《解方程》典型例题

《解方程》典型例题

例1 解方程：89210+-=+-x x

例2 解方程：)2(3)3(2+=-x x

例3 解方程：7722121-=--

x x

例4 解方程：

6233)5(54--+=--+x x x x

例5 解方程：

5303.02.05.05.01.24.0=--+x x

例6 下面解题过程正确吗？如果正确，请指出每一步的依据；如果不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解答．

（1）解方程4

13x x += 两边都乘以12，得 134=-x x ∴1=x （2）解方程83243212

x x --+= 去分母，得 x x 326220--+=

移项，得 202623--=-x x

合并同类项，得 16-=x

例7 如果一个正整数的2倍加上18等于这个正整数与3之和的n 倍，试求正整数n 的值．

例8 解方程234=-+-x x

例9 解方程.132=-+-x x

参考答案

例1 分析 这个方程可以先移项，再合并同类项．

解 移项，得.28910-=+-x x

合并同类项，得6=-x

把系数化为1，得6-=x

说明：初学解方程者应该进行检验，就是把求得的方程的解代入原方程中，看方程的左右两边是否相等，如果相等则是方程的解，否则就不是方程的解．则说明我们的解题过程有误．当熟练之后可以不进行检验，以后我们会知道一元二次方程不会产生增根．

例2 分析 这个方程含有括号，我们应先去掉括号，然后再进行合并同类项等．

解 去括号，得.6362+=-x x

移项，得6632+=-x x

合并同类项，得12=-x

把系数化为1，得.12-=x

说明：在去括号时要注意符号的变化，同时还应该注意要用括号前的数去乘括号内的每一项，避免出现漏乘的现象．

例3 分析 该方程中含有分母，一般我们是要先去掉分母，然后再按其他步骤进行．

解 去分母，得217)2(3)2(21⨯-⨯=--x x

去括号，得1476221-=+-x x

移项，得2211476---=--x x

合并同类项，得1707-=-x

把系数化为1，得.7

224=x 说明：初学者在去括号时，如果分子是两项的，应该用括号把分子括上以避免出现符号的错误．

例4 分析 在这个方程中既有括号又有分母，先做哪一步这应因题而定．

解 去分母，得)2(5)3(10)5(30)4(6--+=--+x x x x

去括号，得105301015030246+-+=+-+x x x x

移项，得150241*********--+=+--x x x x

合并同类项，得13429-=-x

把系数化为1，得.29

184=x 说明：要灵活应用解方程的步骤，在熟练之后这些解方程的步骤可以省略不写．

例5 分析 在这个方程中既有小数又有分数，一般是先把分子分母中的小数都化成整数再进行计算．

解 原方程可化为：5

3320505214=--+x x 去分母，得9)2050(5)214(3=--+x x

去括号，得91002506312=+-+x x

移项并合并同类项，得196112=x

把系数化为1，得4

31=x 说明：在解方程时解方程的步骤可以灵活使用，如在去括号后发现项比较多时，并有同类项可以合并，也可以先合并一次同类项然后再移项．

例6 分析 第（1）小题方程中有两项有分母，另一项没有分母，在去分母时应注意不要漏

乘没有分母的项．

第（2）小题的各项，尤其是右边两项比较复杂，去分母时必须小心谨慎，防止出错．

解 （1）错，错在去分母时漏乘了方程中间的“1”，正确解答如下： 去分母，得 x x 3124+=

移项 12 1234==-x x x

（2）错，错在将方程的两边乘以8后，8

32x --这一项应化为)32(x --而不

是x 32--，正确解答如下：

去分母，得 )32()3(220x x --+=

去括号，得 x x 326220+-+=

移项，得 5

16 165=-=-x x 说明 对于比较复杂的方程，求出解后要检验一下看是不是原方程的解，这样有利于减少解方程的错误．

在解方程的过程中，认真、细致是解题的关键．

例7 解 设已知的正整数为a ，依题意得

)3(182+=+a n a ，

即n a n 318)2(-=-， ∴.2

)6(3--=n n a 因为a 和n 都是正整数，所以.62<

当3=n 时，9=a ，

36)39(31892=+⨯=+⨯；

当4=n 时，3=a ，

24)33(41832=+⨯=+⨯；

当5=n 时，1=a ，

.20)31(51812=+⨯=+⨯

答：3=n ，或4=n ，或.5=n

说明： 本例的解法用到了分类讨论．

例8 分析 对于4-x 来说，当4>x 时，44-=-x x ，当4x 时与在3

注意到以上情况，是因为我们感到只有把题目中的绝对值符号去掉，才能解

出方程．因此，对本题，可以分为434≤≤>x x 、

和3

解 当4>x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x ， 解得.2

9=x 当43≤≤x 时，原方程可化为2)3()4(=-+-x x ，

这个方程无解．

当3

5=x 所以，原方程的解是29=x ，或.2

5=x 说明：①从上面解题过程可以看出，带绝对值符号的方程，可以转化为不带绝对值符号的方程来解，而分类思想是实现这样的转化的法宝．

②上面解题过程有读者不易察觉的一步，这就是检验．本题检验的具体做法

是：在以4>x 为前提，求得29=

x 之后，要看一看2

9是否与4>x 相符．在以3

例9 分析 对这类方程的常规解法，用分类讨论去绝对值． 从绝对值的几何意义出发，2-x 和3-x 分别表示数轴上表示x 的点到表示2的点与表示3的点之间的距离．

如图所示，设数轴上表示2的点为A ，表示3的点为B ，那么示x 的点不会在点A 的左边或点B 的右边．

解 方程132=-+-x x 的几何意义是数轴上表示x 的点到表示2的点的距离与表示3的点的距离之和为1．