01高等数学绪论 同济6版

例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
2 { x x R , x 1 0} 例如,
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间:
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
高等数学
绪论
课程名称 计划学时 考核形式 课堂纪律 学习方法 高等数学 36
考试
作业问题 答疑辅导
真、苦、巧、活
课前预习、重点听讲、简记笔记、 整理咀嚼、后作练习
参考书目
＜工科数学分析基础＞ 马知恩 等编 （高教出版社） ＜高等数学释疑解难＞ 工科数学课委会编（高教出版社） ＜高等数学辅导＞ 盛祥耀 等编（清华大学出版社） ＜高等数学解题方法及同步训练＞ 同济大学编（同济大学出版社） ＜高等数学习题课教程＞ 黄松奇 等编 （气象出版社）
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间,
记作 (a, b)
o a b { x a x b} 称为闭区间, o a
b
x 记作 [a, b] x
记作 [a , b) 记作 (a , b]
{ x a x b} 称为半开区间, { x a x b} 称为半开区间,
(ac bd ) (a b )(c d )
2 2 2 2 2
又只须证明 2(ad )(bc) a d b c
2 2
2 2
2 2 上式是显然的 2 AB A B 由基本不等式
对三角不等式及其证明方法要加深印象，深刻 理解，灵活运用，后面将要讲到的极限在很多情况 下要用到三角不等式来对不等式进行放大和缩小。 | x || x y y || x y | | y |
y 2x 1
例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图 所示,写出电压U与时间 t ( t 0)的函数关系式.
U 解 当 t [0, ] 时, ( , E) 2 2 E E 2E U t t; ( ,0 ) t o 2 2 当 t ( , ] 时, 单三角脉冲信号的电压 2 E0 2E U 0 ( t ), 即 U (t ) 2
④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限 ⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数 的性质
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
a M, a M, A {a1 , a2 ,, an }
a 2 b2 2 a 2 b2 c 2 d 2 c 2 d 2
(| x | | y |)2 | x y |2 2 a 2 b 2 c 2 d 2 2ac 2bd
为证三角不等式只须证明
ac bd a 2 b2 c 2 d 2
为证上式，又只须证明
概念更复杂 理论性更强 表达形式更加抽象
推理更加严谨
因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研 教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解 基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联 系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要 培养抽象思维和逻辑推理的能力。
学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅 是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我 们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该 仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学 好了数学。
高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极 限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学 的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数 学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分 的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重 要阶梯。 极限是研究在指定的过程中某变量的变化趋势，这 里所讲的变化趋势有其明确的含义：不管所指定的变 化过程多么复杂，我们所关心的仅仅是变量变化的终 极目标，若这个终极目标存在，就称之为变量的极限 本章我们首先介绍极限理论的基本概念、运算和性 质，然后讨论函数的连续性
当 t (,) 时, U 0.
U U ( t )是一个分段函数 , 其表达式为
U
E
( , E) 2
( ,0 )
o
2E t, t [ 0, ] 2 2E U (t ) ( t ), t ( , ] 2 0 , t ( , )
(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
( a 0)
x a ( a 0) x a ( a 0)
a a ; b b a x a;
x a 或 x a;
x y x y. 绝对值不等式: 绝对值不等式的两个变形公式：
(1) | x y || x | | y |
( 2) | x | | y | | x y |
有限区间
[a ,) { x a x }
无限区间
( , b) { x x b}
o
a o
b
x x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域:
设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
有限集
M { x x所具有的特征 } 无限集
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集. 记作 A B.
数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 Z----整数集
R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
重点
极限概念，无穷小与极限的关系，极限运算法则， 两个重要极限，连续概念，初等函数的连续性，间断 点及其分类
难点
极限概念及求极限的方法技巧
基本要求
①能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意 义，会用定义验证极限 ②正确理解无穷小量及其与极限的关系
③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函
数 极限的保号性质
函数y f ( x )的图形.
几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
1
y
o -1 y 4321
x
x sgn x x
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 阶梯曲线
x 的最Leabharlann Baidu整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4
2
t
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域. 2 1 x 2
解
例2
1 0 x1 f ( x) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1
( 2) ( 3) ( 4) x 0, y 0 x 0, y 0, x y 0 x 0, y 0, x y 0
④
在复数范围内成立
记 x a ib, y c id
则 x y (a c ) i (b d )
| x y |2 (a c )2 (b d )2 而 (| x | | y |)2 | x |2 2 | x || y | | y |2
| x y || x | | y |
同理
| x y || y | | x |
| x | | y | | x y |
二、函数概念
例 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
n 3 ,4 ,5 ,
O
n
r
定义 设x和y是两个变量，D是一个给定的数集， 若对于x ∈ D，变量y按照确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称y是x的函数
高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函 数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算 （极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学 用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法， 也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是 高等数学区别于初等数学的一个显著标志。
由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学 有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：
我们这门课程叫高等数学，它的内容包括一元 和多元微积分学，无穷级数论和作为理论基础的 极限理论，以及作为一元微积分学的简单应用— —常微分方程。由于构成它的主体是一元函数微 积分学，所以有时又称为微积分。
17世纪（1763年）Descartes建立了解析几何，同 时把变量引入数学，对数学的发展产生了巨大的影 响，使数学从研究常量的初等数学进一步发展到研 究变量的高等数学。微积分是高等数学的一个重要 的组成部分，是研究变量间的依赖关系——函数的 一门学科，是学习其它自然科学的基础。
U (a ) { x a x a }.
a
a
a
0
x
点a的去心的邻域, 记作U (a ).
U (a ) { x 0 x a }.
a a0 4.绝对值: a a a 0 ab a b ; 运算性质:
例如， y 1 x 2 1 例如， y 1 x2
D : [1,1] D : ( 1,1)
如果自变量在定 y 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 W y 数叫做单值函数，否 则叫与多值函数．

x
( x, y)
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
D
定义: 点集C {( x , y) y f ( x ), x D} 称为
记作
因变量
y f ( x)
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
自变量
(
W
y
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
o
x
o
x
(5)绝对值函数
y
x ,x 0 y | x | x, x 0 值域 [0, ) 定义域R
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
x0 x0
y x2 1
故 D f : [3,1]
三、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y
M y=f(x) o -M
y
M
x
有界 X
o -M
x0
X 无界
x
2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D, 如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
绝对值不等式的证明 ① | x | x | x | , | y | y | y | 两式相加得 (| x | | y |) x y (| x | | y |)
| x y || x | | y |
x+y y x
② 几何直观 ③ 分四种情况验证 (1) x 0, y 0