1-3在维势箱中运动的粒子-结构化学课件

(a) 粒子可以存在多种运动状态，它们可由 1,2,……n来
描述，没有经典的运动轨道，只有几率分布；
(b) 存在零点能；
(c) 能量量子化；
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
四、三维势箱
1．模型 V q 0 0 箱 外 xa ,0yb ,0zc,箱 内
2．建立薛定谔方程 需要将薛定谔方程用变数分离法分解成三个一维的微分方程， 然后分别求解，最后由
hl
En
的特n22解m：2lh22n=(8xnm)2hl22 B(nsin1,n2l,3 x )
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
4．用波函数的归一化条件,确定待定系数B
根据玻恩的统计解释—即在整个空间找到粒子的几率必须是
100%。要求波函数是归一化的，即：
2
d 1,
0lBsinnlx2d1,得 到 B
nx2 lsinn lx,n1 ,2 ,3 … 称 为 量 子 数 ，
箱中粒子的每一个
i
x 与一个 E
对应。
i
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) n x 的图像
以 nx~x,n 2x~x作图，范围 0 xl
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
几率密度
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
● 研究体系 ● 建立薛定谔方程 ● 求出，E ● 解释、预言体系的性质
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
1．体系的薛定谔方程
箱外：由于粒子在势箱外不出现，(x)=0
箱内：势能为零，Vˆ x 0,
哈密顿算符：
Hˆ
Tˆ
Vˆ
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8 2m
d2 dx2
h2 d 2
h
2m dx2
(h )
2
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
必须是连续的，作为该体系的边界条件，应有
00,l0.
( 1 ) 0 0 0 A c o s 0 B s i n 0 0 A 0 0
A 0
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) l0,B0,只有sinl0
因此，lnn1,2,3……，n
l
注:n0
即 2mE n , 两边平方:
在一定条件下，如果粒子的活动范围扩大（即 l 增大）， 相应的能量降低，如有机共轭分子中的离域效应。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(2) 零点能
零点能即基态能量，任何微观粒子的零点能不为零，E 1
h2 8ml2
(3) 相邻能级间的能差
E E n 1 E n 8 m h 2 l2 n 1 2 n 2 8 m h 2 l22 n 1
外的势能无穷大。 ②势能函数：
Vx0
0xl x0和xl
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
③应用范围： ● 金属内自由电子 ● 共轭分子的 电子 ● 真空管中电子的运动 ● 原子内部电子在两个能级之间的跃迁
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
二、用薛定谔方程处理一维势箱模型 用量子力学处理一个体系的一般步骤：
波函数可以有正负变化，但几率密度总是非负的。 节点：
除边界条件 x 0, x l 外其余各处 x 0 的点称为节点。
节点数： n 1
一般来说,节点越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高。
当 n 很大时，将分辨不清箱中各处几率密度的变化，这就是
说，高量子态时趋于经典的均一的几率密度分布。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
(3) n
2 l
sin
n
x l
是正交归一化的
归一性：是指粒子在整个空间出现的几率为1
即：n*ndx1
正交性：是指 n*mdx0 nm
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
正交性证明如下：
设有 A ˆi a ii, A ˆj a j j, a i a j
当取前式复共轭时，得 A ˆi *ai*i*aii*
薛定谔方程：Hˆ E
h2 2m
d2
dx2
E
d
2
dx2
x
2m h2
E
x
0
'' x 2mEh2 x 0
§1-3 在一维势箱中运动的粒子 2．解微分方程的通解 上述方程是二阶常系数线性齐次方程
方程的通解： xA co sx B sin x
其中： 2mEh
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
3．根据边界条件讨论微分方程的特解
2 l
n(x)
2 sin n x
ll
于是得到量子化的本征值和本征函数。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
三、对本征值和本征函数的讨论 1．本征值E的讨论 (1) 能量量子化
注：En8nm 2hl22(n1,2,3 ) nn12,,3,L基态激发态
一维势箱中粒子的能量是量子化的，不连续的。
n 不能为零。 n 越大，对应的能级越高，m 越大，能量越低。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型 二、薛定谔方程处理一维势箱模型 三、对本征值和本征函数的讨论 四、三维势箱
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型——求解Schrodinger方程的实例 1．建立模型 ①物理模型：一个质量为m的粒子，不受外力，在一维
方向上被束缚在长度为 l ，势能为零的箱内运动，箱
由于 i*A ˆjd aji* jd
而 A ˆi *jdaii* jd
按共轭算符的定义，上两式左边应相等，故
aiaj i* jd0
因 ai
a
，
j
故i*jd0
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
令 ： i*jd x * j id xij
ij
0, 1,
当ij 当ij
正交性 归一性
受一定势能场束缚的粒子的共同特征：
x,y,znxxnyynz z
EExEyEz
分别求得体系的完全波函数和能级。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
（2）写出薛定谔方程
边界条件：
箱内，Vˆ q
x,
0,
y,
z00
箱内 箱外
H ˆ2 hm 2 22 hm 2 x22 y22 z22
薛定谔方程：
H ˆE
2hm 2 x22y22z22x,y,zEx,y,z
m越大，l 越大, E 越小,能量趋向于连续；
m越小，l 越小, E 越大，量子化越显著。
对于宏观质点，m , l 较大，能量变化非常小，E 0,完全可以认 为能量的变化是连续的。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
2．一维箱中粒子的波函数
n
x
和几率密度
2 n
x
(1)n与 En相 对 应
说明在一维箱中粒子存在多种可能的运动状态。
§1-3 在一维势箱中运动的粒子
3.解薛定谔方程，根据边界条件和归一化条件求出 和 E
nx (x)
a2sin