力学，是对系统状态不确定性的一种度量。在信息论中，信息是系统有序 程度的一种度量，而熵是系统无序程度的一种度量，两者绝对值相等，但符号相 反。信息量越大，不确定性越小，熵也就越小。反之，信息量越小，不确定性越 大，熵也就越大。
第三节 层次分析法（AHP）
设判断矩阵 A=(aij)m×m,根法的基本步骤为： （1）将判断矩阵 A 的元素按列作归一化处理，得到矩阵 Q=(qij)m× m，其中
q ij a ij
m k 1
a kj （i,j =1,2,…,m）
（2）将矩阵 Q 的元素按行相加，得到向量α=(a1,a2,…,am)T。其 中，
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
(二)线性变换
线性变换法是针对效益型和成本型指标转换的方法。 设决策矩阵 X ( xij ) mn 中， j 为效益型属性，x max 是决策矩阵第 若 j
j 列中的最大值。则
zij xij x max j
（4—2） 采用上式进行数据处理后，最佳的属性值为 1，但最差的属性值不 一定为 0。
一、层次结构模型
(1) 最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也 称为总目标层。 (2) 中间层： 包含若干层元素， 表示实现总目标所涉及的各子目标， 包括各种准则、约束、策略等，因此也成为目标层。 (3) 最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为 方案层。
第三节 层次分析法（AHP）
即
1 / m 1 1 2 / m 2 m 2 m / m m m
( A mI ) w =0
式中 I 是单位矩阵，如果目标重要性判断矩阵 A 中的估计值准确，上 式严格等于 0（m 维 0 向量），如果 A 的估计不够准确，则 A 中元素的 小的摄动意味着本征值的小的摄动，从而有
211高等院校管理科学与工程类精品教程
第二章 确定型决策分析
北京化工大学
多目标综合评价有以下两个特点： 第一， 多目标决策问题的目标间不可公度 （non-commensurable） ， 即各目标间没有统一的衡量标准，因而难以进行比较，在上述例子中 所考虑的三个方面无法用经济效益或教学质量等标准统一衡量。 第二，各目标间的矛盾性，某些目标间存在着矛盾性，提高某个 目标的期望值就会导致其他目标值的降低。
wi* m j 1 aij , i 1,2,, m
m
（2）求权重
wi wi*
m i 1
wi* ， i 1,2,, m i 1
m
m
（3）A 中每列元素求和
（4）计算 max 的值， max =
S j i 1 aij ， j 1,2,, m
wi S i
第 j 个属性的值；当目标函数为 f j 时, y ij f j xi ， i 1,, m ，
j 1,, n 。各方案的属性值可列成决策矩阵 (或称为属性矩阵、属
性值表),如表 4—1 所示。
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
表 4—1 决策矩阵
y1
x1
…
… … … … … …
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
二、数据的预处理
(一)向量归一化 在决策矩阵 X ( xij ) mn 中，令
yij xij
x
i 1
m
2 ij
（ 1 i m, 1 j n ）
(4—1)
则矩阵 Y ( y ij ) mn 称为向量归一标准化矩阵。显然矩阵 Y 的各个列向 量的平方和为 1。经过归一化处理后，各个指标间不再存在量纲不同 的问题。
第三节 层次分析法（AHP）
二、判断矩阵的构造
设有 m 个目标（方案或元素），根据某一准则，将这 m 个目标两 两进行比较，把第 i 个目标（i=1,2,…,m）对第 j 个目标的相对重要 性记为 ajj，(j=1,2,..,m)，这样构造的 m 阶矩阵用于求解各个目标关 于某准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作
二、构造问题
明确问题、标明目标、辨识属性
三、系统建模
构造模型、估计参数
四、分析评价
方案集 X
属性值 f(x)
第一节 多目标决策问题概述
三、多目标评价应遵循的基本原则 （一）科学性原则 （二）系统性原则 （三）可比性原则 （四）精确性原则 （五）实用性原则
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
一、决策矩阵
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
若 j 为成本型属性，则令
zij 1 xij x max j
（4-3）
经过（4—3）式的变换后可以看出，最差的属性值一定为 0，因为成本 最大的属性值经过（4—3）式变换后，属性值变为 0，但最好的属性值不一 定为 1。成本型属性也可以这样变换，
zij x min j xij
ij
（4-9）
（2）计算第 j 个指标的熵值
e j k pij ln pij , ( j 1, 2, , n)
i 1 m
（4-10）
其中， k 0, e j 0 。
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
（3）计算第 j 个指标的差异系数。对于第 j 个指标，指标值的差 异越大，对方案评价的作用越大，熵值就越小。反之，指标值的差异 越小，熵值就越大。定义差异系数为
第一节 多目标决策问题概述
一、常用术语
在多目标决策中经常用到目标、属性、权重等术语，先就此作一 些说明。
(一)目标（object） (二)属性（attribute） (三)权重（weight）
第一节 多目标决策问题概述
二、多目标决策分析的过程
引发
一、起始
认识到调查研究和改变系统的必要
价 值 判 断
总目标层：总目标综合评价科研课题(A)。 目标层：包括 4 个目标，即科研成果贡献（B1）、人才培养（B2）、 课题可行性（B3）、发展前景（B4）。 子目标层：包括 6 个子目标，实用价值（C1）、科研水平（C2）、 优势发挥（C3）、难易程度（C4）、研究周期（C5）、财政支持（C6）。 其中实用价值又分解为经济效益（C11）、社会效益（C12）两个子目标。 方案层：包括待决策的科研课题 1 至 N。
A (aij ) mm 。
第三节 层次分析法（AHP）
表 4—4 目标重要性判断矩阵 A 中元素的取值
相对重要程度 1 3 5 7 9 2，4，6，8 定义 同等重要 略微重要 相当重要 明显重要 绝对重要 两个相邻判 断的中间值 说明 两个目标同样重要 由经验或判断，认为一个目标比另一个略微重要 由经验或判断，认为一个目标比另一个重要 深感一个目标比另一个重要， 且这种重要性已有实 践证明 强烈的感到一个目标比另一个重要得多 需要折中时采用
在层次结构模型中，相邻两层次元素之间的关系用 直线标明，称为作用线；元素之间不存在关系，就没有 作用线。在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的
实际需要而定，一般每一层次的元素个数不超过 9 个，过多的元素会 给确定各指标权重带来困难。构造一个层次关系合理的层次结构模型 是 AHP 方法的关键，也是 AHP 法的主要特色。下面举例说明如何构建 层次结构模型。
yj
y1 j
…
… … … … … …
yn
y 1n
…
y11
…
xi
…
yi1
…
y ij
…
yin
…
xm
ym1
y mj
ymn
表 4—2
第二校区选址的决策矩阵
第二校区 学校序号 1 2 3 4 5 6
费用(万元) 60 50 44 36 44 30
距本校距离/（km） 1.0 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4
ij j 1 q ij （i =1,2,…,m）
m
（3）对向量α作归一化处理，即
Aw max w
（4-13）
式中 max 是矩阵 A 的最大本征值。由（4—5）式可以求得本征向量,即权为 W=[ 1 , 2 ,, m ] ，这种方法称为本征向量法。
T
第三节 层次分析法（AHP）
（二）判断矩阵的近似解法
1. 根法 设判断矩阵 A (aij ) mm ,根法的基本步骤为： （1）A 中每行元素连乘并开 m 次方，即
（4-11）
（4）确定指标权重。第 j 个指标权重为
j
gj
g
j 1
n
，（ j 1, 2, , n ）
j
（4-12）
熵值法的最大特点是根据原始数据所带来的信息确定指标权重， 在一定程度上避免了主观随意性。
第三节 层次分析法（AHP）
... 1 m ... 2 m ... m m
若决策人能够准确估计 aij（ i, j J ），则有：
aij 1
aij aห้องสมุดไป่ตู้k akj
a ji
(i, j, k J )
aii 1
第三节 层次分析法（AHP）
定义 1 设 A (aij ) mm , A 0 ，（即 aij>0；i,j=1,2,..,m）,如果满 足条件 (1) aii 1 （i=1,2,..,m）， (2) aij 1
多属性决策问题的决策矩阵是求解多属性决策问题的依据，是属 性值和决策准则这两个要素的基础。先引入用来描述决策问题的常用 符号。 属性集通常使用 F={ f1 , f 2 ,, f n }，或者用符号 Y={ y1 , y 2 ,, y n } 来表示。属性集是由为综合评价各个方案而选定的各个指标构成的集 合。
第三节 层次分析法（AHP）
判断矩阵是由第 i 个目标（i=1,2,…,m）对第 j 个目标的相对重 要性 aij i 构成的，n 个目标成对比较的结果为矩阵 A。 j
a11 a A 21 a m1
a12 a 22 am2
a1m 1 1 1 2 ... a 2 m 2 1 2 2 ... a mm m 1 m 2 ...
a ji
，(i,j=1,2,…,m)，
则称矩阵 A 互反正矩阵。 定义 2 设 A (aij ) mm , A 0 ，如果满足条件
aij aik a jk (i,j,k=1,2,…,m)
则称矩阵 A 为一致性矩阵。
第三节 层次分析法（AHP）
（一）本征向量法
1 / 1 1 / 2 / / 2 2 AW 2 1 m / 1 m / 2
第三节 层次分析法（AHP）
综合评价科研课题 AAAAAA 成果贡献 B1 人才培养 B2 可行性 B3 发展前景 B4
实用价值 C1
科技水平 C2
优势发挥 C3
难易程度 C4
研究周期 C5
财政支持 C6
经 济 效 益
社 会 效 益
C11
C12
课题 1
课题 2
图 4—2 科研课题层次结构模型
第三节 层次分析法（AHP）
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
熵值法是利用指标熵值来计算权重，其计算步骤如下： （1）对决策矩阵 X ( xij ) mn 用线性变换法作标准化处理，得到标 准化矩阵 Y ( y ij ) mn ，并进行归一化处理，得到
p ij y ij
y
i 1
m
， (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
方案集 X={ x1 , x 2 ,, x m }，也可以简记为 X={ 1,2,, m }，方案集即为待评价的 方案构成的集合。
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
设多目标决策问题中可供选择的方案集为 X x1 , x2 , xm ；用 向 量
Yi ( yi1 ,, yin ) 表示方案 xi 的 n 个属性值，其中 yij 是第 i 个方案的
（4-4）
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
（三）熵值法
熵值法是一种客观赋权法，根据各指标所包含的信息量大小，确定指标权重。设 有 m 各方案，n 个指标，指标值为 xij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 。熵的概念 源于热力学，是对系统状态不确定性的一种度量。在信息论中，信息是系统有序 程度的一种度量，而熵是系统无序程度的一种度量，两者绝对值相等，但符号相 反。信息量越大，不确定性越小，熵也就越小。反之，信息量越小，不确定性越 大，熵也就越大。
第三节 层次分析法（AHP）
设判断矩阵 A=(aij)m×m,根法的基本步骤为： （1）将判断矩阵 A 的元素按列作归一化处理，得到矩阵 Q=(qij)m× m，其中
q ij a ij
m k 1
a kj （i,j =1,2,…,m）
（2）将矩阵 Q 的元素按行相加，得到向量α=(a1,a2,…,am)T。其 中，
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
(二)线性变换
线性变换法是针对效益型和成本型指标转换的方法。 设决策矩阵 X ( xij ) mn 中， j 为效益型属性，x max 是决策矩阵第 若 j
j 列中的最大值。则
zij xij x max j
（4—2） 采用上式进行数据处理后，最佳的属性值为 1，但最差的属性值不 一定为 0。
一、层次结构模型
(1) 最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也 称为总目标层。 (2) 中间层： 包含若干层元素， 表示实现总目标所涉及的各子目标， 包括各种准则、约束、策略等，因此也成为目标层。 (3) 最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为 方案层。
第三节 层次分析法（AHP）
即
1 / m 1 1 2 / m 2 m 2 m / m m m
( A mI ) w =0
式中 I 是单位矩阵，如果目标重要性判断矩阵 A 中的估计值准确，上 式严格等于 0（m 维 0 向量），如果 A 的估计不够准确，则 A 中元素的 小的摄动意味着本征值的小的摄动，从而有
211高等院校管理科学与工程类精品教程
第二章 确定型决策分析
北京化工大学
多目标综合评价有以下两个特点： 第一， 多目标决策问题的目标间不可公度 （non-commensurable） ， 即各目标间没有统一的衡量标准，因而难以进行比较，在上述例子中 所考虑的三个方面无法用经济效益或教学质量等标准统一衡量。 第二，各目标间的矛盾性，某些目标间存在着矛盾性，提高某个 目标的期望值就会导致其他目标值的降低。
wi* m j 1 aij , i 1,2,, m
m
（2）求权重
wi wi*
m i 1
wi* ， i 1,2,, m i 1
m
m
（3）A 中每列元素求和
（4）计算 max 的值， max =
S j i 1 aij ， j 1,2,, m
wi S i
第 j 个属性的值；当目标函数为 f j 时, y ij f j xi ， i 1,, m ，
j 1,, n 。各方案的属性值可列成决策矩阵 (或称为属性矩阵、属
性值表),如表 4—1 所示。
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
表 4—1 决策矩阵
y1
x1
…
… … … … … …
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
二、数据的预处理
(一)向量归一化 在决策矩阵 X ( xij ) mn 中，令
yij xij
x
i 1
m
2 ij
（ 1 i m, 1 j n ）
(4—1)
则矩阵 Y ( y ij ) mn 称为向量归一标准化矩阵。显然矩阵 Y 的各个列向 量的平方和为 1。经过归一化处理后，各个指标间不再存在量纲不同 的问题。
第三节 层次分析法（AHP）
二、判断矩阵的构造
设有 m 个目标（方案或元素），根据某一准则，将这 m 个目标两 两进行比较，把第 i 个目标（i=1,2,…,m）对第 j 个目标的相对重要 性记为 ajj，(j=1,2,..,m)，这样构造的 m 阶矩阵用于求解各个目标关 于某准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作
二、构造问题
明确问题、标明目标、辨识属性
三、系统建模
构造模型、估计参数
四、分析评价
方案集 X
属性值 f(x)
第一节 多目标决策问题概述
三、多目标评价应遵循的基本原则 （一）科学性原则 （二）系统性原则 （三）可比性原则 （四）精确性原则 （五）实用性原则
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
一、决策矩阵
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
若 j 为成本型属性，则令
zij 1 xij x max j
（4-3）
经过（4—3）式的变换后可以看出，最差的属性值一定为 0，因为成本 最大的属性值经过（4—3）式变换后，属性值变为 0，但最好的属性值不一 定为 1。成本型属性也可以这样变换，
zij x min j xij
ij
（4-9）
（2）计算第 j 个指标的熵值
e j k pij ln pij , ( j 1, 2, , n)
i 1 m
（4-10）
其中， k 0, e j 0 。
第二节 求解多属性决策问题的准备工作
（3）计算第 j 个指标的差异系数。对于第 j 个指标，指标值的差 异越大，对方案评价的作用越大，熵值就越小。反之，指标值的差异 越小，熵值就越大。定义差异系数为
第一节 多目标决策问题概述
一、常用术语
在多目标决策中经常用到目标、属性、权重等术语，先就此作一 些说明。
(一)目标（object） (二)属性（attribute） (三)权重（weight）
第一节 多目标决策问题概述
二、多目标决策分析的过程
引发
一、起始
认识到调查研究和改变系统的必要
价 值 判 断
总目标层：总目标综合评价科研课题(A)。 目标层：包括 4 个目标，即科研成果贡献（B1）、人才培养（B2）、 课题可行性（B3）、发展前景（B4）。 子目标层：包括 6 个子目标，实用价值（C1）、科研水平（C2）、 优势发挥（C3）、难易程度（C4）、研究周期（C5）、财政支持（C6）。 其中实用价值又分解为经济效益（C11）、社会效益（C12）两个子目标。 方案层：包括待决策的科研课题 1 至 N。
A (aij ) mm 。
第三节 层次分析法（AHP）
表 4—4 目标重要性判断矩阵 A 中元素的取值
相对重要程度 1 3 5 7 9 2，4，6，8 定义 同等重要 略微重要 相当重要 明显重要 绝对重要 两个相邻判 断的中间值 说明 两个目标同样重要 由经验或判断，认为一个目标比另一个略微重要 由经验或判断，认为一个目标比另一个重要 深感一个目标比另一个重要， 且这种重要性已有实 践证明 强烈的感到一个目标比另一个重要得多 需要折中时采用
在层次结构模型中，相邻两层次元素之间的关系用 直线标明，称为作用线；元素之间不存在关系，就没有 作用线。在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的
实际需要而定，一般每一层次的元素个数不超过 9 个，过多的元素会 给确定各指标权重带来困难。构造一个层次关系合理的层次结构模型 是 AHP 方法的关键，也是 AHP 法的主要特色。下面举例说明如何构建 层次结构模型。
yj
y1 j
…
… … … … … …
yn
y 1n
…
y11
…
xi
…
yi1
…
y ij
…
yin
…
xm
ym1
y mj
ymn
表 4—2
第二校区选址的决策矩阵
第二校区 学校序号 1 2 3 4 5 6
费用(万元) 60 50 44 36 44 30
距本校距离/（km） 1.0 0.8 1.2 2.0 1.5 2.4
ij j 1 q ij （i =1,2,…,m）
m
（3）对向量α作归一化处理，即
Aw max w
（4-13）
式中 max 是矩阵 A 的最大本征值。由（4—5）式可以求得本征向量,即权为 W=[ 1 , 2 ,, m ] ，这种方法称为本征向量法。
T
第三节 层次分析法（AHP）
（二）判断矩阵的近似解法
1. 根法 设判断矩阵 A (aij ) mm ,根法的基本步骤为： （1）A 中每行元素连乘并开 m 次方，即