点线面之间的位置关系的知识点总结

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点线面之间的位置关系的知识点总结

点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义:平面是无限延展的2平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45°,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示,如平面a、平面B等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC平面ABCD等。

3 三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为公理1作用:判断直线是否在平面内(2)公理2 :过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为:AB、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为:P€aQB => aPp =L,且P€ L公理3作用:判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系:f相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 Yl平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设a、b、c是三条直线强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4注意点:①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与0的选择无关,为简便,点0 —般取在两直线中的一条上;②两条异面直线所成的角(0,);③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a丄b;a//b2公理4:平行=>a //c④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角2.1.3 —2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2 )直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指岀:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a a来表示―a a a Qa =A a Ila2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

点、线、面之间的位置关系

点、线、面之间的位置关系

点线面之间的位置关系(一)平面:1、平面的两个特征:①无限延展 ②平的(没有厚度)2、平面的画法:通常画平行四边形来表示平面3、平面的表示:(1)用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β; (2)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面AC考点一、点线面的位置关系表示点A 在直线a 上(或直线a 经过点A ) A ∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外(或直线a 不经过点A )A ∉a 点A 在平面α内(或平面α经过点A )A ∈α点A 在平面α外(或平面α不经过点A )A ∉α例1 如图10,用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系: (1)A ∈α,B ∉α,A ∈l,B ∈l;(2)a ⊂α,b ⊂β,a ∥c,b∩c=P,α∩β=c.例6.A 、B 、C 表示不同的点,a 、l 表示不同的直线,α、β表示不同的平面,下列推理不正确的是 ( ) ()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,,AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈⊄A l A l ,()D α∈C B A ,,,β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合考点2.直线与直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系:(1)相交直线——有且仅有一个公共点;(2)平行直线——在同一平面内,没有公共点;(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线.异面直线的画法常用的有下列三种:2. 平行直线:在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的。

即公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3.等角定理等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.a b a b ab βααα推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.4.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式:,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线例1.若直线a 与b 是异面直线,直线b 与c 是异面直线,则直线a 与c 的位置关系是 .例2.已知a ,b 是异面直线,直线c ∥直线a,则c 与b 的位置关系 . ①一定是异面直线 ②一定是相交直线 ③不可能是平行直线 ④不可能是相交直线例3.若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点,则说法错误的有 (填序号). ①过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 ②过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 ③过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 ④过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面例4. 如图6,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.图6求证:四边形EFGH是平行四边形.例5.如图6,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD. 求证:四边形EFGH是菱形.例4 如图7,已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线?(2)直线BA′和CC′的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直?例5.如图8,已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8(1)求异面直线BC ′与A′B′所成的角的度数; (2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.例6.在正三棱柱111C B A ABC -中,若12BB AB =,则1AB 与B C 1所成的角的大小 .变式训练1.下列四个命题:(1)分别在两个平面内的两条直线是异面直线 (2)和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 (3)和两条异面直线都相交的两条直线必异面(4)若a 与b 是异面直线,b 与c 是异面直线,则a 与c 也异面 其中真命题个数为 ( )()A 3 ()B 2 ()C 1 ()D 02.在正方体-ABCD ''''D C B A 中,M 、N 分别是棱'AA 和AB 的中点,P 为上底面ABCD 的中心,则直线PB 与MN 所成的角为( ) ()A 300 ()B 450 ()C 600 ()D3.已知直线a ,如果直线b 同时满足条件:①a 、b 异面②a 、b 所成的角为定值③a 、b 间的距离为定值,则这样的直线b 有( )()A 1条 ()B 2条 ()C 4条 ()D 无数条4.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 .考点三.直线与平面的位置关系(二)三公理三推论:公理1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内.A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

点线面间的位置关系知识点总结(含题)(

点线面间的位置关系知识点总结(含题)(

点线面间的位置关系知识点总结一、三个公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么_________________________________________公理2:过________________________ 的三个点,有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有_____________________________二、空间两条直线间的位置关系分类为:______________ , ______________ ,_______________ ;其中__________ , _________ 合称为______________三、空间直线与平面间的位置关系分类为:__________________ ,____________ ,__________________ ;其中__________ , _________ 合称为______________四、空间平面与平面间的位置关系分类为:______________ ,当两个平面成90。

时,属于____________ 关系常用证明技巧一、线面平行列1 (2IH1年怀化楓蝌)如图所示*已知几0是单位止方WABCn-A^.C^的面A^BA和面』肮2>的中心*求证:卩总〃平面ncr^n.练习1. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q且AP = DQ. 求证:PQ//平面BCE.2・妇匿,四棱链/一乩噸一平面所裁*截面为平厅四边形吕他求证,m/zz面日捌3* (加10年彌考■陕丙雜)如图’在四棱饰P ABCD中.底血ABCD^矩形「只4 丄平SLUJC/h .lP-.Ltf, BP-IiC-1, E, F分别&l f B T PC 的中点.门)证明* EF//平血知";卩)求二棱锥E—.【号「的休枳匚(2)1/3二、线面垂直1、(2006年北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中,AB 点E是PD的中点•(I)求证:AC PB ; (n)求证:PB〃平面AEC ;2、( 2006年浙江卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形BAD=90 ° ,PA丄底面ABCD,且PA= AD=AB=2BC,M、N 分别为PC、PB 求证:PB丄DM;3、(2006年福建卷)如图,四面体ABCD中,0、E分别是BD、BC的中点,CA(I)求证:AO 平面BCD;AC , PA 平面ABCD,且PA AB , CB CD BD 2, AB AD . 2.,AD // BC, /的中点•ADOE4、( 2006年重庆卷)如图,在四棱锥P—ABCD中,PA 底面ABCD, PC、DAB 为直角,AB II CD,AD=CD=24B,E、F 分另U为CD的中点.(I)试证:CD 平面BEF;5、(全国H ?理?9题)如图,在四棱锥SCS-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD丄底面ABCD , E、F分别是AB、的中点。

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高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义:平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用:判断直线是否在平面内(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。

2 公理4:平行于 c ∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ;④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;D CBAα LA ·α C ·B·A · α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

点线面位置关系定理总结

点线面位置关系定理总结

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//a b //a b
1.线面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

(简述为线线平行线面平行) 表述及图示
2.线面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。

(简述为线面平行线线平行)
//a a b
α
β
αβ⊂⋂= 3.平面平行判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

////a b a b a b P
β
β
αα
⊂⊂⋂=//αβ
4.平面平行性质定理:如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行
//a b
αβ
γαγβ⋂=⋂=
5.线面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个
平面。

a b
a c
b c A b c α
α
⊥⊥⋂=⊂⊂a α⊥
6.线面垂直性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行。

a b α
α⊥⊥ 7.面面垂直判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

简述为“线面垂直,则面面垂直”。

a a αβ
⊂⊥αβ⊥ 8.面面垂直性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

l a a l αβ
αβα
⊥⋂=⊂⊥αβ⊥ //a b a b α
α⊄
⊂//a
α
//a
b。

高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理

高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理

高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理上学的时候,说到知识点,大家是不是都习惯性的重视?知识点在教育实践中,是指对某一个知识的泛称。

那么,都有哪些知识点呢?下面是店铺为大家整理的高一数学下册《点线面之间的位置关系》常考知识点整理,欢迎大家借鉴与参考,希望对大家有所帮助。

1、直线在平面内的判定(1)利用公理1:一直线上不重合的两点在平面内,则这条直线在平面内。

(2)若两个平面互相垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即若α⊥β,A∈α,AB⊥β,则ABα。

(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若A∈a,a⊥b,A∈α,b⊥α,则aα。

(4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内,即若Pα,P∈β,β∥α,P∈a,a∥α,则aβ。

(5)如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内,即若a∥α,A∈α,A∈b,b∥a,则bα。

2、存在性和唯一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个;(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个。

3、射影及有关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,点的射影还是点。

(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影。

和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线。

点线面的位置关系和判定方法

点线面的位置关系和判定方法

点线面的位置关系和判定方法在几何学中,点、线段和平面是最基本的图形元素,它们之间的位置关系和判定方法对于几何问题的解决至关重要。

本文将探讨点线面的位置关系以及相应的判定方法。

一、点与线段的位置关系和判定方法1. 点在线段上的情况:一个点可以在线段的两端点之间,也可以在线段上,或者在线段外。

要判断一个点是否在线段上,可以使用如下方法:(1)距离判定法:计算点到线段两个端点的距离,如果两个距离之和等于线段长度,那么点就位于线段上。

(2)向量判定法:将线段的两个端点视为向量A和向量B,将点与线段的一个端点视为向量C。

如果向量C可以表示为向量A与向量B的线性组合,且系数的和等于1,那么点就位于线段上。

2. 点在线段的延长线上的情况:当一个点在线段的延长线上时,意味着可以无限延长线段,点位于线段的一侧。

判定方法如下:(1)向量判定法:同样将线段的两个端点视为向量A和向量B,将点与线段的一个端点视为向量C。

如果向量C可以表示为向量A与向量B的线性组合,且系数的和大于1,那么点在线段的延长线上。

3. 点在线段的左侧或右侧的情况:若点位于线段的左侧(或右侧),则该点与线段的两个端点所形成的线段组合为逆时针(或顺时针)方向。

判定方法如下:(1)向量叉积法:将线段的一个端点与点构成的向量记为向量A,将线段的一个端点与线段另一端点构成的向量记为向量B。

计算向量A和向量B的叉积,若叉积大于0,则点在线段的左侧;若叉积小于0,则点在线段的右侧;若叉积等于0,则点在线段上。

二、点与平面的位置关系和判定方法1. 点在平面上的情况:一个点可以位于平面上,也可以位于平面外部。

判定方法如下:(1)向量法:选择平面上的三个非共线点A、B、C,将点与这三个点分别构成向量。

如果点与向量A、B、C共面,那么点就位于平面上。

2. 点在平面的一侧或另一侧的情况:当一个点在平面的一侧时,意味着通过该点可以画出与平面垂直的直线。

判定方法如下:(1)点法向量法:选择平面上的一个点P,计算向量AP与平面的法向量N的点积。

空间点线面之间位置关系知识点总结

空间点线面之间位置关系知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体(一)空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中,这条定直线称为旋转体的轴。

(2)柱,锥,台,球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.(二)空间几何体的三视图与直观图1.投影:区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形;画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等3.直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法:在坐标系'''x o y中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变,平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。

重点记忆:直观图面积=原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积2S rl rππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl Rππππ=+++⑤球的表面积24S Rπ=⑥扇形的面积公式213602n RS lrπ==扇形(其中l表示弧长,r表示半径)2、空间几何体的体积①柱体的体积V S h=⨯底②锥体的体积13V S h=⨯底③台体的体积1)3V S S h=+⨯下上(④球体的体积343V Rπ=第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义:平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面ABCD等。

点线面的位置关系知识点

点线面的位置关系知识点

点线面的位置关系知识点在几何学中,点、线和面是三个基本的几何概念,它们之间存在着一系列的位置关系。

这些位置关系的理解对于解决几何问题以及应用几何知识有着重要的意义。

本文将介绍点线面的位置关系的几个重要知识点。

一、点与直线的位置关系1. 在直线上:当一个点恰好位于一条直线上时,我们可以说这个点在直线上。

例如,点A在直线AB上。

2. 在直线的两侧:如果一个点既不在直线上,也不在直线的延长线上,我们可以说这个点在直线的两侧。

例如,点C在直线AB的两侧。

3. 在直线的延长线上:如果一个点不在直线上,但位于直线的延长线上,我们可以说这个点在直线的延长线上。

例如,点D在直线AB的延长线上。

4. 平行于直线:如果一条直线与给定直线没有任何交点,我们可以说这条直线平行于给定直线。

例如,直线CD平行于直线AB。

二、点与平面的位置关系1. 在平面上:当一个点位于一个平面内部时,我们可以说这个点在平面上。

例如,点A在平面P上。

2. 不在平面上:如果一个点既不在平面上,也不在平面的延长线上,我们可以说这个点不在平面上。

例如,点B不在平面P上。

3. 在平面的延长线上:如果一个点不在平面上,但位于平面的延长线上,我们可以说这个点在平面的延长线上。

例如,点C在平面P的延长线上。

4. 垂直于平面:如果一条直线与给定平面的任意一条线都垂直,我们可以说这条直线垂直于给定平面。

例如,直线EF垂直于平面P。

三、直线与平面的位置关系1. 相交于一点:当一条直线与平面有且仅有一个交点时,我们可以说这条直线与平面相交于一点。

例如,直线L与平面P相交于点A。

2. 平行于平面:如果一条直线与给定平面的任意一条线都平行,我们可以说这条直线平行于给定平面。

例如,直线M平行于平面P。

3. 包含于平面:当一条直线上的所有点都位于给定平面上时,我们可以说这条直线被包含于给定平面中。

例如,直线N被包含于平面P 中。

4. 相交于一条线:当一条直线与平面有无穷多个交点时,我们可以说这条直线与平面相交于一条线。

点线面位置关系总结

点线面位置关系总结

点线面位置关系总结在几何学中,点、线和面是最基本的几何图形。

它们之间的位置关系非常重要,可以帮助我们更好地理解和描述空间中的对象。

本文将对点线面位置关系进行总结,并探讨其应用。

一、点与线的位置关系1. 点在直线上:当一个点位于某条直线上时,我们可以说该点在直线上。

一个直线可以有无限个点。

2. 点在线段的内部:如果一个点位于一个线段的两个端点之间,我们可以说该点在线段的内部。

一个线段上可以有无限个点。

3. 点在线段的延长线上:如果一个点位于一个线段的延长线上,我们可以说该点在线段的延长线上。

延长线上也可以有无限个点。

4. 点在线段的外部:如果一个点既不在线段上,也不在线段的延长线上,我们可以说该点在线段的外部。

5. 点垂直于线:当一个点与一条直线垂直相交时,我们可以说该点垂直于线。

此时,点到直线的距离是最短的。

6. 点平行于线:当一个点与一条直线平行时,我们可以说该点平行于线。

此时,点到直线的距离是不变的。

二、点与面的位置关系1. 点在平面上:当一个点位于一个平面上时,我们可以说该点在平面上。

一个平面可以有无限个点。

2. 点在平面内部:如果一个点位于一个平面的边界之内,我们可以说该点在平面的内部。

一个平面内部可以有无限多个点。

3. 点在平面外部:如果一个点不在平面上,也不在平面的边界之内,我们可以说该点在平面的外部。

三、线与面的位置关系1. 线在平面上:当一条直线完全位于一个平面上时,我们可以说该线在平面上。

一条直线可以有无限个点。

2. 线与平面相交:当一条直线与一个平面相交时,我们可以说该线与平面相交。

相交点有可能是一个点、一条线或者空集。

3. 线平行于平面:当一条直线与一个平面平行时,我们可以说该线平行于平面。

此时,线上的所有点到平面的距离是相等的。

4. 线垂直于平面:当一条直线与一个平面垂直相交时,我们可以说该线垂直于平面。

此时,线上的所有点到平面的距离是最短的。

四、面与面的位置关系1. 平行面:当两个平面之间的夹角为0度时,我们可以说这两个平面是平行的。

点 线 面之间的位置关系复习知识点

点 线 面之间的位置关系复习知识点


二面角的大小可用其平面角来度量,与 点O的位置无关。 范围00≤α≤1800
面面垂直的定义: 一般地,两个平面相交,
如果它们所成的二面角是直二面角,就说这 两个平面互相垂直.
平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直. 符号: α a a 面 简记:线面垂直,则面面垂直
确定平面的条件:
经过不共线三点
经过一条直线和直线外的一点
有且只有一个平面
经过两条相交直线
经过两条平行直线
公理3.如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条过该 点的公共直线。
一、空间中两直线的位置关系
1、相交
m P l l l
2、平行
m
3、异面直线
m P
只有一个公共点
没有公共点
没有公共点 不同在任一平面
A
图 形
l

A
F B D
E
符 号
B
C
二面角-AB-
二面角-l-
二面角C-AB-E
2 定义
以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角
二面角的大小用它的平面角的大小来度量 二面角的平面角必须满足:
P
l
A

B
1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的两边都要垂直于二面角的棱
点 线 面之间的位置关系
复习知识点
公理1.如果一条直线上的两个点在一个平面内,
那么这条直线在此平面内。
α B A
l
公理2.不在同一直线上的三点唯一确定一个平面.
B α A

点线面之间的位置关系的知识点总结

点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义:平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用:判断直线是否在平面内(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。

2 公理4:平行于 c ∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ;D CBAα LA·α C ·B·A · α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义:平面是无限延展的 2平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。

3(1)公理符号表示为公理1(2)公理使A ∈α、公理2(3)公理公理32.1.212公理4强调:公理公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4注意点:①a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角θ∈(0,);③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ;④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点D CBAα 共面直线2(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。

符号表示:=>a∥α2.2.212(1(2(32.2.3—1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

点线面之间的位置关系——垂直关系-简单-讲义

点线面之间的位置关系——垂直关系-简单-讲义

点、线、面之间的位置关系——垂直关系知识讲解一、线面垂直1.定义:如果一条直线和一个平面相交于点0,并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直,则称这条直线与这个平面互相垂直.1)这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫垂足.2)垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3)如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.4)画直线与平面垂直时,通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直,如下图.直线l与平面a互相垂直,记作l ±a .2.线面垂直的判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.符号语言表述:l ±a,l ±b,a,b u a,a p|b = A n l ±a图像语言表述:l la3.线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.符号语言表述:a±a,b±a n a//b图像语言表述:4.线面垂直的性质(1)一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于该平面内的所有直线(2 )推论1 :如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面;(3)推论2 :如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行;(4)垂直于同一直线的两个平面平行.5.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(a± b, a± c, b u a, c u a, b^c = M n a±a )(3)平行线垂直平面的传递性(a g, b l a n a l a)(4)面面垂直的性质(a l。

, a Qp = l, a u p , a 11 n a l a)(5)面面平行的性质(a l a, a Q p n a 1p)(6)面面垂直的性质(a n P=l,a l y , p l y n l l y)二、面面垂直1.定义:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,则称这两个平面互相垂直.2.平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.符号语言表述:m l a, m u p n a l p图像语言表述:3.面面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言表述:a l p, aqp=l,m G P,m 11 n m l a图像语言表述:4.面面垂直的性质(1)两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两相交平面的交线垂直于第三个平面(2)两平面互相垂直,过公共交线上一点做一个平面的垂线,则这条直线在第二个平面内5.证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a l p, a u a n a l p )三、垂直模型总结1.勾股定理a2 + b2 = C2 n AC 1 CB2.等腰三角形三线合一AB = AC, D为BC重点n AD ± BC3,直径所对的圆周角为直角BD = CD = AD n BA ± AC4.菱形对角线垂直平分在菱形ABCD中n BD ± AC5.正方形、矩形临边垂直AB 1 BC, BC 1 CD6.正方形中点连线垂直在正方形ABCD中,E, F为CD, BC的中点n AE1DF7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面在直三棱柱中n AD ± 面ABC, AD 1 AB, AD 1BC, AD 1 AC典型例题一,选择题(共10小题)1 (2018•云南模拟)在正方体ABCD - A1B1c1D1中"点P是线段BC1上任意一点,则下列结论中正确的是()A- AD J DPB- AP±B1C C. AC J DP D• A i P,B i C2 . (2018春•武邑县校级月考)如图,四棱锥P - ABCD中,4PAB与^PBC是正三角形,平面PAB,平面PBC, AC X BD,则下列结论不一定成立的是()AA . PB±ACB . PD,平面ABCDC . AC±PD D .平面PBD,平面ABCDA . AE±CEB . BE±DEC . DE±CED .面ADE±® BCE4 (2016秋•杭州期末)如图所示,四边形ABCD中,AD〃BC ,AD=AB ,N BCD=45°,N BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使面ABD,面BCD,连结AC ,则下列命题正确的是()A .面ABD±® ABCB .面ADC±® BDC C .面ABC±® BDCD .面ADC±® ABC 5 . (2017春•昆都仑区校级期中)如图,A ABC是直角三角形,N ABC=90°, PA ,平面ABC ,此图中直角三角形的个数为()BA . 1B . 2C . 3D . 46.( 2017•青州市模拟)如图,在三棱锥A - BCD中,AB,平面BCD , N ACB=45°, N ADB=30°, N BCD=120°, CD=40 视AB=( )A . 10B . 20C . 30D . 407(2017秋•赣州期中)设a邛为不重合的平面,m , n为不重合的直线,则下列命题正确的是()A .若m u a, n u 0, m〃n,则U a〃B B .若n±a , n±P , m,B,则U m±aC .若m〃a,n〃B,m,n,UU a±0D .若a±0 ,n,0,m,n,UU m±a8. (2015秋•临海市校级月考)在三棱锥A - BCD中,若AD±BC , BD1AD , △BCD是锐角三角形,那么必有()A .平面八8口,平面ADCB .平面八8口,平面ABCC .平面ADC,平面BCDD .平面ABC,平面BCD9. (2014秋•兴庆区校级期末)两个平面平行的条件是()A.一个平面内一条直线平行于另一个平面B.一个平面内两条直线平行于另一个平面C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面10(2015秋•东昌区校级期中)过^ABC所在平面a外一点P ,作PO,a ,垂足为O,若PA±PB,PB±PC,PC L PA,则点O 是 ^ABC 的()A .垂心B .重心C .内心D .外心二,填空题(共4小题)11.过平面外两点,可作个平面与已知平面平行.12. (2015春•上海校级期末)点P为^ABC所在平面外一点,PO,平面ABC , 垂足为。

(完整)空间点线面之间位置关系知识点总结,推荐文档

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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
①柱体的体积 V S底 h
②锥体的体积
V
1 3 S底
h
③台体的体积
V 13(S上上 S S下下 S ) h
④球体的体积V 4 R3 3
1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a
画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
β
P
α ·L
3.直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
共面直 平行直线:同一平面内,没有公共点;
4.斜二测法:在坐标系 x 'o ' y ' 中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变,平行于 x
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。
(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
3 三个公理:
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
(1)若 A1B2 A2B1 0 ,两直线相交;
(2)若 A1B2 A2B1 0 ,两直线平行或重合;
(3)若 A1A2 B1B2 0 ,若两直线垂直。
10.点 (x1, y1)和(的x2中, y点2 ) 坐标是

点线面位置关系学习知识点梳理及经典例题带解析

点线面位置关系学习知识点梳理及经典例题带解析

【知识梳理】( 1)四个公义公义 1:假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

符号语言: A l , B l ,且 A, B l。

公义 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

三个推论:①经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面② 经过两条订交直线,有且只有一个平面③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面公义它给出了确立一个平面的依照。

3:假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。

符号语言:P , 且 P l , P l 。

公义 4:(平行线的传达性)平行与同向来线的两条直线相互平行。

符号语言: a // l ,且 b // l a // b 。

( 2)空间中直线与直线之间的地点关系1.观点异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线a, b ,经过空间随意一点O 作直线a // a,b // b ,我们把 a 与 b 所成的角(或直角)叫异面直线 a,b 所成的夹角。

(易知:夹角范围0 90 )定理:空间中假如一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。

(注意:会画两个角互补的图形)共面直线订交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;2. 地点关系:异面直线:不一样在任何一个平面内,没有公共点( 3)空间中直线与平面之间的地点关系直线在平面内( l )有无数个公共点直线与平面的地点关系有三种:直线与平面订交(l A)有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行(l / / )没有公共点( 4)空间中平面与平面之间的地点关系两个平面平行(/ / )没有公共点平面与平面之间的地点关系有两种:l)有一条公共直线两个平面订交(直线、平面平行的判断及其性质1.内容概括总结( 1)四个定理定理定理内容直线与平面平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直平行的判断线与此平面平行平面与平面一个平面内的两条订交直线与另一个平面平行,则这平行的判断两个平面平行一条直线与一个平面平行,符号表示a, b ,且 a // b a//a,b,a b P, a //, b ////剖析解决问题的常用方法在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行便可以判断直线与平面平行。

空间点线面位置关系整理(ppt)

空间点线面位置关系整理(ppt)
详细描述
在二维平面中,一个点可以确定一条 直线,但直线本身不能确定一个具体 的点。同样,在三维空间中,一个点 也可以确定一个平面,但平面本身不 能确定一个具体的点。
点与面之间的关系
总结词
点与面之间的关系是相对复杂的,一个点可以位于一个平面上,但不能确定一个平面。
详细描述
在二维平面中,一个点可以位于一个平面上,但这个平面本身不能被一个单独的点所确 定。在三维空间中,一个点也可以位于一个曲面上,但这个曲面本身不能被一个单独的
详细描述
线在面上的变换通常涉及到直线的平移、旋 转或倾斜等操作。这种变换可以用来描述一 个物体在平面上的运动或变化,例如桥梁的 伸缩、建筑物的旋转等。此外,这种变换还 可以用来研究几何图形在平面上的运动规律 和性质。
06
空间点线面位置关系的证明
点在线上的证明
定义法
根据点的定义,如果一个点在直线上 ,则该点满足直线的方程。通过验证 点的坐标是否满足直线的方程,可以 证明该点在线上。
3
线可以用来确定建筑物的空间形态和方向感。
点线面在建筑学中的应用
01
面在建筑学中的应用
02
面可以表示建筑物的立面、屋顶、地面等。
面可以用来确定建筑物的空间大小、形状和功能分区等。
03
点线面在计算机图形学中的应用
01
02
03
点在计算机图形学中的 应用
点可以表示像素的位置 和颜色信息。
点可以用来实现图像的 缩放、旋转和平移等变
点在面上的变换
总结词
点在面上的变换是指一个点在一个平面 上的位置变化。
VS
详细描述
与点在线上的变换类似,点在面上的变换 也可以通过平移、旋转或缩放等操作来实 现。这种变换可以用来描述一个物体在平 面上的运动或变化,例如飞行器在空中的 飞行轨迹。
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点线面之间的位置关系的知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示(1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理:(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用:判断直线是否在平面内(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用:确定一个平面的依据。

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。

2 公理4:平行于c ∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ;④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;D CBAα LA ·α C ·B·A·α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

—空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示a α a∩α=A a∥α.直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

简记为:线线平行,则线面平行。

符号表示:a αb β => a∥αa∥b平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:a βb βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

—直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。

符号表示:a∥αa β a∥bα∩β= b作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。

如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

Lpα2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

—直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

\异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角(或直角).一般通过平移后转化到三角形中求角,注意角的范围.[例1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM( ).A .是AC和MN的公垂线.B .垂直于AC但不垂直于MN.C .垂直于MN,但不垂直于AC.D .与AC、MN都不垂直.错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影. 正解:A.[例2]如图,已知在空间四边形ABCD 中,E,F 分别是AB,AD的中点,G,H 分别是BC,CD 上的点,且2==HCDH GC BG,求证:直线EG,FH,AC 相交于一点.错解:证明:E 、F 分别是AB,AD 的中点,EF ∴∥BD,EF=21BD,又2==HCDH GCBG ,∴GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形,设两腰EG,FH 相交于一点T,2=HCDH ,F 分别是∴与FH 交于一点.∴直线EG,FH,AC 相交于一点正解:证明:E 、F 分别是AB,AD 的中点,EF ∴∥BD,EF=21BD,又2==HCDH GC BG ,∴GH ∥BD,GH=31BD,∴四边形EFGH 是梯形,设两腰EG,FH 相交于一点T, ⊂EG 平面ABC,FH ⊂平面ACD,∴T ∈面ABC,且T ∈面ACD,又平面ABC 平面ACD=AC,AC T ∈∴,∴直线EG,FH,AC 相交于一点T.[例3] 在立方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,(1)找出平面AC 的斜线BD 1在平面AC 内的射影; (2)直线BD 1和直线AC 的位置关系如何? (3)直线BD 1和直线AC 所成的角是多少度解:(1)连结BD, 交AC 于点O 上的射影在平面就是斜线平面AC BD BD AC DD 11,∴⊥ . (2)BD 1和AC 是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M,连结MA、MC,则∠MOA或其补角即为异面直线AC 和BD1所成的角.不难得到MA=MC,而O为AC的中点,因此MO⊥AC,即∠MOA=90°,∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例4] a和b为异面直线,则过a与b垂直的平面( ).A.有且只有一个 B.一个面或无数个C.可能不存在 D.可能有无数个错解:A.错因:过a与b垂直的平面条件不清.正解:C.[例5]在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分别是棱AB、BC的中点,O是底面ABCD的中点.求证:EF垂直平面BB1O.证明:如图,连接AC、BD,则O为AC和BD的交点.∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC.∵B1B⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD∴AC⊥B1B,由正方形ABCD知:AC⊥BO,又BO与BB1是平面BB1O上的两条相交直线,∴AC⊥平面BB1O(线面垂直判定定理)∵AC∥EF,∴ EF⊥平面BB1O.[例6]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 是BB1的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,求证:OE⊥平面ACD1.分析:本题考查的是线面垂直的判定方法.根据线面垂直的判定方法,要证明OE⊥平面ACD1,只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE 垂直.证明:连结B1D 、A!D 、BD ,在△B1BD 中,∵E,O 分别是B1B 和DB 的中点,∴EO∥B1D .∵B1A1⊥面AA1D1D ,∴DA 1 为DB 1 在面AA 1D 1D 内的射影. 又∵AD 1⊥A 1D , ∴AD 1⊥DB 1 . 同理可证B 1D ⊥D 1C .又∵AD 111D CD = ,AD 1,D 1C ⊂ 面ACD 1 , ∴B 1D ⊥ 平面ACD 1 . ∵B 1D ∥OE , ∴OE ⊥ 平面ACD 1 .点 评:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余弦定理的应用.[例7].如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点N 在BD 上, 点M 在B 1C 上,且CM=DN,求证:MN ∥平面AA 1B 1B. 证明:证法一.如图,作ME ∥BC,交BB 1于E,作NF ∥AD,交AB 于F,连EF 则EF ⊂平面AA 1B 1B.,11C B M B BC ME =,BDBN ADNF =∴,ADNF BDBN BCME ==∴ME=NF又ME ∥BC ∥AD ∥NF,∴MEFN 为平行四边形,∴MN ∥EF. ∴ MN ∥平面AA 1B 1B.证法二.如图,连接并延长CN 交BA 延长线于点P,连B 1P,则B 1P ⊂平面AA 1B 1B.NDC ∆∽NBP ∆,.NPCN NBDN =∴又CM=DN,B 1C=BD,.1NPCN NBDN MB CM==∴MN ∴∥B 1P.B 1P ⊂平面AA 1B 1B, ∴MN ∥平面AA 1B 1B.证法三.如图,作MP ∥BB 1,交BC 于点P,连NP.MP ∥BB 1,.1PBCPMB CM=∴BD=B 1C,DN=CM,.1BN M B =∴.,1NBDNPB CP NB DN MB CM =∴=∴NP ∥CD ∥AB.∴面MNP ∥面AA 1B 1B. ∴MN ∥平面AA 1B 1B.点、线、面之间的位置关系单元测试第1题. 下列命题正确的是( ) A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案:D.第2题. 如图,空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别 是AB ,BC ,CD ,DA 的中点. 求证:四边形EFGH 是平行四边形.答案:证明:连接BD .因为EH 是ABD △的中位线,所以EH BD ∥,且12EH BD =.同理,FG BD ∥,且12FG BD =.因为EH FG ∥,且EH FG =. 所以四边形EFGH 为平行四边形.第3题. 如图,已知长方体ABCD A B C D ''''-中,23AB =,23AD =,2AA '=. (1)BC 和A C ''所成的角是多少度 (2)AA '和BC '所成的角是多少度AE B H GCFD第4题. ①若直线上有无数个点不在平面α内,则α. ②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. ④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A .0 B.1 C.2 D.3答案:B.第5题. 若直线a 不平行于平面α,且a α⊄,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a 异面 B.α内不存在与a 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a 平行 D.α内的直线与a 都相交答案:B.第6题. 已知a ,b ,c 是三条直线,角a b ∥,且a 与c 的夹角为θ,那么b 与c 夹角为 .答案: θ.第7题. 如图,AA '是长方体的一条棱,这个长方体中与AA '垂直的棱共 条.答案:8条.第8题. 如果a ,b 是异面直线,直线c 与a ,b 都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个.答案:2个.第9题. 已知两条相交直线a ,b ,a α平面∥则b 与α的位置关系是 .答案:b a ∥,或b 与a 相交.第10题. 如图,三条直线两两平行且不共面,每两条确定一个平面,一共可以确定几个平面如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面答案:3个,3个.第11题.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM 与ED 平行. ②CN 与BE 是异面直线.③CN 与BM 成60˚角.④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A.①,②,③B.②,④C.③,④ D.②,③,④答案:C.第12题. 下列命题中,正确的个数为( )①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行;②平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变;③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ,则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角;④四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形 A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B.E第13题. 在空间四边形ABCD 中,N ,M 分别是BC ,AD 的中点,则2MN 与AB CD +的大小关系是 .答案:2MN AB CD <+.第14题. 已知a b ,是一对异面直线,且a b ,成70角,P 为空间一定点,则在过P 点的直线中与a b ,所成的角都为70的直线有 条.答案:4.第15题. 已知平面αβ//,P 是平面αβ,外的一点,过点P 的直线m 与平面αβ,分别交于A C ,两点,过点P 的直线n 与平面αβ,分别交于B D ,两点,若698PA AC PD ===,,, 则BD 的长为 .答案:24245或. 第16题. 空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,若AC BD a ==,且AC 与BD 所成的角为90,则四边形EFGH 的面积是 .答案:214a .第17题. 已知正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为11D C ,11C B 的中点,ACBD P =,11A C EF Q =.求证:(1)D ,B ,F ,E 四点共面;(2)若1A C 交平面DBFE 于R 点,则P ,Q ,R 三点共线. 答案:证明:如图.(1)EF 是111D B C △的中位线,11EF B D ∴∥. 在正方体1AC 中,11B D BD ∥,∴EF BD ∥.EF ∴确定一个平面,即D ,B ,F ,E 四点共面.(2)正方体1AC 中,设11A ACC 确定的平面为α,又设平面BDEF 为β.11Q A C ∈,Q α∴∈.又Q EF ∈,Q β∴∈.则Q 是α与β的公共点,PQ αβ∴=.又1A CR β=,1R A C ∴∈.R α∴∈,R β∈且,则R PQ ∈. 故P ,Q ,R 三点共线.第18题. 已知下列四个命题: ① 很平的桌面是一个平面; ② 一个平面的面积可以是4m 2;③ 平面是矩形或平行四边形;④ 两个平面叠在一起比一个平面厚. 其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案:A.第19题. 给出下列命题:和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内; 三条两两相交的直线在同一平面内; 有三个不同公共点的两个平面重合; 两两平行的三条直线确定三个平面. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:A.第20题. 直线12l l ∥,在1l 上取3点,2l 上取2点,由这5点能确定的平面有( )A.9个 B.6个 C.3个 D.1个 答案:D.第21题. 三条直线相交于一点,可能确定的平面有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 答案:D.第22题. 下列命题中,不正确的是( )①一条直线和两条平行直线都相交,那么这三条直线共面; ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面; ③两条相交直线上的三个点确定一个平面; ④两条互相垂直的直线共面. A.①与② B.③与④ C.①与③ D.②与④ 答案:B.第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( ) A.异面直线 B.相交直线 C.不相交直线 D.不平行直线答案:D.第24题. 在长方体1111ABCD A B C D -中,点O ,1O 分别是四边形ABCD ,1111A B C D 的对角线的交点,点E ,F 分别是四边形11AA D D ,11BB C C 的对角线的交点,点G ,H 分别是四边形11A ABB ,11C CDD 的对角线的交点.求证:1OEG O FH △≌△.1D答案:证明:如图,连结1AD ,AC ,1CD ,11C A ,1C由三角形中位线定理可知OE ∥ 112CD,1O F∥112BA又1BA ∥1CD ,OE∴ ∥1O F .同理可证EG∥FH .由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠.∴1OEG O FH △≌△.第25题. 若a ,b 是异面直线,b ,c 也是异面直线,则a 与c 的位置关系是( )A.异面 B.相交或平行 C.平行或异面 D.相交或平行或异面 答案:D.第26题. a ,b 是异面直线,A ,B 是a 上两点,C ,D 是b 上的两点,M ,N 分别是线段AC 和BD 的中点,则MN 和a 的位置关系是( ) A.异面直线 B.平行直线 C.相交直线 D.平行、相交或异面 答案:A.第27题. 如下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中①BM 与ED 平行;②CN 与BE 是异面直线; ③CN 与BM 成60角;④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( )A.①②③ B.②④ C.③④ 答案:C.第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的( ) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.任意一条直线不相交D.无数条直线不相交答案:C.第29题. 如果直线a平行于平面α,则()A.平面α内有且只有一直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行答案:B.。

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