高一数学必修3古典概型知识点
人教版高中数学必修3古典概型重点导学
古典概型重点导学古典概型是一种非常重要的概率模型，同学们在学习的时候要注意重点掌握以下几点：一、古典概型的概念辨析理解古典概型或判断一个试验否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性，还要注意两点：⑴并不是所有的试验都是古典概型，例如适宜的条件下“种一粒种子观察他是否发芽”。
这个事件的基本事件空间为{}发芽，不发芽，而“发芽”、“不发芽”这两种结果出现的机会是不均等的，所以不属于古典概型；⑵从集合的角度去看待概率，可以更清楚地理解古典概型。
在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件个数当然是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集。
() ()()card A m P Acard I n∴==例1（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。
你认为这是古典概型吗？为什么？解析：（1）不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第一个条件。
（2）：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。
点评：必须严格按照古典概型的两个特征来判断，在判断是否等可能的时候常根据问题的对称性、抽取方式的任意性来判断。
二、古典概型的计算求古典概型我们可以分为四步：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，深入理解题意；（2）判断试验是否为等可能事件，并用字母表示所求事件。
（3）分别求出基本事件个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m （4）利用公式()m P A n=求出事件A 的概率。
尤其对于复杂背景材料的等可能事件的概率的求解，应首先根据题目的信息，建立起概率模型，然后再转化为简单的等可能事件的概率问题。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结关键信息项：1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本结果是有限的。
每个基本结果出现的可能性相等。
111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的，不是无穷无尽的。
112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同，不存在某些结果更容易发生的情况。
12 古典概型的特点确定性：试验的条件和结果都是明确的。
互斥性：不同的基本事件之间是相互排斥的，不会同时发生。
121 可重复性相同的条件下，重复进行试验，结果具有稳定性。
122 规范性符合概率的基本定义和性质，能够通过计算得出准确的概率值。
13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。
确定事件 A 包含的基本事件数 m 。
代入公式计算 P(A) 。
132 注意事项计算要准确，避免遗漏或重复计算基本事件。
确保对基本事件的界定清晰无误。
14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以由基本事件组合而成。
141 基本事件的性质独立性：每个基本事件的发生与否互不影响。
完整性：所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。
15 基本事件的特点最小性：不能再分解为更小的随机事件。
明确性：能够清晰地定义和区分。
151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。
152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况，通过分析得出。
16 古典概型的常见例题掷骰子问题：计算掷出特定点数的概率。
抽奖问题：在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。
摸球问题：从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。
161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。
最新人教版高中数学必修3第三章《古典概型》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、基本事件1.基本事件的定义实际生活中，在完全相同的综合条件下，事件出现的结果往往是不相同的.为了叙述的方便，我们把条件每实现一次，叫做进行一次试验，试验的结果中所发生的现象叫做基本事件(elementary event).深化升华(1)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用它们来表示；(2)所有的基本事件都有有限个；(3)每个基本事件的发生都是等可能的.2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只能出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生.因而，任何两个基本事件都是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和如在抛掷硬币的试验中，必然事件由基本事件“正面向上”和“反面向上”组成；在掷骰子试验中，随机事件“出现偶数点”由基本事件“出现2点”“出现4点”“出现6点”共同组成.相对于基本事件，由以上基本事件组成的随机事件称为复杂事件.在“36选6”福利彩票中，只有一个特别号码，因而，从36个号码中抽出一个，由基本事件“抽得特别号码”和“抽得一般号码”组成.这种说法对吗？这种说法是错误的.根据定义，“抽得特别号码”是一个基本事件，而“抽得一般号码”是由35个基本事件构成的.本节教材P188例1 要求写出所有基本事件，写时一般按一定顺序将全部结果都列出来，要注意不重不漏.如按所给的四个字母的顺序：①a与其他字母结合，有｛a，b｝，｛a，c｝，｛a，d｝三种情况；②b与其他字母结合，有｛b，c｝，｛b，d｝两种情况；③c与其他字母结合，有｛c，d｝一种情况.要分析为什么在②中没有组合｛b，a｝，因为题中要求任意取出两个字母，没有说明顺序，因此，｛a，b｝与｛b，a｝是同一种情况.深化升华一次试验中的“等可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如：甲、乙、丙三名同学排成一排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”“甲丙乙”“乙甲丙”“乙丙甲”“丙甲乙”“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位来看，则可能结果只有三种，即站“1号位”“2号位”“3号位”.二、古典概型1.古典概型的定义对于一个试验，如果具有(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.通常将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型.例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件只有两个：发芽、不发芽.而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如，从规格直径为300 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d，测量值可能是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个.这两个试验都不属于古典概型.只具有有限性的不是古典概型，只具有等可能性的也不是古典概型，生活中还有许多这样的例子，自己找找看.古典概型的两种不同的抽取方法(1)有放回的抽样：每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样.显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去.(2)无放回的抽样：每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样.显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次.由此可见有放回的抽样不是古典概型，无放回的抽样是古典概型.2.基本事件的概率(1)基本事件的概率一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件总个数为n ，A 为一个基本事件，则P(A)=n 1. 证明：设试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，由于基本事件是两两互斥的，所以有P(A 1)+P(A 2)+ …+P(A n )=P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(必然事件)=1.又因为每个基本事件发生的可能性相等，即P(A 1)=P(A 2)= …=P(A n )，所以P(A 1)=n 1. (2)古典概型的概率公式如果随机事件A 包含的基本事件数为m ，则P(A)=n m . 证明：由互斥事件概率的加法公式可得 P(A)=n 1+n 1+…+n 1=n m ，所以在古典概型中，P(A)=总的基本事件个数包含的基本事件个数A . 深化升华 在应用古典概型的概率公式时，应注意基本事件的结果是等可能的，在这一点上容易出错.例如，先后抛掷两枚均匀的硬币，共出现“正，正”“正，反”“反，正”“反，反”这四种等可能结果.如果认为只有“两正”“两反”和“一正一反”这三种结果，那么这三种结果不是等可能的.集合观点下的古典概型：在一次试验中，等可能出现的n 个结果组成集合I ，这n 个结果就是集合I 的n 个元素，各基本事件均对应于集合I 的一个元素的子集，包含m 个结果的事件A 对应于I 的含有m 个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A 的概率是子集A 的元素个数(记作card(A))与集合I 的元素的个数(记作card(I))的比值，即P(A)=)()(I card A card =n m . (3)求P(A)的步骤①判断事件A 是否为古典概型；②求事件A 的基本事件的总个数n ；③算出事件A 中包含的基本事件的个数m ；④求事件A 的概率，即P(A)=nm . 用公式求概率时，关键在于求m 、n,在求n 时，应注意这n 个结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错.在求m 时，可结合图形采取列举法，数出事件A 发生的结果数.三、随机数的产生1.随机数及其产生的背景随机试验花费大量的人力、物力，需要一种新的、便捷的方法，这样就产生了用计算器产生你指定的两个整数之间的取整数的随机数.2.随机数的产生方法如果要产生1—25之间的随机整数，我们把25个大小相同的小球分别标上1，2，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数. 这样我们就可以得到1—25的随机数.由于小球大小形状相同，每个球被摸出都是等可能的.因而每个随机数产生都是等可能的.深化升华随机数的产生与随机抽样.如果我们要从全班50名学生中抽取8名学生进行学习兴趣调查，我们可以用50张分别标有1，2，3，…，49，50的大小形状完全相同的纸，折叠后放入一个箱子中，从中抽取8张，就相应地对这8名学生(抽到号码是几就选取座号是几的学生)，这实际上就是简单随机抽样中的“抽签法”.四、伪随机数的产生1.计算机产生随机数的目的利用计算机(或计算器)产生随机数，目的主要是利用计算机(或计算器)代替复杂的手工试验，以便求得随机事件的频率、概率.2.计算机产生随机数的特点计算机(或计算器)产生的随机数是依照确定的算法产生的，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.计算机(或计算器)产生的并不是真正的随机数，我们称之为伪随机数.3.计算机(或计算器)产生随机数的方法教材中给出了一种产生随机数的方法，只要按照它的程序一步步进行即可.下面介绍两种常用的产生随机数的方法：(1)用计算机软件产生随机数用计算机产生随机数，而且可以直接统计出频数和频率.课本以掷硬币为例，用Excel 软件给出计算机产生随机数的方法，这里不再重复.(2)用科学计算器产生随机数如果用0表示反面向上，1表示正面向上，利用计算器不断产生0，1两个随机数，以代替抛掷硬币的试验，方法如下：MODE→MODE→MODE→1→0SHIFT→RAND=以后每次按“=”均会出现一个随机数，要么是0，要么是1.如果要产生1到25之间的取整数值的随机数，方法如下：MO DE→MODE→MODE→1→0以后每次按“=”均会出现一个1到25之间的取整数值的随机数.24→X→SHIFT→RAND→=→+→1→=4.随机模拟法我们称用计算机(或计算器)模拟试验的方法为随机模拟法或蒙特卡罗(Monte Carlo)法.该方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济学等领域中都得到广泛应用.典题·热题知识点一古典概型的概念例1 判断下列命题正确与否.(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3种结果；(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3)分别从-4，-3，-2，-1，0，1，2中任取一数，取得的数小于0与不小于0的可能性相同；(4)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同；(5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.思路分析：本题考查古典概型的定义.(1)应为4种结果，还有一种是“一反一正”；(2)摸到红球的概率为21，摸到黑球的概率为31，摸到白球的概率为61； (3)取到小于0的数字的概率为74，不小于0的数字的概率为73； (4)男同学当选的概率为31，女同学当选的概率为41； (5)抽签有先后，但某同学抽到某号的概率是相同的.其理由是：假设5号签为中奖签，甲先抽到中奖签的概率为51；乙接着抽，其抽中5号签的概率为54×41=51，依次类推，丙抽中5号签的概率为54×43×31=51. 答案：以上命题都是假命题.方法归纳 古典概型要求所有结果出现的可能性相等，强调所有结果，每一结果出现的概率都相同.巧妙变式：从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.21 B.31 C.32 D.1 思路分析：这里所有的结果可能有：甲、乙，甲、丙，乙、丙，即所有的结果共有3个，甲被选中的事件有2个，根据古典概型的概率，有P(甲)=32.故选C. 答案：C例2 将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：(1)共有多少种不同的结果？(2)两数之和是3的倍数的结果有多少种？(3)两数之和是3的倍数的概率是多少？思路分析：本题考查古典概型的求法.首先弄清基本事件的个数，而且每个基本事件发生的概率是相等的，所以用古典概型来解.解：(1)共有36种不同的结果.(2)第一次抛掷，向上的点数为1、2、3、4、5、6这6个数中的某一个，第二次抛掷时都可以有两种结果，使两次向上的点数和为3的倍数，例如第一次向上的点数为4，则第二次向上的点数为2或5时，两次的点数之和都是3的倍数.于是共有6×2=12种不同的结果.(3)因为抛掷2次得到的36种结果是等可能出现的，记“向上的点数之和是3的倍数”为事件A ，则事件A 的结果有12种，故所求的概率为P(A)=3612=31. 巧妙变式：同时抛掷两枚骰子，计算所得点数之和是偶数的概率.解法一：第1，2个骰子的点数各有1、2、3、4、5、6这6种结果，因而共有6×6=36种不同的结果；由于骰子形状均匀，这些结果是等可能的，由于偶数=奇数+奇数=9+9=18种可能结果，所以P(A)=3618=21. 解法二：由于每个骰子上奇、偶各3个，而按第1、第2个骰子的点数顺序写时，偶数=奇数+奇数=偶数+偶数，奇数=奇数+偶数=偶数+奇数.故可看作“奇数+奇数”、“偶数+偶数”、“奇数+偶数”、“偶数+奇数”这四种等可能结果，所以P(A)=42=21. 解法三：分析同解法二，可看作“点数之和为偶数”“点数之和为奇数”这两个结果等可能，所以P(A)=21. (1)本题可以通过计算两个点数的搭配个数入手，如解法一，也可以通过奇偶数在本题中的对称性来解，如解法二、解法三.(2)若认为“奇数+奇数”“偶数+偶数”“奇数+偶数”这三个结果等可能，从而P(A)=32便是错误的，原因是这三个结果不是等可能的.例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.思路分析：本题考查古典概型求概率的方法.要适时利用对立事件求概率.解：同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 视其为等可能事件，进而求其概率.方法一：共有36个不同的结果，其中至少一个5点或6点的结果有20个，所以至少一个5点或6点的概率为P=953620=. 方法二：“至少一个5点或6点”的对立事件是“没有5点或6点”，如上表.“没有5点或6点”的结果共有16个，故“至少一个5点或6点”的概率为P=1-9536203616==. 巧解提示 解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题，可求其对立事件的概率，进而求得概率，以降低难度.要特别注意避免不必要的错误；第一类错误是不符合题意的主观臆断，如本题，含有5的有6个，含6的有6个，得出至少有一个5或6的有12个，从而所求概率为3136123666==+；第二类错误是没有搞清楚A 、B 是否为互斥事件，直接用公式P(A+B)=P(A)+P(B)=18113622=. 知识点二 应用古典概型来解题例4 某种饮料每箱12瓶.如果其中有2瓶不合格，问质检人员随机从中抽取2瓶，检测出不合格产品的概率有多大？思路分析：本题考查利用古典概型求概率的方法和步骤.解：我们把每瓶饮料标上号码，合格的10瓶分别记作1，2，3，…，10，不合格的2瓶分别记为a ，b ，只要检测的瓶中有一瓶不合格，就表示查出了不合格产品.我们采用每次抽1瓶，分两次抽取样品的方法抽样，并按顺序(x ，y)记录结果.由于随机抽取，x 有12种可能，y 有11种可能，但(x ，y)与(y ，x)是相同的，所以试验的结果共有12×11÷2=66(种)，下面计算检测出不合格产品这个事件包含的基本事件的个数.分两种情况：1瓶不合格和2瓶不合格.1瓶不合格：合格产品从10瓶中选1瓶，不合格产品从2瓶中选1瓶，所以包含的基本事件数为10×2=20.2瓶都不合格：包含的基本事件数为1.所以检测出不合格产品这个事件包含的基本事件数为20+1=21.因此检出不合格产品的概率为6621≈0.318. 方法归纳①本题中(x ，y)与(y ，x)是相同的，因为题中意思是说只要有一瓶不合格，就表示查出了不合格产品.不要误以为是两个不同结果.②本题在计算m 、n 时，可回顾初中“模拟实验”中的计数方法，显然要比将试验的全部结果一一列出简便得多，因此求m 、n 时，依据题目要求灵活采用适当的方法，可提高解题效率. 例5 某城市的电话号码是8位数，如果从电话号码中任指一个电话号码，求:(1)头两位号码都是8的概率；(2)头两位号码都不超过8的概率；(3)头两位号码不相同的概率.思路分析：本题考查古典概型求概率及在求的过程中利用基本事件的方法和用法. 解：(1)电话号码的第一位可以是0—9中的任一个数字.第二位也是0—9中的任一个数字，我们把前2位号码用(x ，y)表示，试验的所有结果如下表：从表中可以看出，头两位号码的所有可能的结果共有100个，由于是随机抽取，每个号码是等可能出现的，这个试验属于古典概型.(1)记A 为“头两位号码都是8”，事件A 包含的基本事件只有1个(8，8)，因此事件A 的概率P(A)=1001=0.01. (2)记B 为“头两位号码都不超过8”，则事件B 包含的基本事件由表可知共有81个.所以P(B)= 10081=0.81. (3)记C 为头两位号码不相同，则事件C 包含的基本事件数由表可以数出共90个,P(C)=10090=0.9. 方法归纳 这是典型的打电话问题,主要弄清楚所拨电话可能的总数及所拨电话的限制条件,根据其来求解.例6 已知集合A={-9，-7，-5，-3，-1，0，2，4，6，8}，在平面直角坐标系中，点(x ，y)的坐标x ∈A ，y ∈A ，且x≠y ，计算：(1)点(x ，y)不在x 轴上的概率；(2)点(x ，y)正好在第二象限的概率.思路分析：本题考查基本事件的数法及古典概型求概率的公式.x 、y 的选取是随机的，在集合A 中任取两数，计为(x ，y)是等可能的.解：点(x ，y)中，x ∈A ，y ∈A ，且x≠y ，，故x 有10种可能，y 有9种可能，所以试验的所有结果有10×9=90种，且每一结果出现的可能性相等.(1)事件A 为“点(x ，y)不在x 轴上”.那么y 不为0有9种可能，x 有9种可能.事件A 包含的基本事件数为9×9=81.因此，所求事件的概率为P(A)=1099081=. (2)设事件B 为“点(x ，y)正好在第二象限”，则x<0，y>0，x 有5种可能，y 有4种可能，事件B 包含的基本事件的个数为5×4=20种.因此，事件B 的概率是P(B)=929020=. 例7 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题有4道，甲、乙两人依次各抽一题.(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？思路分析：本题主要考查利用古典概型来计算概率，由对立事件的概率计算以及分析和解决实际问题的能力.解：甲、乙两人依次各抽一题，显然，题抽出之后不放回.先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法有10×9=90种,即基本事件的总数是90.(1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件A ，因为甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 所包含的基本事件共6×4=24.所以P=1549024=. (2)先考虑问题的对立面.“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“甲、乙两人中至少有一人抽到判断题”为事件C ，则事件B 包含的基本事件数为4×3=12.所以P(B)=1529012= 由对立事件的性质可得P(C)=1-P(B)=1-1513152=.方法归纳 (1)本题的关键是通过分析得出公式中的m 、n ，即某事件所包含的基本事件数和事件总数，然后代入公式求解.(2)含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较烦琐时，可以考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解.例8 某运动员用杠铃进行锻炼时，需要选取2个质量盘装在杠铃上，有2个装有质量盘的箱子，每个箱子中都装有4个不同的质量盘：2.5 kg ，5 kg ，10 kg 和20 kg ，每次都随机地从2个箱子中各取1个质量盘装在杠铃上后，再进行锻炼.(1)随机地从2个箱子中各取1个质量盘，共有多少种可能结果？用表格列出所有可能的结果.(2)计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率：①20 kg ；②30 kg ；③不超过10 kg ；④超过10 kg.思路分析：本题考查利用古典概型求事件概率的公式.(1)第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4种不同的质量盘中任意选取，我们用“有序实数对”来表示选取的结果.例如(10，20)表示在一次随机选取中，从第一个箱子中选取的是10 kg 的质量盘，从第二个箱子中选取的是20 kg 的质量盘.从表中可以看出，随机地从2个箱子中各取1个质量盘所有可能结果共有16种.由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型. 解：(1)16种,表格见思路分析.(2)①用A 表示“选取的两个质量盘的总质量是20 kg”.因为总质量为20 kg 的所有可能结果只有1种，所以事件A 的概率P(A)=161=0.062 5. ②用B 表示事件“选取的两个质量盘的总质量是30 kg”、总质量为30 kg 的所有可能结果共有2种，所以事件B 的概率P(B)=162=0.125. ③用C 表示事件“选取的两个质量盘的总质量不超过10 kg”.总质量不超过10 kg ，即总质量为5 kg ，7.5 kg ，10 kg 之一，所有可能结果共有4种，所以事件C 的概率P(C)=164=0.25. ④用D 表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过10 kg”.总质量超过10 kg ，即选取的是总质量为12.5 kg,15 kg,20 kg,22.5 kg,30 kg,40 kg 之一，所有可能结果共有12种，所以事件D 的概率P(D)=1612=0.75. 方法归纳判断一个试验是否是古典概型，要把握结果的有限性和等可能性两个特征，解决古典概型问题的关键是正确写出基本事件，利用公式P(A)=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A 求解.例9 技术监督部门为了检查某厂的产品质量，特从该厂的成品中抽取部分产品进行检验，抽查部分产品的情况如下表：抽取产品数n 20 50 100 200 500 1 000 优等品数m 18 48 96 193 473 952 优等品频率n m(1)请根据相关数据完成表格中的内容；(2)确定该产品为优等品的概率；(3)技术监督部门规定，非优等品必须全部回收加工.假设该厂每月的产品的产量为6.2万件，请问，该厂每月必须回收的非优等品数是多少？思路分析：本题考查频率的计算方法及产品个数的求法.解：(1)表中第三行的数据分别为0.9，0.96，0.96，0.965，0.946，0.952.(2)根据(1)的频率，优等品的频率接近于常数0.95,并在它附近摆动，故优等品的概率为0.95.(3)优等品的概率为0.95,则非优等品的概率为0.05.该厂每月必须回收的非优等品的数量为62 000×0.05=3 100(件).方法归纳 已知概率，可以确定元素的个数，这在日常生活中比较常用，也体现了概率的稳定性在指导实际问题时的意义.如本题，可由生产总数求非优等品数量，也可由非优等品数量求生产总数.知识点三 随机数的产生例10 用模拟试验的方法，估计抛掷硬币正面向上的情况出现的概率.思路分析：本题考查随机数的产生方法.首先用计算器产生(0，1)之间的随机数，如果这个随机数在0—0.5之间，则认为硬币正面向上；如果这个随机数在0.5—1之间，则认为硬币反面向上.记下正面向上的频数及试验总次数，就可以得到正面向上的频率了.解：通过分析下表可以看出，正面向上的频率在0.5附近摆动，故所求的概率为0.5. 试验次数5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 正面向上的频数2 3 6 9 12 12 16 20 21 23 27 29 31 32 正面向上0.400 0.300 0.400 0.450 0.480 0.400 0.457 0.500 0.467 0.460 0.491 0.483 0.477 0.457的频率方法归纳 用计算机(或计算器)模拟一些试验可以省工省力，它适用于试验出现的结果是有限个，但是每一个结果的出现不一定是等可能的试验.例11 某校高一年级共20个班1 200人，期中考试时如何把学生分配到40个教室中去? 思路分析：本题考查随机数的产生及利用随机函数处理问题的方法.解：要把1 200人分配到40个教室中去，每个教室30人，首先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后让1号到30号去第1教室，31号到60号去第2教室，…，人数太多，如果用随机数表给每个学生找一个坐位号，既费时又费力.下面用随机函数给每一个学生一个随机编号，然后再按号数用计算机排序即可.(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机.(2)用随机函数RANDBETWEEN(1，1 200)按顺序给每个学生一个随机数(每个人都不同).(3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列，即可得到坐位号从1到1 200人的序号(说明：1号应为0001，2号应为0002，用0补足前面位数).方法归纳 日常生活中，经常遇到给若干个人或产品随机编号的情况，随机函数是解决此类问题的一个行之有效的方法.在条件许可的情况下，可以借助计算机(或计算器)产生随机数.问题·探究方案设计探究问题 某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？探究思路:这种方法是不公平的.任意抛掷一枚骰子，有6种可能的结果，因此当第一枚骰子出现一种结果时，第二枚骰子仍然随机地出现6种可能的结果，故掷两枚骰子，共出现6×6=36种可能结果.由于是随机的，故可认为这36种结果是等可能出现的，在这36种等可能的结果中，从下表可以看出，点数和为2的只有一种可能，即出现“点数和为2”的概率为361.也就是说，选二班的可能性只有361.点数和为3的有两种可能，即出现“点数和为3”的概率为181362 ,也就是说，选三班的可能性有181.分析可知，七班被选中的可能性最大，可能性为366=61.其次是六班和八班，可能性为365，可能性最小的是二班和十二班，可能性只有361. 1点 2点 3点 4点 5点 6点1点2 3 4 5 6 7 2点3 4 5 6 7 8 3点4 5 6 7 8 9 4点5 6 7 8 9 10 5点6 7 8 9 10 11 6点7 8 9 10 11 12 探究结论:利用图表的形象直观性，我们可以清晰地分析基本事件空间，确定随机事件中所含的基本事件的个数，进而利用古典概型的概率公式来求其概率.。
人教版高中数学必修三概率论-古典概型ppt课件
推广1. n个元素分成 ( r1 rk n) k组，每组有 rk 个元素， n! rk r1 r2 分法有 C n 种 C n r1 C rk r1 ! rk !
2. n个元素有2类，每类分别有m , ( n m )个，每
r1 r2 类分别取r1 , r2个， 取法有C m Cn m种
3. n个元素有k类，每类分别有n1 ,, nk 个，每类
rk r1 r2 分别取r1 , , rk 个， 取法有C n C C n2 nk 种 1
例1 袋中有外形相同的5个白球，3个黑球，一次任取两个， 求取出两个都是白球的概率
解 设A {取出两个都是白球}
2 n C8 2 0 m C5 C3
基本计数原理
3.基本计数原理： (1) 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 则完成这件事总共有 第二种方式有n2种方法, …, n1 + n2 + … + nm 种方法 . 第m种方式有nm种方法, 无论通过哪种方法都可以完成这件事，
(2) 乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, n
6 A6 例5 6人排成一排，有多少种排法? 6! 若某人必须排在排尾 ( 排除法 ) 5! (捆绑法 ) 5! 2! 若甲乙必须在一起 2 若甲乙必须不在一起 ( 插空法 ) 4! A5 6! 若甲乙必须从左到右排 ( 去序法 ) 2! （去序） 5.组合： 从n个不同元素取 r 个组成一组 （ 从n个不同元素一次取 r 个） r A n! r n 不同取法有 C n 种 r! r !( n r )! (相当于将n个元素分成两组 )
解 设Ak {抽到k件一等品 } k 0,1,2 2 2 k k 59 n C100 C 40 m C 60 1 1 0 2 2 165 C C C 60 C 40 C 26 60 40 16 60 P ( A ) P ( A ) P ( A0 ) 1 2 2 2 2 165 33 C100 C100 C100 例3 若上例改为依次抽取2件,求抽到2件等级相同的产品的概率 排列 解 设A {2件等级相同} (1)不放回( 不重复抽样) 5 2 2 2 2 n P100 100 99 m A60 A30 A10 P ( A) 11 ( 2)有放回(重复抽样) n 1002 m 602 302 102
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结古典概型是概率论中的一个重要内容，它是指在相同的条件下，可能的结果均等可能的情况下，通过计算各种结果出现的可能性的概率。
在古典概型中主要涉及排列、组合、二项式定理、排列组合概率等基础知识。
下面就各个知识点做详细介绍。
一、排列排列是指从n个不同元素中取出m个进行排列，如果这m个元素的顺序不同则视为不同的排列。
排列数用P(n,m)表示，表示n中取m的排列数。
公式为P(n,m) = n!/(n-m)!例如，从5个不同的元素中取出3个元素进行排列，那么排列数就是P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5*4*3 = 60。
二、组合组合是指从n个不同元素中取出m个进行组合，不考虑元素的排列顺序。
组合数用C(n,m)表示，表示n中取m的组合数。
公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)例如，从5个不同的元素中取出3个元素进行组合，那么组合数就是C(5,3) = 5!/(3!*(5-3)!) = 10。
三、二项式定理二项式定理是代数中一个重要的定理，它包括二项式系数的公式以及二项式的展开式。
二项式系数的公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)二项式展开式为(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,n)*a^0*b^n例如，(a+b)^3 = C(3,0)*a^3*b^0 + C(3,1)*a^2*b^1 + C(3,2)*a^1*b^2 + C(3,3)*a^0*b^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3。
四、排列组合概率排列组合概率是指在进行某种排列或组合的情况下，发生一定事件的概率。
在排列组合概率中，一般会出现某个事件的发生总数以及排列或组合的总数，然后通过计算得出该事件的概率。
例如，从一副扑克牌中随机取5张牌，计算得到顺子的概率。
我们可以计算出顺子的排列数，即5个元素的排列数P(5,5)=5!=120，然后计算出总的排列数，即从52张牌中取5张的排列数P(52,5)=52!/(52-5)!=2,598,960，最后通过计算得出顺子的概率为120/2,598,960≈0.000046。
高一数学 3.2.1 古典概型 1 新人教A版必修3
2(1.古)如典果概试型验的的概基率本公事式件的总数为n,A表示一P (个A )基 本1n .事件,即
(2)对于古典概型,如果试验的所有结果(基本事件)数为n,随机事件A 包含的基本事件数为m,则由互斥事件概率的加法公式可得
所以,在古典概型P中(A, )111m, nn n n
PAA包 含 基 的 本 基 事 本 件 事 的 件 总 的 数 个 数 .
(3)用集合的P观( A)点 来m 考查A的概率,有利于帮助学生生动、形象地理 解事件A与基本n事件的关系,有利于理解公式
.如右上图所示,把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I, 其中每一个结果就是I中的一个元素,把含m个结果的事件A看作 含有m个元素的集合,则事件A是集合I的一个子集,则有
取法包括(1,5),(1,6),(2,5)(2,6),(3,5P),((3B,)6),(48,5. ),(4,6)共8个. ∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概1 5率为
规律技巧:取出两球的结果数15还可以这样计算,从袋中6个球中任 取两球,并按抽取顺序(x,y)记录结果,由于随机抽取,因此x有6种,y 有5种,共有5×6=30种,但在记录的结果中有些是重复的,如 (1,2),(2,1)是30种中的两种,它们在“从袋中取出2球”这件事上, 是同一种情况,从而应有5×6÷2=15种情况.
(2)有记:“(红摸､球红3､次黑所)､(得红总､黑分､为红5P)”､(的(A黑)事､红件83､为. 红A),,事则件事A件包A含包3含个的基基本本事事件件,
列事件的概率: (1)A:取出的两球都是白球; (2)B:取出的两球1个是白球,另1个是红球. 分析:首先应求出任取两球的基本事件的总数,然后需分别求出事件
A:取出的两球都是白球的总数和事件B:取出的两球1个是白球, 而另1个是红球的总数.套用公式求解即可.
【高中数学必修三】3.2.1古典概型
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
2号骰子 1号骰子
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （（33，，66）） （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （5，1） （5，2） （5，3） （（55，，44）） （5，5） （5，6） （6，1） （6，2） （（66，，33）） （6，4） （6，5） （6，6）
典型例题
例2 同时掷两个均匀的骰子，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是9的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是9的概率是多少？
列表格
解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，
2以便区分，它总共出现的情况如下表所示：
2号骰子 1号骰子
1 2 3 4 5 6
Ｐ（“一正一反”）＝2 1 42
在遇到“抛硬币”的问题时,要对硬币进行编号用于区分
课堂训练
1. 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A 、B 、C 、D 四个
选项中选择一个正确的答案。
假设考生不会做，他随机地选择了一个答案，则他答对的概率ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 为4
基本事件总共有几个？4个：A,B,C,D
“答对”包含几个基本事件？ 1个
环”、“命中7环”、“命中6环”、“命中5环”和
“不中环”。
你认为这是古典概型吗？
5 6
为什么？
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。
它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。
接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。
一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。
例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。
二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。
三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。
2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。
这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。
四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。
2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。
3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。
五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。
2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。
3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。
4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。
六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。
2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。
北师大版高中数学必修三3.2.1古典概型的特征和概率计算公式(24ppt)
1、向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任 意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
〖解〗因为实验的所有可能结果是 圆面内所有的点，实验的所有可能 结果数是无限的，虽然每一个实验 结果出现的“可能性相同”，但这 个实验不满足古典概型的第一个条 件.
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解：（1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以 从4种不同的质量盘中任意选取.我们可以用一个“有序实数 对”来表示随机选取的结果.例如，我们用（10，20）来表 示：在一次随机的选取中，从第一个箱子取的质量盘是10 kg， 从第二个箱子取的质量盘是20 kg，表1列出了所有可 能的结果. 表1
．
．．．．．．． ．．．．．．
2、如图，射击运动员向一靶心进行射击，这一实验的结 果只有有限个：命中10环、命中9环……命中1环和命中0 环.你认为这是古典概型吗？为什么？
〖解〗不是古典概型，因为实验的所 有可能结果只有11个，而命中10环、 命中9环……命中1环和不中环的出现 不是等可能的，即不满足古典概型的 第二个条件.
16 4 （ⅳ）用D表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过 10 kg”，总质量超过10 kg，即总质量为12.5 kg，20 kg， 15 kg，22.5 kg，25 kg，30 kg，40 kg，从表2中可以看出， 所有可能结果共有12种，因此，事件D的概率 P(D)= 12 = 3 =0.75.
果.在计算古典概率时，只要所有可能结果的数量不是 很多，列举法是我们常用的一种方法.
单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C， D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考察的内 容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机 的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
人教版高中数学必修三第三章概率§1.4古典概型（ClassicalProbability）
人教版高中数学必修三第三章概率§1.4古典概型（ClassicalProbability）§1.4 古典概型(Classical Probability)一、排列与组合公式的复习1. 两大计数原理：乘法原理，加法原理（简单介绍）。
2. 排列、组合的定义及计算公式（1）排列：())( ),1()2)(1(!! n r r n n n n r n n A r n ≤+---=-= ，特例，全排列!n A n n =。
（2）组合： )( ,!)1()2)(1(!n r r r n n n n r A r n C r n r n≤+---==???? ??= 特例，1,0==-n r n n r n C C C 。
3. 从n 个不同的球中摸取r 个球，（1）有放回计序（重复排列）：rn 种取法；（2）无放回种取法；不计序（组合）：种取法；计序（排列）：r n r n C A 二、古典概型（等可能概型）(Classical probability)1. 古典概型“概型”是指某种概率模型。
“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。
它具有下述特征：（1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个，不妨设为n 个，记为{}n e e e S ,,,21 =；（2）每个基本事件出现的可能性是相等的，即有{}{}{})()()(21n e P e P e P === 。
称这种数学模型为古典概型(Classical probability)或等可能概型。
它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。
2. 等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验E 共有n 个基本事件，事件A 包含了k 个基本事件，则事件A 的概率为基本事件总数的有利事件数中的基本事件总数中所含的基本事件数A S A n k A P ===)(. (A 中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A 的有利事件数),不难验证,上述的概率)(?P 的确具有非负性、规范性和有限可加性.）（【注】讲课时可以简单证明这个公式）求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作：一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题所及的试验,具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现的可能性相同.那么,我们就可断定它是一个古典概率问题.二是掌握古典概率的计算公式．如果样本空间包含的样本点的总数为n ，事件A 包含的样本点数(即A 的有利场合的数目)为k ，那么事件A 的概率是 P(A)=n k =样本点总数包含的样本点数事件A =样本点总数的有利场合数A . 三是根据公式要求，确定n 和k 的数值. 这是解题的关键性一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式. 古典概率一种解法大体都是围绕n 和k 的计算而展开的.三、几类基本问题:抛硬币、掷骰(t óu)子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中，有着十分重要的意义. 一方面，这些随机试验，是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律. 另一方面，这种模型化的处理方法，思想活泼，应用广泛，具有极大的普遍性，不少复杂问题的解决，常常可以归结为某种简单的模型. 因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，从根本上提高解答概率题的能力.本部分主要讨论古典概率中的五类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题、抽签问题和分组问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.例1（摸球问题）一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。
高中数学必修3课件：3.2.1 古典概型
第三章 概率
想一想 “在区间[0,10]上任取一个数,这个数恰为2的概率是多少”？这 个概率模型属于古典概型吗？ 提示：不是．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有 无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型．
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第三章 概率
做一做 2.投掷一枚骰子，恰好数字6正面向上的概率是________． 解析：由于骰子每一个面向上的可能性相等，故数字 6 正面向 上的概率是16. 答案：16
栏目 导引
第三章 概率
【解】 从 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名， 其一切可能的结果组成的 12 个基本事件为： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)， (A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)， (A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)． C1 恰被选中有 6 个基本事件： (A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)， (A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)， 因而 P(M)＝162＝12.
第三章 概率
1．基本事件 (1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能 再分的最简单的___随__机____事件称为该次试验的基本事件． (2)特点：一是任何两个基本事件是_互__斥___的；二是任何事 件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的__和___．
栏目 导引
第三章 概率
做一做 1.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽三 次，所有的基本事件数是________． 解析：所有的基本事件有(红红红)(红红白)(红白红)(白红红)( 红白白)(白红白)(白白红)(白白白)，共8个． 答案：8
高中数学高考总复习---古典概型与几何概型知识讲解及考点梳理
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被 取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
位数字也即确定.故共有 6×1=6 种不同的结果，即概率为
.
（2）两个玩具的数字之和共有 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 共 11 种不同结果.
从中可以看出，出现 12 的只有一种情况，概率为 .出现数字之和为 6 的共有（1，5），（2，
4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为 . 【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
（3）应用公式
求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不 重复不遗漏。 知识点二、几何概型 1. 定义： 事件 A 理解为区域Ω的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积 或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与 “试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
举一反三： 【变式】某校要从艺术节活动中所产生的 4 名书法比赛一等奖的同学和 2 名绘画比赛一等 奖的同学中选出 2 名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的 2 名志愿者都 是获得书法比赛一等奖的同学的概率；（2）选出的 2 名志愿者中 1 名是获得书法比赛一等 奖，另 1 名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率. 【解析】把 4 名获书法比赛一等奖的同学编号为 1，2，3，4 . 2 名获绘画比赛一等奖的同 学编号为 5，6.
高一数学(新人教A版必修3)考点清单《3.2 古典概型》
古典概型
命题方向基本事件个数的计算
、将一枚骰子先后抛掷两次，则：
()一共有几个基本事件？
()“出现的点数之和大于”包含几个基本事件？
[解析]解法一(列举法)：
()用(，)表示结果，其中表示第枚骰子出现的点数，表示第枚骰子出现的点数，则试验的所有结果为：
()，()，()，()，()，()，
()，()，()，()，()，()，
()，()，()，()，()，()，
()，()，()，()，()，()，
()，()，()，()，()，()，
()，()，()，()，()，()．
共个基本事件．
()“现出的点数之和大于”包含以下个基本事件：()，()，()，()，()，()，()，()，()，()．
解法二(列表法)：
如下图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．
()由图知，基本事件总数为.
()总数之和大于包含个基本事件(已用虚线圈出)．
解法三(树形图法)：
一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图表示．如下图所示：
()由图知，共个基本事件．
()点数之和大于包含个基本事件(已用“√”标出)．
、
一只口袋内装有大小相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出两个球．
()共有多少个基本事件？
()两个都是白球包含几个基本事件？
[解析]()方法一：采用列举法：分别记白球为号，黑球为号，有以下基本事件：
()，()，()，()，()，()，()，()，()，()共个(其中()表示摸到号，号球)．方法二：采用列表法：
设个球的编号为：、、、、，其中，，为白球，，为黑球．
列表如下：。
高中数学必修3第三章：概率3.2古典概型
验，如果这2个元素没有顺序，那么这次试验共有
nn－1 2
个
基本事件；如果这2个元素有顺序，那么这次试验有n(n－1)
个基本事件．可以作为结论记住(不要求证明)，在选择题或
填空题中可以直接应用．
计算基本事件个数的常用法
1.列举法 列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件 个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举即可得出随 机事件所含的基本事件数．但列举时必须按一定顺序，做到 不重不漏．
球，d，e为黑球．
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b) (a，c) (a，d) (a，e)
b (b，a)
(b，c) (b，d) (b，e)
c (c，a) (c，b)
(c，d) (c，e)
d (d，a) (d，b) (d，c)
(d，e)
e (e，a) (e，b) (e，c) (e，d)
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a) 与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．
新课引入 “三门问题”是美国一个经典的电视游戏节目，内容如 下：现有三扇门，其中一扇后面有一辆汽车，另外两扇门后 各有一只羊，参赛者选中车门就得车，选中羊门就得羊，首 先参赛者选一扇门，然．后主持人故意打开剩下两门中的一 扇羊门(主持人知道车在何处)，接着主持人给参赛者选择机 会，是坚持原门还是换另一扇门？
[解析] 第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10] 内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限 性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个， 而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能 性；
第3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概 型；
人教版数学高一-高中数学新人教A版必修三3.2《古典概型》文字素材3
深刻理解古典概型古典概型是一种特殊的数学模型，在概率论中占有相当重要的地位，是学习概率的必不可少的内容。
我们要深刻理解古典概型的概念、特征及其概率公式，并能熟练应用概率公式解决有关概率问题。
一、概念辨析古典概型必须具备两个条件：（1）有限性（即指试验中所有可能出现的基本事件只有有限个）；（2）等可能性（即指每个基本事件出现的可能性相等）。
判断一个事件是否为古典概型时，同学们只要紧紧抓住这两个条件，即可得出正确结论。
例1.下列概率模型中有几个是古典概型？A.从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；B.向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；C.从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率。
解：A不是古典概型，因为区间[1，10]中的有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，因此有无限多个基本事件，与古典概型定义中“基本事件只有有限个”矛盾。
B不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每个基本事件出现的可能性相等”矛盾。
C是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的（100个），而且每个整数被抽到的可能性相等。
例2.在连续掷两次硬币的试验中，“第一次正面朝上”是基本事件吗？解：抛掷完两次硬币后试验才算完成，所以两次抛掷的结果合起来才算一个基本事件，故“第一次正面朝上”不是基本事件。
该试验所有的基本事件有四个：（正，正），（正，反），反，正），（反，反）二、公式应用在满足上面两个条件的情况下，我们可以用古典概型的概率公式计算事件A的概率：()AP A=包含的基本事件个数总的基本事件个数.例3.在一次数学研究性实践活动中，某兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具，组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具（各个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6）后，请小组成员研究下面两个问题：（1）两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少；（2）两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？你能帮助他们研究出来吗？分析：共有36种（见右表）；（2）等可能性，出现每一种朝向的情况具有等可能性。
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高一数学必修3古典概型知识点
基本事件的定义：
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
等可能基本事件：
若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
古典概型：
如果一个随机试验满足：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件的发生都是等可能的；
那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.
古典概型的概率：
如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是
如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为
古典概型解题步骤：
(1)阅读题目，搜集信息；
(2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；
(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；
(4)用公式
求出概率并下结论。
求古典概型的概率的关键：
求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。
高一数学必修3几何概型知识点
几何概型的概念：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)称比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
几何概型的概率：
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件"该点落在其内
部一个区域d内"为事件A，则事件A发生的概率
说明：(1)D的测度不为0；
(2)其中"测度"的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，
立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积；
(3)区域为"开区域"；
(4)区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可
能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其
形状位置无关。
几何概型的基本特点：
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
相互独立事件的定义：
如果事件A(或B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响，这
样的两个事件叫做相互独立事件。
若A，B是两个相互独立事件，则A与
与
与B都是相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率：
两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P(A·B)=P(A)·P(B)。
若A1，A2，…An相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每
个事件发生的概率的积，即
P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)。
求相互独立事件同时发生的概率的方法：
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。
看
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