浙教版九年级上册第四章相似三角形 专题：相似三角形及其判定练习
浙教新版九年级上册《4.5 相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷(3)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.5相似三角形的性质及其应用》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上，则的重心是()A.点GB.点DC.点ED.点F2.如图，在中，E，G分别是AB，AC上的点，，的平分线AD交EG于点F，若，则()A.B.C.D.3.如图，的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作交AD于点F，则FG：AG是()A.1：4B.1：3C.1：2D.2：34.如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，，交BC于点F，则与的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
5.如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点若，则EF的长是______.6.如图，AD是的高，AE是的外接圆的直径，且，，，则的直径______.7.点G是的重心，，如果，那么AB的长是______.8.如图，E，F分别为AC，BC的中点，D是EC上一点，且若，，则BE的长为______.9.如图，在等腰中，，，点E在边CB上，，点D在边AB上，，垂足为F，则AD的长为______.10.如图，点D在的边BC上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于______.三、解答题：本题共3小题，共24分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分已知，如图，在中，CD是斜边上的中线，交BC于点F，交AC的延长线于点∽吗？为什么？你能推出结论吗？请试一试．12.本小题8分已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，，AD与CE相交于点F，求证：；求证：13.本小题8分如图，在中，，，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接若与相似，求t的值；连接AN，CM，若，求t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，如图所示，则AN与BM的交点为D，故点D是的重心，故选：取BC的中点N，取AC的中点M，连接AN，BM，然后根据图形可知AN与BM的交点为D，即可得到点D 为的重心．本题考查三角形的重心，解答本题的关键是明确三角形的重心是三角形中线的交点．2.【答案】C【解析】解：，，，，∽，故选：根据两组对应角相等可判断∽，可得，则可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理的应用，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，根据重心的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：的两条中线AD和BE相交于点G，点G是的重心，，，，，：：4，故选：4.【答案】C【解析】解：，，，，∽，且相似比为2，，，又，∽，易证∽，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF的长，即可判定∽，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证∽是解题的关键．5.【答案】3【解析】解：点D，E分别是BC，AC的中点，，且，，，，故答案为：由题意可知，DE是的中线，则，且，可得，代入BF的长，可求出EF的长，进而求出BE的长．本题主要考查三角形中位线，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∽首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于AE的比例式，计算即可．【解答】解：由圆周角定理可知，，，，∽：：AC，，，，：：5，，故答案为：7.【答案】6【解析】解：如图，AD为AB边上的中线，点G是的重心，，，，故答案为先根据三角形重心的性质得到，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到AB的长．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8.【答案】【解析】解：，，，∽，，，，E，F分别为AC，BC的中点，，，解得：故答案为：由可得：，结合公共角，可证得∽，从而利用相似三角形的对应中线之比等于相似比即可求BE的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是明确相似三角形的对应中线的之等于相似比．9.【答案】【解析】解：过D作于H，在等腰中，，，，，，，，，，∽，，，，，，，故答案为：过D作于H，根据等腰三角形的性质得到，，求得，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】【解析】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，点E、F分别是和的重心，，，，，，，，，，∽，，，故答案为：连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．11.【答案】证明：，，，，，∽；为的中线，，，又，，又是公共角，∽，，即【解析】根据题意，得，，则，易证∽；由中，CD是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以∽，即可得出；本题主要考查了直角三角形和相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．12.【答案】证明：，，，，，，∽，，；∽，，即，，，∽，，，，【解析】根据等腰三角形的性质得到，，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到；根据相似三角形的性质得到，即，推出∽，根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得∽是解题的关键．13.【答案】解：，，，，由题意得，，当∽时，，即，解得：；当∽时，，即，解得：，综上所述，与相似时，t的值为或；如图，过点M作于点D，，，∽，，，，，，，，，，，，，，，∽，，即，解得：【解析】根据勾股定理求出AB，分∽、∽两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；过点M作于点D，分别证明∽，∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．。
度浙教新版九年级数学上第4章相似三角形 4.4两个三角形相似的判定 同步练习(有答案)-精选文档
浙教新版数学九年级上学期《4.4两个三角形相似的判定》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=3．如图，点P在△ABC的边AC上，如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA 5．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是（）A．B．C．D．．6．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②④B．①③C．①②④D．②③④7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD 的长为（）A．1B．C．2D．9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．B．2C．3D．10．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且==，则S△ADE：S四边形BCED的值为（）A．1：B．1：3C．1：8D．1：911．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：112．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．14．如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP 相似时，DP=．18．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．19．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若BD=1，AD=3，则CD=．三．解答题（共8小题）21．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．23．如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动，如果E、F同时出发，用t（0≤t≤6）秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？25．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？26．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．27．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，M是AD的中点，N，E是BC的三等分点，P是AB上一动点．（1）当MP∥BD时，求MP的长；（2）是否存在点P，满足△AMP与一点B，N，P为顶点的三角形相似？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．28．已知：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC=BC时，且CE=EA时，则有EF=EG；（1）如图乙①，当AC=2BC时，且CE=EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF EG；（2）如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC=mBC时且CE=nEA时，则线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论（不用证明）．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．D．4．D．5．C．6．A．7．C．8．C．9．A．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．2或4.5．14．4．15．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时16．﹣1，0）；（1，0）．17．1或4或2.5．18．．19．12．20．9三．解答题21．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴或，解得：BP=2或12或，即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形．22．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．23．解：根据题意，可分为两种情况：①若△EFC∽△ACD，则=，所以=，解得t=3，即当t=3时，△EFC∽△ACD．②若△FEC∽△ACD，则=，所以=，解得t=1.2，即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．24．解：①若△POQ∽△AOB时，=，即=，整理得：12﹣2t=t，解得：t=4．②若△POQ∽△BOA时，=，即=，整理得：6﹣t=2t，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均符合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．25．解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．26．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．27．解：（1）∵PM∥BD，AM=MD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵BD==10，∴PM=5．（2）存在点P使得两三角形相似．∵BN=4，设AP=x，则PB=8﹣x，当△MAP∽△NBP时，解得x=．当△MAP∽△PBN时，解得x=2或6，∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为或2或4．28．图甲：连接DE，∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=EC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴EF=EG．（1）EF=EG；（2）解：EF=EG．证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，即EF=EG；（3）由（1）当AC=2BC时，且CE=EA时，EF=EG，当AC=2BC时，且CE=2EA时，EF=EG，可以得出：当AC=mBC时且CE=nEA时，EF=EG．。
浙教版九年级上册数学第4章 相似三角形含答案(配有卷)
浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形ABCD中，，，将其折叠使AB落在对角线AC 上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A. B. C. D.2、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3、如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法：① ；②连接，，则为直角三角形；③ ；④若，，则的长为，其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.14、如图，在中，，则DF的长为（）A.4B.C.D.35、如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG 分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为何？（）A. B. C. D.6、如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1， l2， l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，DE=4，则DF的长是（）A. B. C.10 D.67、如图，已知l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A，B，C，直线DF分别交l1、l2、l3于D，E，F，DE=4，EF=6，AB=5，则BC的长为（）A. B. C. D.8、如图，直线l1∥l2∥l3 ，直线AC分别交l1 ， l2 ， l3于点A，B，C；直线DF分别交l1 ， l2 ， l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）A. B.2 C. D.9、如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为（）A. B. C. D.10、两相似三角形的周长之比为1：4，那么他们的对应边上的高的比为（）A.1∶4B.1∶2C.2∶1D. ∶211、如图，在△ABC中，∠C=90°，过重心G作AC、BC的垂线，垂足分别为D、E，则四边形GDCE的面积与△ABC的面积之比为( )A. B. C. D.12、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（）A.3S1=2S2B.2S1=3S2C.2S1= S2D. S1=2S213、如图，一组互相平行的直线a，b，c分别与直线l1， 12交于点A，B，C，D，E，F，直线11， l2交于点O，则下列各式不正确的是（）A. B. C. D.14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在反比例函数的图像上，纵坐标分别为1和3，则k的值为（）A. B. C.2 D.315、如图，⊙O的直径为6，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，P在半圆上运动，CP⊥CD交PB的延长线于D点．当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大为（）A.36B.24C.18D.12二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，作EF⊥AE交正方形的外角平分线于点F，连接AF，交CD于点H，连接EH.若AB＝4，则EH的长为________.17、如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是________.18、如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝________.19、如图所示，已知点E，F分别是△ABC的边AC，AB的中点，BE，CF相交于点G，FG＝1，则CF的长为________．20、若a：b：c=3：2：5，则=________．21、如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，已知点A的坐标为（1，2），则点C的坐标是________．22、如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 的坐标为________ ．23、我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为________步。
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 单元练习(含答案)
浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC = cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有 ．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。
浙教版九年级上册第四章相似三角形 专题：相似三角形及其判定练习
专题：相似三角形及其判定一．选择题1. 如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A. ：2B. 1：C. ：D. ：22.如图，在直角坐标系xOy中，A（-4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（）A. （1，）B. （，）C. （，2）D. （，2）3.P是△ABC一边上的一点（点P不与点A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有（）A.1条B.2条C.3条D.4条4.在等边三角形ABC中，D为AC上一点，且，要在AB上取一点E，使△ADE∽△CDB，则等于（）A. B. C. D. 15. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC 于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）．A.2B.3C.4D.56. 在△ABC中，AB=m，AC=n，P是AB的中点，过点P的直线交边AC于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（）A. B. C.或 D.或7. 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若=2，则的值为（）A. B. C. D.8. 如图，点O为弧AB所在圆的圆心，OA⊥OB，点P在弧AB上，AP的延长线与OB的延长线交于点C，过点C作CD⊥OP于D．若OB=BC=1，则PD的长为（）A. B. C. D.二．填空题9. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=____．10. 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠BAE=∠DAC，已知AB=7，AD=10，则CE=____．11. 如图，正方形CDEF的顶点D、E在半圆O的直径上，顶点C、F在半圆上，连接AC、BC，则=____.12. 如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=____．13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为______；当时，为______．（用含n的式子表示）14. 如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE=______．15. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（）16. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于点H，点O是AB中点，连接OH，则OH=___________.三．解答题17. 在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△BED.18. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G.（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似.19. 在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，=3，连结CH并延长交AB于点G，连结GE并延长交AD的延长线于点F.（1）求证：=.（2）若∠CGF=90°，求的值.20.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：=GE·GF．21.已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作CD平行于AB交⊙O于点D，过点D作DE 垂直于点E，且CD=DE（1）求证：AD2=2AE•AB；（2）若△ABC的面积是50，求△ACD的面积．23. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．(1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；(2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．24. 如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．(1) 点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；(2) 在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．25.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;(3)如图2,在△ABC中,AC=2,,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.参考答案1. D 2. B 3. C 4. C 5.B 6.D 7. B8.C9. 4．10. 5.1．11. .12.．13. ，．14. 1或．15.，16. .17.证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED.18. （1）证明：∵BF∥DE，∴==.∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF.在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5.∵点的是AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=2.5，∴∠DCB=∠DBC.∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=BD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，则BP=.综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似.19. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴=；（2）作EM⊥AB于M，如图所示：则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：==3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴=，∴EG·EF=DE·EC，∵CD∥AB，∴==，∴=，∴EF=EG，∴EG·EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a ，∴==3.20.解析（1）根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠DCG，∴AG=CG；（2）∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠F，∵∠AGE=∠AGE，∴△AEG∽△FGA，∴＝，∴=GE·GF.21. 证明：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF=∠ACG，∵=，∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，∴，∴，∴CG2=DF•BG．22. 解：（1）连接BD，∵AB∥DC，∴=，∴∠ACD=∠BAC，∴=，∴BD=AC，∴BD=AC=AB，∵△BED为直角三角形，∴BD2=BE2+DE2，BD2=AB2=（AB-AE）2+DE2=AB2-2AB•AE+AE2+DE2，2AE•AB=AE2+DE2，∵△AED为直角三角形，∴AD2=AE2+DE2，∴AD2=2AE•AB；（2）过C作CF⊥AB，则BF=AE，CD=EF，∴BE=CD+BF=CD+AE，∴（CD+AE）2+DE2=AC2，即[CD+（AB-CD）]2+CD2=AB2，即3AB2-2AB•CD-5CD2=0，∴（3AB-5CD）•（AB+CD）=0，∵CD 不等于负数，∴CD=AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴S△ABC=AB•DE=50，∴S△ACD=DC•DE=AB•DE=S△ABC=30．23.（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BME=∠NEC，而∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE．（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴BECN =EMNE又∵BE=EC，∴ECCN =EMNE则△ECN与△MEN中有ECCN =EMNE，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．24. (1)证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG(2)解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴= ，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．25.(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC 不是等腰三角形,∵CD 平分∠ACB,.∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD 为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD ∽△BAC.∴CD 是△ABC 的完美分割线.(2)当AD=CD 时(如图①),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.当AD=AC 时(如图②),.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD 时(如图③),∠ADC=∠A=48°.∵△BDC ∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC=∠BCD=48°与∠ADC>∠BCD 矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD ∽△BAC,,设BD=x(x>0),,解得,∵x>0,.∵△BCD ∽△BAC,,.1、最困难的事就是认识自己。
度浙教新版九年级数学上第4章相似三角形 4.4两个三角形相似的判定 同步练习(有答案)
度浙教新版九年级数学上第4章相似三角形4一．选择题〔共12小题〕1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个2．以下条件不能判定△ADB∽△ABC的是〔〕A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=3．如图，点P在△ABC的边AC上，假设添加一个条件后可以失掉△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的选项是〔〕A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么以下结论不一定正确的选项是〔〕A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA 5．如图，在△ABC中，点D、E、F区分在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将以下四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是〔〕A．B．C．D．．6．以下说法：①一切等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是〔〕A．②④B．①③C．①②④D．②③④7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE 相似，还需满足以下条件中的〔〕A．=B．=C．=D．=8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，那么CD 的长为〔〕A．1B．C．2D．9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，那么线段AC的长为〔〕A．B．2C．3D．10．如图，在△ABC中，点D，E区分在边AB，AC上，且==，那么S△ADE：S四边形BCED的值为〔〕A．1：B．1：3C．1：8D．1：911．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，衔接AE交BD于点F，那么△DEF的面积与△BAF的面积之比为〔〕A．3：4B．9：16C．9：1D．3：112．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，假定∠APD=60°，那么CD的长是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共8小题〕13．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．14．如图，：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB 与△ADC相似．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．〔只需写出一种〕16．如图，在平面直角坐标系中有两点A〔4，0〕、B〔0，2〕，假设点C在x轴上〔C与A不重合〕，当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似〔至少找出两个满足条件的点的坐标〕．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP 相似时，DP=．18．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，衔接DF．假=1，那么S△ADF的值为．定S△AEF19．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，那么平行四边形ABCD的面积为．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，假定BD=1，AD=3，那么CD=．三．解答题〔共8小题〕21．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，〔1〕求证：AC2=AB•AD；〔2〕求证：△AFD∽△CFE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B末尾向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C末尾向点D以每秒4个单位长度的速度运动，假设E、F同时动身，用t〔0≤t≤6〕秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，在平面直角坐标系中，OA=12厘米，点P从点O末尾沿OA边向点A 以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B末尾沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．假设P、Q同时动身，用t〔秒〕表示移动的时间〔0≤t≤6〕，那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？25．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A动身，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时动身，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应中止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？26．如图，△ABC是等边三角形，点D、E区分在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．〔1〕试说明△ABD≌△BCE；〔2〕△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．27．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，M是AD的中点，N，E是BC的三等分点，P是AB上一动点．〔1〕当MP∥BD时，求MP的长；〔2〕能否存在点P，满足△AMP与一点B，N，P为顶点的三角形相似？假定存在，求出AP的长；假定不存在，说明理由．28．：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC=BC时，且CE=EA时，那么有EF=EG；〔1〕如图乙①，当AC=2BC时，且CE=EA时，那么线段EF与EG的数量关系是：EF EG；〔2〕如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2EA时，请探求线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；〔3〕当AC=mBC时且CE=nEA时，那么线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论〔不用证明〕．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．D．4．D．5．C．6．A．7．C．8．C．9．A．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．2或4.5．14．4．15．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时16．﹣1，0〕；〔1，0〕．17．1或4或2.5．18．．19．12．20．9三．解答题21．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴或，解得：BP=2或12或，即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形．22．〔1〕证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；〔2〕证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．23．解：依据题意，可分为两种状况：①假定△EFC∽△ACD，那么=，所以=，解得t=3，即当t=3时，△EFC∽△ACD．②假定△FEC∽△ACD，那么=，所以=，解得t=1.2，即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．24．解：①假定△POQ∽△AOB时，=，即=，整理得：12﹣2t=t，解得：t=4．②假定△POQ∽△BOA时，=，即=，整理得：6﹣t=2t，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均契合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．25．解：设运动了ts，依据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，那么AQ=AC﹣CQ=16﹣3t〔cm〕，当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．26．〔1〕证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；〔2〕答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．27．解：〔1〕∵PM∥BD，AM=MD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵BD==10，∴PM=5．〔2〕存在点P使得两三角形相似．∵BN=4，设AP=x，那么PB=8﹣x，当△MAP∽△NBP时，解得x=．当△MAP∽△PBN时，解得x=2或6，∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为或2或4．28．图甲：衔接DE，∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=EC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG〔ASA〕，∴EF=EG．〔1〕EF=EG；〔2〕解：EF=EG．证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，即EF=EG；〔3〕由〔1〕当AC=2BC时，且CE=EA时，EF=EG，当AC=2BC时，且CE=2EA时，EF=EG，可以得出：当AC=mBC时且CE=nEA时，EF=EG．。
浙教版初三上册数学第四章相似三角形的性质及其应用第2课时相似三角形的周长比、面积比随堂练习(解析版)
浙教版初三上册数学第四章41．[2021·重庆B 卷]已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△A BC 与△DEF 的面积比是( A )A. 1∶4B. 4∶1C. 1∶2D. 2∶1【解析】 依照相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S △ABC ∶S △DEF ＝1∶4.2．[2021·重庆A 卷]若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高线的比为( A )A ．3∶2B ．3∶5C ．9∶4D ．4∶9【解析】 因为△ABC ∽△DEF ，依照相似三角形的性质“相似三角形对应高线之比等于相似比”，故选A.3．如图4－5－10，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( D )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB AC D ．S △ABC ＝3S △ADE【解析】 ∵在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥B C ，DE ＝12BC ，∴BC ＝2DE ，故A 正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，故B 正确；∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即AD AE ＝AB AC ，故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∶BC ＝1∶2，∴S △ABC ＝4S △ADE ，故D 错误． 图4－5－10 图4－5－114．[2021·湘西]如图4－5－11，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为( D )A ．3B ．5C ．6D ．8【解析】 由DE ∥BC ，DB ＝2AD ，得△ADE ∽△ABC ，AD AB ＝13. ∵S △ADE ＝1，S △ADE S △ABC ＝19，∴S △ABC ＝9. ∴S 四边形DBCE ＝SABC －S △ADE ＝8.故选D.5．[2021·连云港]如图4－5－12，已知，△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( D ) A.BC DF ＝12 B.∠A 的度数∠D 的度数＝12 C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12 D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝12图4－5－12 图4－5－136．[2021·莘县一模]如图4－5－13，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，则DE ∶EC ＝( A )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEF ，∠AFB ＝∠DFE ，∴△DEF ∽△BAF.∵S △DEF ∶S △ABF ＝4∶25，∴DE AB ＝25，∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3.7．一副三角板叠放如图4－5－14，则△AOB 与△DOC 的面积之比为__1∶3__．图4－5－148．已知△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，△ABC 的周长是12 cm ，面积是30 cm2.(1)求△DEF 的周长；(2)求△DEF 的面积． 解：(1)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的周长为12×23＝8(cm)；(2)∵△ABC ∽△DEF ，DE AB ＝23，∴△DEF 的面积为30×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1313(cm2)． 9．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35 cm 和14 cm.(1)已知它们的周长相差60 cm ，求这两个三角形的周长；(2)已知它们的面积相差588 cm2，求这两个三角形的面积．解：(1)∵两个相似三角形的对应边长分别是35 cm 和14 cm ，∴这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的周长比为5∶2.设较大的三角形的周长为5x cm ，较小的三角形的周长为2x cm. ∵它们的周长相差60 cm ，∴5x －2x ＝60，∴x ＝20，∴5x ＝5×20＝100，2x ＝2×20＝40，∴较大的三角形的周长为100 cm ，较小的三角形的周长为40 cm ；(2)∵这两个三角形的相似比为5∶2，∴这两个三角形的面积比为25∶4.设较大的三角形的面积为25x cm2，较小的三角形的面积为4x cm2. ∵它们的面积相差588 cm2，∴(25－4)x ＝588，解得x ＝28，∴25x ＝25×28＝700，4x ＝4×28＝112，∴较大的三角形的面积为700 cm2，较小的三角形的面积为112 cm2.10．如图4－5－15，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )A ．1∶ 3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4图4－5－15 图4－5－1611．[2021·咸宁]如图4－5－16，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连结DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB ；④S △ODE S △ADE ＝13.其中正确的个数有( C )A. 1个B. 2个 C ．3个 D. 4个【解析】 ①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，即DE BC ＝12，故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ， ∴S △DOE S △COB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，故②错误； ③∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝DE BC ，∵△DOE ∽△COB ，∴OE OB ＝DE CB ，∴AD AB ＝OE OB ，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∴O是△ABC的重心，依照重心性质，得BO＝2OE，△ABC的高线长＝3△BOC的高线长，∵△ABC与△BOC同底(BC)，∴S△ABC＝3S△BOC，由②和③，得S△ODE＝14S△COB，S△ADE＝14S△ABC，∴S△ODES△ADE＝13.故④正确．综上所述，①③④正确．故选C.12．如图4－5－17，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为(C)A．5 B．6 C．7 D．12图4－5－17 第12题答图【解析】如答图，可知△DEF∽△HMN，∴EFMN＝DFHN，即3x－4＝x－34，解得x＝7(x＝0舍去)．故选C.13．[2021·河北区校级模拟]如图4－5－18，AD＝DF＝FB，DE∥FG ∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝__1∶3∶5__．图4－5－18【解析】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD＝DF＝FB，∴AD∶AF∶AB＝1∶2∶3，∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC＝1∶4∶9，∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ＝1∶3∶5.14．如图4－5－19，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC ＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F.E是AB的中点，连结EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．图4－5－19解：(1)证明：∵DC＝AC，∴△ACD为等腰三角形．又∵CF平分∠ACD，∴F 为AD 的中点．又∵E 为AB 的中点，∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF ∥BC ；(2)由(1)得EF ∥BC ，且EF BD ＝12，∴△AEF ∽△ABD ，∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4，∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝3∶4.又∵S △ABD ＝6，∴S 四边形BDFE ＝92.15．如图4－5－20，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB ＝30°.(1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于E ，交⊙O 于D ，连结C D(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．图4－5－20 第15题答图解：(1)如答图所示；(2)如答图，连结OD ，设⊙O 半径为r ， 在△ABE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CDE ，∠AEB ＝∠DEC ， ∴△ABE ∽△DCE.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝r.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝45°，又∵∠ABD ＝∠ACD ，∠ACD ＝∠ODC ＝45°，∴∠DOC ＝90°.∵在Rt △ODC 中，DC ＝OD2＋OC2＝2r ， ∴S △ABE S △CDE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 2r 2＝12. 16．[2021·梅州改编] 如图4－5－21，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，动点M 从点B 动身，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 动身，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时刻为t(s)(0≤t ≤5)，连结MN.图4－5－21(1)若BM ＝BN ，求t 的值；(2)若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值与△MBN 和△ABC 的周长比；(3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？要求出最小值．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5 cm ，∠A ＝60°，∴A B ＝10 cm ，BC ＝5 3 cm.由题意，得BM ＝2t(cm)，CN ＝3t(cm)，BN ＝(53－3t)cm ， 由BM ＝BN ，得2t ＝53－3t ，解得t ＝532＋3＝103－15； (2)①当△MBN ∽△ABC 时， ∴MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝53－3t 53，解得t ＝52， ∴MB AB ＝12，∴△MBN 和△ABC 的周长比为12；②当△NBM ∽△ABC 时， NB AB ＝BM BC ，即53－3t 10＝2t 53，解得t ＝157， ∴BM BC ＝237，∴△MBN 和△ABC 的周长比为237. 综上所述，当t ＝52 s 或t ＝157 s 时，△MBN 与△ABC 相似，对应的△MBN 和△ABC 的周长比为12或237；(3)如答图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，可得MD ＝t cm.第16题答图设四边形ACNM 的面积为y cm2，∴y ＝S △ABC －S △BMN ＝12AC ·BC －12BN ·MD ＝12×5×53－12×(53－3t)t＝32t2－532t ＋2532＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋758 3. ∴依照二次函数的性质可知，当t ＝52时，y 的值最小．∴当t ＝52 s 时，四边形ACNM 的面积最小，最小为758 3 cm2.。
浙教版九年级上册第四章相似三角形 专题：相似三角形及其判定练习
专题：相似三角形及其判定一．选择题1. 如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A. ：2B. 1：C. ：D. ：22.如图，在直角坐标系xOy中，A（-4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（）A. （1，）B. （，）C. （，2）D. （，2）3.P是△ABC一边上的一点（点P不与点A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有（）A.1条B.2条C.3条D.4条4.在等边三角形ABC中，D为AC上一点，且，要在AB上取一点E，使△ADE∽△CDB，则等于（）A. B. C. D. 15. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC 于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）．A.2B.3C.4D.56. 在△ABC中，AB=m，AC=n，P是AB的中点，过点P的直线交边AC于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（）A. B. C.或 D.或7. 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若=2，则的值为（）A. B. C. D.8. 如图，点O为弧AB所在圆的圆心，OA⊥OB，点P在弧AB上，AP的延长线与OB的延长线交于点C，过点C作CD⊥OP于D．若OB=BC=1，则PD的长为（）A. B. C. D.二．填空题9. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=____．10. 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠BAE=∠DAC，已知AB=7，AD=10，则CE=____．11. 如图，正方形CDEF的顶点D、E在半圆O的直径上，顶点C、F在半圆上，连接AC、BC，则=____.12. 如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=____．13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为______；当时，为______．（用含n的式子表示）14. 如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE=______．15. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（）16. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于点H，点O是AB中点，连接OH，则OH=___________.三．解答题17. 在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△BED.18. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G.（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似.19. 在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，=3，连结CH并延长交AB于点G，连结GE并延长交AD的延长线于点F.（1）求证：=.（2）若∠CGF=90°，求的值.20.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：=GE·GF．21.已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作CD平行于AB交⊙O于点D，过点D作DE 垂直于点E，且CD=DE（1）求证：AD2=2AE•AB；（2）若△ABC的面积是50，求△ACD的面积．23. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．(1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；(2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．24. 如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．(1) 点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；(2) 在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．25.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;(3)如图2,在△ABC中,AC=2,,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.参考答案1. D 2. B 3. C 4. C 5.B 6.D 7. B8.C9. 4．10. 5.1．11. .12.．13. ，．14. 1或．15.，16. .17.证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED.18. （1）证明：∵BF∥DE，∴==.∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF.在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5.∵点的是AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=2.5，∴∠DCB=∠DBC.∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=BD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，则BP=.综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似.19. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴=；（2）作EM⊥AB于M，如图所示：则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：==3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴=，∴EG·EF=DE·EC，∵CD∥AB，∴==，∴=，∴EF=EG，∴EG·EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a ，∴==3.20.解析（1）根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠DCG，∴AG=CG；（2）∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠F，∵∠AGE=∠AGE，∴△AEG∽△FGA，∴＝，∴=GE·GF.21. 证明：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF=∠ACG，∵=，∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，∴，∴，∴CG2=DF•BG．22. 解：（1）连接BD，∵AB∥DC，∴=，∴∠ACD=∠BAC，∴=，∴BD=AC，∴BD=AC=AB，∵△BED为直角三角形，∴BD2=BE2+DE2，BD2=AB2=（AB-AE）2+DE2=AB2-2AB•AE+AE2+DE2，2AE•AB=AE2+DE2，∵△AED为直角三角形，∴AD2=AE2+DE2，∴AD2=2AE•AB；（2）过C作CF⊥AB，则BF=AE，CD=EF，∴BE=CD+BF=CD+AE，∴（CD+AE）2+DE2=AC2，即[CD+（AB-CD）]2+CD2=AB2，即3AB2-2AB•CD-5CD2=0，∴（3AB-5CD）•（AB+CD）=0，∵CD 不等于负数，∴CD=AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴S△ABC=AB•DE=50，∴S△ACD=DC•DE=AB•DE=S△ABC=30．23.（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BME=∠NEC，而∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE．（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴BECN =EMNE又∵BE=EC，∴ECCN =EMNE则△ECN与△MEN中有ECCN =EMNE，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．24. (1)证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG(2)解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴= ，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．25.(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,.∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC.∴CD是△ABC的完美分割线.(2)当AD=CD时(如图①),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.当AD=AC时(如图②),.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD时(如图③),∠ADC=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC=∠BCD=48°与∠ADC>∠BCD矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,,设BD=x(x>0),,解得,∵x>0,.∵△BCD∽△BAC,,.。
浙教版九年级数学上册第四章：相似三角形基本模型练习题(含答案)
相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF=，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BCAEDB AD B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABC ACDBC AHS BCS CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．图3：“燕尾”型CDEB A考点一：相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【答案】∵AD AC AE AB ⋅=⋅ ∴AD ABAE AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE ∆∽BAC ∆∴ADE B ∠=∠ 【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【答案】∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠ ∴ABD ∆∽CBE ∆∴BE BCBD AB=∵EBD CBA ∠=∠ ∴BED ∆∽BCA ∆∴11322DEDE AC AC===⇒== 【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，60BAP ABP ABC ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅．【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【答案】45︒ 【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA MPED C BA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴CM PC BD PB =， ∵CM AB ∥，∴CEM AED ∆∆∽， ∴CM AD CE AE =， ∵BD CE =， ∴CM CM CE BD =， ∴PC AD PB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BD CP CM =， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BD CP CE= 【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBAK HF N MG ED CBA【答案】过M ，N 分别作AC 的平行线交AB 于H ，G 两点，NH 交AM 于K ，∵BM MN NC ==， ∴BG GH HA ==，易知12HK GM =，12GM HN =，∴14HK HN =，即13HK KN =，又∵DF HN ∥， ∴13DE HK EF KN ==，即3EF DE =. 考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。
浙教新版九年级上册《4.3 相似三角形》2024年同步练习卷(1)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.3相似三角形》2024年同步练习卷（1）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知∽，，，则()A.2B.C.3D.2.如图，∽，若，，，则AB的长是()A.3B.2C.5D.43.如图，∽，则下列式子：①；②；③其中一定成立的有()A.3个B.1个C.2个D.0个4.如图，平行四边形ABCD中，，，点E，F分别在AD，AB上，若，∽，则()A.1B.2C.4D.5二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
5.如果两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是、，那么另一个三角形的最大角为______度.6.如图，∽，，，，CA的长为______.7.在中，，，若和它相似的最长的一边是36，则最短的一边是______.8.的三边长分别为，，2，的两边长分别为1和，如果∽，那么的第三边的长应等于______.9.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，∽，，，，则______.三、解答题：本题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题8分如图所示，已知：∽，，，，，求AB的长；求CD的长；求的大小.11.本小题8分如图，BC，AD相交于点C，∽，，，求CE的长；求证：12.本小题8分如图，正方形ABCD的边长为1，E是边CD上的一点，F是边CB延长线上的一点，如果∽∽，且、、是对应角.求DE的长.13.本小题8分如图，在中，AD平分交BC于点点E、F分别在边AB、AC上，且，交线段AD于点G，连接BG、求证：四边形BGFE是平行四边形；若∽，，，求线段BE的长．14.本小题8分如图，与中，，，，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∽，，，，故选：根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．本题考查了全等三角形的性质，属于基础题型．2.【答案】D【解析】解：∽，，，，，，解得：故选：直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键．3.【答案】B【解析】解：∽，：：：BC，，只有②正确．故选：由∽，根据相似三角形的对应边成比例，可得AC：：：BC，继而求得答案．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】B【解析】解：∽，，，，，把它们代入比例式中，故选：根据相似三角形的性质可得边的比相等，将线段的长代入比例式即可求得．本题主要利用平行四边形中的对边相等，相似三角形的对应边成比例．5.【答案】80【解析】解：根据三角形的内角和是，求得其中一个三角形的第三个角是，其中角最大，根据相似三角形的性质，得：另一个三角形的最大角为可根据三角形内角和定理，求出其中一个三角形的第三角的度数，然后找出其中最大角的度数．根据相似三角形的对应角相等，即可求出另一个三角形的最大角的度数．本题主要考查了三角形的内角和定理以及相似三角形的性质．6.【答案】24【解析】解：∽，，，，，，解得：故答案为：直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等进而得出答案．此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的关系是解题关键．7.【答案】18【解析】解：设最短的一边是x，在中，，，，若和它相似的最长的一边是36，，解得：故答案为：设最短的一边是x，由相似三角形的性质得到，即可求出x，得到最短的边．本题主要考查相似三角形对应边成比例的性质，解此题的关键是正确列出方程．8.【答案】【解析】解：的三边长分别为，，2，的三边长之比为，1：：，的两边长分别为1和，∽，的第三边的长应等于故答案为：先求出三边之比，再根据相似三角形对应边成比例解答即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，求出的三边之比是解题的关键．9.【答案】2【解析】解：四边形ABCD是矩形，；∽，，即，解得；在中，，，由勾股定理得：故答案为：已知∽，那么点A、D对应，点B、E对应，点E、F对应，首先根据相似三角形得到的比例线段求出DF的长，再由勾股定理求得EF的值．此题主要考查的是相似三角形的性质，找准对应顶点是解题的关键．10.【答案】解：∽，，，，，解得：；∽，即，解得：；∽，，，，，【解析】由∽，，，，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得AB的长；根据相似三角形的对应边成比例，即可得，则可求得DC的长；根据相似三角形的对应角相等，可得，，继而可求得的大小．此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例，对应角相等．11.【答案】解：∽，又，，；∽，，，，【解析】根据相似三角形的性质解答即可；根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质解答．12.【答案】解：正方形ABCD的边长为1，，∽，，设，则，，，∽，，即，解得：，舍去，【解析】首先由正方形ABCD的边长为1，∽，证得，然后设，可得，，，又由∽，可得，即可得方程，解此方程即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质、正方形的性质以及一元二次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．13.【答案】证明：，，，，，又，四边形BGFE为平行四边形．解：∽，，即，，，【解析】根据，又AD平分，可证得，，从而得：，又因为，所以可知四边形BGFE是平行四边形；根据∽，可得，求出AF的长，再由的结论：，即可得BE的长．解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．14.【答案】解：，，，，若∽，则，即，解得：；若∽，则，即，解得：；AD的长为：或【解析】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．由与中，，，，可求得BC的长，然后分别从∽或∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．。
浙教版初三上册数学第四章微专项相似三角形判定的综合随堂练习(解析版)
浙教版初三上册数学第四章微专项相似三角形判定的综合随堂练习（解析版）一 相似三角形的判定教材P136作业题第5题)如图1，在△ABC 中，D 是AC 上一点．已知AB2＝AD ·AC ，∠AB D ＝40°.求∠C 的度数．图1解：在△ABD 与△ACB 中，∠A ＝∠A.由AB2＝AD ·AC ，得AB AC ＝AD AB ，∴△ABD ∽△ACB ，∴∠C ＝∠ABD ＝40°.【思想方法】 判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判定相等的角的两边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判定三边是否对应成比例．如图2，在△ABC 中，点D 在AB 上，下列条件能使△BCD 和△BAC 相似的是( D )图2A ．∠ACD ＝∠B B ．∠ADC ＝∠ACBC ．AC2＝AD ·AB D ．BC2＝BD ·BA 【解析】 若BC2＝BD ·BA ，则有BC BA ＝BD BC ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCD ∽△BAC.故选D.[2021·长春]如图3，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE.EF 与CD 交于点G .图3(1)求证：BD ∥EF ； (2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)证明：∵在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴DF ∥BE ，又∵DF ＝BE ，∴四边形DBEF 为平行四边形，∴BD ∥EF ；(2)∵AD ∥BC ，∴∠F ＝∠GEC ，∵∠DGF ＝∠CGE ，∴△DFG ∽△CEG ，∴DG CG ＝DF CE ＝23，∴EC ＝6.[2021·甘肃]如图4，已知EC ∥AB ，∠EDA ＝∠ABF.(1)求证：四边形ABCD 为平行四边形；图4(2)求证：OA2＝OE ·OF.证明：(1)∵EC ∥AB ，∴∠EDA ＝∠DAB ，∵∠EDA ＝∠ABF ，∴∠DAB ＝∠ABF ，∴AD ∥BC ，∵DC ∥AB ，∴四边形ABCD 为平行四边形；(2)∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ，∴OA OE ＝OB OD ，∵AD ∥BC ，∴△OBF ∽△ODA ，∴OB OD ＝OF OA ，∴OA OE ＝OF OA ，∴OA2＝OE ·OF.如图5，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 在边AB上，连结CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 的位置，连结AE.图5(1)求证：AB ⊥AE ；(2)若BC2＝AD ·AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．证明：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC ＝45°.∵线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，∴∠DCE ＝90°，CD ＝CE ，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ， 在△BCD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴∠B ＝∠CAE ＝45°，∴∠BAE ＝∠BAC ＋∠CAE ＝45°＋45°＝90°，∴AB ⊥AE ；(2)∵BC2＝AD ·AB ，AC ＝BC ， ∴AC2＝AD ·AB ，则AD AC ＝AC AB .又∵∠DAC ＝∠CAB ，∴△DAC ∽△CAB ，∴∠CDA ＝∠BCA ＝90°.又∵∠DAE ＝90°，∠DCE ＝90°，∴四边形ADCE 为矩形．又∵CD ＝CE ，∴四边形ADCE 为正方形．[2021·宿迁]如图6，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．图6(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，∵∠DEF ＝∠B ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴△BDE ∽△CEF ；(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF ，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴CE CF ＝DE EF ，∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF ，∴∠DFE ＝∠CFE ，∴FE 平分∠DFC.[2021·宁波]从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把那个三角形分割成两个小三角形，假如分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做那个三角形的完美分割线．(1)如图7①，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A ＝40°，∠B ＝60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线；(2)在△ABC 中，∠A ＝48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(3)如图②，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．图7解：(1)证明：∵∠A ＝40°，∠B ＝60°，∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＝40°，∴△ACD 为等腰三角形，∵∠DCB ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ，∴△BCD ∽△BAC ，∴CD 是△ABC 的完美分割线；(2)①当AD ＝CD 时，如答图①，∠ACD ＝∠A ＝48°，变形6答图①∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝96°；②当AD ＝AC 时，如答图②，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－48°2＝66°，变形6答图②∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝114°；③当AC ＝CD 时，如答图③，∠ADC ＝∠A ＝48°，变形6答图③∵△BDC ∽△BCA ，∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∵∠ADC ＞∠BCD ，矛盾，舍去．综上所述，∠ACB ＝96°或114°；(3)∵△BCD ∽△BAC ， ∴BC BA ＝BD BC ，设BD ＝x ，∵AC ＝AD ＝2，∴(2)2＝x(x ＋2)，∵x ＞0，∴x ＝3－1，即BD ＝3－1，∵△BCD ∽△BAC ， ∴CD AC ＝BD BC ＝3－12， ∴CD ＝3－12×2＝6－ 2. 二 圆中的相似教材P133作业题第4题)已知：如图8，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 交于点P.(1)求证：△ADP ∽△CBP ；(2)判定AP ·BP ＝DP ·CP 是否成立，并给出证明．图8解：(1)证明：由题意，得∠DAP ＝∠BCP ，∠ADP ＝∠CBP ，∴△ADP ∽△CBP ；(2)成立．证明：∵△ADP ∽△CBP ， ∴AP CP ＝DP BP ，∴AP ·BP ＝DP ·CP.【思想方法】 证明圆中的两三角形相似常用的定理是同弧所对的圆周角相等．[2021·丽水]如图9，已知⊙O 是等腰直角三角形ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( C)图9A ．3B ．2C ．1D ．1.2【解析】 ∵△ABC 为等腰直角三角形，BC ＝4，∴AB 为⊙O 的直径，AC ＝4，AB ＝42，∴∠D ＝90°，∵在Rt △ABD 中，AD ＝45，AB ＝42，∴BD ＝285，∵∠D ＝∠C ，∠DAC ＝∠CBE ，∴△ADE ∽△BCE ，∵AD ∶BC ＝45∶4＝1∶5，∴△ADE 与△BCE 的相似比为1∶5，设AE ＝x ，则BE ＝5x ，DE ＝285－5x ，∴CE ＝28－25x ，∵AC ＝4，∴x ＋28－25x ＝4，解得x ＝1，即AE ＝1.故选C.[2021·海南]如图10，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，直径 DE ⊥AC 于点 P ，若点 D 在优弧ABC 上，AB ＝8，BC ＝3，则 DP ＝__5.5____．图10【解析】 ∵AB 和DE 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB ＝OD ＝4，∠C ＝90°， 又∵DE ⊥AC ，∴OP ∥BC ，∴△AOP ∽△ABC ，∴OP BC ＝AO AB ，即OP 3＝48，∴OP ＝1.5.∴DP ＝OP ＋OD ＝5.5.[2021·阳谷二模]如图11，四边形ABCD 内接于圆，延长AD ，BC 相交于点E ，点F 是BD 的延长线上的点，且AB ＝AC.图11(1)求证：DE 平分∠CDF ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长．解： (1)证明：∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠CDE ＋∠ADC ＝180°， ∴∠CDE ＝∠ABC ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∵∠EDF ＝∠ADB ＝∠ACB ，∴∠EDF ＝∠CDE ，∴DE 平分∠CDF ；(2)∵∠ADB ＝∠ABC ，∠DAB ＝∠BAE ，∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝AD AB ，∵AB ＝AC ＝3，AD ＝2，∴AE ＝AB2AD ＝92，∴DE ＝92－2＝52(cm)．如图12，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AE 是⊙O 的直径，AF是⊙O 的弦，AF ⊥BC ，垂足为D.图12(1)求证：∠BAE ＝∠CAD ；(2)若⊙O 的半径为4，AC ＝5，CD ＝2，求CF 的长．解： (1)证明：∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠BEA ＝90°，∵AF ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°，又∵∠BEA ＝∠ACD ，∴∠BAE ＝∠CAD ；(2)∵∠ABE ＝∠ADC ＝90°，∠BEA ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ADC ，∴BE CD ＝AE AC ，即BE 2＝85，解得BE ＝165，由(1)得∠BAE ＝∠CAD ，∴BE ︵＝CF ︵，∴CF ＝BE ＝165.。
浙教版数学九年级上册 第四章 相似三角形 综合测试卷(原卷+答案)
第四章综合测试卷 相似三角形班级 学号 得分 姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.己知 ab =25,则a +b b的值为( )A 25B 35C 75D 232.如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式一定成立的是( )A.BC DF=12 B.∠A 的度数∠D 的度数=12C.△ABC的面积△def 的面积= 12 D. △ABC 的周长△def 的周长= 123.如图,在直角坐标系中,△OAB 的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O 为位似中心,在第三象限内作与△OAB 的位似比 13的位似图形△OCD,则点C 坐标为( )A. (-1,-1)B.(−43,−1)C.(−1,−43) D. (-2,-1)4. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 △ABP 与△ECP 相似的是( )A.∠APB=∠EPCB. ∠APE=90°C. 点 P 是BC 的中点D. BP: BC=2:35.如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连结AD,点E 在AC 边上,过点E 作EF∥BC,交 AD 于点F,过点E 作EG∥AB,交BC 于点G,则下列式子一定正确的是( ) A.AE EC=EF CDB.EF CD=EG ABC.AFFD=BG GCD.CG BC=AF AD6. 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE=BC=0.5m ，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点 G 处，测得CG=15m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得 EG=3m ，小明身高EF=1.6m,则凉亭的高度AB 约为( )A. 8.5mB. 9mC. 9.5mD. 10m7. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处8. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大 12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N第二步,连结MN 分别交AB,AC 于点E,F;第三步,连结DE,DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE 的长是( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 如图,在△ABC 中,点 D 为BC 边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB,过点 D 作DE⊥AD,DE 交AC 于点E,若DE=1,则△ABC 的面积为( )A. 2B. 4C.25D. 810. 在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH 垂直平分 AC,点 H 为垂足.设AB=x ，AD=y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图所示，点 E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交 CD 于点F ，连结BF.写出图中任意一对相似三角形： .12. 已知 a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a 的值为 .13. 如图,在平行四边形ABCD 中,AB=10,AD=6,点E 是AD 的中点,在AB 上取一点F,使△CBF∽△CDE,则 BF 的长是 .14. 如图，在一块斜边长为30cm 的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC=1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为 .15.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为16. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2).如果点C 在x 轴上，且点 C 与点O 及点A 不重合，当点 C 的坐标为 时，使得由点B ，O ，C 构成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个符合条件的点).三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,在△ABC中，DE‖BC,EF‖AB,求证：△ADEO△EFC.18. (6分)如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少?19.(6分)如图,点 P 是⊙O的直径AB 延长线上一点,且AB=4,点 M为A AB上一个动点(不与A，B重合)，射线 PM与⊙O交于点 N(不与M重合).(1)当M在什么位置时，△MAB的面积最大? 并求出这个最大值；(2)求证:△PAN∽△PMB.20. (8 分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.21. (8分)如图,在△ABC中,点 D,E分别在边AB,AC上,且∠ABE=∠ACD,BE,CD交于点G,连结DE.(1)求证:△AEDO△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.22.(10分)如图,在 △ABC 中,点D,E,F 分别在AB,BC,AC 边上, DE‖AC,EF‖AB.(1)求证: △BDEO △EFC.(2)设AF FC=12,①若. BC =12,，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20,求△ABC 的面积.23.(10分)在矩形ABCD 中,AE⊥BD 于点E,点 P 是边AD 上一点.(1)若BP 平分∠ABD,交 AE 于点G,PF⊥BD 于点F,如图①,证明四边形 AGFP 是菱形;(2)如图②,若PE⊥EC,求证:AE·AB=DE·AP;(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP 的长.24.(12分)如图,已知 △ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB,BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是2cm/s,当点 Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动.设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1) 当 t =2时，判断 △BPQ 的形状，并说明理由；(2)设 △BPQ 的面积为 S (cm²),求S 与t 的函数表达式；(3)如图,作 QR//BA 交AC 于点R,连结PR,当t 为何值时,△APR∽△PRQ?第四章综合测试卷 相似三角形1. C2. D3. B4. C5. C6. A7. B8. D9. B 10. D 11. △ADF∽△ECF(答案不唯一)12. 12 13. 1.8 14. 100cm² 15.24516. (-1,0)或(1,0)或(-4,0)(答案不唯一)17. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.18. 解：设这个正方形零件的边长为 xmm ，则△AEF 的边EF 上的高AK=(80-x) mm.∵四边形EF-HG是正方形,∴EF∥GH,即 EF∥BC.∴△AEF CABC.∴EF BC=AK AD,即 x 120=80−x 80⋅∴x =48.∴这个正方形零件的边长是48mm.19. (1)解:当点 M 在 AB 的中点处时，△MAB 的面积最大，此时( OM⟂AB,∵OM =12AB =12×4=2,∴S ABM =12AB ⋅OM =12×4×2=4. (2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.20. 解: ∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD =∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD.∵BC=4,∴CD=4.∵AB∥ CD,∴ABECDE,∴AB CD=AE CE,∴84=AE CE,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.21. 证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A 是公共角, ∴ABEACD.∴AE AD=AB AC,即AEAB =ADAC ,又∵∠A 是公共角,∴△AED∽△ABC. (2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽ CGE.:DG EG=BG CG,即DG BG=EG CG.又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GBC=∠GDE,∵BE 平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE,∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.22. (1)证明:∵DE∥AC,∴∠BED=∠C.∵EF∥AB,∴∠B=∠FEC,∴△BDE∽△EFC.(2)解:①∵EF//AB,∴BE EC=AF FC=12.∵BC = 12,∴BE12−BE =12,∴BE =4.②∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴S△BC= (EC BC)2⋅∴BE EC=12,∴EC BC=23.又∵△EFC 的面积是20, ∴20SABC=(23)2,∴SABC=45,即△ABC 的面积是45.23. (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE,∵BP 平分∠ABD,∴∠ABG=∠PBD.∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APB =∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,∴∠AGP=∠APG,∴AP=AG,∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP 平分∠ABD,∴PA=PF,∴PF=AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP 是平行四边形,∵PA=PF,∴四边形AGFP 是菱形.(2)证明:∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC=90°,∴∠AEP=∠DEC,∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,∴∠EAP=∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴DE·AP.(3)解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=√AB²+AD² =5,∵AE ⊥BD,∴S ABD =12⋅BD ⋅AE = 12⋅AB ⋅AD,∴AE =255,∴DE =AD 2−AE 2=455,∵AE ⋅AB =DE ⋅AP,∴ AP =255×1455=12.24. 解:(1)△BPQ 是等边三角形.当t=2时,AP=21 =2( cm),BQ=2×2=4( cm),∴BP=AB-AP=6-2=4( cm),∴BQ=BP,又∵∠B = 60°,∴△BPQ 是等边三角形.(2)如图,过点 Q 作QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2tcm,∠B=60°,∠BEQ=90°,得 QE =3tcm,由AP= tcm,得 PB =(6−t )cm,∴S =12BP ⋅QE = 12×(6−t )×3t =−32t 2+33t.(3)∵QR‖BA,∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°,∴△QRC是等边三角形,∴QR=RC=QC=(6-2t)cm⋅:BE=12BQ=12×2t=t(cm),∴EP=AB−AP−BE=6−t−t=6−2t(cm),∵EP‖QR,EP=QR,∴四边形 EPRQ是平行四边形,∴PR=EQ3tcm.又∵∠PEQ=90°,∴∠APR∠PRQ=90°,∴△APR∽△PRQ,∴∠QPR=∠A=60∘,QRPR=6−2t3t=3,解得t=65.∴当t=65时,△APR∽△PRQ.。
浙教版九年级数学上《4.3相似三角形》同步练习含答案
4.3.相似三角形一．选择题1.下列命题中，是真命题的是（ ）A.锐角三角形都相似B. 直角三角形都相似C. 等腰三角形都相似D. 等边三角形都相似2．已知△ABC ∽△DEF ，∠A=∠D=o 30，∠B=o 50,AC 与DF 是对应边，则∠F=（ ）A. o 50B. o 80C. o 100D. o 1503. △ABC ∽△DEF,且相似比为2，则（ ）A. ∠A 是∠E 的2倍B. ∠F 是∠A 的2倍C. AB 是DE 的2倍D.DE 是AB 的2倍4.如图，△ADE ∽△ACB,且∠ADE=∠C,则下列等式成立的是（ ） A. AC AE AB AD = B. BD AD BC AE = C. AB AE BC DE = D. ABAD BC DE = 5．△ABC 的三. 边分别是262，，，△DEF 的两边分别为1，3，如果△ABC ∽△DEF ，那么△DEF 的第三边长可能是（ ） A. 2 B.22 C. 26 D.33 二．填空题6. 已知△ABC ∽△'''C B A ,且相似比是31，若''B A =2，则AB=_______ 7. △ABC ∽△DEF,且，△ABC 与△DEF 的相似比为73，则_______=AB DE 8.三角形的三条中位线所形成的三角形与原三角形的相似比是___________9．如图，△DGH ∽△DEF,则图中的对应边是_________________,对应角是________________10.如图，△A BC ∽△DAC, ∠B=∠DAC,DC=1，BD=3，△DAC 与△ABC 的相似比_______(第4题) (第9题) (第10题)三．解答题11.如图，△ABC 是直角三角形，∠B=o90，试在图中画出Rt △ACD ，使△ACD 与△ABC相似，使AC 为公共边（要求画出不同的三个）12.如图，已知△ABC ∽△ADE, DE ⊥AB,BC ⊥AD,垂足分别是E,C.(1)写出这两个相似三角形对应边的比例式(2)若AE=5，AD=13，CD=3，求BC 的长13.如图，已知△ABC ∽△ACD,且AD=9，BD=3，求AC 的长14.如图，Rt △ABC 与Rt △ADE 相似，且∠B=o 60，CD=2，DE=1，求BC 的长15如图，在直角坐标系xOy 中，直线221+=x y 与x 轴，y 轴交于A,B 两点，以AB 为边在第二象限内作矩形ABCD,使AD=5(1)求点A ，B 的坐标，并求AB 的长(2)过点D 作DH ⊥x 轴，垂足为H,若△ADH ∽△BAO,求点D 的坐标4.3.相似三角形1—5 DCCCA 6. 32 7.37 8.21 9略 10. 21 11. 略 12 24)2()1(AD AB DE BC AE AC == 13. 36 14.334 15.()()()()()2525220041，，，-=-D AB B A。
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专题：相似三角形及其判定一．选择题1. 如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC=OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是（）A. ：2B. 1：C. ：D. ：22.如图，在直角坐标系xOy中，A（-4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（）A. （1，）B. （，）C. （，2）D. （，2）3.P是△ABC一边上的一点（点P不与点A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有（）A.1条B.2条C.3条D.4条4.在等边三角形ABC中，D为AC上一点，且，要在AB上取一点E，使△ADE∽△CDB，则等于（）A. B. C. D. 15. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC 于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）．A.2B.3C.4D.56. 在△ABC中，AB=m，AC=n，P是AB的中点，过点P的直线交边AC于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（）A. B. C.或 D.或7. 如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若=2，则的值为（）A. B. C. D.8. 如图，点O为弧AB所在圆的圆心，OA⊥OB，点P在弧AB上，AP的延长线与OB的延长线交于点C，过点C作CD⊥OP于D．若OB=BC=1，则PD的长为（）A. B. C. D.二．填空题9. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=____．10. 如图，在▱ABCD中，AC是对角线，∠BAE=∠DAC，已知AB=7，AD=10，则CE=____．11. 如图，正方形CDEF的顶点D、E在半圆O的直径上，顶点C、F在半圆上，连接AC、BC，则=____.12. 如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=____．13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当时，的值为______；当时，为______．（用含n的式子表示）14. 如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，BC=6，△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE=______．15. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长为（）16. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于点H，点O是AB中点，连接OH，则OH=___________.三．解答题17. 在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△BED.18. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G.（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似.19. 在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，=3，连结CH并延长交AB于点G，连结GE并延长交AD的延长线于点F.（1）求证：=.（2）若∠CGF=90°，求的值.20.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：=GE·GF．21.已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD•AB；（2）若=，求证：CG2=DF•BG．22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作CD平行于AB交⊙O于点D，过点D作DE 垂直于点E，且CD=DE（1）求证：AD2=2AE•AB；（2）若△ABC的面积是50，求△ACD的面积．23. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．(1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；(2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．24. 如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．(1) 点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；(2) 在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．25.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;(3)如图2,在△ABC中,AC=2,,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.参考答案1. D 2. B 3. C 4. C 5.B 6.D 7. B8.C9. 4．10. 5.1．11. .12.．13. ，．14. 1或．15.，16. .17.证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴，又∵∠FED=∠DEB，∴△DEF∽△BED.18. （1）证明：∵BF∥DE，∴==.∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF.在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5.∵点的是AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=2.5，∴∠DCB=∠DBC.∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=BD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，则BP=.综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似.19. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴=；（2）作EM⊥AB于M，如图所示：则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得：==3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴=，∴EG·EF=DE·EC，∵CD∥AB，∴==，∴=，∴EF=EG，∴EG·EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a ，∴==3.20.解析（1）根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠DCG，∴AG=CG；（2）∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG=∠F，∵∠AGE=∠AGE，∴△AEG∽△FGA，∴＝，∴=GE·GF.21. 证明：∵△ACD∽△ABC，∴∠ADF=∠ACG，∵=，∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，∴，∴，∴CG2=DF•BG．22. 解：（1）连接BD，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∴=，∴=，∴BD=AC，∴BD=AC=AB，∵△BED为直角三角形，∴BD2=BE2+DE2，BD2=AB2=（AB-AE）2+DE2=AB2-2AB•AE+AE2+DE2，2AE•AB=AE2+DE2，∵△AED为直角三角形，∴AD2=AE2+DE2，∴AD2=2AE•AB；（2）过C作CF⊥AB，则BF=AE，CD=EF，∴BE=CD+BF=CD+AE，∴（CD+AE）2+DE2=AC2，即[CD+（AB-CD）]2+CD2=AB2，即3AB2-2AB•CD-5CD2=0，∴（3AB-5CD）•（AB+CD）=0，∵CD 不等于负数，∴CD=AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴S△ABC=AB•DE=50，∴S△ACD=DC•DE=AB•DE=S△ABC=30．23.（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BME=∠NEC，而∠B=∠C=45°，∴△BEM∽△CNE．（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴BECN =EMNE又∵BE=EC，∴ECCN =EMNE则△ECN与△MEN中有ECCN =EMNE，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．24. (1)证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG(2)解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴= ，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．25.(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,.∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC.∴CD是△ABC的完美分割线.(2)当AD=CD时(如图①),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.当AD=AC时(如图②),.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.当AC=CD时(如图③),∠ADC=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC=∠BCD=48°与∠ADC>∠BCD矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,,设BD=x(x>0),,解得,∵x>0,.∵△BCD∽△BAC,,.。