高数格林公式

Q x
( x2 y2 0)
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
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取圆弧 AB : x π cos , y π sin ( : π 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(y
dx
x d y)
y
A
L
πk
O Bx
2
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
Ox
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当(0,0) D时, 在D 内作圆周 l : x2 y2 r 2, 取逆时
针方向, 记 L 和 l ¯所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
(3)
在 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
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证明 (1) (2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
Q P dxdy Pdx Qdy
D x y
L
( 格林公式 )
或
x y dxdy Pdx Qdy
DP Q
L
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证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
D
:
1(
x) a
y x
2
b
(
x)
y d
E
AD B
cC
则
Q dxdy
O
x
D1
2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
r2
d
2π
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例6.
验证
xd y x2
yd y2
x 在右半平面
(
x
>
0
)
内存在原函
数 , 并求出它.
y
(x, y)
证: 令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
则
P x
y2 x2 (x2 y2)2
Q y
( x 0 ) O (1,0)
对 D 内任意闭曲线 L 有 P d x Q d y 0 L
在 D 内有 Q P x y
在 D 内有 d u P dx Q dy
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P214
作业
3 ; 4 (3) ;
5 (1) , (4) ；6 (2) ,(5) ;
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针到点 (0,a) 的半圆, 计算
与路径无关, 其中 F C1, F (0,1) 0, 求由 F(x, y) 0
的全微分,
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (4) (1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D
D L
利用格林公式 , 得
L
Pd
x
Q
d
y
D (
Q x
Q x
)d xd y
0
证毕
(4)
在
D
内每一点都有
P y
Q . x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
P dx Qdy
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (3) (4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
du P dx Qdy
则
u P(x, y), u Q(x, y)
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,
(3)
在 D 内是某一函数
从而(在4) 在D即内D每内一每d一点u(点x都, y都)有有PdPyxPyQQxd.yQx
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y ) C(x x, y )
A(x0, y0 )
则 xu u(x x, y) u (x, y)
(xx , y)
xx
Pd x Qdy P d x
L2
B
A
L1
L1L2 Pdx Qd y
(根据条件(1))
Pdx Qdy L2
说(1明) 沿: 积D 中分任与意路光径滑无闭关曲线时L, 曲, 有线L积Pd分x 可Q记dy 为 0.
(2)与对路D 径中A无B任P关一d,分x只段与Q光起d滑y止曲点线有ABPL关,d曲.x 线 Q积d分y L Pdx Qdy
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .
解: 令P 0, Q xe y2, 则
y
B(0,1)
A(1,1)
D yx
利用格林公式 , 有
O
x
x e y2 dy D
x e y2 dy 1 ye y2 dy
OA
0
1 (1 e1) 2
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注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 !
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内容小结
1. 格林公式 P d x Q d y Q P d x d y
L
2. 等价条件
D x y
设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
P d x Q d y 在 D 内与路径无关. L
解: 由图知 F ( y , x), 故所求功为
W AB F d s y d x x d y
(y d x xd y)
2D d x d y
2π 2
y F A
B D
M (x, y)
O
x
AB的方程
y
2
43 31
(x
1)
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3. 已知曲线积分 L F(x, y) [ y sin xdx cos x dy]
π ab
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: P 2xy, Q x2, 则
设L 所围的区域为D, 则 利用格林公式 , 得
L 2xy dx x2 dy 0dxdy 0 D
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例2. 计算
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
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一、 格林公式
区域 D 分类
单连通区域 ( 无“洞”区 域 多连) 通区域 ( 有“洞”区
L D
域 D 边界L 的正域向) : 域的内部靠左
定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在Hale Waihona Puke BaiduD 上具有连续一阶偏导数, 则有
L Pdx Qdy
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
D
Q x
P y
d xd y
n
Q P dxdy
k 1 Dk x y
y D2 D1 L
Dn
O
x
n
Pdx Qdy
k 1 Dk
(Dk 表示 Dk的正向边界)
(x, y)
x
P(x x, y)x
(2)与对ux 路D 径中lxi无m任0关一,分x只xu段与光起滑l止xim曲点0线P有(L关x, 曲.线积x分, y)L
Pdx Qd
P(x ,
y
y)
同理(3)可即证
u yd
在 D 内是某一函数
u(Qx, y()x, Pyd),x因 Q此dy有
du
的全微分,
y2 dx ax 2 y ln(x a2 x2 ) dy
C a2 x2
2. 已知曲线积分 L F(x, y) [ y sin xdx cos x dy]
与路径无关, 其中 F C1, F (0,1) 0, 求由 F(x, y) 0 确定的隐函数 y f (x).
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L Pdx Qdy
证毕
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如,
椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
(0 2π) 所围面积
1 2π
2 0
(abcos2
absin2 ) d
L AO
(x2 3y) dx ( y2 x) dy OA
4
D
dxd
y
4
0 x
2
dx
8 π 64 3
y L
D
O
Ax
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例4. 验证
是某个函数的全微分, 并求
出这个函数.
证:
设
P
xy2,
Q x2 y,则
P 2xy y
Q x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pdx Qdy L
与路径无关, 只与起止点有关.
du xy2 dx x2 ydy
(x, y)
0 y x2 y dy 0
x2 y2 2
|0y
(0,0)
( x,0)
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例5. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 解:
则当x2 y2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时,由格林公式知 y L
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 根据定理2 , 若在某区域D内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
5π
xd y ydx l x2 y2
提示: x2 y2 0时 (1) Q P
1 4
l
x
d
y
yd
x
1 4
D
2
d
x y (2) Q P
2π
x y
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备用题 1. 设 C 为沿 x2 y2 a2 从点 (0, a) 依逆时针
到点 (0,a) 的半圆, 计算
y2 dx ax 2 y ln(x a2 x2 ) dy
P(x, y)dx
x0
O x0
xx
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲
线 AB ,有
AB P(x, y)dx Q(x, y)dy
B
A P(x, y)d x Q(x, y)dy
D
B
A
B
B
d u u u(B) u(A)
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
(x,y)
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
yy
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
或
y dy 0 1 y2
π arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) O (1,0) ( x,0) x
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思考与练习
1. 设
且都取正向, 问下列计算是否正确 ?
xd y 4ydx l x2 y2
y 2
DL l O 1 2x
1 4
l
xd
y
4y
d
x
1 4
D
5d
A
A
注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4).
它类似于微积分基本公式:
定理2 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围
区域为D , 则
原式
(x2 3y) dx (y2 x) dy
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
0 x
y dy 0 x2 y2
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例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, π ) 移动到 2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
L
令
则有
O Bx
P y
k(x2 y2) r4
C a2 x2
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 .
原式 =
y
C
D
a C
CC C
Ox
D
2y a2 x2
dxd y
a
a (2y ln a) d y a
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2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M 到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 )
d
dy
2 ( y) Q dx
D x
c
1(y) x
Oa
bx
d
d
c Q( 2 ( y), y ) dy c Q(1( y), y ) dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
EAC
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
即
①
同理可证 ②
①、②两式相加得:
D
Q x
P y
d xd y