莱布尼茨与微积分发明权之争_纪念莱布尼茨诞生360周年_孙小礼

0 。 而对于平方数的序列 :0 , 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , …… 第一阶差 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 ……第二阶差 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … …第三阶差才消失为 0 。 对于这 两个序列 , 都有 这样的规律 :第一阶差的前 n 项的和就是序列的第 n 项的数值 。 这一讨论与他后来建立微积分是有联 系的 。
∫ 乘法的新计算法 。而如果当
yd y
=
y2 2
时
,
即立即可
有第二种解法 , 即从 d(y22)中又得出值来 。… … 符
∫ 号 表示一个总和 , d 表示一个差额 。
莱布尼茨进一步给出了微分和积分的相互关系
的公式 :
∫b a
df dx
·dx
= f (b)-ຫໍສະໝຸດ Baidu (a),
fdx
=A
(A 为曲线 f 在 [ a , b] 区间所围图形的面积 , 见
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卷 第 6年
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期 月
自 然 辩 证 法 研
Studies in Dialectics of N
究
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VoJlu.ly2,2
, N o .7 20 06
·专题研究· 文章编号 :1000-8934(2006)07 -0090 -07
收稿日期 :2006 -04 -04 作者简介 :孙小 礼(1932 -), 女 , 浙江杭 州人 , 北京大学科 学与社会 研究中心教 授 , 主 要研究方 向 :科 学思想史 、科学方 法 论 、科学与社会 。 ①转引自陈修斋 :《人类理智新论》 译者前言 :莱布尼茨及其哲学简介 , 商务印书馆 , 1982 。
(1)拜惠更斯为师 1672 年秋 , 莱布尼茨有机 会与 旅 居 巴 黎的 荷 兰 学 者 惠 更 斯(C.Huy gens, 1629 —1695)相识 。惠更斯是著名的物理学家和很 有才干的数学家 , 有很多重要的数学研究成果 。 他 送给莱布尼茨一篇论述钟摆原理的数学著作 , 莱布 尼茨拜读之后 , 被其中的数学方法深深地吸引住了 , 看到了数学在处理具体科学问题时的巨大威力 。他 诚心诚意地拜惠更斯为师 , 请求惠更斯给他讲授数 学 。惠更斯很喜欢这位好学的年轻人 , 为了试试他 的数学水平 , 就在自己正感兴趣的无穷级数方面出 了一道题目给莱布尼茨 。 在与惠更斯的谈话中 , 莱 布尼茨了解到比利时数学家 、天文学家圣文森特·格 里高利(Grégoire de Saint -Vincent , 1584 —1667) 的《几何著作》一书 。他立刻从巴黎的皇家图书馆借
图 2)
图1 正是利用了微分三角形 , 莱布尼茨得以统一处 理求面积问题 。 他得到了可求出任一平面曲线所围 面积的公式 , 能统一以前所有关于平面图形面积的 定理 。接着 , 他又得出了求曲线长度的公式 、求一条 曲线 y = f (x)绕 x 轴 旋转一周所形成的旋转体 的表面积的公式等一系列重要成果 。 1673 年 5 月左右 , 莱布尼茨已经充分了解求曲 线的切线的重要意义 , 并且领悟到求曲线切线的逆 问题可等价于通过求和来求面积 。 当考虑切线 、面 积问题时 , 他从离散序列的差值与求和逐步过渡到 任意函数的差值与求和 。他用 x 表示序列中项的次 序 , 用 y 表示这一项的值 。当他看到巴罗求曲线的切 线时 , 用 a 表示表示变量增量 , e 表示相应的函数 增量 , a 与 e 之比就是切线的斜率 , 大受启发 。于是 , 他用 x 表示序列中相邻项的序数之差 , 用 y 表示相 邻项值之差 。为了突破只在序列中考虑的限制 , 莱布 尼茨创造性地在数列的项的顺序中任意插入若干个 dx(表示两个相邻的 x 间的差), 于是由此过渡到任 意函数的 dx , 给出了 d 这个沿用至今的微分符号 。 通过 钻 研 帕斯 卡 、巴罗 和 华 里 斯(J.Wallis , 1616 —1703)等人的著作 , 尤其是引入微分三角形的 成功 , 使莱布尼茨越来越明确地意识到 , 微分(求导 数 , 主要是求切线)与积分(求和 , 主要是求面积)这 两种运算过程是互逆的 。 莱布尼茨在 1675 年 12 月 29 日的日记中有这
用到了类似巴罗的“特征三角形” 。 他把帕斯卡 、巴 罗的方法加以推广 , 对于所有的曲线都设立这种由 任意函数的 d x 、dy 和弦组成的三角形 , 弦是 T 点的 切线的一部分 。 他先称之为特征三角形 , 三角形的 每一条边都是不可分的微分量(即无穷小), 后来 , 他 又将斜边用 ds 表示 , 称为微分三角形(图 1)。
关键词 :莱布尼茨 ;牛顿 ;微积分 ;发明权 中图分类号 :N 031 文献标识码 :A
法国哲学家狄德 罗(D.Diderot , 1713 —1784) 在他 主编 的《百 科全 书》中 撰写 了“ 莱布 尼茨主 义” 条 目 , 其中写道 :“当一个人考虑到自己并把自己的才 能和莱布尼茨的才能作比较时 , 就会弄到恨不得把 书都丢了 , 去找个世界上极偏僻的角落躲藏起来以 便安静地死去 。 这个人的心灵是混乱的大敌 :最错 综复杂的事物一进入他的心灵就弄得秩序井然 。 他 把两种几乎彼此不相容的品质结合在一起了 , 这就 是探索发现的精神和讲求条理方法的精神 ;而他借 以积累起最广泛的各种不同种类知识的最坚毅又最 五花八门的研究既没有削弱这一种品质 , 也没有削 弱另一种品质 。 就哲学家和数学家这两个词所能具 有的最充分的意义来说 , 他是一位哲学家和一位数 学家 。” ①
他于当年三月回到巴黎后 , 即向惠更斯详谈了 自己在伦敦的收获 , 诸如从佩尔那里得到的指点 , 已 找到的种种书籍 , 以及由 此而产生的微积 分思想 。 惠更斯对于与微积分有关的一些问题如与运动学 、 光学有关的切线 、法线等也有一定的研究 。于是 , 两 人认真地讨论起他们共同有兴趣的微积分问题 , 在 深入地研讨许多细节时 , 莱布尼茨聚精会神地聆听 惠更斯的讲述 , 而惠更斯对莱布尼茨的一些精辟见 解给予充分肯定 , 对他理解有误的地方则予以指正 ,
(2)伦敦之行 1673 年 1 月至 3 月 , 莱 布尼茨 访问了伦敦 。他首先拜会了已通信三年而未谋面的 英国 皇家 学会秘 书 奥登 伯(H.O ldenbu rg)。 奥 登 伯 也是一位德国学者 , 于 1653 年抵达英国 , 翻译过波 义耳(R.Boy le , 1627 —1691)的著作 , 并在英国发起 组织科学团体 , 1662 年成立英国皇家学会时 , 他被 指定为两名秘书之一 。 奥登伯很器重莱布尼茨 , 热
莱布尼茨(G .W .Leibniz , 1646 -1716)作为数 学家 , 对数学发展的卓越贡献都是在 40 岁以前完成 的 , 而作为哲学家 , 他在哲学方面的重要著作则是在 50 岁以 后 , 直到 他 70 岁 逝世 之前 尚未 完 全撰 写 出来 。
1 莱布尼茨创建微积分的经过
莱布尼茨自 幼喜爱数学 , 有很好的 数学素养 。 他曾自谦地说 1672 年以前基本上不懂数学 , 其实在 他 20 岁(1666 年)所写的《论组合术》 一文中 , 就对 自然数列进行讨论 :0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ……第 一阶差 (后项减前项)1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ……第二阶差 消失为
π=1 -1/ 3 +1/5 -1/ 7 +1/ 9 -… … 后人把它称为莱布尼茨级数 。
莱布尼 茨 在 研读 帕 斯 卡(B.Pascal , 1623 1662)有关求面积的论文时 , 发现这位先辈数学家已
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莱布尼茨与 微积分发明权之争
阅此书 , 从中了解格里高利对于无穷级数的讨论和 处理方法 , 很受启发 。通过钻研 , 他不但巧妙地解决 了惠更斯给他的题目 , 而且又引伸出一些新的问题 和想法 。当时 , 关于无穷级数的理论还处于萌芽状 态 , 莱布尼茨能够独立地进行有开创性的研究 , 这使 惠更斯非常满意 , 认为莱布尼茨具有第一流的数学 头脑 。 在惠更斯的引领下 , 莱布尼茨直接进入了数 学研究的前沿 , 迅速成 长为第一流的 数学家 , 并于 1673 年 4 月被推荐为英国皇家学会会员 。
莱布尼茨与微积分发明权之争
———纪念莱布尼茨诞生 360 周年
孙 小 礼
(北京大学 科学与社会研究中心 , 北京 100871)
摘要 :莱布尼茨是卓越的数学家和哲 学家 , 他和牛顿相 互独立地 创建了 微积分 。 17 世纪 末 , 在 欧洲爆 发了一 场 激烈的 旷日持久的微积分发明权之争 。 通过争 论和调 查 , 人们公认 :莱 布尼茨 和牛顿 都是微 积分的发 明人 , 他们 的 微积分各有特色 。
情地把这位年轻人介绍给英国的学术界 , 邀请他出 席英国皇家学会的会议 , 直接与许多著名学者交往 , 还帮助他搜集各种文献资料 , 使莱布尼茨很快熟悉
当时处于科学前沿领域的研究课题 。这些对于莱布 尼茨进行科学创造 , 特别是创建微积分起了重要的 促进作用 。
通过奥登伯 , 莱布尼茨结识了英国著名数学家 佩尔(J.Pell , 1611 -1685)。 佩尔有收藏数学文献 的爱好 , 熟悉几乎所有数学文献 , 并且自己拥有大量 藏书 , 包括一些数学家的手稿 , 其中就有微积分的先 驱费 马(Pierre de F ermat , 1601 —1665)的 论文 手 稿 。更为难得的是 , 佩尔在这些手稿上写了许多极 其有价值的注释 。莱布尼茨向佩尔汇报自己对于数 学的见解 、在有限差计算 、级数求和方面的工作 , 请 求指教 。佩尔赞赏莱布尼茨的才华和数学悟性 , 细 心地告诉莱布尼茨 , 在他的工作中有哪一些已由前 人做过了 , 并推荐给他一批重要的参考书籍 , 大都 是与微积分的前期工作有关的最新著述 。 例如 , 尼 古拉· 麦卡托(Nicolaus Mercator , 1619 -1687)在 1664 年出版的《天文学新假说》一书 , 阐释和发展了 开普勒关于行星运动的定律 , 对牛顿的天体运动理
莱布尼茨把惠更斯给他的题目作为一个级数求 和的特例 , 逐步引伸为更一般的级数求和问题 。 他 将格里高利的方法加以创造性地推广 , 得到许多新 结果 。 而他每推导出一个新的结果 , 都要详细地向 惠更斯报告 。惠更斯为他不断有所创新而感到由衷 的高兴 , 不但与他同享成功的欢乐 , 而且鼓励他将自 己的独特工作发表出来 。 到 1674 年 , 莱布尼茨在无 穷级数方面的工作已渐为学术界所知晓 , 在汉诺威 至今还保存有莱布尼茨研究无穷级数的两份手稿 。
莱布尼茨于 1672 -1676 年旅居巴黎 , 当时巴 黎是欧洲的学术中心 , 在这里他大大开阔了眼界 , 活 跃了思想 , 为他一生的学术事业打下了良好基础 , 特
别对他在数学和哲学方面的创造产生了决定性的影 响 。他在这一时期的最突出的科学贡献就是初步创 建了微积分 , 同时 , 他也步入了哲学家的行列 。
并告诉他应该如何理解有关的概念和方法 。惠更斯 还建 议他 应 进 一 步 详 细 阅 读 笛 卡 儿 (R.Descar tes , 1596 —1650)、卡瓦列里(B.Cavalieri , 1598 -1647)、 詹姆斯·格里哥利(James Gregory , 1638 -1675)、圣 文森特·格里哥利等人的有关著作 。
论产生过重要影响 ;1668 年出版的《对数技术》 , 书 中给出了求双曲线面积的方法 , 这是引导牛顿发明 微积分的重要线索之一 。 无疑 , 这部书对于莱布尼 茨思考微积分方面的问题也起了先导作用 。 再如 , 巴罗(I.Barrow , 1630 —1677)1669 年的 《光 学讲 义》和 1670 年的《几何讲义》 。 巴罗是牛顿的老师 , 在科学史上以发现和培养牛顿并主动让贤而著称 。 巴 罗在《几何 讲义》 中提 出了“ 微 分三 角形” 的方 法和 思想 , 把求曲线的切线和求曲线下面积这两类问题 联系起来 , 看到两者之间的互逆关系 , 虽然还局限在 几何学中 。 牛顿和莱布尼茨都从巴罗的书中吸取过 营养 , 得以形成各自微积分思想的重要方面 。此外 , 还有 布 瑞基 (H.Brigg s, 1561 —1630)的《 对数 算 术》 、蒙哥利(P.M engoli , 1625 —1685)的《算术求面 积新法》等 。 莱布尼茨自己也到英国皇家学会图书 馆查找了有关的参考书籍 。
(3)创造性研究 通过阅读和研究这些与微积 分内容相关的著作 , 莱布尼茨掌握了导致微积分产 生的一些基本思路和方法 。
莱布尼茨的创造性研究 , 首先是试图寻找一种 求面积的通用方法 , 并且谋求具有普遍性的数学表 达式 。而他的研究路径则是从“求单位圆的四分之 一面积”这样的具体问题开始的 。 在充分利用前人 成果的基础上 , 他把原先“一把钥匙开一把锁”的个 别方法 、个别面积公式加以统一化 、普遍化 , 导出了 函数的积分概念 。在研究过程中 , 他充分运用了无 穷级数 , 还获得了一些重要的展开式 。例如 , 他得到 过一个关于 π的十分漂亮的表达式 :