高数格林公式
合集下载
《高数》斯托克斯(stokees)公式
20
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
作业:P183: 1-(1)(3), 2-(1), 3-(2),4-(1)
22
五、积分学四大公式比较
Newton-Leibnitz公式
b df dx f ( x) b
a dx
a
Green公式 Gauss公式
D
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy;
D
ab
D
D
1 x
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
y 1
7
解 按斯托克斯公式, 有
z 1
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
o
1 x
y 1
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
y
zdx xdy ydz
1
dydz dzdx dxdy
cos
x
P
cos
y Q
cos
z
dS Pdx Qdy Rdz
R
2. Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线 积分之间的关系.
格林第一第二第三公式的推导
格林第一第二第三公式的推导？
答：格林公式的推导涉及三个主要部分，即格林第一公式、格林第二公式和格林第三公式。
以下是它们的推导过程：
1. 格林第一公式的推导：
格林第一公式可以由高斯公式的散度形式进行推导。
令向量场A为φ▽ψ，其中φ和ψ是标量函数。
通过散度运算，得到▽⋅(φ▽ψ)=▽φ⋅▽ψ+φ▽²ψ。
这就是格林第一公式的形式。
2. 格林第二公式的推导：
令向量场A′为ψ▽φ。
代入格林第一公式，得到∮S ψ▽φ⋅dσ=∫V[ψ▽²φ+▽φ⋅▽ψ]dV。
与原式相减，得到格林第二公式。
3. 格林第三公式的推导：
格林第三公式可以通过格林第一和第二公式进行推导。
具体地，将格林第一和第二公式结合，并进行适当的变换，即可得到格林第三公式。
另外，格林公式与高数中的格林公式有一定关系。
可以通过将Q和P表达为u和v的偏导数，并进行一系列变换，得到与高数中格林公式类似的形式。
请注意，具体的数学符号和表达式可能因教材或参考资料的不同而有所差异。
以上信息仅供参考，建议查阅相关的数学教材或专业资料以获取更详细和准确的推导过程。
高数格林公式例题解析
高数格林公式例题解析
摘要：
1.高数格林公式的概述
2.例题的选取和解析
3.解析过程中需要注意的点和技巧
4.结论和总结
正文：
【1.高数格林公式的概述】
高数格林公式，是多元函数微分学的一种重要公式，它可以用来求解多元函数的曲面积分。
格林公式以其独特的公式形式和广泛的应用范围，在多元函数微分学中占有重要的地位。
【2.例题的选取和解析】
我们选取一个简单的例子来解析高数格林公式的应用。
假设有一个二元函数f(x,y)，我们要求解该函数在曲面x^2 + y^2 = 1 上的积分。
【3.解析过程中需要注意的点和技巧】
在解析过程中，我们需要注意以下两点：
(1) 格林公式的适用范围：格林公式只适用于二元函数的曲面积分，不适用于多元函数的曲面积分。
(2) 格林公式的计算方法：格林公式的计算方法是将曲面的参数方程代入到二元函数中，然后进行积分。
【4.结论和总结】
通过以上的例题解析，我们可以看出，高数格林公式在解决二元函数的曲面积分问题时，有着重要的作用。
同时，我们也了解到，在使用格林公式时，需要注意其适用范围和计算方法。
第四节格林公式
d
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1
D2
D3
) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO
xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
EAC c
⌒
证明(2) 若区域D由按段光滑的 闭曲线围成.如图, 将D分成三个既是 x 型又是 y 型的 区域D1, D2, D3.
L3 D3
D2
L2
L1
D1
D
L
Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D1 D2 D3
(
D1 D2 D3
Q P )( )dxdy x y
(
D1
D2
D3
) Pdx Qdy
D
Pdx Qdy.
证明(3) 若D是复连通区域 ,添加直线段
AB,CE. 则D由AB, BA,AFC,CE, EC 及CGA构成. 由(2)知 ( Q P )dxdy D y D x
y2
1
x
e
D
y2
dxdy
x2
OA AB BO
xe
dy
OA
xe
y2
dy
0 xe
1
1 1 x2 1 dx [ e ] 0 (1 e 1 ). 2 2
3) 利用第二类曲线积分可求闭曲线所围区域的面积.
Q P )dxdy Pdx Qdy 格林公式: ( y D x D
y
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
( y
D
2
x )dxdy
2
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
高数A第7章课件：chap7.3-1格林公式及其应用
其中 C 为由点 A(a ,0) 至点 O(0,0) 的上半圆周 x 2 y 2 ax
( a0 ) .
解：添加辅助线OA ，则C OA 是一条正向封闭曲线，
为D . 设其围成的区域
y
C
∵ P( x, y )e siny my ，
Q( x, y ) e x cos y m,
x
C
ydx xdy x y
2 2
2 a 2 sin2 t a 2 cos2 t dt 2 . 2 0
2 2
D
Q P ( )dxdy 0 . x y
D
(0,0) D ，y （2）当 C 为圆周 x 2 y 2 a 2 时，
P , Q 在点(0,0) 不连续，
o
x
C
D
不能用Green 公式.
o
ax
解法 1：C 的参数方程为 x acost , y asint , t :0 2 ，
解： （1）设闭曲线 C 所围的区域为 D， y x 当 ( x , y ) (0,0) 时， P 2 2 ， Q 2 2 ， x y x y
Q y2 x2 P , 2 2 2 x ( x y ) y
由 Green 公式得
y
C
C
ydx xdy x y
例 3．求由星形线 C
2 2 2 ： x 3 y 3 a 3 所围成的面积
A.
x acos3 t , t : 0 2 . 解： C 的参数方程为 3 y asi n t , y
a
1 A xdy ydx 2 C
o
a
x
高等数学：格林公式
D
由于 xdy 0,
xdy 0, xdy dxdy 1 r2.
OA
BO
AB D
4
2. 简化二重积分
y
例 2 计算
e y2 dxdy ,其中D 是
B 1
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
o
解 令P 0, Q xe y2 ,
A
1
x
则 Q P e y2 , x y
c
1 ( y) x
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
ห้องสมุดไป่ตู้
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
o
E D B
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
M
N
A(a,0)
1 2
0
a
x(
2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
a a
40
xdx 1 a2 . 6
例3. 计算
高等数学格林公式PPT课件
正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
格林公式与斯托克斯公式
格林公式与斯托克斯公式格林公式与斯托克斯公式是数学中的两个重要定理，它们在微积分和向量分析中发挥着重要的作用。
本文将对这两个公式的定义、应用和相关理论进行探讨，以便更好地理解它们的意义和实际应用。
一、格林公式（Green's theorem）格林公式是关于曲线积分和面积分之间关系的一个定理。
它的具体表述可以用下面的公式表示：∮C (Pdx + Qdy) = ∬D (Qx - Py) dxdy其中，C表示一条简单闭曲线，P和Q是连续函数，具有一阶连续偏导数。
D表示C所围成的有界区域，且D满足一定的条件。
格林公式可以理解为曲线积分和面积分之间的转化关系。
它的应用非常广泛，例如在电磁学的电场和磁场分析中，可以通过格林公式将曲线积分转化为面积分，从而简化计算。
二、斯托克斯公式（Stokes' theorem）斯托克斯公式是关于曲面积分和体积分之间关系的定理。
它可以用下面的公式表示：∮S (F·ds) = ∬\(\mathop{rot} F \cdot n dS\)其中，S表示一个有限曲面，F是一个向量值函数，rot F表示F的旋度，n表示曲面S的单位法向量，ds表示曲面元素的微小面积。
斯托克斯公式是格林公式的推广，它将曲面积分和体积分联系起来。
斯托克斯公式在流体力学、电磁学等领域具有广泛的应用。
例如，在电磁学中，它可以用来计算磁场在闭合回路上的环流。
三、应用实例以下是格林公式和斯托克斯公式在实际问题中的应用实例。
1. 格林公式的应用：假设有一个平面区域D，它的边界是一个简单闭曲线C。
现在我们要计算曲线C所围成的区域D的面积。
根据格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积分，从而简化计算。
2. 斯托克斯公式的应用：假设有一个闭合曲面S，它的边界是一个简单闭曲线C。
现在我们要计算矢量场F沿着曲线C的环流。
根据斯托克斯公式，我们可以将曲面积分转化为体积分，从而简化计算。
这些实例只是格林公式和斯托克斯公式应用的冰山一角。
高等数学格林公式课件
他近处的部分总在他的
左边. 单连通区域的 边界曲线L的正向: 逆时针方向.
设复连通区域 D 的边界曲线为 = L + l 1 + l2 + · · · + ln 的正向： 复合 闭路 (如图)
外边界L 为逆时针方向； 内边界
li
( i 1, 2, , n)
为顺时针方向.
4. 格林公式 定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段 光滑闭曲线围成, 函数 有连续一阶偏导数, 则
D
D
3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
3 d (1 2 ) d
0 0
2π
R
3π ( 2 R 2 R4 ) 2
注 I 3 [1 ( x 2 y 2 )]d x d y
D
？ 3 (1 R 2 ) d x d y
y
A(1,1)
B(0,1)
D
Q P ( ) d xd y x y
D
P dx Qd y
D
yx
o
x
2 y ？
将二重积分转化为曲线积分
D
P dx Qd y
P ？ Q xe 0, Q
解 令 P 0, Q xe 利用格林公式 , 有
y2
作位于 D 内圆周
l : x 2 y2 r 2,
顺时针.
l x
l的参数方程为： x r cos y r sin : 2 0
y L
O
记 D1 由 L 和 l 所围成的区域,
L l 封闭，正向 .
应用格林公式,得
高数格林公式
高数格林公式高数中的格林公式是一种常用的计算曲线积分的方法，它是由德国数学家格林于19世纪提出的。
格林公式是微积分中的重要定理之一，它建立了曲线积分与面积分之间的联系，为解决曲线积分问题提供了有效的方法。
格林公式的核心思想是将曲线积分转化为面积分，从而简化计算过程。
假设曲线C是一个简单闭合曲线，将曲线C所围成的区域记为D。
格林公式的一般形式可以表示为：∮C (Pdx + Qdy) = ∬D (Qx - Py)dA其中，P和Q是平面区域D内的连续偏导数，dx和dy分别表示曲线C的弧长和法向量。
等式右边的∬D (Qx - Py)dA表示对于区域D的面积分，Qx和Py分别是Q和P对x和y的偏导数。
格林公式实际上是将曲线C所围成的区域D划分为许多微小的面元，然后对每个微小面元进行积分计算，最后将结果相加得到整个曲线积分的结果。
这种方法使得曲线积分的计算变得简单明了。
格林公式的应用非常广泛。
在物理学中，格林公式被用于计算电场和磁场的曲线积分，从而求解电荷和电流的分布情况。
在工程学中，格林公式被用于计算流体的流量和压力分布，以及各种力学问题的求解。
在几何学中，格林公式被用于计算曲线的长度、曲率和曲面的面积。
为了更好地理解格林公式，我们来看一个简单的例子。
假设有一个曲线C，它是一个圆形，半径为R。
我们要计算曲线C上一个向量场F的环绕曲线积分∮C F·dr。
根据格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积分∬D (Qx - Py)dA，其中D为曲线C所围成的区域。
我们需要计算向量场F的横纵坐标分量P和Q的偏导数。
假设F = (P, Q)，则根据题目给出的条件，可以得到P和Q的偏导数分别为∂P/∂x和∂Q/∂y。
然后，我们需要计算∬D (Qx - Py)dA，即将区域D划分为许多微小的面元，对每个面元进行积分计算。
在本例中，区域D是一个圆盘，半径为R。
我们可以将圆盘分为许多微小的扇形面元，每个面元的面积可以近似表示为dA = r dθ，其中r为距离圆心的半径，θ为面元所对应的角度。
高数格林公式
2
通过格林公式，可以将二重积分转化为曲线积分 来计算，这在某些情况下可以大大简化计算过程。
3
此外，格林公式还揭示了平面区域内向量场与标 量场之间的关系，为多元函数微积分中的场论问 题提供了有力工具。
与场论初步知识联系
01
场论是研究向量场和标量场的数学分支，而格林公式正是场论 中的一个基本定理。
02
04
培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习高等数学打下坚实 的基础。
02 格林公式基本概念
曲线积分与路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
若在所有以A、B为端点的光滑曲线族上，曲线积分∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的值都是相同的，则称此曲线积分与 路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
径为平面区域D的边界曲线。
格林公式的证明需要运用到微积分基本定理和斯托克 斯定理等相关知识。
学习目标与要求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
掌握格林公式的基本形式和证明方法，理解其几何意义和物理应用。
02
能够熟练运用格林公式解决平面区域上的二重积分和曲线积分问题。
03
了解格林公式在电磁学、流体力学、热力学等领域的应用实例，提高 解决实际问题的能力。
高数格林公式
目 录
• 引言 • 格林公式基本概念 • 格林公式证明方法 • 格林公式应用举例 • 格林公式与相关知识点联系 • 拓展与延伸
01 引言
背景与意义
格林公式是高等数学中的一个 重要概念，它揭示了平面区域 上二元函数与其偏导数之间的
关系。
在实际应用中，格林公式被 广泛应用于电磁学、流体力 学、热力学等领域，是解决 复杂物理问题的有力工具。
高数格林公式及其应用
P201
解
y
dx 0 dy 0 O
L1••
(1,2) (1,1)
L2
• (4,2)
x
第十一章
第三节(1) 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式的简单应用
一、格林公式
1.单(复)连通区域及其正向边界 设D为一平面区域,如果D内任意一条闭曲线 所围的有界区域都属于D,则称D是平面单连通区 域,不是单连通的平面区域称为复连通区域.
D
(
Q x
P )d
y
L P( x,
y)dx
Q( x,
y)dy.
令P y, Q x, 则 Q 1, P 1 x y
(y)dx xdy L
2dxdy 2SD的面积.Dຫໍສະໝຸດ S D的面积1 2
xdy ydx.
L
S D的面积
1 2
xdy ydx.
L
例3求椭圆x a cos , y bsin所围成图形的面 积A.
D
(
Q x
p y
)dxdy
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
补例 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydx x2 dy 0
证: 令 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D
Q
D
(
x
p y
)dxdy
L
P( x,
1O 1 2 y
{( x, y) x2 y2 1}共同组成. x 2 D3 : {(x, y)1 x2 y2 4}
微积分学基本公式
ab
f
( x)dx
解
y
dx 0 dy 0 O
L1••
(1,2) (1,1)
L2
• (4,2)
x
第十一章
第三节(1) 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式的简单应用
一、格林公式
1.单(复)连通区域及其正向边界 设D为一平面区域,如果D内任意一条闭曲线 所围的有界区域都属于D,则称D是平面单连通区 域,不是单连通的平面区域称为复连通区域.
D
(
Q x
P )d
y
L P( x,
y)dx
Q( x,
y)dy.
令P y, Q x, 则 Q 1, P 1 x y
(y)dx xdy L
2dxdy 2SD的面积.Dຫໍສະໝຸດ S D的面积1 2
xdy ydx.
L
S D的面积
1 2
xdy ydx.
L
例3求椭圆x a cos , y bsin所围成图形的面 积A.
D
(
Q x
p y
)dxdy
L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
补例 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydx x2 dy 0
证: 令 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D
Q
D
(
x
p y
)dxdy
L
P( x,
1O 1 2 y
{( x, y) x2 y2 1}共同组成. x 2 D3 : {(x, y)1 x2 y2 4}
微积分学基本公式
ab
f
( x)dx
格林(Green)公式及其应用
格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
高数下之---7,格林公式
y
d x ( xy
2 2
3
xe
2 y )d y ,
其中L为圆周 x y 2 x 的正向. 解 P e y , Q xy 3 xe y 2 y
P y
Q x
y
e ,
y
Q x
y
3
y e
3
y
O
. 1
2
x
P y
由格林公式有 I y d x d y 0
5
( x
Q
P y
)d x d y
L P d x Q d y
E
Q x
dxdy
c
d
dy
2( y)
Q x
D
c c
D d
1( y)
dx
y
x 1( y)
d
Q ( x , y )
2( y)
1
dy ( y)
D
B
d
Q ( 2 ( y ), y ) d y
2
P y
19
Q x
P y
D
(
Q x
P y
)d x d y
L P d x Q d y
L
( 1 ) 当 ( 0 , 0 ) D 时，即L为不包围原点
y
的任一闭曲线.
由格林公式
L
xd y yd x x y
2 2
D
0
O
y
x
( 2 ) 当 ( 0 , 0 ) D 时， 即L为包围原点在内的任一
L1
L D
D1
一、格林(Green)公式及其应用
(1) (2) (3) (4) (1) (1) (2): A, B ∈ G , L, L′,
y
封闭曲线) 封闭曲线 有 L + ( L′ ) = C (封闭曲线
Aoຫໍສະໝຸດ LB CG
L′
x
∫
得
L+( L′ )
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy = 0
C
即 ∫ L Pdx + Qdy +∫ L′ Pdx + Qdy = 0
坐标轴的折线， 坐标轴的折线，即 折线
0 0
( x0 , y0 ) → ( x, y0 ) → ( x, y ) ( x, y) y P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy ∫( x , y ) ( ) ( x, y )
= ∫ P( x, y0 )dx+∫ Q( x, y)dy x
( x, y )
Pdx +∫
( x+x, y) ( x, y )
Qdy =0
u( x + x, y) u( x, y)= ∫
( x +x , y ) ( x, y)
P ( x , y )d x 定积分
由积分中值定理 = P (ξ , y )x ξ ∈ [ x , x + x ]
u( x + x, y) u( x, y)= P (ξ , y )x
23 = . 15
1
1
O
1
x
Q P = 时,存在u ( x, y ) , 注2： ： 由定理2知 当 由定理 知： 满足 x y
使du = P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy 全微分
y
封闭曲线) 封闭曲线 有 L + ( L′ ) = C (封闭曲线
Aoຫໍສະໝຸດ LB CG
L′
x
∫
得
L+( L′ )
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy = 0
C
即 ∫ L Pdx + Qdy +∫ L′ Pdx + Qdy = 0
坐标轴的折线， 坐标轴的折线，即 折线
0 0
( x0 , y0 ) → ( x, y0 ) → ( x, y ) ( x, y) y P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy ∫( x , y ) ( ) ( x, y )
= ∫ P( x, y0 )dx+∫ Q( x, y)dy x
( x, y )
Pdx +∫
( x+x, y) ( x, y )
Qdy =0
u( x + x, y) u( x, y)= ∫
( x +x , y ) ( x, y)
P ( x , y )d x 定积分
由积分中值定理 = P (ξ , y )x ξ ∈ [ x , x + x ]
u( x + x, y) u( x, y)= P (ξ , y )x
23 = . 15
1
1
O
1
x
Q P = 时,存在u ( x, y ) , 注2： ： 由定理2知 当 由定理 知： 满足 x y
使du = P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy 全微分
高数-格林公式
2(
y),
y]d
y
d c
{Q[
2
(
y),
y]
Q[ 1
(
y),
y]}d
y
D
Q x
dxdy
则有
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
证明：（1）设 D 既是 X 型，又是 Y 型区域。
X 型： a x b, 1( x) y 2( x),
L Pdx
D
P y
dxdy
y d
L2 : x 2( y)
D L2
L3
L1
（2）格林公式建立了平面上的曲线积分与二重积分 的关系，它是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。
主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换，而 经常用来将复杂的曲线积分转化为二重积分。
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
（3）便于记忆的形式
若记
Q P x y
x P
y Q
则格林公式可表示为
(
D
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
证明：（1）设 D 既是 X 型，又是 Y 型区域。
X 型： a x b, 1( x) y 2( x),
y L2 : y 2( x)
P
D
y
dxdy
b
a
dx
2 (x) 1 ( x)
P y
dy
ab{
P[
ab
x,2(
2 (x)
P(x, y) | 1 (x)
高等数学格林公式
第十章
第三节
格林公式及其应用
本节的主要内容
一、连通域及其边界的方向； 二、格林（Green)公式；
三、曲线积分与路径无关的条件；
四、全微分方程。
一、连通域及其边界的方向
1、连通区域
D是连通区域： D内任意两点都可以用完 全
属于D的折线连接起来。
单连通区域和复连通区 域：
若包含于D内的任一条封闭曲线 C所围成的区域
D都包含于D，则称D为单连通区域，否则称 D
为复连通区域。
.
D .
.
.D
2、连通区域的边界D的方向
单连通区域的边界 D由一条封闭曲线构成；
复连通区域的边界 D由两条或两条以上封闭
曲线构成。
连通域D的正方向的规定：
当观察着沿D的方向行
D
走时，观察者附近的 D的
内部总在观察者的左侧 。
D
二、格林（Green)公式
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
解 (1) 化为对 x 的积分.
B(1,1)
L : y x , x从0变到1,
2
y x2
原式 ( 2 x x 2 x 2 2 x )dx
0
1
4 x 3 dx 1.
0
1
A(1,0)
三、曲线积分与路径无关的条件
第三节
格林公式及其应用
本节的主要内容
一、连通域及其边界的方向； 二、格林（Green)公式；
三、曲线积分与路径无关的条件；
四、全微分方程。
一、连通域及其边界的方向
1、连通区域
D是连通区域： D内任意两点都可以用完 全
属于D的折线连接起来。
单连通区域和复连通区 域：
若包含于D内的任一条封闭曲线 C所围成的区域
D都包含于D，则称D为单连通区域，否则称 D
为复连通区域。
.
D .
.
.D
2、连通区域的边界D的方向
单连通区域的边界 D由一条封闭曲线构成；
复连通区域的边界 D由两条或两条以上封闭
曲线构成。
连通域D的正方向的规定：
当观察着沿D的方向行
D
走时，观察者附近的 D的
内部总在观察者的左侧 。
D
二、格林（Green)公式
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段 AB,CE. 则 D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. D
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
解 (1) 化为对 x 的积分.
B(1,1)
L : y x , x从0变到1,
2
y x2
原式 ( 2 x x 2 x 2 2 x )dx
0
1
4 x 3 dx 1.
0
1
A(1,0)
三、曲线积分与路径无关的条件
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
L Pdx Qdy
证毕
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
(0 2π) 所围面积
1 2π
2 0
(abcos2
absin2 ) d
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P 0, Q xe y2, 则
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
利用格林公式 , 有
O
x
x e y2 dy D
x e y2 dy 1 ye y2 dy
OA
0
1 (1 e1) 2
目录 上页 下页 返回 结束
5π
xd y ydx l x2 y2
提示: x2 y2 0时 (1) Q P
1 4
l
x
d
y
yd
x
1 4
D
2
d
x y (2) Q P
2π
x y
目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
到点 (0,a) 的半圆, 计算
y2 dx ax 2 y ln(x a2 x2 ) dy
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA
4
D
dxd
y
4
0 x
2
dx
8 π 64 3
y L
D
O
Ax
目录 上页 下页 返回 结束
例4. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证:
设
P
xy2,
Q x2 y,则
P 2xy y
Q x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
A
A
注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).
它类似于微积分基本公式:
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围
区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
Ox
目录 上页 下页 返回 结束
当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 l ¯所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
0 x
y dy 0 x2 y2
目录 上页 下页 返回 结束
例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, π ) 移动到 2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
L
令
则有
O Bx
P y
k(x2 y2) r4
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L
与路径无关, 只与起止点有关.
C a2 x2
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 .
原式 =
y
C
D
a C
CC C
Ox
D
2y a2 x2
dxd y
a
a (2y ln a) d y a
目录 上页 下页 返回 结束
2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M 到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 )
d
dy
2 ( y) Q dx
D x
c
1(y) x
Oa
bx
d
d
c Q( 2 ( y), y ) dy c Q(1( y), y ) dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
EAC
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
即
①
同理可证 ②
①、②两式相加得:
D
Q x
P y
d xd y
P(x, y)dx
x0
O x0
xx
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲
线 AB ,有
AB P(x, y)dx Q(x, y)dy
B
A P(x, y)d x Q(x, y)dy
D
B
A
B
B
d u u u(B) u(A)
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
L
( 格林公式 )
或
x y dxdy Pdx Qdy
DP Q
L
目录 上页 下页 返回 结束
证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1(
x) a
y x
2
b
(
x)
y d
E
AD B
cC
则
Q dxdy
L Pdx Qdy
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
D
Q x
P y
d xd y
n
Q P dxdy
k 1 Dk x y
y D2 D1 L
Dn
O
x
n
Pdx Qdy
k 1 Dk
(Dk 表示 Dk的正向边界)
解: 由图知 F ( y , x), 故所求功为
W AB F d s y d x x d y
(y d x xd y)
2D d x d y
2π 2
y F A
B D
M (x, y)
O
x
AB的方程
y
2
43 31
(x
1)
目录 上页 下页 返回 结束
3. 已知曲线积分 L F(x, y) [ y sin xdx cos x dy]
与路径无关, 其中 F C1, F (0,1) 0, 求由 F(x, y) 0
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
(x,y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
yy
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
L2
B
A
L1
L1L2 Pdx Qd y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说(1明) 沿: 积D 中分任与意路光径滑无闭关曲线时L, 曲, 有线L积Pd分x 可Q记dy 为 0.
(2)与对路D 径中A无B任P关一d,分x只段与Q光起d滑y止曲点线有ABPL关,d曲.x 线 Q积d分y L Pdx Qdy
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
目录 上页 下页 返回 结束
一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
域 D 边界L 的正域向) : 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q dy
目录 上页 下页 返回 结束
P214
作业
3 ; 4 (3) ;
5 (1) , (4) ；6 (2) ,(5) ;
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针到点 (0,a) 的半圆, 计算
的全微分,
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (4) (1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D
D L
利用格林公式 , 得
L
Pd
x
Q
d
y
D (
Q x
Q x
)d xd y
0
证毕
(4)
在
D
内每一点都有
P y
Q . x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.