第八章+静电场+场强习题课

建立如图所示坐标系， 解:建立如图所示坐标系，取电荷元 建立如图所示坐标系 取电荷元dq
Y
q q dq = λdl = dl = adθ aθ0 aθ0 合场强沿 y 轴的反
方向,场强微元： 方向,场强微元：
d q
d q
r dE =
dq r r 2 0 4 0a πε
θ0
O
a
X
2 q d E = ∫ d c sθ = ∫ E o c sθ o 2 0 4 0a πε 2 /θ0 q =∫ c sθ θ o d 2 4 0a πε = q 2 0θ0a πε
v v 左边： 左边： ∫∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2πrh
S
+ +
v E
r > R 右边： 右边：
h
∑s内) q ( i
ε0
λh ∴ E = λ = 外 2 rε0 π ε0
方向沿半径向外
r+
+
+
o
y
x
结果同无限长带电线。 结果同无限长带电线。
9
r <R
1）电荷在柱面上均匀分布： 电荷在柱面上均匀分布： 柱面上均匀分布
2
λ r ∴ E = 内 2 2 R ε0 π
方向沿半径向外
10
均匀带电柱面 均匀带电柱面 电场图示
E λ 2πε0R O R
∝r
−1
r
均匀带电 均匀带电柱体 电场图示
λ 2 0R πε
E
∝r
R
−1
O
r
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均匀带电球体场强的分布( 例: 均匀带电球体场强的分布( R ρ ) , r r r 解：分析知场强球对称E = E r = E r0 S 高斯面： 高斯面：同心球面 r r 1 2 ϕ = ∫∫ E ⋅ dS = 4πr E = ∑ q S ε0 球 ρr 4 3 内 r < R, ∑ = ρ⋅ π r ⇒ E = q 3 3ε0 部
∑s内) q i 右边： 右边： (
ε0
=0
E 2 rh = 0 内 π
∴ E =0 内
2）电荷在柱体内均匀分布： 电荷在柱体内均匀分布： 柱体内均匀分布
1 r2 1 π 2h r 右边： 右边： ∑ qi = λh λh = 2 2 ε0 ε0 R ε0 πR h
(s内 )
r E 2 rh = λh 内 π 2 ε0R
2
θ0 / 2
si n
θ0 dE
2
θ
d E
r E =−
q 2 0θ0a πε
2
sin
θ0 r
2 j
3
有一半径为R，电荷均匀分布的薄圆盘， 例 有一半径为 ，电荷均匀分布的薄圆盘， 其电荷面密度为σ 其电荷面密度为σ . 求通过盘心且垂直盘面的 轴线上任意一点处的电场强度. 轴线上任意一点处的电场强度
r ρrr E= r 30 ε 0
P
r
E
1
球 外 部
Q r >R E= , 4 0 r2 πε
r ρ R3 r E= r 2 0 3 0r ε
点电荷
o
r
R
12
均匀带电球面 均匀带电球面 电场图示
E Q 4πε0R2 O R
∝r
−2
r
均匀带电球体 均匀带电球体 电场图示
E
Q 4 0R2 πε
∝r
R
−2
O
r
13
求均匀带电球体空腔部分的电场。球半径为R， 空腔部分的电场 例. 求均匀带电球体空腔部分的电场。球半径为 ， 在球内挖去一个半径为r（ 在球内挖去一个半径为 （r<R）的球体。 ）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。
v 证明： 用补缺法证明。 证明： 用补缺法证明。 设空腔内P点场强为 设空腔内 点场强为 E
将空腔补上，实心球 点场强为 将空腔补上，实心球p点场强为 补上的小球， 补上的小球，在p点场强为 点场强为
v ρ Ε = O P 1 3 0 ε
r E 1 r E 2
v E r1
c p o
R
v E = 2
ρ c p 3 0 ε
v E 2
实心大球，减去实心小球，即为p点的场强 实心大球，减去实心小球，即为 点的场强
E = ∫ dE x
=
σx
2ε0
(
1 x
2
−
1 x +R
2 2
R
(x2 +r2)1/2
)
o
r
dr
x
P
x
5
讨论
x << R
E=
σ E≈ 2ε0
σx
2ε0
(
1 x2
−
1 x2 + R2
)
无限大平面结果
R
x >> R
o
q E≈ 4 π ε0 x 2
点电荷结果
x
P
x
6
二、按高斯定理求解
常见的电量分布的对称性： 常见的电量分布的对称性： 球对称 均 匀 带 电 的 球体 球面 (点电荷) 点电荷) 柱对称 无限长柱体 无限长柱体 柱面 带电线 r
R
R
P
x
o
x
x
o
x
P
x
4
解： 利用均匀带电环轴线上电场结果。 利用均匀带电环轴线上电场结果。
dq = σ2πrdr
σ = q / πR
2
qx qx E= = 3 3 2 2 2 4 0r πε 4 0(R + x ) πε
细圆环在轴线上产生的电场微元： 细圆环在轴线上产生的电场微元：
xdq σ xrdr σ xd( x 2 + r 2 ) dEx = 4 πε0 ( x2 + r 2 )3 2 = 2ε ( x 2 + r 2 )3 2 = 4ε ( x 2 + r 2 )3 2 0 0
电场强度
一、按点电荷和叠加原理求解
v E= Q v r 点电荷 2 0 —点电荷 4π εr
r 1 dq r dE = r 2 0 4 0r πε —电荷在有限空间分布 电荷在有限空间分布
例.电偶极子中垂线场强。 电偶极子中垂线场强 电偶极子中垂线 半径为R 例.半径为R的均匀带电环轴线上的场强(电势)。 半径为 的均匀带电环轴线上的场强(电势) 均匀分布电荷， 例.长细杆均匀分布电荷，求延长线上距杆为 的P点处 长细杆均匀分布电荷 求延长线上距杆为a的 点处 场强(电势 电势) 场强 电势 一段细圆弧 电势)。 例.一段细圆弧，均匀分布电荷，求圆心处场强 电势 。 一段细圆弧，均匀分布电荷，求圆心处场强(电势
1
如图，电量q 例 如图，电量 均匀分布在 长为a 的细杆上， 长为 的细杆上，求杆的延 X 长线上与杆一端距离为b的 长线上与杆一端距离为 的P 点的电场强度 电场强度. 点的电场强度
dq
a b段半径为a的细圆弧 对圆心的张角为θ 的细圆弧， 例 一段半径为 的细圆弧，对圆心的张角为 0，其上均匀 分布有正电荷q，如图所示。试以a 表示出圆心o处 分布有正电荷 ，如图所示。试以 , q , θ0 表示出圆心 处 的电场强度。
r r r E = E −E 1 2
14
r ρ ρ o c E= (o −cp) = p 30 ε 30 ε
因为oc为常矢量，所以空腔内为匀强电场。 因为 为常矢量，所以空腔内为匀强电场。 为常矢量
v E r1
c
v o pE
R
2
15
n
r r ∑s内) q ( i E⋅ dS = ∫∫
S
ε0
面对称 无限大平板 无限大平板 平面
∆ S
∆ S
r
r n r n
λ E= 2 0r πε
σ σ E= 20 ε
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例：无限大带电平面的电场叠加问题
+σ
v E v E v E
−σ
v E
+σ
+σ
+σ
−σ
σ ε0
0
σ ε0
0
σ ε0
0
8
例8-11 电荷分布：无限长、均匀、圆柱形轴对称， 电荷分布：无限长、均匀、圆柱形轴对称， 圆柱半径R. 设单位长度上的电荷为λ，圆柱半径 .求距轴心 距离为r处的电场强度 处的电场强度。 距离为 处的电场强度。 解 高斯面：圆柱形轴对称 高斯面：