新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.26.3.36.3.4(第2课时)两向量共线的充要条件及应用应用案巩固提

新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.26.3.36.3.4（第2课时）两向量共线的充要条件及应用应用案巩固提升新人教A 版

必修第二册

[A 基础达标]

1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)

D ．(－2，－4)

解析：选B.因为平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以1×m －(－2)×2＝0，解得m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．

2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12

D ．－2

解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝1

2.

3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )

A ．－7

2

B ．－12

C ．－43

D ．－83

解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k )．因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－1

2

.

4．若AB →＝i ＋2j ，DC →

＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →

共线，则x ，y 的值可能分别为( )

A ．1，2

B ．2，2

C ．3，2

D ．2，4

解析：选B.由题意知，AB →＝(1，2)，DC →

＝(3－x ，4－y )． 因为AB →∥DC →

，所以4－y －2(3－x )＝0，

即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足．故选B.

5．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9，1) B ．(9，－1) C ．(9，1)

D ．(－9，－1)

解析：选C.设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.

因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，

AC →

＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，

所以7(y ＋3)－7

2(x －1)＝0，

整理得x －2y ＝7，

经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.

6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．

解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝

1.

答案：1

7．已知A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.

其中，正确结论的序号为________．

解析：①因为OC →＝(－2，1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →

，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →

＝(0，2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4，0)，OB →－2OA →

＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．

答案：①③④

8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋

ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m

等于________．

解析：由(1，2)⊗m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩

⎪⎨⎪⎧p ＝1，

q ＝－2，所以(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，

－2)＝(2，0)．

答案：(2，0)

9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？

(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →

＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，

a ＋2

b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．

因为k a －b 与a ＋2b 共线，

所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－1

2.

所以当k ＝－1

2时，k a －b 与a ＋2b 共线．

(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →

，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，

所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，

解得m ＝32.

10．(1)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →

的坐标；

(2)已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →

|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标．

解：(1)法一：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA →

＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM →＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →

＝2CB →

＝2(6，3)＝(12，6)．

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．

则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →

＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以x 1＝0，y 1＝20，x 2＝9，y 2＝2，即M (0，20)，N (9，2)， 所以MN →

＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二：设点O 为坐标原点，

则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →

)，