连续函数的运算与性质

x x0

f [( x0 )]
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续 , 且 ( x0 ) u0, 而函数 y f (u) 在点 u u0 处连续 ,
则复合函数 y f [ ( x)] 在点 x x0 处也连续 .
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如, u 1 在(, 0) (0, )内连续, x
y arctan x, y arc cot x 在(,)上单调且连续.
反三角函数在其定义域内皆连续.
定理3 若 lim ( x) a, 函数 f (u)在点a连续,
x x0
则有 lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
★ y x a
loga x
y au , u loga x.
在(0, )内连续,
可以证明幂函数在其定义域内连续
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
b
x
f (b) 0
（1）区间一定要是闭区间。 （2）f (x) 一定要连续。
零点定理的推广：设 f (x) 在 ( , + ) 上连续，
(1) lim f ( x) A , lim f ( x) B , 且 A B 0,
x
x
则 f (x) 在 ( , + ) 内至少有一个零点
lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u ( x))的理论依据.
例1 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
解 原式 lim ln(1 x)x x0
1
ln[lim(1 x)x ] ln e 1. x0
异号，即 f (a)·f (b) < 0 , 则至少存在一点 [ a , b ] ,
使 f ( ) = 0。
y
f (b) 0
y f (a) 0
f (1 ) f (2 ) f (3 ) 0
a
• b x
f (a) 0 f ( ) 0
a
• 1
• 2
• 3
对应的区间 I y { y | y f ( x), x Ix } 上也单调 增加（或单调减少）且连续。
例如,
y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22
故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续;
定理3 若 lim ( x) a, 函数 f (u)在点a连续,
x x0
则有 lim f [ ( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
进一步，假设
lim
x x0

(
x
)


(
x0
)
则有 lim
x x0
f [( x)]
f [ lim ( x)]
y sin u 在(, )内连续, y sin 1 在(, 0) (0, )内连续.
x
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内
是连续的.
★ 指数函数 y a x (a 0, a 1)
在(,)内单调且连续;
★ 对数函数 y log x (a 0, a 1) a 在(0,)内单调且连续 ;
a 1 2
• 3 b x
由零点定理，至少存在一点 (a , b) , 使 ( ) = 0.
即 f ( ) – C = 0 , f ( ) = C 。
推论：设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，M 和 m 分别为最大
值和最小值，则 f (x) 必取得介于 M 和 m 之间
第十节 连续函数的运算与性质
• 一、四则运算的连续性 • 二、反函数与复合函数的连续性 • 三、初等函数的连续性 • 四、闭区间上连续函数的性质 • 五、小结
一、四则运算的连续性
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
x x0
x x0
ab.
1
例6 求 lim ( x 2e x ) x1 .
x0
解：lim ( x

2e x
1
) x1

[lim ( x

2e x
)]
lim 1 x0 x1
x0
x0
2 1 1 2
四、闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
定义：设 f (x) 在区间 I 上有定义，如果存在
x0 I , 使得 x I , 都有 f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ) )
则称 f ( x0 )为 f (x) 在 I 上的最大值（或最小值）
f ( x1) 为 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上的最大值,
• 最大值和最小值与所考虑的区间有关。
例2 y x 1, I (0, 1)
2 y y x 1
在 ( 0 , 1 ) 上即无最大值，又无最小值 1
• 函数在一个区间上不一定有
最大值 或最小值 • 问题：在什么条件下函数在一个区间
1x
上一定有最大值或最小值？
定理7：设函数 f (x) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，则
例如, y cos x 1, D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义.
y x 2 ( x 1)3 , D : x 0, 及x 1,
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间[1,)上连续.
注意 2. 初等函数求极限的方法：代入法.
lim
x x0
f (x)
且 f ( ) 0,
f (
)

2

2 0.
2
22
2
由零点定理，至少存在一点

2 (


,
), 使
f ( ) 0
22
例2 证明方程 : a0 x2n1 a1 x2n a2n1 0 至少有一实根 .
个数 C ，至少存在一点 ( a , b ) , 使 f ( ) = C。
证明：设 (x) = f (x) – C 则 (x) 在 [ a , b ] 上连续，且 (a) = f (a) – C = A – C < 0 (b) = f (b) – C = B – C > 0
y B C •• A
lim x 0 0. x0 1 x2 1 2
例4 求 lim arctan( x2 x x).
x
解 原式 lim arctan
x
x
x2 x x
lim arctan 1
x
1 1 1
x
arctan( lim
x
1) 1 1 1
arctan 1 2
（1）f (x) 在 [ a , b ] 上有界，即 M 0, 使对 x[a, b], 都有 | f ( x) | M
（2） f (x) 在 [ a , b ] 上一定能取得它的最大值和最小值
即至少一点1 [a, b],使 f (1 )为最大值 , 和至少一点2 [a, b],使 f (2 )为最小值 .
又 lim ( x) a, x x0
对于 0, 0, 使当 0 x x 时, 0
恒有 ( x) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x 时, 0
f (u) f (a) f [( x)] f (a) 成立.
f (x) g(x)
( g( x0 ) 0)
在点 x0 处也连续.
例如, sin x,cos x在(,)内连续,
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续. 三角函数在其定义域内连续
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 若函数 y = f(x) 在区间 I x 上单调增加 （或单调减少）且连续，则它的反函数 x = (y) 在
x
u( x)v( x) elnu( x)v( x) ev( x)lnu( x)
3
例5 求 lim (1 2x)sin x .
x0
3
3 ln(12 x)
解 lim (1 2x)sin x lim e sin x
x0
x0
1
lim 6 x ln(12 x)2 x
e x0 sin x
证 f (u)在点 u a连续,
0, 0, 使当 u a 时,
恒有 f (u) f (a) 成立.
又 lim ( x) a, x x0
对于 0, 0, 使当 0 x x 时, 0
0, 0, 使当 u a 时, 恒有 f (u) f (a) 成立.
注记： （1）区间一定要是闭区间。 y y 1
例3 y 1 , I (0, 1) x
x
1
在 I (0, 1) 上连续, 但无界,
也无最大值和最小值。
1x
（2）f (x) 一定要在闭区间上连续，即不能有间断点。
x 1 , 0 x 1,
例4 y 1 ,
x 1
x 3 , 1 x 2
y 1•
f (x) 在 I = [ 0 , 2 ] 上有定义，且 有界，但无最大值和最小值。
1 2x
（3）最大值或最小值不一定唯一。 y y
1 x
1x
二、零点定理和介值定理
若 x0使f ( x0 ) 0, 则称 x0 为 f ( x)的零点 .
定理9：设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，且在端点的函数值
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例2 求 lim sin e x 1. x1
解 原式 sin e1 1 sin e 1.
例3 求 lim 1 x 2 1 .
x0
x
解 原式 lim ( 1 x2 1)( 1 x2 1)
x0
x( 1 x2 1)
的任何值。
y
M 对 f (x) 在区间 [x1 , x2 ]
上应用介值定理即可。 C
例1 证明方程 : sin x x 1 0 m
••
在( , )内至少有一实根 .
22
a x1 1 x2 2b x
证明：取 f ( x) sin x x 1, 在[ , ]上连续,
1
lim 6 x ln[ lim (12 x)2 x ]
e x0 sin x x0
e 6 lne e6
幂指函数 u( x)v( x) 的极限计算：
若 lim u( x) a 0, lim v( x) b,
x x0
x x0
Fra Baidu bibliotek
lim v( x)
则有 lim u( x)v( x) [ lim u( x)] xx0
(2) lim f ( x) (或 ) , lim f ( x) (或 ) ,
x
x
则 f (x) 在 ( , + ) 内至少有一个零点
y
y
A
•

x
B
• ••
1 2 3
x
定理10：设 f (x) 在 [ a , b ] 上连续，且 f (a) = A ， f (b) = B , A B ，则对 介于 A 和 B 之间的任一
f ( x2 ) 为 f ( x) 在闭区间 [a, b]
a x1
y y f (x)
x2 bx
上的最小值,
1 , x 0 例1 y sgn x 0 , x 0
1 , x 0
在 (, )上的最大 值为 1, 最小值为 1.
在 [0, )上的最大值为 1, 最小值为 0. 而 在 (0, )上的最大值和最小值都 为 1.