高中数学课件-第一部分 专题三 第二讲 空间几何体中的计算问题

活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-13-
必须有 OD′⊥平面 ABC，否则扣 1 分
计算体积时，应体现出体积公式 V＝13Sh 不能直接得出 V＝
23 2
2，否则扣
1
分,
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
(2)∵A1O⊥平面 ABCD， ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高．(8 分) 又∵AO＝12AC＝1，AA1＝ 2，
∴A1O＝ AA21－OA2＝1.(10 分) 又∵S△ABD＝12× 2× 2＝1，
∴VABD-A1B1D1＝S△ABD·A1O＝1.(12 分),
专题•限时训练-17-
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-18-
[感悟方法] 求几何体体积的常见类型及解题策略 (1)以三视图为载体的几何体体积问题：将三视图还原为几何 体，利用空间几何体的体积公式求解． (2)直观图中几何体的体积问题： ①锥体、柱体的体积问题：根据题设条件求出所给几何体的底 面积和高，直接套用公式求解；
AE＝CF，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿
EF 折到△D′EF 的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2) 若
AB
＝
5
，
AC
＝
6
，
AE
＝
5 4
，
OD′
＝
2
2，求五棱锥
D′-ABCFE 的体积．
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-2-
4．棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直角三角 形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三
角形．
5.正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a， 内切球的半径为 r，外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四面体的高， 在截面△SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上 的圆．由于正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
类型一
类型二
类型三
表面积或截面积的计算 突破点 表面
专题•限时训练-21-
积的组成或特征
[例 2] (2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点， BE⊥平面 ABCD. (1)证明：平面 AEC⊥平面 BED；
(6 分)
所以 OH＝1，D′H＝DH＝3.(7 分)
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-10-
于是 OD′2＋OH2＝(2 2)2＋12＝9＝D′H2，
故 OD′⊥OH. (8 分)
由(1)知 AC⊥HD′，又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
GC＝ 23x，GB＝GD＝x2.因为 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，
可得 EG＝ 23x.
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-23-
由
BE⊥平面
ABCD，知△EBG
为直角三角形，可得
BE＝
2 2 x.
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练 客观题·专项练
类型三
[感悟方法]
题型·综合练
专题•限时训练-24-
1．求几何体表面积的方法
(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几
何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本
的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求
由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 V 三棱锥 E-ACD＝13×12·AC·GD·BE
＝246x3＝ 36，故 x＝2.从而可得 AE＝EC＝ED＝ 6.
所以△EAC 的面积为 3，
△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.
故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3＋2 5.
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-1-
1．设长方体的相邻的三条棱长为 a、b、c，则对角线长为 a2＋b2＋c2 .
2．一个锥体的体积是与它同底面积同高度的柱体体积的13倍． 3．如果直三棱柱的一个侧面的面积为 S，对棱到这个侧面的距 离为 h，则 V＝12Sh.
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
五边形 ABCFE 的面积 S＝12×6×8－12×92×3＝649.(11 分)
所以五棱锥 D′-ABCFE 的体积 V＝13×649×2
2＝232
2 .
(12 分)
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-12-
为 O.
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-3-
此时，CO＝OS＝R，OE＝r，
SE＝ 36a，CE＝ 33a， 则有 R＋r＝ 36a，R2－r2＝CE2＝a32，
解得
R＝
46a，r＝
6 12 a.
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
所以 AC⊥平面 BHD′，于是 AC⊥OD′.(9 分)
又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以 OD′⊥平面 ABC.
又由EAFC＝DDHO得 EF＝92.
(10 分)
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-11-
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-20-
类型一
类型二
类型三
[自我总结]
题型 — 证明四棱锥中的平行关系及求体积.
⇩
知识 — 平行四边形性质、线面平行、线面垂直、三角形面积及体积公式.
⇩
⇩ 素养 — 直观想象、逻辑推理、数学运算.
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-8-
体积的计算 突破点 几何体相应的底面与高度计算
[例 1] (本小题满分 12 分)(2016·高考全国
卷Ⅱ)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD
交于点 O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-5-
(2)正方体的外接球：截面图为矩形 ACC1A1 的外接圆，
3
则 A1O＝R′＝ 2 a (R′为外接球半径)． (3)与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 EFHG 的外接圆，
则 GO＝R＝ 22a (R 为棱切球半径)．
专题•限时训练-9-
[规范解答] (1)证明：由已知得 AC⊥BD，AD＝CD. 又由 AE＝CF 得AADE＝CCDF，故 AC∥EF.(2 分)
由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，所以 AC⊥HD′. (4 分)
(2)由 EF∥AC 得ODHO＝AADE＝14.(5 分) 由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4.
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-4-
6．正方体与球 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，O 为其对称中心，E， F，H，G 分别为 AD，BC，B1C1，A1D1 的中点，J 为 HF 的中 点，如图所示． (1)正方体的内切球：截面图为正方形 EFHG 的内切圆，则 OJ＝r＝a2(r 为内切球半径)．
[知规则]——采点得分说明
只要有 AC∥EF，D′E＝D′F(或 DE＝DF 或△D′EF 为
等腰三角形，得出 AC⊥HD′)同样得 4 分 缺少者扣 1 分
必须计算 DO 或 BO＝4，才可得出 OH＝1，否则扣 1 分
必须有 OD ′⊥OH，否则扣 1 分
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-15-
解析：(1)证明：由题设知，BB1 綊 DD1，
∴四边形 BB1D1D 是平行四边形， ∴BD∥B1D1.(2 分) 又 BD⊄平面 CD1B1，∴BD∥平面 CD1B1.
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-19-
②球的体积问题：直接利用球的体积公式求解，在实际问题中 要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径； ③不规则几何体的体积问题：常用分割或补形的思想，若几何 体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平 面图形转化为规则的几何体或平面图形， 易于求解．
和或作差得几何体的表面积．
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-25-
2．求几何体侧面积的方法 (1)求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加； 求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求 面积． (2)对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意 “表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗 漏．
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-14-
跟踪训练 1 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 ， 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方 形，O 是底面中心，A1O⊥底面 ABCD， AB＝AA1＝ 2. (1)证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1； (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积．
∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC，
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-16-
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形，(3 分) ∴A1B∥D1C. 又 A1B⊄平面 CD1B1， ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B， ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.(5 分)
专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-6-
7．三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球 (1)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一 个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球 心 ， 即 三 棱 锥 A1-AB1D1 的 外 接 球 的 球 心 和 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的外接球的球心重合．如图，设 AA1＝a，
3 则外接球半径 R＝ 2 a.
ຫໍສະໝຸດ Baidu 专题三
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-7-
(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一 个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球 心，则 R2＝a2＋b42＋c2＝l42(R 为外接球半径，a，b，c，l 分别为 长方体的长，宽，高，体对角线长)．
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥 E-ACD 的体积为 36，求 该三棱锥的侧面积．
专题三
类型一
第二讲 空间几何体中的计算问题
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-22-
[解析] (1)证明：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. ∵BE⊥平面 ABCD，∴AC⊥BE. 又∵BD∩BE＝B，∴AC⊥平面 BED. 又∵AC⊂平面 AEC，∴平面 AEC⊥平面 BED. (2)设 AB＝x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可得 AG＝