函数的单调性与最值课件

对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y ＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)
的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)
的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称为：同增异减． 3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或 单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不 能用并集表示．
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函数、导数及其应用
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【变式训练】
1 1 3.已知函数f(x)＝ － (a＞0，x＞0)， a x
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
1 1 ，2上的值域是 ，2，求a的值． (2)若f(x)在 2 2
解析： (1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
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求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函 数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，
可由图象的直观性写出它的单调区间．
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1 1 (2010· 北京卷)给定函数①y＝x ，②y＝log (x＋1)，③y＝|x－1|，④y 2 2 ＝2x 1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A．①② C．③④
序号 结论 × 1 2
＋
)
B．②③ D．①④
理由 1 函数 y＝x 在(0，＋∞)上为增函数． 2 ①
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求函数最值(值域)常用的方法和思路 (1)单调性法：先定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最 低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”
的条件后用基本不等式求出最值．
(4)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点 值，求出最值． (5)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用 相应的方法求最值．
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x2＋2x＋a 已知f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)． x 1 (1)当a＝ 时，求函数f(x)的最小值； 2 (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
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1．求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子 集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常 用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的 性质．
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2．复合函数的单调性
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1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( A．y＝2x＋1 2 C．y＝ x B．y＝3x2＋1 D．y＝|x|
)
答案： C
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2．函数y＝x2＋2x－3(x＞0)的单调增区间是( A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－3] 解析：
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
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求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性． (1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝3x2－x. 解析： (1)依题意，可得 当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上
是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
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(2)设μ＝x2－x，则y＝3μ.
1 1 ∵μ在－∞，2上为减函数，在2，＋∞上为增函数，
又∵y＝3μ为增函数，
【全解全析】
y＝log (x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故在(0,1)上也为减
② √ 函数． ③ √ × y＝|x－1|在(0,1)上为减函数．
答案： B
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④
y＝2x＋1 在(－∞，＋∞)上为增函数.
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1．(2010· 重庆卷)函数y＝ 16－4x的值域是( A．[0，＋∞) C．[0,4) B．[0,4] D．(0,4)
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这样问题就转化为求g(x)的最小值φ(a)，从而得到关于a的不等式， 解之即可． g(x)＝(x＋1)2＋a－1， 对称轴为x＝－1，且开口向上， 所以g(x)在[1，＋∞)上递增， 所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝3＋a，
由3＋a＞0得a＞－3.
解析： 1 1 (1)当a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2， 2 2x 1 的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调 x
联想到g(x)＝x＋ 性． 任取1≤x1＜x2，
1 1 － 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋ 2x 2x 1 2
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4．两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a，b)上都是增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也为增 (减)函数，但 f(x)· g(x)， 1 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． fx
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从近两年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最 值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中 等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用， 主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等 价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．
把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示．
由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，
(2,3]．
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2 9 x －9 x－3x＋3 (2)y′＝1－ 2＝ 2 ＝ . x x x2
令y′≥0，即(x－3)(x＋3)≥0，得x≥3或x≤－3(舍去)， ∴单调递增区间为[3，＋∞)． 令y′＜0，即(x－3)(x＋3)＜0，又x＞0，得0＜x＜3， ∴单调递减区间为(0,3)．
间是________．
答案：
1 0， 2
5．函数f(x)＝ ________． 答案： 1 2 1
1 在[2,3]上的最小值为________，最大值为 x－1
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用定义证明函数单调性的一般步骤 (1)取值：即设x1，x2是该区间内任意两个值，且x1＜x2. (2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分 解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
x1－x2x1x2＋1 x2 x1 则f(x2)－f(x1)＝ 2 － ＝ . x2 －1 x12－1 x22－1x12－1 ∵－1＜x1＜x2＜1， ∴|x1|＜1，|x2|＜1，x1－x2＜0，x12－1＜0，x22－1＜0， |x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0， x1－x2x1x2＋1 ∴ 2 ＜0， x2 －1x12－1 因此，f(x2)－f(x1)＜0， 即f(x2)＜f(x1)，此时函数为减函数．
)
二次函数的对称轴为x＝－1，又因为二次项系数为正数，
拋物线开口向上，对称轴在定义域的左侧，所以其单调增区间为(0，＋
∞)． 答案： A
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b 3．若函数 y＝ax 与 y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2 x ＋bx 在(0，＋∞)上是( A．增函数 C．先增后减 ) B．减函数
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x1－x22x1x2－1 ＝ 2x1x2 ∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0. 又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数． 7 ∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ . 2 (2)用等价变换和函数思想解题． x2＋2x＋a 在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ ＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立． x 设g(x)＝x2＋2x＋a，则g(x)在[1，＋∞)上的最小值φ(a)＞0.
1 1 ∴y＝3x －x在－∞，2上为减函数，在2，＋∞上为增函数．
2
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【变式训练】
2.求出下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|x2－4x＋3|； 9 (2)y＝x＋ (x＞0)． x
解析：
(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，
(3)定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)
－f(x2))的符号．当符号不确定时，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论．
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x 试讨论函数 f(x)＝ 2 ，x∈(－1,1)的单调性． x －1
解析：
任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，
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【变式训练】 是减函数．
证明：
x＋2 1.利用单调性的定义证明函数y＝ 在(－1，＋∞)上 x＋1
设x1＞x2＞－1， x1＋2 x2＋2 x2－x1 － ＝ . x1＋1 x2＋1 x1＋1x2＋1
则y1－y2＝
∵x1＞x2＞－1，x2－x1＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， x2－x1 ∴ ＜0，即y1－y2＜0，y1＜y2. x1＋1x2＋1 x＋2 ∴y＝ 在(－1，＋∞)上是减函数． x＋1
1 1 1 1 ∵f(x2)－f(x1)＝a－x －a－x
2

1
1 1 x2－x1 ＝ － ＝ ＞0， x 1 x 2 x 1x 2 ∴f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．
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1 1 ，2上的值域是 ，2， (2)∵f(x)在 2 2 1 又f(x)在2，2上单调递增， 1 1 2 ＝ ，f(2)＝2，∴a＝ . ∴f 2 5 2
)
解析：
要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，
∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 16－4x的值域为[0,4)．
答案： C
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D．先减后增 b 解析： ∵函数y＝ax与y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数， x
∴a＜0，b＜0， b ∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－ ＜0， 2a ∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．
答案： B
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1 4．已知f(x)为R上的增函数，且满足f x ＞f(2)，则x的取值区
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2.单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ，则称函数f(x)在这
一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做f(x)的单调区间． 【思考探究】 单调区间与函数定义域有何关系？ 提示： 单调区间是定义域的子区间．
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第2课时 函数的单调性与最值
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1．单调函数的定义 增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量x1，x2，
定义
当x1＜x2时，都 当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2) ， 有 f(x1)＞f(x2) ，那么就 那么就说函数f(x)在区间D上是增 说函数f(x)在区间D上是减 函数 函数