计算地震动长周期反应谱的转换模型和方法

（13） （14）
(15) (16)
2
根据微分方程理论，对于给定的初始条件
Y (ti ) = Yi ，
Y(ti ) = Yi
式（6）具有精确解。这一精确解的逐步积分（或递推）格式为
Yi+1 = a11Yi + a12Yi + e11c0 + e12c1 + e13c2 + e14c3
Yi+1 = a21Yi + a22Yi + e21c0 + e22c1 + e23c2 + e24c3
1
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即为目前国内外普遍采用的地震动反应谱的计算模型。
为对荷载信号中的长周期噪声进行有效的控制，记体系的绝对加速度、绝对速度和绝对位移响应分别
为Y(t),Y(t),Y (t) ，显然有
⎧Y(t) = y(t) + x(t) ⎪⎨Y(t) = y(t) + x(t) ⎪⎩Y (t) = y(t) + x(t)
记式（6）右端的荷载项为
ti ≤ t ≤ ti+1 ti ≤ t ≤ ti+1
（10） （11）
p(t) = c0 + c1(t − ti ) + c2 (t − ti )2 + c3 (t − ti )3
式中
ti ≤ t ≤ ti+1
（12）
c0 = 2ςω xi + ω2 xi c1 = 2ςωxi + ω2 xi c2 = ςω(xi+1 − xi ) / Δt + 0.5ω2xi c3 = ω2 (xi+1 − xi ) /(6Δt)
5 结语
由于原始加速度中通常存在不合理的长周期噪声，以其为输入的地震动反应谱的长周期计算结果将被 明显高估。
某些校正加速度记录中的长周期噪声被清除的同时，有用的地震动长周期信号也受到过多损害，以其 为输入的地震动反应谱的长周期计算结果将被明显低估。
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（17） （18） （19）
式（18）和（19）中， akl 和 ekl 为已知的与时间变量无关的常系数。相应的计算公式分别为：
⎧⎪a11 ⎪⎨a12 ⎪a21
= = =
(s1es2Δt − s2es1Δt ) /(s1 − s2 ) (es1Δt − es2Δt ) /(s1 − s2 ) s1s2 (es2Δt − es1Δt ) /(s1 − s2 )
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计算地震动长周期反应谱的转换模型和方法∗
张晓志 ，张石磊 ，王伟，于祥涛
1. 东北电力大学建筑工程学院，吉林省 吉林市 132012
E-mail:zxzwgq@163.com
摘要：提出一个计算长周期反应谱的转换模型和与之相应的精确计算方法。该模型以地震动的速度和位移 为输入荷载，有利于对荷载信号中的长周期噪声进行有效的控制，能够有效提升长周期地震动反应谱的计 算精度和可靠性。 关键词：长周期，反应谱，转换模型，计算方法
将式（1）恒等变换为
（5）
Y(t) + 2ςωY(t) + ω2Y (t) = 2ςωx(t) + ω2x(t)
（6）
称式（6）为计算长周期反应谱的转换模型。此时
Sa (ω,ς ) = Y(t) max
Sv (ω,ς ) =
y(t) max
=
Y(t) − x(t) max
（7） （8）
Sd (ω,ς ) =
y(t) max
=
Y (t) − x(t) max
（9）
为求解式（6）。应首先对数字加速度 x(t) 进行数值积分求得地震动速度 x(t) 。其次，通常要对积分速度 x(t)
进行高通数字滤波，而后数值积分求得地震动位移 x(t) 。如果位移 x(t) 尾部的漂移程度不可接受，则还要
⎪⎪e23 = (−2a21(4ς 2 −1) − 4ς (1− a22 )ω + 2Δtω2 ) / ω4
⎪⎩e24 = (−24a21ς (1− 2ς 2 ) + 6(4ς 2 −1)(1− a22 )ω −12ςΔtω 2 + 3Δt 2ω3 ) / ω5
（21）
应用上述精确法求解式（6），可以依次解出离散序列Y (nΔt) ， Y(nΔt) ；Y(nΔt) 和 Sd ， Sv ， Sa 。
长 Δt 内应按抛物线变化，位移 x(t) 则应为关于 t 的 3 次曲线。对于任意函数 f (t) ，记 fi = f (ti ) = f (iΔt) ，
即有
x(t) = xi + xi (t − ti ) + 0.5xi (t − ti )2 + (xi+1 − xi )(t − ti )3 /(6Δt) x(t) = xi + xi (t − ti ) + 0.5(xi+1 − xi )(t − ti )2 / Δt
对位移 x(t) 再做一次高通滤波。最后，使用高通滤波后的 x(t) 和 x(t) 作为式（6）中的输入荷载，计算体 系响应和地震动反应谱。需要着重指出：传统模型式（1）中使用的 x(t) 与本文模型式（6）中将要使用的 x(t) 和 x(t) 并不匹配，因此计算结果必然存在很大的差异。由于后者对信号中的长周期噪声采取了恰当的
行有效的控制。采用的与转换模型相应的计算方法则为荷载在步常 Δt 内按 3 次多项式变化的精确法。理 论与算例分析表明，采用本文的模型和方法得到的长周期（T > 3.0s ）地震动反应谱，应具有更好的精度
和可靠性。
2 计算地震动长周期反应谱的转换模型 在地面加速度荷载 x(t) 作用下，单自由度体系的运动微分方程是
⎪⎩a22 = (s1es1Δt − s2es2Δt ) /(s1 − s2 )
（20）
式中， s1 = ω( ς 2 −1 − ς ) ， s2 = −ω( ς 2 −1 + ς ) 。
⎧⎪e11 ⎪e12
= =
(1− a11) / ω 2 ((Δt − a12 )ω
−
2ς
(1 −
a11 ))
/
ω3
15
20
25
30 t/s
5
10
15
20
25
30 t/s
5
10
15
20
25
30 t/s
图 4 校正加速度记录及其积分速度和位移
4.3 长周期反应谱的计算结果的比较
选定自振周期T = 10, 7, 5, 4, 3s ，阻尼比ς = 0.01的 5 个长周期体系。分别以原始加速度、校正加速
度为输入荷载，以及使用图 2 中的积分速度和位移为输入荷载得到的反应谱计算结果示于表 1。表 1 中的 第 1 列数据为自振周期；第 2、3、4 列数据分别是原始加速度为输入，积分速度和位移为输入以及校正加
100 a(t) 0
-100 0
200
5
10
15
20
25
30 t/s
A(f) 100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 f/Hz
图 1 数字加速度荷载及其傅立叶振幅谱（czqt1.fig）
由原始加速度 a(nΔt) 经数值积分得到的速度 v(nΔt) 及位移 d (nΔt) 如图 2 所示。显然，积分速度与位
4
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速度为输入时的绝对加速度反应谱；第 5、6、7 列数据分别是原始加速度为输入，积分速度和位移为输入 以及校正加速度为输入时的相对位移反应谱。
表 1 长周期反应谱的计算结果的比较 ————————————————————————————————
T
Sa
Sd
y(t) + 2ςωy(t) + ω 2 y(t) = −x(t)
（1）
式中， y(t) 、 y (t) 和 y(t) 分别是体系的相对位移、速度和加速度响应，ς 和ω 分别是体系的阻尼比和自
振圆频率。记
Sa (ω,ς ) =
y(t) + x(t) max
（2）
Sv (ω,ς ) =
3
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移的尾部漂移均不可接受。
2 v(t) 0
-2 0
20
d(t) 0
5
10
15
20
25
30 t/s
-20 0
5
10
15
20
25
30 t/s
图 2 原始加速度数值积分得到的速度和位移
为得到可接受的积分速度与位移，首先将积分速度中大于 10 秒的长周期信号虑掉，然后再积分位移。
谱的计算精度存在普遍的不信任，很多国家都对设计反应谱的最长适用周期有所规定。这使得国内外日益 增长的长周期结构无法应用反应谱方法进行弹性阶段的设计。
针对以上问题，本文提出一个计算长周期反应谱的转换模型和与之相应的精确计算方法。转换模型以 体系的绝对响应为待求变量，以地震动的速度和位移为输入荷载，这有利于对荷载信号中的长周期噪声进
加速度记录已经过零线调整与校正、仪器响应失真校正、以及带通滤波处理。其积分速度与位移通常不会
出现不合理的尾部漂移。例如，对上述原始加速度 a(nΔt) 进行校正后的加速度、积分速度和位移结果如
图 4 所示。
100
a(t) 0
-100 0
2 v(t) 0
-2 0
0.05 d(t) 0
-0.05 0
5
10
y (t) max
（3）
Sd (ω,ξ ) =
y(t) max
（4）
则称 Sa 、 Sv 和 Sd 为荷载 x(t) 的绝对加速度、相对速度和相对位移反应谱，统称之为反应谱。而式（1）
东北电力大学博士科研启动基金资助项目，项目编号：BSJXM－200713 作者简介：张晓志（1957 —），男，博士，教授，主要从事动力有限元数值方法研究
1 引言
由于很复杂的仪器和背景噪声方面的原因【1】，从原始数字加速度直接积分得到的位移时程，往往存在 不合理、也不能接受的尾部漂移。与之相应的长周期地震动反应谱，将被明显高估。对此问题，国内外通 常采用对原始加速度施以高通数字滤波加以解决。但高通滤波后，长周期地震动反应谱又可能被严重低估。
同时，如何选择高通滤波器的低频截止参数也还需要深入研究。因此，国内外对长周期（T > 6.0s ）反应
由于此时的积分位移仍不理想，又对积分位移作了长周期截止为 8 秒的高通滤波，结果如图 3 所示。
2 v(t) 0
-2 0
0.05 d(t) 0
-0.05 0
5
10
15
20
25
30 t/s
5
10
15
20
25
30 t/s
图 3 高通滤波后的速度和积分位移
4.2 校正数字加速度记录及其积分速度和位移
通常情况下，使用者得到的加速度 a(nΔt) 不是原始记录而是校正后的加速度记录。一般地，该校正
控制措施，定性地说，其计算结果应更具可靠性。
3 与转换模型相应的地震动长周期反应谱计算方法
目前，对于式（1）的求解，采用基于 x(t) 在步长 Δt 内按线性变化的精确法，是国内外普遍采用的方 法之一【4－6】。对于式（6）的求解，如果仍然接纳 x(t) 在步长 Δt 内按线性变化的假定，则速度 x(t) 在步
10.0000 0.2472 0.0323 0.0236 0.6191 0.0825 0.0444 7.0000 0.2481 0.0826 0.0357 0.3077 0.1011 0.0349 5.0000 0.2981 0.1951 0.0764 0.1884 0.1217 0.0429 4.0000 0.2943 0.2439 0.1016 0.1178 0.0975 0.0373 3.0000 0.4052 0.3965 0.1881 0.0921 0.0898 0.0404 ———————————————————————————————— 从表 1 可以看出：以原始加速度为输入荷载，绝对加速度反应谱和相对位移反应谱被明显高估；以校 正加速度为输入荷载，绝对加速度反应谱和相对位移反应谱则被明显低估；使用图 2 中的积分速度和位移 为输入荷载得到的绝对加速度反应谱和相对位移反应谱相对居中。
⎪⎪e13 = (2(1− a11)(4ς 2 −1) − 4ς (Δt − a12 )ω + Δt2ω2 ) / ω4
⎪⎪⎨e14 ⎪e21
= =
(−24(1 − −a21 / ω 2
a11
)ς
(1 −
2ς
2
)
+
6(4ς
2
−1)(Δt
−
a12
)ω
−
6ςΔt
2ω
2
+
Δt
3ω
3
)
/
ω
5ຫໍສະໝຸດ Baidu
⎪⎪e22 = ((1− a22 )ω + 2ς a21)) / ω3
当然，亦可采用其它方法如平均常加速度法求解式（6）。
4 数值算例
4.1 原始地面加速度及其傅立叶谱以及积分速度与位移
数值算例选用的地面数字加速度荷载 a(nΔt) 及其傅立叶谱如图 1 所示。荷载的离散步长为
Δt = 0.005s ；持续时间为Tc = 5800Δt = 29s ；峰值为 65.01cm/ s2 .