函数的单调性与最值课件
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函数的单调性和最值PPT精品课件
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数 在区间I上单调递增，且在区间J上单 调递增，则函数在区间I和J的交集上 也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数 在区间I上单调递增，且另一个函数在 区间J上单调递增，则这两个函数在区 间I和J的交集上也是单调递增的。
求函数最值的方法
配方法：将函数进行配方，利用二次 函数的性质求最值。
导数法：求出函数的导数，令导数为 0，解出极值点，再比较区间端点和
极值点的函数值，得到最值。
判别式法：对于一些特殊的分式函数， 通过判别式法求最值。
实际问题的解决
利用函数的单调性和最值解决实际问 题，如最大利润、最小成本等问题。
通过建立数学模型，将实际问题转化 为数学问题，利用函数的单调性和最 值求解。
函数的拐点
定义
函数图像上凹凸性发生变化的点，即二阶导数由正变负或由负变正的点。
判断方法
求函数二阶导数，令其等于0，然后检查三阶导数在该点的符号，以确定函数在拐点左 侧是凹还是凸。
极值和拐点的应用
优化问题
通过找到函数的极值点，可以确定使目标函数 取得最大或最小值的自变量取值。
动态分析
拐点可以用于分析经济、物理等系统的变化趋 势和稳定性。
单调性在生活中的应用
单调性在经济学中有着广泛的应用，例如在股票价格、商品价格和供需关系等方面的分析中，可以利用单调性来判断市场的 变化趋势。
单调性在物理学中也有着重要的应用，例如在研究物体的运动规律、热量传递和电磁场等方面，可以利用单调性来分析物理 现象的变化趋势。
函数的单调性与最值-PPT
30
∴当 x＝ 时，函数3
2
g(取x)=得- x32最 小2x =值1 ，
5 3
，m12即-4m(32m2＋53 1)·(4m2－3)≥0，
解得m≤
或m≥ .3
2
3 2
31
27
正解：
由不等式x2-4x+3＞0，得函数的定义域为
(-∞，1)∪(3，+∞)．
设u=x2-4x+3，则 y log1 u 又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，2
故由二次函数的性质知：
当x≥2时，u=x2-4x+3为增函数； 当x＜2时，u=x2-4x+3为减函数．
因为函数定义域为(-∞，1)∪(3，+∞) 且 y log1 u 为减函数，
减函数 增函数
增函数 增函数 减函数 减函数
4
基础达标
• (教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为 增函数的是( B )
A. y＝－x＋1 C. y＝x2－4x＋5
B. y＝ x D. y＝ 2
x
解析： 结合函数的图象可知只有选项B对应的函数满足题意．
5
2. (教材改编题)f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)
22
由②得0<x2+5x+4≤
1 4
∴
5 10 2
≤x<-4或-1<x≤
5 1，0 ④
2
由③、④得原不等式的解集为
{x x 5或 5 10 x 4或 1 x 5 10 或x 0}
2
2
.
23
题型四 函数的最值 【例4】 已2 知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有 f(x)＋f(y)＝3f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0， (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
函数的单调性极值与最值课件
2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.
第二节 函数的单调性与最值 课件(共90张PPT)
3．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是 (_－___5_，__－__2_)_∪__(2_，____5_)____．
[解析] 因为函数 f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2 ＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－ 5<x<－2或
画出函数图象如图所示． 则其单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
2．函数y＝ x2＋x－6的单调递增区间为_[2_，__＋__∞__)_____，单调递减区间为 __(_－__∞_，__－__3_]__．
角度Ⅱ.含参函数单调性的讨论 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
则M是y＝f(x)的最小值
知识点三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
链/接/教/材
1．[必修1·P44·A组T9]已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是_{_k_|_k_≤_4_0_或__k≥__1_6_0_}____．
角度Ⅳ.复合函数的单调性 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021河北武邑期末]若函数y＝log1(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函
2
数，则a的取值范围为( D ) A．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B．(－4,4] C．[－4,4) D．[－4,4]
[解析]
令t＝x2－ax＋3a，则y＝log
时，f(x)＝x3＋3x，则a＝f(232)，b＝flog3217，c＝f( 2)的大小关系为( C )
[解析] 因为函数 f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2 ＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－ 5<x<－2或
画出函数图象如图所示． 则其单调递增区间为(－∞，－1)和(0,1)，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
2．函数y＝ x2＋x－6的单调递增区间为_[2_，__＋__∞__)_____，单调递减区间为 __(_－__∞_，__－__3_]__．
角度Ⅱ.含参函数单调性的讨论 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
则M是y＝f(x)的最小值
知识点三 利用定义判断函数单调性的步骤 1．取值；2.作差；3.化简判断；4.下结论．
链/接/教/材
1．[必修1·P44·A组T9]已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围是_{_k_|_k_≤_4_0_或__k≥__1_6_0_}____．
角度Ⅳ.复合函数的单调性 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)
6．[2021河北武邑期末]若函数y＝log1(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函
2
数，则a的取值范围为( D ) A．(－∞，－4)∪[2，＋∞) B．(－4,4] C．[－4,4) D．[－4,4]
[解析]
令t＝x2－ax＋3a，则y＝log
时，f(x)＝x3＋3x，则a＝f(232)，b＝flog3217，c＝f( 2)的大小关系为( C )
课件(人教A版数学理)第二章-第二节函数的单调性与最值全篇
【规范解答】(1)选D.解x＜g(x)=x2-2得x2-x-2＞0，
则x＜-1或x＞2.因此x≥g(x)=x2-2的解为：-1≤x≤2.
于是f(x)=
x2 x2, x2 x2,
x＜1或x＞2, 1x2,
当x＜-1或x＞2时，f(x)=(x1)2 7＞2.
24
当-1≤x≤2时，f(x)= (x 1)2 9，
3.函数的最值
前提
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M∈R
满足 条件
①对于任意的x∈I,都有 _f_(_x_)_≤__M_ ②存在x0∈I,使得f_(_x_0_)_=_M_
①对于任意的x∈I,都有 _f_(_x_)_≥__M_ ②存在x0∈I,使得_f_(_x_0)_=_M_
结论 M是f(x)的_最__大__值
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2024/10/202024/10/202024/10/202024/10/2010/20/2024
▪ 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2024年10月20日星期日2024/10/202024/10/202024/10/20
(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点 值,求出最值. 【提醒】在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域.
第二节 函数的单调性与最值
1.增函数、减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1, x2∈D,且x1<x2,则有: (1)f(x)在区间D上是增函数⇔_f_(_x_1)_<_f_(_x_2_)_; (2)f(x)在区间D上是减函数⇔_f_(_x_1)_>_f_(_x_2_)_. 2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间D上是_增__函__数__或_减__函__数__,则称函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,_区__间__D_叫做y=f(x)的单调区间.
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第2节 函数的单调性与最值 课件(35张)
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)对于函数 y＝f(x)，若 f(4)<f(5)，则 f(x)为增函数．( ) (2)函数 y＝f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[4，＋∞).( ) (3)函数 y＝3x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (4)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1, x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f (x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
【考点集训】
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
A．y＝－sin x
B．y＝x2－2x＋3
C．y＝ln (x＋1)
x
D．y＝2 022－2
解析：y＝－sin x 和 y＝x2－2x＋3 在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln (x＋1)在(0，
＋∞)上单增．故选 D．
答案：D
2．函数 y＝log1(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
－1<12，解得 1≤x<32，故选 D． 答案：D
4．(必修第一册 P81 例 5 改编)函数 f(x)＝2x－5 1在区间[2，4]上的最大值为________， 最小值为________.
解析：因为 f(x)在[1，5]上是减函数，所以最大值为 f(2)＝2×52－1＝53，最小值为 f(4)
第二章 函 数
[课标解读] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数单调性的定义
义域为 I，区间 D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时
函数单调性与最值公开课一等奖课件省赛课获奖课件
x b
0a
x b
从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)，
其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。
上升的曲线每点处的切线斜率均为正，
即 f ( x) 0 ;
下降的曲线每点处的切线斜率均为负， 即 f ( x) 0 .
定 理：
设函数 y f x在 a,b连续, 在 a,b 可导,
y
x 0
二. 极值的求法. 由上图可知，函数取到极值处，曲
线的切线都是水平的，但有水平切线的 点不一定都是函数的极值点。
定理 1：（必要条件）
设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处获得极
值，则必有 f ( x0 ) 0 .
阐明：
1.使导数 f ( x)为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。 可导函数的极值点必是驻点， 但 驻点不一定是极值点。
定义：设 f x在a,b内有定义，x0 a,b.
对 x U ( xˆ0 , ),
若 f (x0) > f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种 极大值， x0 称为极大值点；
若 f (x0) < f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种
极小值， x0 称为极小值点。 极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。
2. 证明方程根的唯一性
例3：证明方程 x5 5x 1 0 在 1，0内
有唯一的实根。 证：先证明根的存在性：
设 f x x5 5x 1 且在 1，0 连续，
f 1 5 0, f 0 1 0，
由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内最少有一根; 再证明根的唯一性：
sec3 x sin x(2 cos3 x) 0
函数单调性与最值(第1课时)-课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
函数的单调性与最值课件
单调性的几何意义
函数在某区间内的单调性可以通过其图像在该区间的走向来直观地表现，即函 数图像在该区间内只上升或只下降。
判断函数单调性的方法
导数法
图像法
通过求函数的导数，分析导数的符号 变化，判断函数的单调性。当导数大 于0时，函数单调递增；当导数小于0 时，函数单调递减。
通过观察函数的图像，分析图像的单 调性。
的极值。
判断函数的零点
利用函数的单调性可以判 断函数是否存在零点，以
及零点的个数和位置。
02
函数的最值
函数最值的定义
函数最值
函数在某个区间内的最大值或最小值。
单调性
函数在某个区间内单调递增或单调递减的 性质。
单调性与最值的关系
单调性有助于确定函数的最值。
函数最值的求法
代数法
通过代数运算和不等式性质求最 值。
02
函数$f(x) = frac{1}{x}$在区间$(infty, 0)$和$(0, +infty)$上都是 单调递减的。
最值实例分析
函数$f(x) = x^2$在$x = 0$处取得最小值$f(0) = 0$，在$x = pm 1$处取得最大值$f(pm 1) = 1$。
函数$f(x) = frac{1}{x}$在$x = pm 1$处取得最小值$f(pm 1) = -1$，在$x = pm infty$处取得最大值$f(pm infty) = 0$。
单调性与最值关联的实例分析
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间 $(-infty, 0)$上是单调递减的，并且 在$x = 0$处取得最小值。
对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区 间$(0, +infty)$上是单调递减的，并 且在$x = pm infty$处取得最大值。
函数在某区间内的单调性可以通过其图像在该区间的走向来直观地表现，即函 数图像在该区间内只上升或只下降。
判断函数单调性的方法
导数法
图像法
通过求函数的导数，分析导数的符号 变化，判断函数的单调性。当导数大 于0时，函数单调递增；当导数小于0 时，函数单调递减。
通过观察函数的图像，分析图像的单 调性。
的极值。
判断函数的零点
利用函数的单调性可以判 断函数是否存在零点，以
及零点的个数和位置。
02
函数的最值
函数最值的定义
函数最值
函数在某个区间内的最大值或最小值。
单调性
函数在某个区间内单调递增或单调递减的 性质。
单调性与最值的关系
单调性有助于确定函数的最值。
函数最值的求法
代数法
通过代数运算和不等式性质求最 值。
02
函数$f(x) = frac{1}{x}$在区间$(infty, 0)$和$(0, +infty)$上都是 单调递减的。
最值实例分析
函数$f(x) = x^2$在$x = 0$处取得最小值$f(0) = 0$，在$x = pm 1$处取得最大值$f(pm 1) = 1$。
函数$f(x) = frac{1}{x}$在$x = pm 1$处取得最小值$f(pm 1) = -1$，在$x = pm infty$处取得最大值$f(pm infty) = 0$。
单调性与最值关联的实例分析
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间 $(-infty, 0)$上是单调递减的，并且 在$x = 0$处取得最小值。
对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区 间$(0, +infty)$上是单调递减的，并 且在$x = pm infty$处取得最大值。
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(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
工具
第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性． (1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝3x2－x. 解析： (1)依题意，可得 当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
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第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函 数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，
可由图象的直观性写出它的单调区间．
第2课时 函数的单调性与最值
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函数、导数及其应用
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函数、导数及其应用
栏目导引
1．单调函数的定义 增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量x1，x2，
定义
当x1＜x2时，都 当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2) ， 有 f(x1)＞f(x2) ，那么就 那么就说函数f(x)在区间D上是增 说函数f(x)在区间D上是减 函数 函数
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第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
【变式训练】
1 1 3.已知函数f(x)＝ － (a＞0，x＞0)， a x
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
1 1 ，2上的值域是 ，2，求a的值． (2)若f(x)在 2 2
解析： (1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y ＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)
的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)
的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称为：同增异减． 3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或 单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不 能用并集表示．
解析： 1 1 (1)当a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2， 2 2x 1 的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调 x
联想到g(x)＝x＋ 性． 任取1≤x1＜x2，
1 1 － 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋ 2x 2x 1 2
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函数、导数及其应用
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函数、导数及其应用
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2.单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ，则称函数f(x)在这
一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做f(x)的单调区间． 【思考探究】 单调区间与函数定义域有何关系？ 提示： 单调区间是定义域的子区间．
工具
第二章
函数、导数及其应用
x1－x2x1x2＋1 x2 x1 则f(x2)－f(x1)＝ 2 － ＝ . x2 －1 x12－1 x22－1x12－1 ∵－1＜x1＜x2＜1， ∴|x1|＜1，|x2|＜1，x1－x2＜0，x12－1＜0，x22－1＜0， |x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0， x1－x2x1x2＋1 ∴ 2 ＜0， x2 －1x12－1 因此，f(x2)－f(x1)＜0， 即f(x2)＜f(x1)，此时函数为减函数．
栏目导引
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( A．y＝2x＋1 2 C．y＝ x B．y＝3x2＋1 D．y＝|x|
)
答案： C
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函数、导数及其应用
栏目导引
2．函数y＝x2＋2x－3(x＞0)的单调增区间是( A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－3] 解析：
工具
第二章
函数、导数及其应用
栏目导引
1．求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子 集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常 用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的 性质．
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函数、导数及其应用
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2．复合函数的单调性
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函数、导数及其应用
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1 1 (2010· 北京卷)给定函数①y＝x ，②y＝log (x＋1)，③y＝|x－1|，④y 2 2 ＝2x 1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A．①② C．③④
序号 结论 × 1 2
＋
)
B．②③ D．①④
理由 1 函数 y＝x 在(0，＋∞)上为增函数． 2 ①
间是________．
答案：
1 0， 2
5．函数f(x)＝ ________． 答案： 1 2 1
1 在[2,3]上的最小值为________，最大值为 x－1
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函数、导数及其应用
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用定义证明函数单调性的一般步骤 (1)取值：即设x1，x2是该区间内任意两个值，且x1＜x2. (2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分 解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
1 1 1 1 ∵f(x2)－f(x1)＝a－x －a－x
2
1
1 1 x2－x1 ＝ － ＝ ＞0， x 1 x 2 x 1x 2 ∴f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．
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1 1 ，2上的值域是 ，2， (2)∵f(x)在 2 2 1 又f(x)在2，2上单调递增， 1 1 2 ＝ ，f(2)＝2，∴a＝ . ∴f 2 5 2
栏目导引
x1－x22x1x2－1 ＝ 2x1x2 ∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0. 又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数． 7 ∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ . 2 (2)用等价变换和函数思想解题． x2＋2x＋a 在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ ＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立． x 设g(x)＝x2＋2x＋a，则g(x)在[1，＋∞)上的最小值φ(a)＞0.
4．两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a，b)上都是增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也为增 (减)函数，但 f(x)· g(x)， 1 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． fx
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从近两年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最 值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中 等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用， 主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等 价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．
由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上
是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
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(2)设μ＝x2－x，则y＝3μ.
1 1 ∵μ在－∞，2上为减函数，在2，＋∞上为增函数，
又∵y＝3μ为增函数，
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【变式训练】 是减函数．
证明：
x＋2 1.利用单调性的定义证明函数y＝ 在(－1，＋∞)上 x＋1
设x1＞x2＞－1， x1＋2 x2＋2 x2－x1 － ＝ . x1＋1 x2＋1 x1＋1x2＋1
则y1－y2＝
∵x1＞x2＞－1，x2－x1＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， x2－x1 ∴ ＜0，即y1－y2＜0，y1＜y2. x1＋1x2＋1 x＋2 ∴y＝ 在(－1，＋∞)上是减函数． x＋1
把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示．
由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，
(2,3]．
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函数、导数及其应用
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2 9 x －9 x－3x＋3 (2)y′＝1－ 2＝ 2 ＝ . x x x2
令y′≥0，即(x－3)(x＋3)≥0，得x≥3或x≤－3(舍去)， ∴单调递增区间为[3，＋∞)． 令y′＜0，即(x－3)(x＋3)＜0，又x＞0，得0＜x＜3， ∴单调递减区间为(0,3)．
1 1 ∴y＝3x －x在－∞，2上为减函数，在2，＋∞上为增函数．
2
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函数、导数及其应用
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【变式训练】
2.求出下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|x2－4x＋3|； 9 (2)y＝x＋ (x＞0)． x
解析：
(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，
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函数、导数及其应用
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求函数最值(值域)常用的方法和思路 (1)单调性法：先定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最 低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”
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求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性． (1)y＝－x2＋2|x|＋3；(2)y＝3x2－x. 解析： (1)依题意，可得 当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
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求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函 数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，
可由图象的直观性写出它的单调区间．
第2课时 函数的单调性与最值
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1．单调函数的定义 增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区 间D上的任意两个自变量x1，x2，
定义
当x1＜x2时，都 当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2) ， 有 f(x1)＞f(x2) ，那么就 那么就说函数f(x)在区间D上是增 说函数f(x)在区间D上是减 函数 函数
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【变式训练】
1 1 3.已知函数f(x)＝ － (a＞0，x＞0)， a x
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
1 1 ，2上的值域是 ，2，求a的值． (2)若f(x)在 2 2
解析： (1)证明：设x2＞x1＞0，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y ＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)
的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)
的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称为：同增异减． 3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或 单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不 能用并集表示．
解析： 1 1 (1)当a＝ 时，f(x)＝x＋ ＋2， 2 2x 1 的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调 x
联想到g(x)＝x＋ 性． 任取1≤x1＜x2，
1 1 － 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋ 2x 2x 1 2
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2.单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ，则称函数f(x)在这
一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做f(x)的单调区间． 【思考探究】 单调区间与函数定义域有何关系？ 提示： 单调区间是定义域的子区间．
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x1－x2x1x2＋1 x2 x1 则f(x2)－f(x1)＝ 2 － ＝ . x2 －1 x12－1 x22－1x12－1 ∵－1＜x1＜x2＜1， ∴|x1|＜1，|x2|＜1，x1－x2＜0，x12－1＜0，x22－1＜0， |x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0， x1－x2x1x2＋1 ∴ 2 ＜0， x2 －1x12－1 因此，f(x2)－f(x1)＜0， 即f(x2)＜f(x1)，此时函数为减函数．
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1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( A．y＝2x＋1 2 C．y＝ x B．y＝3x2＋1 D．y＝|x|
)
答案： C
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2．函数y＝x2＋2x－3(x＞0)的单调增区间是( A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，－3] 解析：
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1．求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子 集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常 用方法有：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的 性质．
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1 1 (2010· 北京卷)给定函数①y＝x ，②y＝log (x＋1)，③y＝|x－1|，④y 2 2 ＝2x 1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A．①② C．③④
序号 结论 × 1 2
＋
)
B．②③ D．①④
理由 1 函数 y＝x 在(0，＋∞)上为增函数． 2 ①
间是________．
答案：
1 0， 2
5．函数f(x)＝ ________． 答案： 1 2 1
1 在[2,3]上的最小值为________，最大值为 x－1
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用定义证明函数单调性的一般步骤 (1)取值：即设x1，x2是该区间内任意两个值，且x1＜x2. (2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通过通分、配方、因式分 解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
1 1 1 1 ∵f(x2)－f(x1)＝a－x －a－x
2
1
1 1 x2－x1 ＝ － ＝ ＞0， x 1 x 2 x 1x 2 ∴f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．
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1 1 ，2上的值域是 ，2， (2)∵f(x)在 2 2 1 又f(x)在2，2上单调递增， 1 1 2 ＝ ，f(2)＝2，∴a＝ . ∴f 2 5 2
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x1－x22x1x2－1 ＝ 2x1x2 ∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0. 又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数． 7 ∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ . 2 (2)用等价变换和函数思想解题． x2＋2x＋a 在区间[1，＋∞)上，f(x)＝ ＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立． x 设g(x)＝x2＋2x＋a，则g(x)在[1，＋∞)上的最小值φ(a)＞0.
4．两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a，b)上都是增(减)函数，则 f(x)＋g(x)也为增 (减)函数，但 f(x)· g(x)， 1 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． fx
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从近两年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最 值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中 等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用， 主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等 价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．
由二次函数的图象知，函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上
是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
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(2)设μ＝x2－x，则y＝3μ.
1 1 ∵μ在－∞，2上为减函数，在2，＋∞上为增函数，
又∵y＝3μ为增函数，
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【变式训练】 是减函数．
证明：
x＋2 1.利用单调性的定义证明函数y＝ 在(－1，＋∞)上 x＋1
设x1＞x2＞－1， x1＋2 x2＋2 x2－x1 － ＝ . x1＋1 x2＋1 x1＋1x2＋1
则y1－y2＝
∵x1＞x2＞－1，x2－x1＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0， x2－x1 ∴ ＜0，即y1－y2＜0，y1＜y2. x1＋1x2＋1 x＋2 ∴y＝ 在(－1，＋∞)上是减函数． x＋1
把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示．
由图可知，函数的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，
(2,3]．
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2 9 x －9 x－3x＋3 (2)y′＝1－ 2＝ 2 ＝ . x x x2
令y′≥0，即(x－3)(x＋3)≥0，得x≥3或x≤－3(舍去)， ∴单调递增区间为[3，＋∞)． 令y′＜0，即(x－3)(x＋3)＜0，又x＞0，得0＜x＜3， ∴单调递减区间为(0,3)．
1 1 ∴y＝3x －x在－∞，2上为减函数，在2，＋∞上为增函数．
2
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2.求出下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|x2－4x＋3|； 9 (2)y＝x＋ (x＞0)． x
解析：
(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，
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求函数最值(值域)常用的方法和思路 (1)单调性法：先定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最 低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”