七桥问题与一笔画教学设计

七桥问题与一笔画
赤城四小 叶考良
【教学目标】
1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。

2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。

3、生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型、解决问题,通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。

4、究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。

5、“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。

【重点】,运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。

【难点】,探究“一笔画”的规律 【教学过程】
一、展示问题引入新课
下面呢老师要给大家讲个故事： 18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。

（课件出示）如图所示：河中有两个小岛, 一个岛与河的左岸、右岸各有两座桥相连结，另一个岛与河的左岸、右岸各有一座桥相连结，两个岛屿之间也有一座桥相连结。

人们经常在桥上走过，一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。

不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次呢？大家都想找出问题的答案，但是谁也解决不了这个七桥问题。

同学们，你能解决这个问题吗？为什么？你是怎样想的。

二、分析并构建数学模型：
后来著名数学家欧拉是这样解决的：他把两个岛屿和陆地分别看成点A,B,C,D.所走的七桥路线用线条表示，这样就构成了一个简单图形，于是，七桥问题就变成了这样一个图形问题：也就是怎样才能从A 、B 、C 、D 中的某一点出发，一笔画出这个图形。

这节课我们重温欧拉的研究之路，探寻什么样的图形可以一笔画。

一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。

2、每条线都只能画一次而不能重复。

A
岛
D 岸
B 岛
C
● 点A 、B 表示岛
点C 。

D 表示岸 ▎线表示桥
同学们快速判断下面哪些图形能够一笔画?
像这样各部分连在一起的图形，叫做连通图。

能一笔画的图形必须是连通图。

（课件出示连通图概念，同学们发现一笔画的图形必须是连通图）
三、小组合作探究
1、偶点和奇点
是不是所有的连通图都能一笔画呢？接下来，他又花了大量的图来进行进一步的研究，发现了构成所有的图形的交点，不是奇点就是偶点。

②有奇数条边相连的点叫奇点。

如：
●●●
③有偶数条边相连的点叫偶点。

如：
●●
2、小组合作探究
我们看看是不是这样？（跟进判断练习）大量研究发现这与奇点的个数有关，老师给你一些图形，请你也做做实验，看看能不能像欧拉那样研究出结果？下列图形中。

请找出每个图的奇点个数，偶点个数。

试一试哪些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？
（1）、小组合作试验，填好试验单
（2）、小组汇报试验单
（3）、观察特点总结规律
3、汇报研究结果，总结一笔画规律
（1）奇点的个数是0或2的连通图。

（2）当奇点个数是0的时候，任何一个点都可作起点，终点也是这个点；
（3）当奇点个数是2的时候，起点一定是其中的一个奇点，终点一定是另一个奇点。

4、用你发现的规律，说一说七桥问题的答案？问题解决了，可是大家形成了每周六去散步的习惯，如果让你当一回设计师，在此基础上进行二期工程改造，你能否设计不重复一次走完所有桥的路线图？
四、知识的拓宽与深化
在七桥问题中，如果允许再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？请你试一试！
五、回归生活
1、甲乙两个邮递员去送信,两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道,甲从A点出发,乙从B点出发,最后都回到邮局(C点)。

如果要选择最短的线路,谁先回到邮局?
2、下图是一个公园的平面图,能不能
使游人走遍每一条路不重复?入口和出口
又应设在哪儿?
六、课后延伸
探究：
赛纳河流经巴黎的这一段河中有两个岛，河岸与岛间共架设了15座桥。

（l）能否从某地出发，经过这15座桥各一次后再回到出发点？
（2）如果不要求回到出发
点，能否在一次散步中，
穿过所有的桥各一次？
七、结束语
同学们，数学来源于生活，只要同学们用善于发现的眼睛去观察生活就一定会有所收获,你们学了一笔画知识后，就可以当未来世界的设计师，把未来的城市街道设计成能一笔画成并回到出发点的路，把公园、展馆也设计成从某点出发能一笔画成的路线。

到那时，投递员叔叔再送邮件时，就可以一次跑完所有街道最后回到邮局；人们参观公园只需走一趟就会对所有内容一览无余.在你们的劳动下，世界将会变得更美！
欧拉(1707～1783)，18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一，被称为“分析的化身”。

他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。

欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

欧拉被称为有史以来最伟大的四位数学家之一。

附：记录表
教学反思
如果说课内教学是小课堂，那么课外延伸就是大课堂。

一笔画，是课外延伸的一个内容。

《七桥问题与一笔画》是一个实验与探究的课题。

这节课有两个重点：一是实验，二是探究。

所以在刚开始展示题目时，就让学生反复实验，最终仍是不能一次不重复地走过七座桥。

然后，引出欧拉对七桥问题的建模，把实际问题转化成“一笔画”的数学问题，并让学生体会到转化的数学思想以及从具体到抽象的思想。

接着是活动探究，这是本节课的首要重点。

在充分理解教材的基础上，我创造性地将教学内容重新打造，特意为学生设计了一个探究的图形与表格，为学生有效探究规律搭建了一个非常好的“手脚架”。

学生在搜集、观察数据的同时，引发对数学问题的思考，培养学生的观察能力，用表格、语言表示规律，培养归纳猜想的能力。

其次，运用“一笔画”的规律解决七桥问题，并把七桥问题拓宽与深化。

最后，再次运用“一笔画”的规律解决生活中的实际问题，把数学问题又转化并应用到实际生活中，真正体现数学来源于生活并应用于生活这一特点，让学生感受到数学的价值。

课堂教学中只有充分开放学习方式，才能拓宽学生的探究空间。

在学生动手实践、自主探索、合作交流的学习过程中，本课注意了以下教学策略。

①放手让学生动手操作
心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动作开始。

”学生动手、动脑、动口，亲自操作感知，在头脑里形成鲜明的知觉表象，有助于他们对抽象数学知识的理解，启迪心智。

②给予独立探究的空间
让每个学生根据自己的体验，用自己喜欢的思维方式自由地、开放地去探究，去发现，去再创造有关的数学知识的过程。

给予学生独立探究的时间和空间，促进学生主动、有效地进行探究。

③引导自发合作探究
合作探究是建立在学生自感独立探究有困难、或为了提高探究效率的基础上的，必须是学生自发的，让学生真正体验到有合作的必要性和必需性，体会到合作的优越性。

④创新能力的启发与培养
在课堂练习的环节设计了这样一道练习题：你能一笔画出下列图形吗？你还能再设计一个吗？通过学生的创造，他们一笔画出了鱼、树、花、音乐符号……
学生主体性得到了充分的发展，体会到了自主、合作探索成功的喜悦。

由此，增强了学生学习数学的兴趣，树立了学习数学的自信心；增强了自主探究、合作交流的意识，提高了探究的能力；求异思维、创新意识得到长足发展。

反思本节课也不尽如人意的地方：
在课的设计上可以更丰富一些，比如在学习了《一笔画》后，可以问学生，你觉得在哪些地方可以用到这些知识？有的说：出去旅游，选择线路图时，可以用到；分送报纸时可以省时……这样更能体现一笔画问题在生活中的应用
由于课堂时间受到限制，设计了选择一个研究角度进行研究，这样有的研究行得通，有的行不通，因此一部分学生的研究没有得出结果，而只能在全班汇报的过程中聆听别人的研究成果，这是一个很大的遗憾。

教师可以直接提供正反面材料，快速否定其中的两个行不通的研究角度，然后全班学生进行有效角度的研究，这样可以大大节省时间，同时让所有的学生进行有效的探究。