初等数论中的几个重要定理 高中数学竞赛
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
数学竞赛25个定理
数学竞赛25个定理1. 费马小定理：若p是一个质数，a是任意正整数，则a^p - a能够被p整除。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意的向量a和b，有|a·b| ≤|a|·|b|。
（其中的·是向量的内积）3. 柯西定理：对于任意的可导函数f(z)，有∫γf(z)dz = 0，其中γ是任意封闭曲线。
4. 狄利克雷函数定理：对于任意的正整数a和n，同余方程ax≡ n(mod m)有解当且仅当gcd(a,m)|n。
5. 等比数列求和公式：对于一个公比为r的等比数列1，r，r^2，r^3，…，r^(n-1)，其前n项和为(s_n = (1-r^n)/(1-r))。
6. 泰勒公式：对于一个在区间内的可导函数f(x)，在x = a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)·(x-a) + f''(a)·(x-a)^2/(2!) + …… + f^(n)(a)·(x-a)^n/n!。
7. 正弦和余弦的和差公式：sin(a ± b) = sin(a) cos(b) ± cos(a) sin(b)，cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sin(a) sin(b)。
8. 斯特林公式：n! ≈ (n/e)^n·√(2πn)，其中e≈2.71828是自然对数的底数，π≈3.14159是圆周率。
9. 美林底定理：对于任意的正整数n，有gcd(Φ(n), n) = 1，其中Φ(n)表示小于等于n的正整数中与n互质的数的个数。
10. 欧拉公式：对于任意的正整数n，有e^(iπ) + 1 = 0。
11. 矩阵行列式的定义：对于一个n阶矩阵A，其行列式的定义为：det(A) = Σ(^n)_(i=1) a_1iC_1i，其中C_1i表示以第一行为底，第i列为“孔”的余子式。
12. 柯西-列维定理（变量展开式）：对于一个n元对称多项式f(x1, x2, …, xn)，其可表示为f(x1, x2, …, xn) = Σpπa_π(x1, x2, …, xn)，其中pπ为n元置换，a_π(x1, x2, …, xn)表示将xπ(1)，xπ(2)，…，xπ(n)代入f(x1, x2, …, xn)后留下来的项。
第五节初等数论中的几个重要定理
第五节 初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数s x x x ,,,21 称为是模m 的既约剩余系，如果对任意的s j ≤≤1，1),(=m x j 且对于任意的Z a ∈，若),(m a ＝1，则有且仅有一个j x 是a 对模m 的剩余，即)(mod m x a j ≡。
并定义},,2,1{)(m s m ==ϕ中和m 互质的数的个数，)(m ϕ称为欧拉（Euler ）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然1)1(=ϕ，而对于1>m ，)(m ϕ就是1,2，…，1-m 中与m 互素的数的个数，比如说p 是素数，则有1)(-=p p ϕ。
引理：∏⋅=为质数）－（P |P 11)(mP m m ϕ；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler ）定理）设),(m a ＝1，则)(mod 1)(m a m ≡ϕ。
证明：取模m 的一个既约剩余系))((,,,,21m s b b b s ϕ= ，考虑s ab ab ab ,,,21 ，由于a 与m 互质，故)1(s j ab j ≤≤仍与m 互质，且有i ab )1(s j i ab j ≤<≤∀，于是对每个s j ≤≤1都能找到唯一的一个s j ≤≤)(1σ，使得)(mod )(m b ab j j σ≡，这种对应关系σ是一一的，从而)(mod )(mod )(11)(1m b m b ab s j j s j j s j j∏∏∏===≡≡σ，∴))(mod ()(11m b b a sj j s j j s ∏∏==≡。
1),(1=∏=sj j b m ，)(mod 1m a s ≡∴，故)(mod 1)(m a m ≡ϕ。
证毕。
分析与解答：要证)(mod 1)(m a m ≡ϕ，我们得设法找出)(m ϕ个n 相乘，由)(m ϕ个数我们想到m ,,2,1 中与m 互质的)(m ϕ的个数：)(21,,,m a a a ϕ ，由于),(m a ＝1，从而)(21,,,m aa aa aa ϕ 也是与m 互质的)(m ϕ个数，且两两余数不一样，故)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ ≡)(21,,,m aa aa aa ϕ ≡)(m a ϕ)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ （m mod ），而（)(21m a a a ϕ⋅⋅⋅ m ）＝1，故)(mod 1)(m am ≡ϕ。
高中数学联赛常用定理
相关性质的证明 连 AH 延长线交圆于 G, 连 PG 交西姆松线与 R,BC 于 Q 如图连其他相关线段 AH ⊥ BC,PF⊥BC==>AG//PF==> ∠ 1=∠2
A.G.C.P 共圆==> ∠2=∠3 PE⊥ AC,PF⊥ BC==>P.E.F.C 共圆 ==>∠ 3=∠4 ==>∠1=∠ 4 PF⊥ BC ==>PR=RQ BH ⊥AC,AH ⊥BC==> ∠5=∠6 A.B.G.C 共圆 ==>∠6=∠7 ==>∠5=∠ 7 AG ⊥ BC==>BC 垂直平分 GH ==>∠8=∠ 2=∠4
合，连结 AM 、GM 、A1G( 同上 )，则 AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM. 所以费马点到三个顶点 A、B 、C 的距离最短。 平面四边形费马点 平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。 （1）在凸四边形 ABCD 中，费马点为两对角线 AC、 BD 交点 P。
托勒密不等式是三角不等式的 反演 形式。
二、
设 ABCD 是圆内接四边形 。 在弦 BC 上， 圆周角 ∠BAC = ∠ BDC ，而在 AB 上，∠ ADB = ∠ACB 。 在 AC 上取一点 K，
1 / 16
费马点
（2）在凹四边形 ABCD 中，费马点为凹顶点 D（P）。 经过上述的推导，我们即得出了三角形中费马点的找法：
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在
费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为
初等数论在中学数学竞赛中的应用
初等数论在中学数学竞赛中的应用初等数论是主要研究整数性质的数学分支，包括整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程等。
初等数论知识常被应用于各类的中学数学竞赛，如国内的
“华罗庚金杯赛”、“希望杯全国数学邀请赛”、“全国初高中数学联赛”、“奥林匹克数学竞赛”以及国际上的“国际奥林匹克数学竞赛”等，题目所占比例非常大。
本文主要从初等数论的整除、同余以及不定方程这三大理论中，结合对历年的中学数学竞赛题目的分析、解题过程与反思总结归纳初等数论知识在中学数学竞赛中的应用，能够帮助大家对初等数论有更深入地了解，并且在数学竞赛中更游刃有余地解决问题。
中学数学竞赛中常用的几个重要定理
数学竞赛中几个重要定理1、 梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F三点共线,则FBAFEA CE DC BD ••=12、 梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，且满足FBAFEA CE DC BD ••=1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ABC 的重心为G ，M 是BC 边的中点,过G 作BC 边的平行线AB 边于X ，交AC边于Y ，且XC 与GB 交于点Q ，YB 与GC 交于点P 。
证明：△MPQ ∽△ABCjMQGACBXYP【例2】以△ABC的底边BC为直径作半圆,分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线,垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M.求证：AM⊥BC【例3】四边形ABCD内接于圆，其边AB,DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线,切点分别为E,F。
求证:P,E，F三点共线。
【练习1】设凸四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M,过M 作AD 的平行线分别交AB ，CD于点E ，F ，交BC 的延长线于点O,P 是以O 为圆心，以OM 为半径的圆上一点。
求证：∠OPF=∠OEP【练习2】 在△ABC 中,∠A=900，点D 在AC 上，点E 在BD 上，AE 的延长线交BC 于F 。
若BE:ED=2AC ：DC ，则∠ADB=∠FDCD塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M ，则1=••PACPNCBN MBAM塞瓦定理的逆定理： 设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上，且满足1=••PACP NCBN MBAM ，则AN 、BP 、CM 相交于一点。
【例1】B E 是△ABC 的中线，G 在BE 上，分别延长AG ,CG 交BC ，AB 于点D,F ， 过D 作DN ∥CG 交BG 于N ，△DGL 及△FGM 是正三角形.求证:△LMN 为正三角形。
初等数论的性质与定理总结
初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。
本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。
一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。
2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。
3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。
二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
初等数论四大定理
初等数论四大定理威尔逊定理、欧拉定理、剩余定理（孙子定理）、费马小定理威尔逊定理：当且仅当p为素数时，有：(p-1)!≡-1(mod p)欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互质，(a,n)=1，则：a^φ(n)≡1(mod n)剩余定理（孙子定理）：若有一些两两互质的整数m1,m2,…,m n，则对任意的整数a1,a2,…,a n，以下联立同余方程组对模m1,m2,…,m n有公解：x≡a1(mod m1),x≡a2(mod m2),……,x≡a n(mod m n)费马小定理：若p是质数，且(a,p)=1，则：a^(p-1)≡1(mod p)之前一直认为费马小定理的证明很复杂，但是懂了欧拉定理之后就迎刃而解了.首先，我们需要知道欧拉定理是什么：数论上的欧拉定理，指的是a x≡1(modn)这个式子实在a和n互质的前提下成立的.为什么成立呢？下面来证一下.首先，我们知道在1到n的数中，与n互质的一共有φ(n)φ(n)个，所以我们把这φ(n)φ(n)个数拿出来，放到设出的集合X中，即为x1,x2……xφ(n)x1,x2……xφ(n).那么接下来，我们可以再设出一个集合为M，设M中的数为：m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)m1=a∗x1m2=a∗x2……mφ(n)=a∗xφ(n)下面我们证明两个推理：一、M中任意两个数都不模n同余.反证法.证明：假设M中存在两个数设为m a,m b ma,mb模n同余.即m a≡m b ma≡mb移项得到：m a−m b=n∗k ma−mb=n∗k再将m用x来表示得到:a∗x a−a∗x b=n∗k a∗xa−a∗xb=n∗k提取公因式得到a∗(x a−x b)=n∗k a∗(xa−xb)=n∗k我们现在已知a与n互质，那么式子就可以转化为：x a−x b≡0（modn)xa−xb≡0（modn)，因为a中没有与n的公因子（1除外）所以a对模n同余0并没有什么贡献.又因为x a,x b xa,xb都是小于n的并且不会相同，所以x a−x b xa−xb一定是小于n的，那么上述的式子自然全都不成立.假设不成立.证得：M中任意两个数都不模n同余.二、M中的数除以n的余数全部与n互质.证明：我们已知m i=a∗x i mi=a∗xi.又因为a与n互质，x i xi与n互质，所以可得m i mi与n互质.带入到欧几里得算法中推一步就好了.即gcd(a∗x i,n)=gcd(m i,n)=gcd(n,m i modn)=1证毕.根据我们证得的两个性质，就可以开始推式子了.首先，根据第二个性质可以知道，M中的数分别对应X中的每个数模n同余.所以可以得到：m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)m1∗m2∗……∗mφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)现在我们把m i mi替换成x的形式，就可以得到：a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)a∗x1∗a∗x2∗……∗a∗xφ(n)≡x1∗x2∗……∗xφ(n)(modn)很显然，我们应该移项了，但是在移项之前，我们认为这么多的a很烦，那么就先乘起来：aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)aφ(n)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡x1∗x2……∗xφ(n)(modn)很开心，我们终于凑出了aφ(n)aφ(n),那么就开始移项吧：(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)(aφ(n)−1)∗(x1∗x2……∗xφ(n))≡0(modn)然后，就出来啦：aφ(n)≡1(modn)aφ(n)≡1(modn)证毕.用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式.中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积.设为模的数论倒数( 为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数.考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解.另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除 . 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍.而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解.所以方程组所有的解的集合就是：。
初等数论在数学竞赛中的应用
初等数论在数学竞赛中的应用
初等数论是数学竞赛中的常见题型，尤其是在奥数竞赛中。
下面列举几个常见的例子：
1. 最大公约数和最小公倍数的应用：通过对给定的两个数分解质因数，求其最大公约数和最小公倍数。
2. 模运算的应用：模运算是解决很多问题的关键，比如余数、同余方程、解密等等。
3. 素数的应用：判断一个数是否为素数、找出素数的个数、进行素数分解等，都是初等数论中常见的问题。
4. 数列基本性质的应用：通过数列基本性质（通项公式、前n项和公式等）求解数列问题，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
5. 奇偶性的应用：通过奇偶性进行分类讨论，求解一些数论问题，比如判断两个数的和是否为偶数，判断阶乘的末尾有几个0等。
初等数论虽然简单，但它是解决很多高阶数学问题的基础。
在数学竞赛中，初步掌握初等数论的方法和技巧，能有效提高解题的效率和准确性。
初等数论中的几个重要定理
初等数论中的几个重要定理基础知识定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。
并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而也是与互质的个数，且两两余数不一样，故（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系是一一的，从而，。
，，故。
证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数，若是的倍数，则。
若不是的倍数，则由引理及欧拉定理得，，由此即得。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。
证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。
从而对，使得；若，，则，，故对于，有。
即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。
除外，别的数可两两配对，积除以余1。
故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式（）称为同余方组程。
特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：这里，，以及满足，（即为对模的逆）。
高中数学竞赛常用定理
高中数学竞赛常用定理在高中数学竞赛中，掌握一些常用的数学定理和公式是至关重要的。
这些定理和公式可以帮助学生在比赛中更快、更准确地解决问题，提高竞赛成绩。
下面我们就来介绍一些高中数学竞赛中常用的定理和公式。
1. 三角函数的基本关系：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sinC}=2R$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形$ABC$的三边长度，$A$、$B$、$C$为对应的内角，$R$为三角形$ABC$的外接圆半径。
- 余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
- 正弦函数和余弦函数的关系：$\sin(a \pm b)=\sin a \cos b \pm \cosa \sin b$，$\cos(a \pm b)=\cos a \cosb \mp \sin a \sin b$。
2. 相似三角形的性质：- 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
- 直角三角形中，正弦、余弦、正切函数的关系：$\sinA=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$。
3. 平面几何中的重要定理：- 圆的性质：圆内角的和为$180^\circ$，圆周角等于其对应圆心角的一半。
- 相交弦定理：相交弦乘积相等，即$AB \times CD=BC \timesDA$。
- 切线和半径的关系：切线和半径垂直，切线与半径的交点与圆心连线构成直角三角形。
- 内切圆和外切圆的性质：内切圆的切点和三角形的顶点共线，外切圆的切点和三角形的对边中点共线。
4. 数列和级数中的常用公式：- 等差数列前$n$项和公式：$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$。
- 等比数列前$n$项和公式：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容之欧阳治创编
全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
4、几何不等式。
5、简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
6、几何中的运动：反射、平移、旋转。
7、复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
2、第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
3、ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
5、圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
7、简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
三、立体几何1、多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
2、正多面体，欧拉定理。
3、体积证法。
4、截面，会作截面、表面展开图。
四、平面解析几何1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
2、二元一次不等式表示的区域。
3、三角形的面积公式。
4、圆锥曲线的切线和法线。
5、圆的幂和根轴。
五、其它抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及定理内容
全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿）及定理内容命题要求：根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，“全国高中数学联赛（一试）”所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高．主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合运用和灵活运用的能力。
试卷包括6道选择题，6道填空题和3道解答题，全卷满分为150分。
“全国高中数学联赛加试（二试）”与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲以外的内容，试卷包括3道解答题，其中一道是平面几何题，全卷满分为150分。
参赛对象：在校高中学生，坚持以自愿原则报名参加竞赛。
参加“全国高中数学联赛”的学生可以自愿选择是否参加“联赛加试”。
但是有意参加全国中学数学冬令营的学生必须两次考试都参加，并把两次考试的总分作为选拔冬令营营员的标准。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。
在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。
而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。
因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。
一试全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
二试1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。
了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理~及考纲
1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。
，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
，一阶、二阶递归，法。
函数，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，，及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它。
集合的划分。
覆盖。
西姆松线的存在性及性质()。
及其逆定理。
一、平面几何1.梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
高中数学联赛数论专题
高中数学联赛数论专题数论是数学中的一个重要分支，涉及整数的性质和关系。
在高中数学联赛中，数论作为一个专题常常被提及，并且在竞赛题目中占据一定比例。
本文将从数论的基本概念、典型问题和解题思路等方面进行探讨。
一、数论的基本概念数论是研究整数的性质和关系的数学领域，其中核心概念包括因数、倍数、质数、互质等。
因数指的是能够整除某个整数的所有正整数，而倍数则是某个整数所能够整除的所有整数。
质数是只能被1和自身整除的整数，而互质则是两个数的最大公因数为1。
二、典型问题在高中数学联赛的数论专题中，常常会出现以下典型问题：1. 质因数分解：给定一个整数，要求将其分解为质因数的乘积。
质因数分解不仅是数论中的重要知识点，还是其他数学学科的基础。
2. 同余定理：同余定理是数论中的重要理论，涉及到整数之间的模运算。
常见的同余定理包括欧拉定理、费马小定理等。
3. 素数判定：判断一个数是否为素数是数论中的常见问题。
除了常规的试除法，还可以运用费马检验、米勒-拉宾素性测试等方法进行判定。
4. 数列问题：数论与数列密切相关，常常会涉及到数列的性质和规律。
例如斐波那契数列、约瑟夫环等经典问题。
5. 不定方程：不定方程指的是关于整数解的方程，解决不定方程需要灵活运用数论知识和技巧。
典型的不定方程问题包括费马方程、佩尔方程等。
三、解题思路在高中数学联赛中，解决数论问题的关键在于运用合适的方法和技巧。
下面给出几点解题思路供参考：1. 寻找规律：数论问题常常有一定的规律性，通过观察和归纳找出规律是解题的关键。
可以通过列数表、找数列规律等方法进行推断。
2. 利用等式性质：利用等式的性质可以化简或者变形给定的数论问题，将其转化为更容易解决的形式。
例如利用同余关系化简方程、利用性质求解方程等。
3. 利用定理和公式：数论中有很多重要的定理和公式，熟练掌握并恰当运用可以大大提高解题效率。
例如欧拉定理、费马小定理等。
4. 分类讨论：针对不同情况进行分类讨论，找出不同情况下的共同性质和规律。
高中数学联赛常用定理
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高中数学联赛常用定理地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容常用定理1、费马点（I）基本概念定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（II）证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
数论的几个重要定理(精选、)
11 数论的几个重要定理欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理及中国剩余定理是数论的四大定理，它们是解决数论问题的重要工具。
下面介绍这几个定理在竞赛数学中的应用方法。
1． 基本原理定理1（欧拉定理） 设m 为大于1的整数，(,)1a m =，()m ϕ为欧拉函数，则()1(mod )m a m ϕ≡.证 设{}12(),,,m r r r ϕ…为模m 的一个简化剩余系，因为(,)1a m =，所以 {}12(),,,m ar ar ar ϕ…也是模m 的一个简化剩余系，从而有 12()12()()()()(mod )m m ar ar ar r r r m ϕϕ≡……，即 ()12()12()()(mod )m m m a rr r rr r m ϕϕϕ≡ (1)因为12()(,)1m r r r m ϕ=… ，所以由（1）得 ()1(mod )m a m ϕ≡.定理2（费马小定理） 设p 是素数，(,)1a p =，则11(mod )p a p -≡.证 因为p 是素数，所以()1p p ϕ=-，由欧拉定理知()1(mod )p a p ϕ≡，∴ 11(mod )p a p -≡.推论 设p 为素数，a 为整数，则(mod )p a a p ≡ （2）证 当p a 时，（2）式显然成立.当p 不能整除a 时，因为p 为素数，所以(,)1a p =.由定理2得 11(mod )p ap -≡， ∴ (mod )p a a p ≡.定理3（威尔逊定理） 若p 为素数，则(1)!1(mod )p p -≡-.证 {}2,3,,2a p ∀∈-…，因为(,)1a p =，所以{},2,,(1)a a p a -…也是模p 的简化剩余系，故存在唯一的{}1,2,,1b p ∈-…，使得1(mod )ba p ≡ （1）∵ {}2,3,,2a p ∈-…，∴ 1b ≠，1b p ≠-.若b a =，则21(mod )a p ≡∴ (1)(1)0(mod )a a p -+≡.∴ 11(mod )a p ≡-或,这与{}2,3,,2a p ∈-…矛盾.综上即知{}2,3,,2b p ∈-…且b a ≠.将{}2,3,,2p -…中的数按（1）式两两配对，得234(2)1(mod )p p ⨯⨯⨯⨯-≡…，∴ (1)!1(mod )p p -≡-.定理4（中国剩余定理） 设12,,,k m m m …是k 个两两互质的正整数，12k m m m m =…，i im M m =，1,2,,i k =…，则同余式组 1122(mod )(mod )(mod )kk x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩…… (1)有唯一解 111222(mod )k k k x M M a M M a M M a m '''=+++ (2)其中1(mod )i i i M M m '≡，1,2,,i k =….证 容易验证（2）是（1）的解.又若x '，x ''均是（1）的解，则对于1,2,,i k =…，有(mod )i i x a m '≡(mod )i i x a m ''≡，从而有 0(mod )i x x m '''-≡，又因为12,,,k m m m …两两互质，从而有0(mod )x x m '''-≡，即 (mod )x x m '''≡，所以x '与x ''是同余式组（1）的相同解.设1m >，(,)1a m =，则由欧拉定理知()1(mod )m a m ϕ≡，我们把满足条件1(mod )r a m ≡的最小正整数r 称为a 对模m 的阶，或称为a 对模m 的指数.关于a 对模m 的阶，我们有如下结论.定理5 设1m >，(,)1a m =，a 对模m 的阶为0n ，n 为正整数.若1(mod )na m ≡，则0n n .证 由带余除法知，存在非负整数q 及r ，使得 0n qn r =+，00r n ≤<.所以 001()(mod )qn r n n q r r a a a a a m +===≡，由于0r n <，由0n 的最小性知0r =，所以0n n .2． 方法解读用上述定理解题，除应掌握数论解题的基本方法外，还应对这几个定理的用途有一定的 认识.一般说来，欧拉定理与费马小定理提供了降幂与归1的工具.威尔逊定理提供了处理连续整数的积的方法.中国剩余定理提供了某些存在性问题的构造方法.定理5提供了由方幂的指数导出整除关系的途径.例1 求使21n -为7的倍数的所有正整数n ..解 ∵ 122(mod 7)≡，224(mod 7)≡，321(mod 7)≡，所以2对模7的阶为3.又因为21(mod 7)n ≡，所以由定理5知 3n ，即3()n k k N +=∈.例2 设整数a ，b ，c 满足0a b c ++=，记201120112011d ab c =++，求证d 不是素 数.证 ∵ 2(mod 2)a a ≡，∴ 2011(mod 2)aa ≡ 同理知 2011(mod 2)b b ≡，2011(mod 2)c c ≡， ∴ 2011201120110(mod 2)a b c a b c ++≡++≡， ∴ 2d .又由费马小定理知，3(mod 3)a a ≡，word. ∴ 201120103670670669232232()a a a a a a a a a a a ⨯≡≡≡≡≡223222478262793(mod 3)a a a a a a a a a a a a ≡≡≡≡≡≡≡≡，同理可证 2011(mod 3)bb ≡，2011(mod 3)c c ≡， ∴ 2011201120110(mod3)a b c a b c ++≡++≡，∴ 3d . 又∵ (2,3)1=，∴ 6d ，所以d 不是素数.例3 证明：数列1,19,119,1119,11119，…中有无穷多个合数.证 因为19是素数，(10,19)1=，由费马小定理知 18101(mod19)≡，所以对于任 意的正整数n ，有 18101(mod19)n ≡，∴ 181010(mod19)n -≡，∴ 18191110(mod19)n ⨯≡个…，∵ (199)1=，， ∴ 18119111n 个…，∴ 1811911119n 个…，即 1811911119n 个….由于正整数n 有无穷多个，所以数列中有无穷多项被19整除，故数列中有无穷多项为合数.例4（第47界IMO 预选题） 已知(0,1)x ∈，令(0,1)y ∈，且y 的小数点后第n 位数字是x 的小数点后第2n 位数字.证明：若x 为有理数，则y 也为有理数.证 设120.n x x x x =……， 120.n y y y y =……，则对于1,2,n =…，有2n n y x =.因为x 为有理数，所以数列{}n x 从某项开始为周期数列，为了说话方便，不妨设{}n x 为周期数列，d 为它的一个周期，02nd v =，其中0n 为非负整数，v 为大于1的奇数（这是可以办到的，因为若T 为数列的周期，则3T 也为周期）.现令()v ωϕ=，由欧拉定理知，()221(mod )v v ωϕ=≡，从而有00022(mod(2))n n n v ω+≡⋅， 即 0022(mod )n n d ω+≡，所以对于任意的正整数0n n >，有 00002222(mod )n n n n n n d ω+--⋅≡， 即 22(mod )n n d ω+≡.∵ d 是{}n x 的周期，从而有 22n n x x ω+=， 即n n y y ω+=.综上知，对于任意的0n n >，都有n n y y ω+=，所以{}n y 从第01n +项开始为周期数列，因此y 为有理数.例5设1000(5x =+，求[]x 的末三位数.解 令1000(5y =-.∵ 10000(51<-<，∴ 01y <<.又因为 10001000(5(5x y +=++-100099839963224100010002(55(23)5(23)C C =+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 23449350099810005(23)(23))C ++⋅⋅⋅+⋅…（1） 所以 []1x x y =+-.由（1）式知10003500252(23)(mod1000)x y +≡⨯+⋅⋅（2） ∵ 3100058=⨯，1000350(mod 5)≡ （3）10005005005(25)11(mod8)=≡= （4）由（3）得 1000355t =，代入（4）得351(mod8)t ≡，即 51(mod8)t ≡，∴ 5(mod8)t ≡.85t k ≡+，所以 100033555(85)625(mod1000)t k ==+≡，∴ 1000252625250(mod1000)⨯≡⨯≡.又∵ 15ϕ（125）=125(1-)=100，由欧拉定理知 3100(23)1(mod125)⋅≡，∴ 3500(23)1(mod125)⋅≡ （5）又 3500(23)0(mod8)⋅≡ （6）由（5）得 3500(23)1251t ⋅≡+，代入（6）得12510(mod8)t +≡，即 510(mod8)t +≡，∴ 3(mod8)t ≡.∴ 83t k =+，代入得 3500(23)125(83)1376(mod1000)k ⋅=++≡， ∴ 35002(23)2376752(mod1000)⋅⋅≡⨯=.综上知，10003500252(23)2507522(mod1000)x y +≡⋅+⋅⋅≡+≡，所以 11(mod1000)x y +-≡，故[]x 的末三位数为001.例6求具有如下性质的素数p 的最大值：存在1,2,,p …的两个排列（这两个排列可 以相同）1212,,,,,,p p a a a b b b …与…，使得1122,,,p p a b a b a b …被p 除所得的余数互不相同.解 不妨设 121,2,,p a a a p ===….若p b p ≠，则存在 {}1,2,,1i p ∈-…，使得 i b p =，从而有 0(mod )i i a b p ≡，0(mod )p p a b p ≡，从而有 (mod )i i p p a b a b p ≡，这与题设矛盾，因此有 p b p =.因为 0(mod )p p a b p ≡，又1122,,,p p a b a b a b …被p 除所得的余数互不相同，所以 112211,,,p p a b a b a b --…被p 除的余数构成的集合为{}1,2,,1p -…，由有威尔逊定理，得112211()()()123(1)(1)!1(mod )p p a b a b a b p p p --≡⋅⋅-=-≡-…….又 112211()()()p p a b a b a b --…121121()()p p a a a b b b --=……(1)!(1)!(1)(1)1(mod )p p p =--≡--=，∴ 11(mod )p -≡，∴ 20(mod )p ≡，∴ 2p .由于p 为素数，所以2p =.容易验证2p =满足要求.故所求的最大值为2.例7设整数n ，q 满足5n ≥，2q n ≤≤且q 不为某个质数的平方，试证：(1)!(1)n q q ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（1） 这里[]x 表示x 的这个数部分.证 若q 为合数，因为q 不为质数的平方，所以存在大于1的整数a ，b ，a b ≠，使得q ab =.因为q n ≤，所以1a n ≤-，1b n ≤-，从而有(1)!q n -，因此(1)!(1)!n n q q ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦. ∵ (1)(1)!q n --，(1)!q n -，(1,)1q q -=，∴ (1)(1)!q q n --，∴ (1)!(1)!(1)n n q q q ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦，故结论成立. 若q 为质数，当q n <，易知(1)!q n -，从而有(1)!(1)!n n q q ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦. 又因为 (1)(1)!q n --，(1,)1q q -=，所以 (1)(1)!q q n --,∴ (1)!(1)!(1)n n q q q ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦，结论成立. 当q n =时，因为q 为质数，由威尔逊定理知 (1)!(1)!1(mod )n q q -=-≡-，所以(1)!10(mod )n q -+≡，∴ (1)!1q n -+，所以 (1)!(1)!1(1)!(1)1n n n q q q q ⎡⎤--+---=-=⎢⎥⎣⎦. 又因为 (1)(1)!(1)q n q ----，(1,)1q q -=，所以 ()(1)(1)!(1)q q n q ----， ∴ (1)!(1)(1)!1n q n q q q ⎡⎤-----=⎢⎥⎣⎦（），故结论成立. 例8 若一个正整数的标准分解式中，每个素约数的幂次都大于1，则称这个数为幂数. 证明：对于任意的正整数n (2)n ≥，存在n 个连续的正整数，其中每一个数都不是幂数.证 选取n 个互不相同的素数12,,,n p p p ….由中国剩余定理知，同余式组2112222(mod )1(mod )(1)(mod )n n x p p x p p x n p p ⎧≡⎪≡-+⎪⎨⎪⎪≡--+⎩…………（1）有解.设222012(mod )n x x p p p ≡… 0(0)x >是（1）的唯一解，则对于0,1,2,,1i n =-…，有2i p 不整除0x i +且0i p x i +，故 0x i +不是幂数.因此，n 个连续正整数0000,1,2,,(1)x x x x n +++-…满足要求.例9 设1n >，21n n +，证明3n .证 设p 是n 的最小素因子，2对模p 的阶为r .∵ 21n n +， ∴ 21n p +，∴ 210(mod )n p +≡，∴ 21(mod )n p ≡-，221(mod )n p ≡ （1） 又因为p 为奇素数，所以 (2,)1p =.由费马小定理知121(mod )p p -= （2）由（1），（2）及定理5知，2r n ，1r p -，故1(2,1)2(,)2p r n p n --=.设1(,)2p d n -=，则 d n ，12p d -.因为n 为奇数，所以d 为奇数.又112p d p p -≤<-<，从而由p 的最小性知1d =，所以 (2,1)2n p -=，从而有 2r .又显然有1r >，所以2r =，即2对模p 的阶为2，从而知3p =，即3n .习 题111．已知 17x =，当1n >时，17n x n x -=，求n x 的末两位数.2．证明数列37,337,3337,33337，……中有无穷多个合数.3．证明有无穷多个正整数n ，使得2100(2)n n +.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word文本--------------------- 方便更改。
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初等数论中的几个重要定理
基础知识
定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。
并定义中和互质的数的个数，
称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，
中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而
也是与互质的个数，且两两余数不一样，故
（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由
于与互质，故仍与互质，且有，于是对每
个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系
是一一的，从而，。
，，故。
证毕。
这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
设为质数，若是的倍数，则。
若不是的倍数，则
由引理及欧拉定理得，，由此即得。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。
定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。
证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为
则好是的一个剩余系去0。
从而对，使得；
若，，则，，故
对于，有。
即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自
己配对，这时，，或，
或。
除外，别的数可两两配对，积除以余1。
故。
定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式
（）称为同余方组程。
特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足：
，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作
定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数
，一次同余方程组，必有解，且解可以写为：
这里，，以及满足，
（即为对模的逆）。
中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。
定理5：
（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式
是一个模为次的整系数多项式（即），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。
定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。
以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。
另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到
意想不到的作用，如：，。
这里我们只介绍几个较为直接的应用这些定理的例子。
典例分析
例1.设，求证：。
证明：因为，故由知，从而，但是
，故由欧拉定理得：，，从而；同理，。
于是，，即。
注明：现考虑整数的幂所成的数列：若有正整数使，则有，其中；
因而关于，数列的项依次同余于这个数列相继的项成一段，各段是完全相同的，因而是周期数列。
如下例：
例2．试求不大于100，且使成立的自然数的和。
解：通过逐次计算，可求出关于的最小非负剩余（即为被11除所得的余数）为：
因而通项为的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列：
3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，………
类似地，经过计算可得的数列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列：
7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，………
于是由上两式可知通项为的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10（即上两式周期的最小公倍数）的周期数列：
3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，………
这就表明，当时，当且仅当时，，即；又由于数列的周期性，故当时，满足要求的只有三个，即
从而当时，满足要求的的和为：
.
下面我们着重对Fetmat小定理及其应用来举例：
例3．求证：对于任意整数，是一个整数。
证明：令，则只需证是15的倍数即可。
由3，5是素数及Fetmat小定理得，，则
；
而（3，5）=1，故，即是15的倍数。
所以是整数。
例4．求证：（为任意整数）。
证明：令，则；
所以含有因式
由Fetmat小定理，知13|7|
又13，7，5，3，2两两互素，所以2730=能整除。
例5．设是直角三角形的三边长。
如果是整数，求证：可以被30整除。
证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。
若2 ，2 ，2 c，则，又因为
矛盾！
所以2|.
若3 ，3 ，3 c，因为，则
，又，矛盾！从而3|.
若 5 ，5 ，5 c，因为，，所以或0(mod5)与矛盾！
从而5|.
又(2,3,5)=1，所以30|.
下面讲述中国剩余定理的应用
例6．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都有大于1的平方因子。
证明：由于素数有无穷多个，故我们可以取个互不相同的素数，而考虑同余组①
因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
于是，连续个数分别被平方数整除。
注：（1）本题的解法体现了中国剩余定理的一个基本功效，它常常能将“找连续个正整数具有某种性质”的问题转化为“找个两两互素的数具有某种性质”，而后者往往是比较容易解决的。
（2）本题若不直接使用素数，也中以采用下面的变异方法：由费尔马数
两两互素，故将①中的转化为后，相应的同余式也有解，同样可以导出证明。
例7．证明：对于任意给定的正整数，均有连续个正整数，其中每一个都不是幂数。
分析：我们来证明，存在连续个正整数，其中每一个数都至少有一个素因子，在这个数的标准分解中仅出现一次，从而这个数不是幂数。
证明：取个互不相同的素数，考虑同余组
因为显然是两两互素的，故由中国剩余定理知，上述同余组有正整数解。
对于因为，故，但由①式可知，即
在的标准分解中恰好出现一次，故都不是幂数。
例8．设是给定的偶数，且是偶数。
证明：存在整数使得，且。
证明：我们先证明，当为素数幂时结论成立。
实际上，能够证明，存在使
且：
若，则条件表明为偶数，此时可取；
若，则与中有一对满足要求。
一般情形下，设是的一个标准分解，上面已经证明，对每
个存在整数使得且，而由中国剩余定理，
同余式①有解，
同余式②有解。
现不难验证解符合问题中的要求：因，故，
于是，又由①②知，
故。
注：此题的论证表现了中国剩余定理最为基本的作用：将一个关于任意正整数的问题，化为为素数幂的问题，而后者往往是比较好处理的。