第4章模糊函数

4、对称型
ϕ (τ , ξ ) =
∞ ∗
∫
∞
−∞
u (t − τ
2
)u (t + τ
∗
2
dt
= ∫ u ( f + ξ ) u ( f − ξ ) e − j 2 π fτ df 2 2 −∞
2
4.2 模糊函数与分辨力的关系
一、模糊函数的图形 1、概述
主峰、边峰和小突起（自杂波/旁瓣）
2、主峰 χ (τ , ξ ) ≤ χ (0,0) = 4 E 2
β02
2B π 2 2 β 2δ 2 = 2π 2 BT ≈ 2 π 2 , α = 0 ; δ2 = = T ， 0 3 3 T 3
2
ϕ (τ , ξ ) = χ (τ , ξ ) = χ (τ , ξ ) • χ ∗ (τ , ξ ) χ (τ , ξ ) = ∫ u ∗ (t )u (t + τ )e − j 2πξ t dt
∗ −∞ ∞ ∞
= ∫ u ( f )u ∗ ( f − ξ )e j 2π f τ df
−∞
二、模糊函数的表示法
0 0
0
− ξ 0τ )
⋅ χ µ1 (τ , ξ )
5、时/频域平方相位的影响
µ (t ) = µ1 (t ) e
jπ bt 2
χ µ (τ , ξ ) = e
− jπ bτ 2
⋅ χ µ1 (τ , ξ − bτ )
µ ( f ) = µ1 ( f )e
τ = τ ' ' ξ = ξ ′ − bτ
∞
−∞
µ( f ) e
2
− j 2π f τ
2
df
2
χ (0, ξ ) =
∫
∞
−∞
µ( f )µ
*
( f − ξ ) df
=
∫
∞
−∞
µ (t ) e
2
j 2πξ t
dt
二、变换关系 µ 1、组合关系 若： (t ) = µ1 (t) + µ2 (t)
χµ (τ , ξ ) = χµ (τ , ξ ) + χµ (τ , ξ ) + χµ µ (τ , ξ )
3、比例关系
1 ξ µ (t ) = µ1 (at ) χ µ (τ , ξ ) = χ µ1 (aτ , ) a a µ( f ) = µ1 (af ) χ µ (τ , ξ ) = 1 χ µ ( τ , aξ )
a
1
a
4、时间、频率偏移的影响
µ(t ) = µ1 (t −τ 0 )e j 2πξ (t −τ ) χ µ (τ , ξ ) = e j 2 π ( ξτ
1 2 2
∆ξ max = ±
S=K
2 2
π
(β 0 δ 2 − α 2 )
1 2
4.7 利用模糊函数对典型脉冲雷达信号进行分析 一、模糊函数的计算
µ (t ) =
{
1/ T 0
0<t <T 其它
µ (t)=
1 rect [ T T
t−
T 2]
jπξ (T −τ ) sin πξ (T − τ ) T − τ e τ <T χ (τ , ξ ) = πξ (T − τ ) T 0 τ >T sin πξ (T − τ ) T − τ 2 2 χ (τ , ξ ) = πξ (T − τ ) T τ < T 0 τ >T
χ (τ , ξ ) = V (−τ , ξ )
2 ∞ −∞
2
V (τ , ξ ) = ∫ u ∗ ( f )u ( f − ξ )e j 2πfτ df
χ ∗ (τ , ξ ) = χ ∗ (τ , ξ ) • [ χ ∗ (τ , ξ )]∗ = χ (τ , ξ ) χ (τ , ξ ) =
2、模糊函数（平均模糊函数）的概念
在感兴趣的时间间隔和多普勒频移上的固有“模糊性”的 度量，对随机信号采用平均模糊函数。
3、研究模糊函数的条件
窄带信号 点目标 无加速度 fd<<f0
一、从二维分辨力导出
1、条件
距离速度不同（二维） 目标2大于1 距离速度取正 不考虑噪声（分辨） 回波强度一样
2、准则（均方差）
2 2
<< 1
组合时间-频率分辨常数：
∫ ∫ χ (τ , ξ ) ∆(τ , ξ ) =
∆(τ , ξ ) ≡ 1
2
dτdξ
2
χ (0,0)
雷达模糊原理：改变发射信号形式→ 改变模糊曲面→ 不能改变组合分辨常数→即距离速度组合分辨力受限→ 模糊图体积无论哪个轴减小另一必增大！
模糊度图：
等效模糊面 等差图:
2
τ β 0 − 2τξα + ξ δ = 1 −
2 2 2 2
χ (τ , ξ ) χ (0,0)
2 2
1 N0 2 =K =( ) 2 2E
2
∆τ =
1
β0
2E N0
∆ξ =
1
δ
2E N0
1 2E α 2 2 2δ [1 − ( ) ] β 0δ N0
1
∆τ max = ± 2β 0
1 2E α [1 − ( ) ] N0 β 0δ
4.5 模糊图的切割
ξ 一、
=0
的切割
1、切割平面过最大值 2、MF输出响应时间倒置 3、距离自相关函数
二、ξ = ξ 的切割
1
1、切割平面不过最大值 2、MF失配输出时间倒置 3、距离互相关函数
结论: 结论:
不同多普勒切割得到MF对不同多普勒 信号输出响应的时间倒置。
避免时间倒置： 避免时间倒置： 1、移动模糊图原点 2、 ξ = −ξ1 切割 三、 τ = 0 的切割
ϕ ( 0, ξ ) =
2
dτdξ
2
χ (0,0)
∗
∫ =
∞
−∞
C (τ ) dτ C (0)
2
2
= Aτ
2
∫
∞
−∞
u (t )u (t + τ ) e
2
j 2 πξ t
dt
= K (ξ )
2
∆ (0, ξ ) =
∫ ∫ χ (0, ξ )
d τd ξ
2
χ ( 0,0 )
=
∫
∞
−∞
K (ξ ) d τ K (0)
ε =
2
∫
∞ −∞
s r 1 ( t ) − s r 2 ( t ) dt
∞ −∞
2
= 4 E − 2 χ (τ , ξ ) cos[2 π f 0τ + arctg χ (τ , ξ )]
χ (τ , ξ ) =
=
∫
u ( t ) u ∗ ( t + τ ) e j 2 πξ t dt
∫
∞ −∞
u ∗ ( f ) u ( f − ξ ) e − j 2 π f τ df
2
2 2
2
χ (τ , ξ ) ≤ χ (0,0) = (2E)2
∫∫
∞ −∞
χ (τ , ξ ) d τ d ξ = ( 2 E ) 2
2
∫∫
χ (τ , ξ ) e
2
j 2πξ Z
e
− j 2π Y τ
dτ d ξ = χ ( Z , Y )
2
模糊函数的二维付氏变换仍为模糊函数。
5、体积分布的限制
jπαf 2
χµ (τ ,ξ ) = e
jπαξ 2
⋅ χµ1 (τ + αξ , ξ )
①ξ = 0, ξ ' = bτ ' ② τ = 0, ξ = ξ '
6、相乘特性
µ(t) = µ1(t) ⋅ µ2 (t)
∞ −∞
1
µ ( f ) = µ1 ( f ) ∗ µ2 ( f )
2
χ µ (τ , ξ ) = ∫ χ µ (τ , q ) ⋅ χ µ (τ , ξ − q )d q
2
= Aξ
4.3 模糊函数与匹配滤波器输出响应的关系
研究的目的：
运算 检测、估计、分辨 物理意义 信号处理与AF关系
u A目标回波： A (t) = u(t −τ A )e j2πξ (t−τ ) hAm(t) = u∗ (t0 −t −τ A )e− j2πξ (t −t−τ ) A B目标回波： B (t ) = u (t − τ B )e j 2πξ (t −τ ) u
2 2
距离、速度均相同，ε 2 最小，即χ (0,0) 最大，无法分辨。
3、模糊图的体积 2 χ (τ , ξ ) dτdξ = (2 E ) 2 （体积不变性）∫ ∫
体积是固定的，与能量有关，与信号形式无关 不同信号形式只能改变模糊图表面形状
二、模糊函数与二维分辨力的关系
χ (τ , ξ ) χ (0,0)
∫ ∫
∞
−∞ ∞
χ (τ , ξ ) dτ = ∫ χ (τ ,0) e − j 2πξτ dτ
2 2 −∞ ∞
∞
−∞
χ (τ , ξ ) dξ = ∫ χ (0, ξ ) e j 2πξτ dξ
2 2 −∞
χ (τ , 0) =
2 2
∫
∞
−∞
µ ( t ) µ ( t + τ ) dt =
*
2
∫
2
∗ − j 2 πfτ
dt
∫
∞
−∞
u ( f )u ( f + ξ ) e