高中数学课件-第一部分 专题三 第二讲 空间几何体中的计算问题
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《空间几何体》高中数学ppt优质课件人教B版2
3 空间几 何体的 表面积 与体积 PPT名 师课件
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3 空间几 何体的 表面积 与体积 PPT名 师课件
法二
已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱
ADD′A′-BCC′B′，设它的底面 ADD′A′面积为 S，高为
h，则它的体积为 V＝Sh.
而棱锥 C-A′DD′的底面面积为12S，高为 h，
锥，
其中△ASB、△ASC、△BSC 分别是以∠ASB、∠ASC、∠BSC
为直角，
且直角边长为 1 的全等的等腰直角三角形，
所以该三棱锥的体积是
V＝13S△SBC·SA＝13×12×1×1×1＝16.
即所求几何体的体积是16.
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3．求几何体的体积与表面积需注意的问题 (1)求几何体的表面积要弄清楚几何体侧面展开图的形状及各 几何量的大小． (2)求柱体、锥体、台体的体积关键是找到相应的底面积与高， 常需将空间问题平面化． (3)球的有关问题关键是求出半径，注意球心在解题中的作用．
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3 空间几 何体的 表面积 与体积 PPT名 师课件
解
如图所示，设圆台的上底面周长为 c，因为扇环的圆心角
是 180°，
故 c＝π·SA＝2π×10，
∴SA＝20.
同理可得 SB＝40.
∴AB＝SB－SA＝20.
因此棱锥 C-A′DD′的体积 VC－A′DD′＝13×12Sh＝16Sh.
《空间几何体》_课件详解人教B版1
36
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旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
这顶可爱的草帽又是由什么样的曲线旋转而成的呢？ 这个轮胎呢？
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37
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33
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简单组合体
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特征呢？
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34
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14
练习：下列几何体是不是棱锥,为什么?
S
C
B
D
A
四棱锥：S-ABCD
P
Q C
B
D
A
×
其他的三角形面没有 共一个顶点
15
3.棱台的结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与 截面之间的部分是棱台.
下底面和上底面：原棱锥的底面和截面
分别叫做棱台的下底面和上底面。
侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面
侧面
的顶点。
侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥 侧棱
D
C 底面
的侧棱。
A
B
棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD
底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分 别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥---
13
思考：一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥有分别 有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个 顶点？
高中数学1.3空间几何体表面积和体积优秀课件
h
D
3
V
V大
V小
1 3
S(h
x)
1S' 3
x
A
S
C
1[Sh(SS')x] 3
B
S' S
x2 (h x)2
S' x
S'h
x
S hx
S S'
V1h[S(SS') S' ] 1[S SS' S']h
3
S S' 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
VSh S' S V1(S' S'SS)h S ' 0 V 1 S h
由祖暅原理得： V柱体= sh
经探究得知，棱锥(圆锥)是同底等高的棱柱(圆柱) 的 1 ，即棱锥(圆锥)的体积：
3
V 1 S h（其中S为底面面积，h为高）
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等 于底面面积乘高的 ．1
3
设有底面积都等于S，高都等于h的两 个锥体，使它们的底面在同一平面内.
4
2
2956(mm3)2.956(cm3)
所以螺帽的个数为
5 .8 1 0 0 0 ( 7 .8 2 .9 5 6 ) 2 5 2 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
柱体、锥体、台体的外表积 展开图
圆柱 S2r(rl)
rr
圆台 S(r2r2rlr)l
r 0
圆锥 Sr(rl)
各面面积之和
柱体、锥体、台体的体积
由祖暅原理得： V棱锥=V圆锥
设三菱柱ABC-A’B’C’的底面积为S,高为h，那 么它的体Sh积. 沿为平面A’BC和平面A’B’C，将这个三菱柱分
高中数学第1章1.3.2空间几何体的体积课件苏教必修2.ppt
学习目标 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的体积计算公 式(不要求记忆公式)； 2．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆 锥、圆台和球的体积．
1 3.2
．
课前自主学案
空
间 几
课堂互动讲练
何
体
的
知能优化训练
体
积
课前自主学案
温故夯基
1．正方体的体积公式：V＝_a_3_(a为正方体的 棱长)． 2．长方体的体积公式：V＝abc(a，b，c分别 为长方体的长、宽、高)．
解：设熔化前金属球的半径为 R，熔化后的小金属球的半 径为 R′，则由题意知43πR3＝64×43πR′3，即 R＝4R′.
若设小金属球需要油漆
x
kg
，
则
S大金属球 64×S小金属球
＝
2.4 x
，
即
64×4π4πRR2 ′2＝2x.4，解得 x＝9.6，即需要油漆 9.6 kg.
方法感悟
几何体的体积的求法有以下几种 (1)直接法：即直接套用体积公式求解； (2)等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都 可作为底面，为了求解的方便，我们经常需 要换底，此法在求点到平面的距离时也常用 到；
【思路点拨】 借助公式，求出球的半径， 再根据表面积或体积公式求解．
【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm， ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)．
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4， ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2356π. (3)∵V 球＝43πR3＝5300π， ∴R3＝125，R＝5，
∴S 球＝4πR2＝1ห้องสมุดไป่ตู้0π.
1 3.2
．
课前自主学案
空
间 几
课堂互动讲练
何
体
的
知能优化训练
体
积
课前自主学案
温故夯基
1．正方体的体积公式：V＝_a_3_(a为正方体的 棱长)． 2．长方体的体积公式：V＝abc(a，b，c分别 为长方体的长、宽、高)．
解：设熔化前金属球的半径为 R，熔化后的小金属球的半 径为 R′，则由题意知43πR3＝64×43πR′3，即 R＝4R′.
若设小金属球需要油漆
x
kg
，
则
S大金属球 64×S小金属球
＝
2.4 x
，
即
64×4π4πRR2 ′2＝2x.4，解得 x＝9.6，即需要油漆 9.6 kg.
方法感悟
几何体的体积的求法有以下几种 (1)直接法：即直接套用体积公式求解； (2)等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都 可作为底面，为了求解的方便，我们经常需 要换底，此法在求点到平面的距离时也常用 到；
【思路点拨】 借助公式，求出球的半径， 再根据表面积或体积公式求解．
【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm， ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)．
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S 球＝4πR2＝64π， ∴R2＝16，即 R＝4， ∴V 球＝43πR3＝43π×43＝2356π. (3)∵V 球＝43πR3＝5300π， ∴R3＝125，R＝5，
∴S 球＝4πR2＝1ห้องสมุดไป่ตู้0π.
《空间几何体》ppt课件高中数学人教B版1
【全国百强校】福建省泉州第五中学 高中数 学必修 二课件 ：1.2空 间几何 体的结 构
b
a
c
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正视图
c ba
俯视图
【全国百强校】福建省泉州第五中学 高中数 学必修 二课件 ：1.2空 间几何 体的结 构
侧
正视图
三视图的形成
主 视 图
侧视图
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俯视图
【全国百强校】福建省泉州第五中学 高中数 学必修 二课件 ：1.2空 间几何 体的结 构
三视图的特点
长对正
高平齐
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平行投影
思考2:我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影，把在一束平行光线 照射下形成的投影叫做平行投影，那么 用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形 成的投影分别是哪种投影？
思考3:用灯泡照射一个与投影面平行的 不透明物体，在投影面上形成的影子与 原物体的形状、大小有什么关系？当物 体与灯泡的距离发生变化时，影子的大 小会有什么不同？
宽相等
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三视图的作图规则
主—俯：长对正 主—左：高平齐 主 左—俯：宽相等 视
图
左视图
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俯视图
【全国百强校】福建省泉州第五中学 高中数 学必修 二课件 ：1.2空 间几何 体的结 构
高中数学高考第2节 空间几何体的表面积与体积 课件
自
素
主 回
H，连接
DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，
养 提
顾
升
课课ຫໍສະໝຸດ 后堂限考
时
点
集
探
训
究
返 首 页
42
课 前 自
因为三棱锥高为12，直三棱柱高为 1，AG＝ 12－122＝ 23，
前
外
自 主
线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(
)
素 养
回
提
顾
升
课
课
后
堂
限
考
A．18＋36 5
点
B．54＋18 5
时 集
探 究
C．90
D．81
训
返 首 页
28
课
课
前
外
自
素
主
养
回 顾
B
[由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中
提 升
有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋
前
外
自 主 回
故其体积 V＝13×12×π×12×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1.故选 A.
素 养 提
顾
升
(2)四棱锥 A1-BB1D1D 的底面 BB1D1D 为矩形，其面积 S＝1× 2
课
课 堂
＝
2，又四棱锥的高为点 A1 到平面 BB1D1D 的距离，即 h＝12A1C1＝
后 限
考
时
点
集
3×3＝3
3.]
后 限 时
点
集
探
训
究
返 首 页
16
高一数学课件—第一章 空间几何体
解析 作出图形的轴截面如图所示，点 O 即为该球的 球心，线段 AB 即为长方体底面的对角线，长度为 a2＋2a2 ＝ 5a，线段 BC 即为长方体的高，长度为 a，线段 AC 即为 长方体的体对角线，长度为 a2＋ 5a2＝ 6a，则球的半径 R＝A2C＝ 26a，所以球的表面积 S＝4πR2＝6πa2.
ห้องสมุดไป่ตู้
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)表面积为 4π 的球的半径是____1____．
4π (2)直径为 2 的球的体积是____3____． (3)(教材改编，P28，T3)已知一个球的体积为43π，则此球 的表面积为___4_π___．
3.(教材改编，P27，例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c，
解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方 体，上部是半径为 1 的半球，该几何体的表面积为
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V＝23＋12×43π×13＝8＋23π.
拓展提升
(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义．
A．4π B．8π C．12π D．20π
解析 由该几何体的三视图知，它是由一个球和一个圆 柱组成，S 表＝S 球＋S 圆柱＝4π×12＋π×22×2＋2π×2×2＝4π ＋8π＋8π＝20π.
3.三个球的半径之比为 1∶2∶3，那么最大球的表面积 是其余两个球的表面积之和的( )
A.1 倍 B．2 倍 C.95倍 D.74倍
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.
【跟踪训练 1】 (1)两个球的半径相差 1，表面积之差
《空间几何体》高中数学ppt优质课件人教B版1
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它 的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
（B）
A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
【 全 程 复 习 方略】 高中数 学多媒 体教学 优质课 件：第 一章 空 间 几何 体5
【 全 程 复 习 方略】 高中数 学多媒 体教学 优质课 件：第 一章 空 间 几何 体5
小球的体积 等于它排开 液体的体积
【 全 程 复 习 方略】 高中数 学多媒 体教学 优质课 件：第 一章 空 间 几何 体5
割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限” 思想.
•
8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
•
9.有的时候，我遇到的字只知道拼音 ，可不 知道它 的写法 ，我就 用音序 查字法 从字典 里寻出 它的芳 踪，有 时候看 到不会 读的字 ，我就 用部首 查字法 在字典 中找到 它的倩 影。
半径是R 的球的表面积：S = 4 R 2
球的表面积是大圆 面积的4倍
【 全 程 复 习 方略】 高中数 学多媒 体教学 优质课 件：第 一章 空 间 几何 体5
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球的体积与表面积
1.球的体积公式： V = 4 R3. 3
（B）
A．25π B． 50π C． 125π D．都不对
【 全 程 复 习 方略】 高中数 学多媒 体教学 优质课 件：第 一章 空 间 几何 体5
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小球的体积 等于它排开 液体的体积
【 全 程 复 习 方略】 高中数 学多媒 体教学 优质课 件：第 一章 空 间 几何 体5
割圆术 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限” 思想.
•
8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
•
9.有的时候，我遇到的字只知道拼音 ，可不 知道它 的写法 ，我就 用音序 查字法 从字典 里寻出 它的芳 踪，有 时候看 到不会 读的字 ，我就 用部首 查字法 在字典 中找到 它的倩 影。
半径是R 的球的表面积：S = 4 R 2
球的表面积是大圆 面积的4倍
【 全 程 复 习 方略】 高中数 学多媒 体教学 优质课 件：第 一章 空 间 几何 体5
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球的体积与表面积
1.球的体积公式： V = 4 R3. 3
人教版高中数学 3 空间几何体表面积与体积第一课时(共38张PPT)教育课件
（429年~500年）
黄石市第二中学
Page 22
复习回顾
长方体体积：V abc
正方体体积：V a3
圆柱的体积：V r2h
圆锥的体积： V 1 Sh
3
V
Sh
探究：如何解决柱体的体积问题？
柱体的体积
黄石市第二中学
长方体的体积
Page 24
探究柱体的体积
V柱体 S h
h
ss
Ss
sS
祖暅
黄石市第二中学
β S1
α
S2
Page 21
我国古代著名数学家祖冲之在计
算圆周率等问题方面有光辉的成就。 祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出 贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪 末提出了这个体积计算原理。
祖暅提出这个原理，要比其他国
家的数学家早一千多年。在欧洲知道 17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里 （Cavalieri .B，1598年~1647年）提 出上述结论
黄4石/1市/第2二0中2学1
Page 15
花盆外壁的面积=花盆的侧面积+底面积-底面圆孔面积
黄石市第二中学
Page 16
温故新知
h
h
h
a
a
a
等面积法：等底等高的三角形面积相等
S
1 2
a
h
黄石市第二中学
Page 17
类比
等底面积、等高的两个柱体是否体积相等？
黄石市第二中学
Page 18
思考？？
Page 29
锥体的体积
3V锥体 V柱体
黄石市第二中学
V锥体
1 3
V柱体
1 3
S
h
Page 30
高中数学(人教B版)教材《空间几何体》公开课课件2
A [该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选 A. ]
2．[高考改编]某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的 棱长与最短的棱长的比值是( )
5 A. 2
35 C. 5
B. 2 3
D.2
高 中 数 学 （ 人教B版 ）教材 《空间 几何体 》公开 课课件 2（公 开课课 件）
D [在棱长为 2 的正方体中还原该四面体 P-ABC.如图所示，其中最短的棱为 AB 和 BC，最 长的棱为 PC.因为正方体的棱长为 2，所以 AB＝ BC＝2，PC＝3，所以该四面体最长的棱长与最 短的棱长的比值为32，故选 D.]
是
1 3
×π×12×1
＋
π×12×1＋12×2＝73π. 法二：(补体法)几何体的体积是31×π×12×1＋21×π×12×(1＋3)＝73π.]
4.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3，线段 B1D1 上有两 个动点 E，F，且 EF＝1，则当 E，F 移动时，下列四个结论：
①AE∥平面 C1BD； ②四面体 ACEF 的体积不为定值； ③三棱锥 A-BEF 的体积为定值； ④四面体 ACDF 的体积为定值． 其中结论正确的有________(填序号)．
图3
图4
对于④，如图 4，四面体 ACDF 的体积为 VA-CDF＝VF-ACD＝13×12
×3×3×3＝92为定值，④正确．]
谢谢观看 THANK YOU!
高 中 数 学 （ 人教B版 ）教材 《空间 几何体 》公开 课课件 2（公 开课课 件）
高 中 数 学 （ 人教B版 ）教材 《空间 几何体 》公开 课课件 2（公 开课课 件）
[高考题型全通关] 1．[高考改编]榫卯(sǔn mǎo)是两个木构件上所采用的一种凹凸结合 的连接方式．凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连 接作用．代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿、 山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视 图，则该榫的表面积和体积为( )
高中数学课件-系列一 2017届 第2讲 空间几何体的表面积与体积 课件
3
3
V 内切球＝4πr3＝4π×23＝32π.
3
3
3
栏目 导引
第九章 立体几何
空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、 切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题， 再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元 素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2＝a2＋b2＋c2 求解.
栏目 导引
第九章 立体几何
2．(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为( D )
A．3π C．2π＋4
B．4π D．3π＋4
栏目 导引
解析：
第九章 立体几何
由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所 示． 表面积为 2×2＋2×1×π×12＋π×1×2＝4＋3π.
(2)
由三视图得该几何体的直观图如图，其中，ABCD 为矩形，
AD＝6，AB＝2，平面 PAD⊥平面 ABCD，△PAD 为等腰三
角形，且此四棱锥的高为 4，故该几何体的表面积等于 6×2
＋2×1×2×5＋1×6×2 5＋1×6×4＝34＋6 5.
2
2
2
栏目 导引
第九章 立体几何
考点二 空间几何体的体积(高频考点) 空间几何体的体积是每年高考的热点，考查时多与三视图结 合考查，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小， 属于容易题． 高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积； (3)求以三视图为背景的几何体的体积．
【人教B版】高中数学空间几何体完美课件2
*
知识探究（二):空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观 图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面，我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置？
z y
o
x
*
思考2:怎样画长、宽、高分别为4cm、 3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的 直观图？
D′
z
C′
A′ D
*
思考3:画一个水平放置的平面图形的直 观图，关键是确定直观图中各顶点的位 置，我们可以借助平面坐标系解决这个 问题. 那么在画水平放置的直角梯形的 直观图时应如何操作？
y
D
C
y′ C′
D′
A
Bx
A′
B′ x′
*
思考4:你能用上述方法画水平放置的正 六边形的直观图吗？
y FM E
x
A
o
D
BN C
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
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3.批评文章却写得天花乱坠，一再上 演“皇 帝的新 衣”闹 剧。这 些批评 牵强附 会、肆 意升华 ，外延 无限扩 张，乃 至另起 炉灶， 使批评 成为原 创式的 畅想， 早已失 去了与 原作品 的联系 。
知识探究（二):空间几何体的直观图的画法
思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观 图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一 个底面，我们能否再用一个坐标确定底 面外的点的位置？
z y
o
x
*
思考2:怎样画长、宽、高分别为4cm、 3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的 直观图？
D′
z
C′
A′ D
*
思考3:画一个水平放置的平面图形的直 观图，关键是确定直观图中各顶点的位 置，我们可以借助平面坐标系解决这个 问题. 那么在画水平放置的直角梯形的 直观图时应如何操作？
y
D
C
y′ C′
D′
A
Bx
A′
B′ x′
*
思考4:你能用上述方法画水平放置的正 六边形的直观图吗？
y FM E
x
A
o
D
BN C
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
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8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
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3.批评文章却写得天花乱坠，一再上 演“皇 帝的新 衣”闹 剧。这 些批评 牵强附 会、肆 意升华 ，外延 无限扩 张，乃 至另起 炉灶， 使批评 成为原 创式的 畅想， 早已失 去了与 原作品 的联系 。
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专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-2-
4．棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角 形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三
角形．
5.正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a， 内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四面体的高， 在截面△SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上 的圆．由于正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同
[知规则]——采点得分说明
只要有 AC∥EF，D′E＝D′F(或 DE＝DF 或△D′EF 为
等腰三角形，得出 AC⊥HD′)同样得 4 分 缺少者扣 1 分
必须计算 DO 或 BO＝4，才可得出 OH＝1，否则扣 1 分
必须有 OD ′⊥OH，否则扣 1 分
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
专题三
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专题•限时训练-15-
解析：(1)证明：由题设知，BB1 綊 DD1，
∴四边形 BB1D1D 是平行四边形， ∴BD∥B1D1.(2 分) 又 BD⊄平面 CD1B1，∴BD∥平面 CD1B1.
专题三
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(2)∵A1O⊥平面 ABCD， ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高．(8 分) 又∵AO＝12AC＝1，AA1＝ 2，
∴A1O＝ AA21－OA2＝1.(10 分) 又∵S△ABD＝12× 2× 2＝1，
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥 E-ACD 的体积为 36，求 该三棱锥的侧面积．
专题三
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专题•限时训练-22-
[解析] (1)证明：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. ∵BE⊥平面 ABCD，∴AC⊥BE. 又∵BD∩BE＝B，∴AC⊥平面 BED. 又∵AC⊂平面 AEC，∴平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB＝x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可得 AG＝
3 则外接球半径 R＝ 2 a.
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专题•限时训练-7-
(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一 个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球 心，则 R2＝a2＋b42＋c2＝l42(R 为外接球半径，a，b，c，l 分别为 长方体的长，宽，高，体对角线长)．
所以 AC⊥平面 BHD′，于是 AC⊥OD′.(9 分)
又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以 OD′⊥平面 ABC.
又由EAFC＝DDHO得 EF＝92.
(10 分)
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专题•限时训练-11-
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专题•限时训练-20-
类型一
类型二
类型三
[自我总结]
题型 — 证明四棱锥中的平行关系及求体积.
⇩
知识 — 平行四边形性质、线面平行、线面垂直、三角形面积及体积公式.
⇩
⇩ 素养 — 直观想象、逻辑推理、数学运算.
(6 分)
所以 OH＝1，D′H＝DH＝3.(7 分)
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专题•限时训练-10-
于是 OD′2＋OH2＝(2 2)2＋12＝9＝D′H2，
故 OD′⊥OH. (8 分)
由(1)知 AC⊥HD′，又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
五边形 ABCFE 的面积 S＝12×6×8－12×92×3＝649.(11 分)
所以五棱锥 D′-ABCFE 的体积 V＝13×649×2
2＝232
2 .
(12 分)
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专题•限时训练-12-
GC＝ 23x，GB＝GD＝x2.因为 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，
可得 EG＝ 23x.
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专题•限时训练-23-
由
BE⊥平面
ABCD，知△EBG
为直角三角形，可得
BE＝
2 2 x.
为 O.
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专题•限时训练-3-
此时，CO＝OS＝R，OE＝r，
SE＝ 36a，CE＝ 33a， 则有 R＋r＝ 36a，R2－r2＝CE2＝a32，
解得
R＝
46a，r＝
6 12 a.
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 V 三棱锥 E-ACD＝13×12·AC·GD·BE
＝246x3＝ 36，故 x＝2.从而可得 AE＝EC＝ED＝ 6.
所以△EAC 的面积为 3，
△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.
故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3＋2 5.
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专题•限时训练-13-
必须有 OD′⊥平面 ABC，否则扣 1 分
计算体积时，应体现出体积公式 V＝13Sh 不能直接得出 V＝
23 2
2，否则扣
1
分,
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∴VABD-A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.(12 分),
专题•限时训练-17-
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专题•限时训练-18-
[感悟方法] 求几何体体积的常见类型及解题策略 (1)以三视图为载体的几何体体积问题：将三视图还原为几何 体，利用空间几何体的体积公式求解． (2)直观图中几何体的体积问题： ①锥体、柱体的体积问题：根据题设条件求出所给几何体的底 面积和高，直接套用公式求解；
∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC，
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专题•限时训练-16-
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形，(3 分) ∴A1B∥D1C. 又 A1B⊄平面 CD1B1， ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B， ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.(5 分)
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专题•限时训练-4-
6．正方体与球 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，O 为其对称中心，E， F，H，G 分别为 AD，BC，B1C1，A1D1 的中点，J 为 HF 的中 点，如图所示． (1)正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，则 OJ＝r＝a2(r 为内切球半径)．
专题三
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专题•限时训练-1-
1．设长方体的相邻的三条棱长为 a、b、c，则对角线长为 a2＋b2＋c2 .
2．一个锥体的体积是与它同底面积同高度的柱体体积的13倍． 3．如果直三棱柱的一个侧面的面积为 S，对棱到这个侧面的距 离为 h，则 V＝12Sh.
专题三
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专题•限时训练-6-
7．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球 (1)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一 个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球 心 ， 即 三 棱 锥 A1-AB1D1 的 外 接 球 的 球 心 和 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球的球心重合．如图，设 AA1＝a，
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专题•限时训练-8-
体积的计算 突破点 几何体相应的底面与高度计算
[例 1] (本小题满分 12 分)(2016·高考全国