正比例函数和反比例函数

正比例函数和反比例函数

一、知识梳理

1. 如果变量y 是自变量x 的函数，对于x 在定义域内取定的一个值a ,变量y 的对应值叫

做当x=a 时的函数值。

（为了深入研究函数，我们把“y 是x 的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的x 表示自

变量，括号外的字母f 表示y 随x 变化而变化的规律。f(a)表示当x=a 时的函数值） 2. 函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。 3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质

4.函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。 二、典型题选讲 ●概念辨析

1. 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做＿＿＿＿＿＿＿＿．保持数值不变的量叫做

________________表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为________________. 2. 写出下列函数的定义域： （1）1y x =+ （2）2

1

y x =

- （3

）y =

y = 3.已知：2()1f x x =-+，(0)f =________,(1)f -=______,(2)f =________. 4.解析式形如(0)y kx k =≠的函数叫做_____________.

5.函数3y x =的图像是经过（1，3）和___________的一条____________.当自变量x 的值从小到大逐渐变化时，函数值y 相应地从_________到_______逐渐变化.

6.反比例函数的解析式是_________,反比例函数的图像叫_____________.

7.已知：反比例函数8

y x

=，点A （-2，-4）________它的图像上（填“在”或“不在”）.

8.反比例函数y x

=-的图像的两支在第______象限。在其各自的象限内，y 随x 的增大而____________.

9.函数有三种表示法，分别为_________,__________,__________. 10．已知函数12)(+=x x f ，则=)1(f ____________．

11．在公式C =2πr 中，C 与r 成 比例.（填“正”或“反”）． 12．函数1-=x y 的定义域为_________________． 13．如果1

3

)(-+=

x x x f ，那么=)3(f ______________． 14．已知点P （2，1）在正比例函数kx y =的图象上，则k ＝___________． 15．函数y =－2 x 的图象是一条过原点及（2，a ）的直线，则a = ． 16．若正比例函数15

2

)3(--=m x m y 的图像经过二、四象限，则m 的值为 ．

17．已知反比例函数2

k y x

-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是 ． 18．已知函数x

k

y =

的图象不经过第一、三象限， 则kx y -= 的图象经过第 象限． ●待定系数法求函数解析式

1．若正比例函数经过（2，6），则函数解析式是 ． 2．若反比例函数经过（－2，1），则函数解析式是 ．

3．y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________． 4．如果一个等腰三角形的周长为12，那么它的腰长y 与底边x 的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围为 ．

5．已知反比例函数图像上有一点A ，过点A 做x 轴的垂线，垂足为B ，ΔAOB 的面积为6，则 这个反比例函数的解析式为 ．

6．已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A （–3，4）和（3，a ）两点，（1）求这两个函数解析式；（2）求a 的值．

7、已知21y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与1-x 成反比例，当x ＝－1时，y ＝3；

当x ＝2时，y ＝－3，

（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当2=x 时，求y 的值。

8．已知y 与x －1成正比例，且当x =3时，y =4，

（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当x =1-时，求y 的值．

9、如图，直线l 交x 轴、y 轴于点A 、B ，与反比例函数的图像交于C 、D 两点，如果A （2，0），点C 、D 分别在一、三象限，且OA ＝OB ＝AC ＝BD ，求反比例函数的解析式。

●数形结合 看图识图

１．看图填空：①P 的坐标是__________ ②直线l 的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ③若点Q (,3)a -在直线l 上，则a =＿＿＿＿＿

２．已知：反比例函数图像上一点M （-1，3） ①求出这个函数的解析式 ②求直线MO 的解析式 ③作MN ⊥x 轴于N ，求MON S V ④求图中Q 的坐标

3．如图，在△AOB 中，AB =OB ，点B 在双曲线上，点A 的坐标为（2，0），ABO S ∆=4，求点B

所在双曲线的函数解析式.

4．已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与3-x 成反比例，当x =4时，y 的值为3；当x =1

时，y 的值为2

5

，求当x =9时，y 的值．

5．在同一直角坐标平面内，已知正比例函数y = –2x 和反比例函数x

y 6

-=的图像交于P 、Q

两点（点P 在点Q 的右边），点A 在x 轴的负半轴上，且与原点的距离为4． （1）求P 、Q 两点的坐标；（2）求ΔAPQ 的面积．

6．在同一平面内,如果函数x k y 1=与x

k y 2

=

的图象没有交点,那么1k 和2k 的关系是( ) (A) 1k ＞0,2k ＜0 (B) 1k ＜0, 2k ＞0 (C) 1k 2k ＞0 (D) 1k 2k ＜0

7．下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（ ） （A ）y =2x （B ）y =x 1 （C ）y =x

1

- （D ）y =x 2（x ＞0）

8．甲、乙两地相距100千米，某人开车从甲地到乙地，那么它的速度v （千米/小时）与时间t （时）之间的函数关系用图象表示大致为…………（ ）