概率论与数理统计教学大纲

《概率论与数理统计》教学大纲
编写人：刘雅妹审核：全焕
一、课程性质与任务
概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质，它是为培养我国现代建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。

二、教学基本要求
本课程按要求不同，分深入理解、牢固掌握、熟练应用，其中概念、理论用“理解”、“了解”表述其要求的强弱，方法运算用“会”或“了解”一词表述。

〈一〉、随机事件与概率
⒈理解随机实验，样本空间和随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。

⒉理解概率的定义，掌握概率的基本性质，能计算古典概型和几何概型的概率，能用概率的基本性质计算随机事件的概率。

3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式。

⒋理解全概率公式和贝叶斯公式，能计算较复杂随机事件的概率。

⒌理解事件的独立性概念，能应用事件的独立性进行概率计算。

6.理解随机实验的独立性概念，掌握n重贝努里实验中有关随机事件的概率计算。

〈二〉、一维随机变量及其概率分布
⒈理解一维随机变量及其概率分布的概念.
2.理解随机变量分布函数的概念,了解分布函数的性质,会计算与随机变量有关的事件的概率.
3.理解离散型随机变量及概率分布的概念.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其它们的应用。

4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其它们的应用。

5.会求简单的随机变量的函数的分布。

〈三〉、二维随机变量及其分布
⒈了解二维（多维）随机变量的概念。

⒉了解二维随机变的联合分布函数及其性质；了解二维离散型随机变的联合概率分布及其性质；了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数及其性质，并会用这些性质计算有关事件的概率。

3．掌握二维离散型与二维连续型随机变量的边缘分布的计算，了解条件分布及其计算。

4．理解随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量独立性进行概率计算。

5．会求两个独立随机变量的简单函数的分布。

6．了解二维均匀分布与二维正态分布。

〈四〉、随机变量的数字特征
⒈理解数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数的概念。

⒉会运用它们的基本性质计算具体分布的数字特征，要掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布与指数分布等一些常用的随机变量数字特征。

⒊会根据一维随机变量的分布求其函数的数学期望，会根据二维随机变量的联合分布求其函数的数学期望。

〈五〉、大数定理与中心极限定理
⒈了解契比雪夫不等式的条件和结论。

2．了解常用的大数定理（契比雪夫定理及贝努利大数定理）成立的条件与结论。

3．了解中心极限定理、德莫夫—拉普拉斯定理和小概率事件问题并会利用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

〈六〉、数理统计的基本概念
⒈理解总体、个体、和统计量的概念。

⒉了解直方图的作法。

⒊掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算，了解经验分布函数的概念。

⒋了解2 —分布、t—分布、F—分布定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算。

5．了解正态总体的某些常用统计量的分布。

〈七〉参数估计
⒈理解参数的点估计的概念。

⒉掌握用矩估计法（一阶、二阶）和极大似然估计法计算参数的估计量。

⒊了解估计量的评选标准包括无偏性、有效性和相和性概念，并会年验证估计量的无偏性。

4.理解区间估计的概念。

5.掌握单个正态总体的均值及方差的置信区间的求法。

6.掌握两个正态总体的均值及方差的置信区间的求法。

〈八〉、假设检验
⒈理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。

⒉掌握单个和两个正态总体的均值与方差的假设检验。

⒊了解总体分布假设的2 —检验法、F—检验法。

4．了解拟和优度的检验步骤。

*〈九〉、方差分析和回归分析
⒈了解单因素的方差分析，知道双因素的方差分析。

⒉理解回归分析的基本概念，掌握一元线性回归方程、线性相关显著性的检验法。

⒊了解一些可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归，会利用线性回归方程进行预算。

〈十〉、正交实验设计
了解正交表，会查正交表，用正交表进行无（有）交互作用的正交实验
设计。

三、课程的主要内容与要求：
本课程按照非数学专业的特点，不在数学的公理化体系上下工夫，也不在古典概型的解复杂习题上纠缠，以具体实例引入，讲清有关概念和基本理论，系统而扎实地循序渐进。

（一）随机事件及其概率
随机事件（随机试验、样本空间、事件）、事件的关系和运算、概率的定义（统计定义、古典定义、几何概率、公理化定义）概率的性质、条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式和Bayes公式、独立试验序列概型。

（二）随机变量及其概率分布
随机变量、分布函数、离散型随机变量及其分布律、几种常见的离散型分布（两点分布、超几何分布、二项分布、泊松分布）、连续型随机变量及其概率密度函数、几种常见的连续型分布（均匀分布、指数分布、泊松分布、正态分布）随机变量函数的分布。

（三）多维随机向量
随机向量及其联合分布（二维联合分布函数、二维离散型及其联合分布律、二维连续型及其联合密度函数、二维正态分布）、边缘分布（离散型、连续型）、条件分布（离散型、连续型）、随机变量的独立性，随机向量的函数的分布（和、商的分布），n维随机向量（联合分布、边缘分布、条件分布、独立性、函数的分布、。

（四）随机变量的数字特征
数学期望（概念、随机变量函数的期望、性质、应用）；方差、常见分布的期望和方差、矩（原点矩和中心矩）。

、随机向量的数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、条件期望）、数理统计中几个常用分布（X2分布、T分布、F分布）。

（五）大数定律和中心极限定理
大数定律（切比雪夫不等式、切比雪夫大数定理、贝努利大数定理、辛钦大数定理）、中心极限定理、德莫夫—拉普拉斯定理。

（六）数理统计的基本概念
数理统计的基本任务、总体与个体、简单随机样本、统计量（样本均值、样本方差）、统计量的分布。

（七）参数估计
点估计的方法（矩法、极大似然法）、点估计的优劣（无偏性、有效性、一致性*）、关于一个正态总体参数的区间估计（总体均值的区间估计、总体方差的区间估计、非正态总体的情况）、抽样推断。

（八）假设检验
假设检验的概念及基本思想（小概率原理、假设检验的基本步骤、两类错误）、一个正态总体的假设检验（均值的假设检验、方差的检验、单边检验）、两个正态总体的假设检验（均值之差的检验、方差之比的检验）、总体分布的检验。

（九）线性回归分析*
线性回归分析的基本概念，样本线性回归方程的建立（最小二乘法）、线性关系的假设检验（方差分析法、样本相关系数灵敏法）、预测和控制、
曲线问题线性化、多元线性回归（样本回归方程的建立，线性关系的检验）。

四、课程内容的重点、难点及教学建议
重点：样本空间、随机事件及其概率、概率的加法和乘法公式、全概率公式、独立试验序列概型、离散型随机变量及其分布律、分布函数、连续型随机变量及其分布函数、密度函数、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布及其查表计算，期望、方差及其性质和计算，联合分布、边缘分布及其求法、中心极限定理的实质及其应用，总体和样本的概念、矩估计和极大似然估计、一个正态总体参数的区间估计和假设检验，一元线性回归的基本思想。

难点：事件的关系和运算、全概率公式的解题应用，分布函数的概念和求法，密度函数的概念，随机变量函数的分布求法，区间估计和假设检验的概念。

对于难点内容，主要是结合实例讲清概念，熟记解题步骤，要求学生在理解的基础上完成作业，对学生作业要认真批改及时纠正。

五、课时分配表：
六、必要说明：
根据专业及学时的要求不同，*号部分可选讲。

七、教材与参考书：
教材:《概率论与数理统计简明教程》，同济大学应用数学系编.高等教育出版社。

《概率论与数理统计》，盛骤等编. 高等教育出版社。

参考书目：《概率论与数理统计教程》（第三版），沈恒范.高等教育出版社，1993。