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2019年全国中考数学真题分类汇编：数学文化(含答案)

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2019年中考数学试卷(word版,含答案) (110)

2019年中考数学试卷(word版,含答案) (110)

2019年中考数学试卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣2．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a8÷a4＝a4C．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2D．（a+b）2＝a2+b24．（3分）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）一组数据1，2，1，4的方差为（）A．1B．1.5C．2D．2.56．（3分）下列判断正确的是（）A．＜0.5B．若ab＝0，则a＝b＝0C．＝D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长7．（3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝91008．（3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5B．﹣C．D．9．（3分）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x 轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）2018年，中国贸易进出口总额为4.62万亿美元（美国约为4.278万亿美元），同比增长12.6%，占全球贸易总额的11.75%，贸易总额连续两年全球第一！数据4.62万亿用科学记数法表示为．12．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．13．（3分）如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x 的取值范围是．14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为．15．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝．16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确判断的序号是．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）计算：（π﹣3.14）0﹣（）﹣2+﹣．18．（7分）先化简：（﹣）÷，再选取一个适当的x的值代入求值．19．（7分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计540680640640780111010705460（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是元，中位数是元，众数是元．（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？答（填“合适”或“不合适”）：．②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．21．（7分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．23．（8分）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B 的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，≈1.73）24．（11分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3， (2017)2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC ＝n°，则∠BO1000C＝度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．25．（12分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A 交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）﹣2019的绝对值是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的绝对值是：2009．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．2．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念进而判断求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a8÷a4＝a4C．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2D．（a+b）2＝a2+b2【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B、a8÷a4＝a4，故此选项正确；C、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此选项错误；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3分）如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断．【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形．故选：B．【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．5．（3分）一组数据1，2，1，4的方差为（）A．1B．1.5C．2D．2.5【分析】先求得这组数据平均值，再根据方差公式，计算即可【解答】解：平均数为＝＝2方差S2＝[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（1﹣2）2+（4﹣2）2]＝故选：B．【点评】此题主要考查方差的计算公式，熟记方差的计算公式：S2＝×[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣1﹣）2+（x n﹣）2]是解题的关键6．（3分）下列判断正确的是（）A．＜0.5B．若ab＝0，则a＝b＝0C．＝D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长【分析】根据实数的大小比较法则、二次根式的乘除法法则、列代数式的一般步骤判断即可．【解答】解：A、2＜＜3，∴＜＜1，本选项错误；B、若ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝b＝0，本选项错误；C、当a≥0，b＞0时，＝，本选项错误；D、3a可以表示边长为a的等边三角形的周长，本选项正确；故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、实数的大小比较、列代数式，掌握二次根式的乘除法法则、实数的大小比较法则是解题的关键．7．（3分）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100B．2500（1+x%）2＝9100C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．8．（3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5B．﹣C．D．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．【解答】解：∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝，故选：D．【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．9．（3分）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x 轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据矩形的性质即可得到OA＝BC＝2；故①正确；②由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝PE＝a，求得CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），根据相似三角形的性质得到FD＝，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，故③正确；④当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确．【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），∴OA＝BC＝2；故①正确；②∵点D为OA的中点，∴OD＝OA＝，∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝2，设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，∴BE＝PE＝a，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），∵PD⊥PC，∴∠CPE+∠FPD＝90°，∵∠CPE+∠PCE＝90°，∴∠FPD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠PFD＝90°，∴△CEP∽△PFD，∴＝，∴＝，∴FD＝，∴tan∠PDC＝＝＝，∴∠PDC＝60°，故③正确；④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝2，AB＝2，∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，∴∠DOP＝∠DPO＝30°，∴∠ODP＝60°，∴∠ODC＝60°，∴OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，∴∠ODP＝∠OPD＝75°，∵∠COD＝∠CPD＝90°，∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝30°，∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确，故选：D．【点评】此题主要考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP和PD是解本题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）2018年，中国贸易进出口总额为4.62万亿美元（美国约为4.278万亿美元），同比增长12.6%，占全球贸易总额的11.75%，贸易总额连续两年全球第一！数据4.62万亿用科学记数法表示为 4.62×1012．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4.62万亿＝4.62×1012，故答案为：4.62×1012【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为．【分析】根据题意可得：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有两种能够让灯泡发光，故其概率为．【解答】解：因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P（灯泡发光）＝．故本题答案为：．【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．13．（3分）如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示1﹣2x，则x 的取值范围是﹣＜x＜0．【分析】根据题意列出不等式组，求出解集即可确定出x的范围．【解答】解：根据题意得：1＜1﹣2x＜2，解得：﹣＜x＜0，则x的范围是﹣＜x＜0，故答案为：﹣＜x＜0【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为16．【分析】根据平行四边形的性质可得BO＝DO＝BD，进而可得OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出BC＝2OE，再根据平行四边形的性质可得AB＝CD，从而可得△BCD的周长＝△BEO的周长×2．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB，∴O为BD中点，∵点E是AB的中点，∴AB＝2BE，BC＝2OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴CD＝2BE．∵△BEO的周长为8，∴OB+OE+BE＝8，∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，∴△BCD的周长是16，故答案为16．【点评】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理以及线段中点的定义．关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边平行且相等．②角：平行四边形的对角相等；③对角线：平行四边形的对角线互相平分．15．（3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝4．【分析】设出A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），由坐标转化线段长，从而可求出结果等于4．【解答】解：设A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），则CA＝﹣＝2，∴，得a＝同理：BD＝，得b＝又∵a﹣b＝3∴﹣＝3解得：k2﹣k1＝4【点评】本题考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键．16．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为+．其中正确判断的序号是①③④．【分析】①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正确；②根据二次函数的性质进行判断；③根据平移的公式求出平移后的解析式便可；④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值．【解答】解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而减小，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N （，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：，故此小题结论正确；故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的应用、二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、求线段和的最小值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）17．（5分）计算：（π﹣3.14）0﹣（）﹣2+﹣．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣4+3﹣2＝﹣2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（7分）先化简：（﹣）÷，再选取一个适当的x的值代入求值．【分析】先对括号里的分式进行整理，，，两式相减进行通分即可进行化简，再代入适当的值即可．【解答】解：化简得，原式＝＝＝﹣取x＝1得，原式＝﹣＝﹣【点评】此题主要考查分式的化简求值，掌握运用分式的通分技巧及分解因式是解题的关键．19．（7分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计540680640640780111010705460（1）分析数据，填空：这组数据的平均数是780元，中位数是680元，众数是640元．（2）估计一个月的营业额（按30天计算）：①星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？答（填“合适”或“不合适”）：不合适．②选择一个你认为最合适的数据估算这个小吃店一个月的营业额．【分析】（1）根据平均数的定义、中位数的定义、众数的定义进行解答即可；（2）①从极端值对平均数的影响作出判断即可；②可用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额．【解答】解：（1）这组数据的平均数＝＝780（元）；按照从小到大排列为540、640、640、680、780、1070、1110，中位数为680元，众数为640元；故答案为：780，680，640；（2）①因为在周一至周日的营业额中周六、日的营业额明显高于其他五天的营业额，所以去掉周六、日的营业额对平均数的影响较大，故用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额不合适；故答案为：不合适；②用该店本周一到周日的日均营业额估计当月营业额，当月的营业额为30×780＝23400（元）．【点评】本题主要考查了众数、平均数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握算术平均数的定义与样本估计总体思想的运用．20．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．【分析】（1）利用基本作图，先画出CD平分∠ACB，然后作DE⊥BC于E；（2）利用CD平分∠ACB得到∠BCD＝45°，再判断△CDE为等腰直角三角形，所以DE＝CE，然后证明△BDE∽△BAC，从而利用相似比计算出DE．【解答】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，即＝，∴DE＝．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21．（7分）端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子．节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个．这种粽子的标价是多少？【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，根据数量＝总价÷单价结合两次一共购买了27个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设这种粽子的标价是x元/个，则节后的价格是0.6x元/个，依题意，得：+＝27，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意．答：这种粽子的标价是8元/个．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，求得＝，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，于是得到DF与⊙O相切；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）DF与⊙O相切，理由：连接OD，∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∴DF与⊙O相切；（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC，∴，∴＝，∴BD＝．【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、切线的判定，证得∠BAD＝∠DAC是解题的关键．23．（8分）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B 的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，≈1.73）【分析】作BF⊥CE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．【解答】解：作BF⊥CE于F，在Rt△BFC中，BF＝BC•sin∠BCF≈3.20，CF＝BC•cos∠BCF≈3.85，在Rt△ADE中，DE＝＝＝≈1.73，∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，由勾股定理得，AB＝≈0.6（m），答：AB的长约为0.6m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24．（11分）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝85°．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3， (2017)2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC ＝n°，则∠BO1000C＝（m+n）度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案；②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF，∠ECF ＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，从而得∠F＝，代入计算可得；③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C 得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，代入可得答案；（2）由∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD，连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】解：（1）①如图2，在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF ＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如图3，由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C ﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③（m+n）；（2）如图5，连接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质∠BOC＝∠A+∠B+∠C及其运用，全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点．25．（12分）如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）＝4时，求点D的坐标；（3）如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A 交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．【分析】（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c即可求得二次函数的解析式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点H，在Rt△CHO中，可求得tan∠COH＝4，推出∠ACO＝∠CDO，可证△AOC∽△ACD，利用相似三角形的性质可求出AD的长度，进一步可求出点D的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；（3）设P（a，﹣a2﹣2a+3），P（a，﹣a2﹣2a+3），A（1，0）代入y＝kx+b，求出直线P A的解析式，求出点N的坐标，由S△BPM＝S△BP A﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN＝S△EBO ﹣S四边形BMNO，可推出S△BPM﹣S△EMN＝S△BP A﹣S△EBO﹣S△AON，再用含a的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值．【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，。

2019年数学中考试题及答案

2019年数学中考试题及答案

2019年数学中考试题及答案一、选择题1．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A．（6，4）B．（6，2）C．（4，4）D．（8，4）2．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()A．4B．5C．6D．73．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )A．平均数B．中位数C．众数D．方差4．如图的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B 点，甲虫沿大半圆弧ACB路线爬行，乙虫沿小半圆弧ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，则下列结论正确的是 ( )A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B点 D．无法确定5．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD AC⊥于点D，连接BD，BC，且10AB=，8AC=，则BD的长为（）A．25B．4C．213D．4.86．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是()A ．B ．C ．D ．7．实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若a b =，则下列结论中错误的是（ ）A ．0a b +>B ．0a c +>C ．0b c +>D ． 0ac <8．下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a=a 2B ．a 6÷a 2=a 3C ．a 2b ﹣2ba 2=﹣a 2bD ．（﹣32a ）3=﹣398a9．分式方程()()31112x x x x -=--+的解为（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =-D ．无解10．如果关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组0322(1)x ax x -⎧>⎪⎨⎪+<-⎩的解集为x ＞4，那么符合条件的所有整数a 的值之和是（ ） A ．7B ．8C ．4D ．511．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)ky x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36- 12．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元．A ．140B ．120C ．160D ．100二、填空题13．如图，已知AB ∥CD ，F 为CD 上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF ，若6°＜∠BAE ＜15°，∠C 的度数为整数，则∠C 的度数为_____．14．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）15．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_____.16．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．17．若ab＝2，则222a ba ab--的值为________．18．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为_____．19．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝_____．20．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是___．三、解答题21．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE=7，求图中阴影部分的面积；（3）若43ABAC=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．22．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．数学思考（1）设，点到的距离．①用含的代数式表示：的长是_________，的长是________；②与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全．．表格．654 3.53 2.5210.5000.55 1.2 1.58 1.0 2.473 4.29 5.08②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．23．荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的批发单价与进货量的函数关系如图所示．（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与进货量x（千克）之间的函数关系式；（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？24．如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．25．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt△ABC三个顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)写出A，C两点的坐标；(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C旋转至C2经过的路径长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 ADBG=，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴13 OA OB=∴0A1 4OA3= +解得：OA＝2，∴OB＝6，∴C点坐标为：（6，4），故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．2．C解析：C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键. 3．B解析：B【解析】【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选B．【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．4．C解析：C 【解析】12π(AA 1+A 1A 2+A 2A 3+A 3B)= 12π×AB ，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B 点。

2019年中考数学试卷及答案解析

2019年中考数学试卷及答案解析

2019年中考数学试卷及答案解析一、选择题（每小题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A∩B={( )}A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B. 22. 已知等比数列{an}的前三项分别为a1=2,a2=4,a3=8,则a6=（）A. 32B. 64C. 128D. 256答案：D. 2563. 已知正方形ABCD的边长为4，则正方形ABCD的面积为（）A. 8B. 16C. 32D. 64答案：B. 164. 已知函数f(x)=2x-1，则f(-2)=（）A. -3B. -1C. 1D. 3答案：A. -3二、填空题（每小题3分，共30分）5. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1=2,a2=5,a3=8，则公差d= __________答案：36. 已知函数f(x)=2x+3，则f(-1)= __________答案：17. 已知正方形ABCD的边长为3，则正方形ABCD的周长为__________答案：128. 已知集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A∪B= __________答案：{1,2,3,4,5}三、解答题（共40分）9. (本小题满分12分)已知等比数列{an}的前三项分别为a1=2,a2=4,a3=8，求该数列的通项公式。

解：由等比数列的定义可知，若a1≠0，且a2/a1=a3/a2=q，则数列{an}为等比数列，其通项公式为an=a1qn-1，由题意可得a1=2,q=a2/a1=4/2=2，故等比数列{an}的通项公式为an=2×2n-1=2n。

10. (本小题满分12分)已知函数f(x)=2x+3，求f(-2)的值。

解：由函数f(x)=2x+3可得，当x=-2时，f(-2)=2(-2)+3=-4+3=-1。

故f(-2)=-1。

11. (本小题满分16分)已知正方形ABCD的边长为4，求正方形ABCD的面积和周长。

2019全国各市中考真题(含解析)—福建省中考数学试卷

2019全国各市中考真题(含解析)—福建省中考数学试卷

2019年全国各省市中考数学真题（函解析）2019年福建省中考数学试卷4A . 72 X 10 5B . 7.2X 10 - c -6C. 7.2X10 6D. 0.72X 10（4分）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（C. 8（4分）如图是某班甲、乙、丙三位同学最近 5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统方t 图，则下列判断错误的是（」丁宇成般分104-A .甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高、选择题（每小题4分共40分）（4分）计算22+ （-1）0的结果是（A. 5C. 3D. 22. （4分）北京故宫的占地面积约为720000m 2将720000用科学记数法表示为（ 3. A.等边三角形B.直角三角形C.平行四边形D.正方形4. （4分）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是5. （4分）已知正多边形的一个外角为D.36。

，则该正多边形的边数为（D.6. A .C.70审 丙■班氢用均D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳10. （4 分）若二次函数 y= |a|x 2+bx+c 的图象经过 A （m,n ）、B （0,y 1）、C （3-m,n ）、D（N''2,y 2）、E （2,y 3）,则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A . y 1V y 2〈y 3B . y 1V y 3〈y 2C. y 3V y 2〈y 1D. y 2V y 3〈y 1二、填空题（每小题 4分共24分）2 -11. （4分）因式分解：x -9 =.12.（4分）如图，数轴上A 、B 两点所表示的数分别是- 4和2,点C 是线段AB 的中点，则点C 所表示的数是.AC Bt I n副 〉-4213. （4分）某校征集校运会会徽 ，遴选出甲、乙、丙三种图案.为了解何种图案更受欢迎，随机调查了该校100名学生，其中60名同学喜欢甲图案，若该校共有2000人,根据所学的统7. （4分）下列运算正确的是（ A. a?a 3=a 3 B.(2a) 3= 6a 3 8. C. a 6+a 3=a 2D.（4分）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好 (a 2) 3- (- a3) 2=0，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是 《孟子》一书共有34685个字,设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（A . x+2x+4x= 34685C. x+2x+2x= 34685B. x+2x+3x= 346859.4分）如图，PA 、PB 是。

2019年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷(扫描版 有答案)

2019年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷(扫描版 有答案)

2019年河北省初中毕业生升学文化课考试数 学 试 卷本试卷分卷I 和卷II 两部分；卷I 为选择题，卷II 为非选择题。

本试卷总分120分，考试时间120分钟。

卷I （选择题， 共42分）注意事项：1. 答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上.考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.答在试 卷上无效.一、选择题（本大题共16个小题，1~10小题，每小题3分；11~16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.计算（﹣20）+17的结果是 A ．﹣3 B ．3 C ．﹣2017D ．20172.下列计算正确的是 A ．a +a 2=a 3B ．2121=- C ．2a ·3a =6aD. 2+3=23 3.下列图形一定是轴对称图形的是 A ．直角三角形 B ．平行四边形 C ．直角梯形D ．正方形4.如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是 A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 两直线平行，内错角相等5.已知一次函数y=kx+b ﹣x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为 A ．k ＞1，b ＜0 B ．k ＞1，b ＞0 C ．k ＞0，b ＞0D ．k ＞0，b ＜06.如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB 等于 A ． 10 B ．7 C ． 6D ． 57.估计512介于 A ．0.4与0.5之间 B ．0.5与0.6之间 C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间8.如图，是由几个小立方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的立方体的个数，这个几何体的正视图是A. B. C. D. 9.圆内接四边形ABCD 中，已知∠A =70°，则∠C = A. 20° B. 30° C. 70°D. 110°10.如图,在平面直角坐标系中，直线2-+=x y 与反比例函数xy 1-=的图象有唯一公共点，若直线b x y +=-与反比例函数xy 1=的图象有2个公共点，则b 的取值范围是A DBCF EA.b>2B.-2<b<2C.b>2或b<-2D.b<-211.实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是A.ac ＞bcB. |a ﹣b|=a ﹣bC.﹣a ＜﹣b ＜cD.﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c12.甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为 A ．x x 80006005000=- B ．60080005000+=x x C ．xx 80006005000=+ D ．60080005000-=x x 13.如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为 A.3B.4C.5D.614.若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.2a ≥ B.2a ≤C.2a ＞D.2a ＜15.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=6，点E 在对角线BD 上，且BE=1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CDCF等于 A.21B.31C.32D.52 16.如图，AB 为半圆所在⊙O 的直径，弦CD 为定长且小于⊙O 的半径（C 点与A 点不重合），CF ⊥CD 交AB 于点F ，DE ⊥CD 交AB 于点E ，G 为半圆弧上的中点．当点C 在弧AG 上运动时，设弧AC 的长为x ，CF+DE=y ．则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A． B． C． D．2019年河北省初中毕业生升学文化课考试数 学 试 卷卷II （非选择题， 共78分）注意事项：1．答卷II 前，将密封线左侧的项目填写清楚。

2019年全国中考数学试卷-年山西省中考数学试卷含(解析版)

2019年全国中考数学试卷-年山西省中考数学试卷含(解析版)

2019年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．﹣3B．3C．D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2C．a2•a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b63．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（）A．青B．春C．梦D．想4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°6．（3分）不等式组的解集是（）A．x＞4B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣17．（3分）五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一”小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季168元/人．以此计算，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（）A．2.016×108元B．0.2016×107元C．2.016×107元D．2016×104元8．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝59．（3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝﹣x2C．y＝x2D．y＝﹣x210．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）化简﹣的结果是．12．（3分）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是．13．（3分）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为．14．（3分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A 坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：+（﹣）﹣2﹣3tan60°+（π﹣）0．（2）解方程组：17．（7分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：BC＝DF．18．（9分）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用（只写判断结果，不必写理由）．（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一个方面评价即可）．（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率．19．（8分）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．20．（9分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．课题测量旗杆的高度成员组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上．测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数25.6°25.8°25.7°∠GDE的度数31.2°30.8°31°A，B之间的距离 5.4m 5.6m……任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是m．任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）21．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I 的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IF A．∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA•BD＝DE•IF②任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．22．（11分）综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是，的值是．（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．23．（13分）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2019年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑1．（3分）﹣3的绝对值是（）A．﹣3B．3C．D．【分析】根据绝对值的定义，﹣3的绝对值是指在数轴上表示﹣3的点到原点的距离，即可得到正确答案．【解答】解：|﹣3|＝3．故﹣3的绝对值是3．故选：B．2．（3分）下列运算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．（a+2b）2＝a2+4b2C．a2•a3＝a6D．（﹣ab2）3＝﹣a3b6【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；B、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故此选项错误；C、a2•a3＝a5，故此选项错误；D、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，正确．故选：D．3．（3分）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是（）A．青B．春C．梦D．想【分析】根据正方体展开z字型和L型找对面的方法即可求解；【解答】解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”是对面；故选：B．4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC与点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°，∴∠ACB＝75°，在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°，∴∠AED＝145°﹣30°＝115°，∵a∥b，∴∠AED＝∠2+∠ACB，∴∠2＝115°﹣75°＝40°，故选：C．6．（3分）不等式组的解集是（）A．x＞4B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：，由①得：x＞4，由②得：x＞﹣1，不等式组的解集为：x＞4，故选：A．7．（3分）五台山景区空气清爽，景色宜人．“五一”小长假期间购票进山游客12万人次，再创历史新高．五台山景区门票价格旺季168元/人．以此计算，“五一”小长假期间五台山景区进山门票总收入用科学记数法表示（）A．2.016×108元B．0.2016×107元C．2.016×107元D．2016×104元【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．【解答】解：120000×168＝20160000＝2.016×107，故选：C．8．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5【分析】移项，配方，即可得出选项．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故选：D．9．（3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝﹣x2C．y＝x2D．y＝﹣x2【分析】直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2，将B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452，解得：a＝﹣，故此抛物线钢拱的函数表达式为：y＝﹣x2．故选：B．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：＝，故选：A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）化简﹣的结果是．【分析】先把异分母转化成同分母，再把分子相减即可．【解答】解：原式＝．故答案为：12．（3分）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是扇形统计图．【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．【解答】解：要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图．故答案为：扇形统计图13．（3分）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m2，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为（12﹣x）（8﹣x）＝77．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．【解答】解：∵道路的宽应为x米，∴由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝77，故答案为：（12﹣x）（8﹣x）＝77．14．（3分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为16．【分析】要求k的值，求出点C坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出k的值．【解答】解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，∵ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，易证△ADF≌△BCE，∵点A（﹣4，0），D（﹣1，4），∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA﹣OF＝3，在Rt△ADF中，AD＝，∴OE＝EF﹣OF＝5﹣1＝4，∴C（4，4）∴k＝4×4＝16故答案为：16．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（10﹣2）cm．【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝10﹣2．【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3，在Rt△AFG中，GF＝＝，AF＝2FG＝2，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2，故答案为：10﹣2．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：+（﹣）﹣2﹣3tan60°+（π﹣）0．（2）解方程组：【分析】（1）先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数，0次幂进行计算，再合并同类二次根式；（2）用加减法进行解答便可．【解答】解：（1）原式＝3+4﹣3+1＝5；（2）①+②得，4x＝﹣8，∴x＝﹣2，把x＝﹣2代入①得，﹣6﹣2y＝﹣8，∴y＝1，∴．17．（7分）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD＝BE，AC∥EF，∠C＝∠F．求证：BC＝DF．【分析】由已知得出AB＝ED，由平行线的性质得出∠A＝∠E，由AAS证明△ABC≌△EDF，即可得出结论．【解答】证明：∵AD＝BE，∴AD﹣BD＝BE﹣BD，∴AB＝ED，∵AC∥EF，∴∠A＝∠E，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（AAS），∴BC＝DF．18．（9分）中华人民共和国第二届青年运动会（简称二青会）将于2019年8月在山西举行．太原市作为主赛区，将承担多项赛事，现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分．各班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成绩绘制了如图所示的统计图．请解答下列问题：（1）甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录用（只写判断结果，不必写理由）．（2）请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价（从“众数”，“中位数”，或“平均数”中的一个方面评价即可）．（3）甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A，B，C，D表示．现把分别印有A，B，C，D的四张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．志愿者小玲从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率．【分析】（1）判断小华和小丽在各自班级的名次即可得出答案；（2）分别得出甲乙两班的众数、中位数和平均数，再判断大小即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）小华在甲班是第11名，不能录用；小丽在乙班是第10名，可以录用；（2）从众数来看，甲乙两班各被录用的10名志愿者的众数分别为8分、10分，说明甲班被录用的10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多；从中位数来看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分、8.5分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数；从平均数看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分、8.7分，说明甲班被录用的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数．（3）画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的有2种结果，所以抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率为＝．19．（8分）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可得到结论．【解答】解：（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1＝30x+200，方式二的费用为：y2＝40x；（2）由y1＜y2得：30x+200＜40x，解得x＞20时，当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．20．（9分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．课题测量旗杆的高度成员组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上．测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数25.6°25.8°25.7°∠GDE的度数31.2°30.8°31°A，B之间的距离 5.4m 5.6m……任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 5.5m．任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）【分析】任务一：根据矩形的性质得到EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5；任务二：设EC＝xm，解直角三角形即可得到结论；任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到等（答案不唯一）．【解答】解：任务一：由题意可得，四边形ACDB，四边形ADEH是矩形，∴EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5，故答案为：5.5；任务二：设EC＝xm，在Rt△DEG中，∠DEC＝90°，∠GDE＝31°，∵tan31°＝，∴DE＝，在Rt△CEG中，∠CEG＝90°，∠GCE＝25.7°，∵tan25.7°＝，CE＝，∵CD＝CE﹣DE，∴﹣＝5.5，∴x＝13.2，∴GH＝CE+EH＝13.2+1.5＝14.7，答：旗杆GH的高度为14.7米；任务三：没有太阳光，或旗杆底部不可能达到．21．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I 的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IF A．∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA•BD＝DE•IF②任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝R﹣d（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．【分析】（1）直接观察可得；（2）BD＝ID，只要证明∠BID＝∠DBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证；（3）应用（1）（2）结论即可；（4）直接代入计算．【解答】解：（1）∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d；（2）BD＝ID理由如下：如图3，过点I作⊙O直径MN，连接AI交⊙O于D，连接MD，BI，BD，∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID（3）由（2）知：BD＝ID∴IA•ID＝DE•IF∵DE•IF＝IM•IN∴2R•r＝（R+d）（R﹣d）∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr（4）由（3）知：d2＝R2﹣2Rr；将R＝5，r＝2代入得：d2＝52﹣2×5×2＝5，∵d＞0∴d＝故答案为：．22．（11分）综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上．此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一条直线上，折痕分别为CE，CF．如图2．第二步：再沿AC所在的直线折叠，△ACE与△ACF重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，∠BEC的度数是67.5°，的值是．（2）在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：菱形EMCH或菱形FGCH．【分析】（1）由折叠的性质得BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD，由正方形性质得∠EAF＝90°，推出∠AEF＝∠AFE＝45°，得出∠BEN＝135°，∠BEC＝67.5°，证得△AEN是等腰直角三角形，得出AE＝EN，即可得出结果；（2）由正方形性质得∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折叠的性质得∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD，CM＝CG，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC，得出∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD＝22.5°，∠BEC ＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC＝67.5°，由折叠可知MH、GH分别垂直平分EC、FC，得出MC＝ME＝CG＝GF，推出∠MEC＝∠BCE＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝22.5°，∠MEF＝90°，∠GFE＝90°，推出∠CMG＝45°，∠BME＝45°，得出∠EMG＝90°，即可得出结论；（3）连接EH、FH，由折叠可知MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平分MH、GH，则四边形EMCH与四边形FGCH是菱形．【解答】解：（1）由折叠的性质得：BE＝EN，AE＝AF，∠CEB＝∠CEN，∠BAC＝∠CAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF＝90°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴∠BEN＝135°，∴∠BEC＝67.5°，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∵∠AEF＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AE＝EN，∴＝＝；故答案为：67.5°，；（2）四边形EMGF是矩形；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，由折叠的性质得：∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD，CM＝CG，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC，∴∠BCE＝∠ECA＝∠ACF＝∠FCD＝＝22.5°，∠BEC＝∠NEC＝∠NFC＝∠DFC＝67.5°，由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，∴MC＝ME＝CG＝GF，∴∠MEC＝∠BCE＝22.5°，∠GFC＝∠FCD＝22.5°，∴∠MEF＝90°，∠GFE＝90°，∵∠MCG＝90°，CM＝CG，∴∠CMG＝45°，∵∠BME＝∠BCE+∠MEC＝22.5°+22.5°＝45°，∴∠EMG＝180°﹣∠CMG﹣∠BME＝90°，∴四边形EMGF是矩形；（3）连接EH、FH，如图所示：∵由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC、FC，同时EC、FC也分别垂直平分MH、GH，∴四边形EMCH与四边形FGCH是菱形，故答案为：菱形EMCH或菱形FGCH．23．（13分）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线交点式表达，即可求解；（2）利用S△BDC＝HB×OB，即可求解；（3）分BD是平行四边形的一条边、BD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，即﹣8a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6；（2）点C（0，6），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，。

(完整)2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程和应用(含答案),推荐文档

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2019 年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程及应用一、选择题1.（2019 年ft东省滨州市）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0 时，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3【考点】解一元二次方程【解答】解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，故选：D．2.（2019 年四川省达州市）某公司今年4 月的营业额为2500 万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100 万元，设该公司5、6 两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1+x%）2＝9100 C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该公司5、6 两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．故选：D．1 1 3.（2019 年广西贵港市）若α，β是关于x 的一元二次方程x2-2x+m=0 的两实根，且α+β=- 23，则m 等于（）A. - 2B. - 3C. 2D. 3【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：α，β 是关于x 的一元二次方程x2-2x+m=0 的两实根，∴α+β=2，αβ=m，∵+ = = =- ，∴m=-3；故选：B．4.（2019 年江苏省泰州市）方程2x2+6x－1=0 的两根为x1、x2，则x1+x2等于（）A．－6 B．6 C．－3 D． 3【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】试题分析：∵一元二次方程2x2+6x－1=0 的两个实根分别为x1，x2，由两根之和可得;6∴x1+x2=﹣2 =3，故答案为：C．5. （2019 年河南省）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A．6.（2019 年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016 年人均年收入20000 元，到2018 年人均年收入达到39200 元．则该地区居民年人均收入平均增长率为．（用百分数表示）【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，20000（1+x）2＝39200，解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，故答案为：40%．7.（2019 年甘肃省）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0 的一根为x＝﹣1，则k 的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 或﹣1 D．2 或0【考点】一元二次方程的解【解答】解：把x＝﹣1 代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选：A．8.（2019 年湖北省鄂州市）关于x 的一元二次方程x2﹣4x+m＝0 的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m 的值为（）A．B．C．D．0【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：∵x1+x2＝4，∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，∴x2＝，把x2＝代入x2﹣4x+m＝0 得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，故选：A．9.（2019 年湖北省荆州市）若一次函数y＝kx+b 的图象不经过第二象限，则关于x 的方程x2+kx+b＝0 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵一次函数y＝kx+b 的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴△＝k2﹣4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．10.（2019 年黑龙江省伊春市）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：1+x+x2＝43，解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．故选：C．11.（2019 年内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b 是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0 的两根，则m 的值是（）A．34 B．30 C．30 或34 D．30 或36【考点】一元二次方程根与系数的关系【解答】解：当a＝4 时，b＜8，∵a、b 是关于x 的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0 的两根，∴4+b＝12，∴b＝8 不符合；当b＝4 时，a＜8，∵a、b 是关于x 的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0 的两根，∴4+a＝12，∴a＝8 不符合；当a＝b 时，∵a、b 是关于x 的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0 的两根，∴12＝2a＝2b，∴a＝b＝6，∴m+2＝36，∴m＝34；故选：A．12.（2019 年内蒙古赤峰市）某品牌手机三月份销售400 万部，四月份、五月份销售量连2 1 1 2 1 1 2 1 2 1续增长，五月份销售量达到 900 万部，求月平均增长率．设月平均增长率为 x ，根据题意列方程为（）A ．400（1+x 2）＝900B ．400（1+2x ）＝900C ．900（1﹣x ）2＝400 【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设月平均增长率为x ， D ．400（1+x ）2＝900根据题意得：400（1+x ）2＝900． 故选：D ．13. （2019 年内蒙古呼和浩特市）若 x 1，x 2 是一元二次方程 x 2+x ﹣3＝0 的两个实数根，则x 22﹣41x 2+17 的值为（ ） A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．4【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x 1，x 2 是一元二次方程 x 2+x ﹣3＝0 的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣1，x 1•x 2＝﹣3，1 x 2+x 1＝3，∴x 2﹣4x 2+17＝x 2+x 2﹣5x 2+17＝（x +x ）2﹣2x x ﹣5x 2+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣51x 2+17＝24﹣25x 2＝24﹣5（1﹣1﹣x ）2＝＝24﹣5（3+1）＝4， 故选：D ．x 2+x +1）14.（2019 年内蒙古通辽市）一个菱形的边长是方程 x 2﹣8x +15＝0 的一个根，其中一条对角线长为 8，则该菱形的面积为（ ） A ．48 B ．24 C ．24 或 40 D ．48 或 80 【考点】一元二次方程的应用 【解答】解：（x ﹣5）（x ﹣3） ＝0，所以 x 1＝5，x 2＝3，∵菱形一条对角线长为 8， ∴菱形的边长为 5，∴菱形的另一条对角线为 2 ＝6，∴菱形的面积＝×6×8＝24．故选：B．15.（2019 年新疆）若关于x 的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0 有两个实数根，则k 的取值范围是（）A.k≤ B．k＞C．k＜且k≠1D．k≤ 且k≠1【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0 有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠1．故选：D．16.（2019 年新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【考点】一元二次方程的应用【解答】解：设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选：A．二、填空题1.（2019 年上海市）如果关于x 的方程x2﹣x+m＝0 没有实数根，那么实数m 的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，1 1＞＞∴m 4．故填空答案：m 4．2.（2019 年ft东省济宁市）已知x＝1 是方程x2+bx﹣2＝0 的一个根，则方程的另一个根是．【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解答】解：∵x＝1 是方程x2+bx﹣2＝0 的一个根，∴x1x2＝＝﹣2，∴1×x2＝﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故答案为﹣2．3.（2019 年ft东省青岛市）若关于x 的一元二次方程2x2﹣x+m＝0 有两个相等的实数根，则m 的值为．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：根据题意得：△＝1﹣4×2m＝0，整理得：1﹣8m＝0，解得：m＝，故答案为：．4.（2019 年ft东省枣庄市）已知关于x 的方程ax2+2x﹣3＝0 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由关于x 的方程ax2+2x﹣3＝0 有两个不相等的实数根得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，解得a＞则a＞且a≠0故答案为a＞且a≠05.（2019 年四川省资阳市）a 是方程2x2＝x+4 的一个根，则代数式4a2﹣2a 的值是．【考点】一元二次方程的解【解答】解：∵a 是方程2x2＝x+4 的一个根，∴2a2﹣a＝4，∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．故答案为：8．6.（2019 年江苏省泰州市）若关于x 的方程x2+2x+m＝0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】∵关于x 的方程x2+2x+m＝0 有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4m＞0解得：m＜1，∴m 的取值范围是m＜1.故答案为：m＜1.7.（2019 年江苏省扬州市）一元二次方程x(x - 2)=x - 2 的根为.【考点】一元二次方程的解法【解答】解：x(x - 2)=x - 2(x -1)(x - 2)= 0 x1=1，x2=28.（2019 年湖北省十堰市）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．【考点】一元二次方程的解法【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0 或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．故答案为﹣3 或4．9.（2019 年甘肃省武威市）关于x 的一元二次方程x2+ x+1＝0 有两个相等的实数根，则m 的取值为．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0 得m＝4故答案为410.（2019 年辽宁省本溪市）如果关于x 的一元二次方程x2﹣4x+k＝0 有实数根，那么k 的取值范围是．【考点】一元二次方程根的判别式【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k≥0，解得：k≤4．故答案为：k≤4．11.（2019 年西藏）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0 的根是．【考点】一元二次方程的解法【解答】解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．故答案为x1＝，x2＝．三、解答题1.（2019 年安徽省）解方程（）-1 2 =4【考点】一元二次方程的解法【解答】利用直接开平方法：x-1=2 或x-1=-2∴x1 = 3，x2 = ‒ 12.（2019 年北京市）关于x 的方程x2 - 2x + 2m -1 = 0 有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法【解答】∵ x2 - 2x + 2m -1 = 0 有实数根，∴△≥0，即(-2)2 - 4(2m -1) ≥ 0 ，∴ m ≤ 1∵m 为正整数，∴ m = 1，故此时二次方程为x2 - 2x +1 = 0, 即(x -1)2 = 0∴ x1=x2= 1 ，∴ m = 1，此时方程的根为x1=x2= 13.（2019 年乐ft市）已知关于x 的一元二次方程x2 - (k + 4)x + 4k = 0 .+ = ，∴ = ， 即 = ，（1） 求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根；（2） 若方程的两个实数根为 x 1 、 x 2 ，满足 1 + 1x 1 x 2= 3，求k 的值； 4（3） 若 Rt △ ABC 的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 x 1 、 x 2 ，求 Rt ∆ABC 的内切圆半径.【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数关系、内切圆【解答】（1）证明：∆ = (k + 4)2 -16k = k 2 - 8k + 16 = (k - 4)2 ≥ 0 ， ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根.（2）由题意得： x 1 + x 2 = k + 4 ， x 1 ⋅ x 2 = 4k ，1 1 3 x 1 + x23 k +4 3x 1 x 2 4 x 1 ⋅ x 2 44k 4 解得： k = 2 ；（3）解方程得： x 1 = 4 ， x 2 = k ，根据题意得： 42 + k 2 = 52 ，即 k = 3 ， 设直角三角形 ABC 的内切圆半径为 r ，如图， 4 由切线长定理可得： (3 - r ) + (4 - r ) = 5 ，∴直角三角形 ABC 的内切圆半径 r =3 +4 -5 = 1；24.（2019 年重庆市）某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方米住宅套数是 80 平方米住宅套数的 2 倍．物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．（1） 该小区每月可收取物管费 90000 元，问该小区共有多少套 80 平方米的住宅？（2） 为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司 5 月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6 月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础上将增 加 2a %，每户物管费将会减少 a %；6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份rr 5 r参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6 月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a 的值．【考点】一元一次方程的应用与解法、一元二次方程的应用与解法【解答】（1）解：设该小区有x 套80 平方米住宅，则50 平方米住宅有2x 套，由题意得：2（50×2x+80x）＝90000，解得x＝250答：该小区共有250 套80 平方米的住宅．（2）参与活动一：50 平方米住宅每户所交物管费为100 元，有500×40%＝200 户参与活动一，80 平方米住宅每户所交物管费为160 元，有250×20%＝50 户参与活动一；参与活动二：50 平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣ %）元，有200（1+2a%）户参与活动二；80 平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣ %）元，有50（1+6a%）户参与活动二．由题意得100（1﹣ %）•200（1+2a%）+160（1﹣ %）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0∴t1＝0（舍），t2＝，∴a＝50．答：a 的值为50．5.（2019 年ft东省德州市）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．【考点】一元二次方程的应用与解法【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：⎩⎩128+128（1+x ）+128（1+x ）2=608 化简得：4x 2+12x -7=0 ∴（2x -1）（2x +7）=0， ∴x =0.5=50%或 x =-3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为 50%． （2）∵进馆人次的月平均增长率为 50%，27∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128× 8 =432＜500 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．6. （2019 年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。

2019年河北省中考数学试卷(含答案解析),推荐文档

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x+ x ≤ 5 8∠FECA. 30︒B. 25︒C. 20︒D. 15︒A. +3B. -3C. - 13 D. + 13绝密★启用前A. B.C.D.河北省 2019 年初中毕业生升学文化课考试数 学一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分，1-10 小题各 3 分，11-16 小题各 2 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列图形为正多边形的是（ ）5.如图，菱形 ABCD 中，∠D = 150︒ ，则 ∠1 = （）6.小明总结了以下结论：① a (b + c ) = ab + ac ；② a (b - c ) = ab - ac ；③(b - c ) ÷ a ＝b ÷ a - c ÷ a (a ≠ 0) ；④ a ÷ (b + c ) = a ÷ b + a ÷ c (a ≠ 0) A B C D2. 规定：（→2）表示向右移动 2 记作+2，则（←3）表示向左移动 3 记作（）3. 如图，从点 C 观测点 D 的仰角是（）A. ∠DABB.∠DCEC.∠DCAD.∠ADC4. 语句 x 的 1与 x 的和不超过 5 可以表示为（）其中一定成立的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.47.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是 （）8A.◎代表B.@代表同位角数学试卷 第 1 页（共 38 页）数学试卷 第 2 页（共 8 页）x+ x ≥ 5 8在 此卷上答题无效毕业学校姓名考生号8 ≤ 5 x + 58 =5 x + 5y =x⎧1(x＞0，)⎨⎪⎩xx＜0-1( )C. ▲代表D. ※代表AB1 1A.②→③→①→④B.③→④→①→②8.一次抽奖活动特等奖的中奖率为50000，把50000用科学记数法表示为（） C.①→②一④→③ D.②→④→③→①12.如图，函数的图象所在坐标系的原点是（）9.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6 个小正三角形涂黑，还需涂黑n 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n 的最小值为（） A.点M B.点N C.点P D.点QA.10B.6C.3D.213. 如图，若x 为正整数，则表示的值的点落在（）10.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A B C D11.某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；②去图书馆收集学生借阅图书的记录A.段①B.段②C.段③D.段④③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；④整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）14.图2 是图1 中长方体的三视图，若用S 表示面积，S主＝，2＝+2，x S左x2+x 则（）数学试卷第3 页（共38 页）数学试卷第4 页（共38 页）S俯＝D. 2 ⨯10﹣5C. 2 ⨯10﹣4B. 5 ⨯10﹣5A. 5 ⨯10﹣4x2 + 4x + 4 x +11-(x + 2)2∠EFC215. 小刚在解关于 x 的方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 时，只抄对了 a = 1 ， b = 4 ，解出其中一个根是 x = -1 .他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2.则原方程的根的情况是（）A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根 .下列正确的是 （）A.甲的思路错，他的 n 值对B.乙的思路和他的 n 值都对C.甲和丙的 n 值都对D.甲、乙的思路都错，而丙的思路对二、填空题（本大题有 3 个小题，共 11 分，17 小题 3 分：18～19 小题各有 2 个空，每空 2 分，把答案写在题中横线上）17.若 7-2 ⨯ 7-1 ⨯ 70＝7 p ，则 p 的值为.18. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的C.有一个根是D.有两个相等的实数根数.16.对于题目：如图 1，平面上，正方形内有一长为 12、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n .甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x ，再取最小整数 n .甲：如图 2，思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n = 13 .示例：乙：如图 3，思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n = 14 .丙：如图 4，思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 2 倍时就可移转过去；结果取则（1）用含 x 的式子表示 m = ；（2）当 y = -2 时，n 的值为.数学试卷 第 5 页（共 38 页） 数学试卷 第 6 页（共 8 页）D. 2x 2+ 3x C. x 2+ 2x + 1 B. x 2+ 2 A. x 2+ 3x + 2 即 4 + 3 = 7x = -1n = 13 在 此卷上答题无效毕业学校姓名考生号19. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（单位：km ）笔直铁路经过 A ，B 两地.（1） A ，B 间的距离为km ；（2） 计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l ，并在 l 上建一个维修站 D ，使 D 到A ，C 的距离相等，则 C ，D 间的距离为 km三、解答题（本大题有 7 个小题，共 67 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.有个填写运算符号的游戏：在“ 1□2□ 6 9 ”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果.（1）计算： 1 + 2 - 6 - 9 ；（2）若1 ÷ 2 ⨯ 6 9 = -6 ，请推算□内的符号；（3） 在“ 1□2□ 6 - 9 ”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数. 21.已知：整式 A =（﹣2 ）1 2（+）2n 2，整式 B ＞0 .22. 某球室有三种品牌的 4 个乒乓球，价格是 7，8，9（单位：元）三种.从中随机拿出一个球，已知 P （一次拿到 8 元球）= 1 .2（1） 求这 4 个球价格的众数；（2） 若甲组已拿走一个 7 元球训练，乙组准备从剩余3 个球中随机拿一个训练.①所剩的 3 个球价格的中位数与原来 4 个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到 8 元球的概率.直角三角形三边n 2 -12nB勾股数组Ⅰ / 8 勾股数组Ⅱ35/发现 A = B 2，求整式 B .联想由上可知，B 2= (n2-1)2+ (2n)2，当n＞1 时，n2 -1 ，2n，B 为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B 的值：数学试卷第7 页（共38 数学试卷第8 页（共38 页）页）23. 如图△ABC 和△ADE 中， AB = AD = 6，，C = DE ∠B = ∠D = 30︒ ，边 AD 与边BC 交于点 P （不与点 B ，C 重合），点 B ，E 在 AD 异侧，I 为△APC 的内心.的距离为 S 甲（ m，求 S 甲 与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）（1） 求证： （2） 设甲这次往返队伍的总时间为 T （s ），求 T 与 v 的函数关系式（不写 v 的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.（2） 设 AP = x ，请用含 x 的式子表示 PD ，并求 PD 的最大值；（3） 当 AB ⊥ AC 时， ∠AIC 的取值范围为 m ︒＜∠AIC n ︒ ，分别直接写出 m ，n 的25. 如图 1 和 2，ABCD AB = 3，，C = 15 tan ∠DAB = 4中， 3点P 为AB 延长线上一点，值.24. 长为 300 m 的春游队伍，以 v （m /s ）的速度向东行进，如图 1 和图 2，当队伍排尾行进到位置 O 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的 过点 A 作 O 切 CP 于点 P ，设 BP = x .（1） 如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？若此时 O 交 AD 于点 E ，直接指出PE 与 BC 的位置关系；（2） 当 x = 4 时，如图 2， O 与 AC 交于点 Q ， 求∠CAP 的度数，并通过计算比较往返速度均为 2v （m /s ），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置 O开始行进的时间为 t （s ），排头与 O 的距离为 S 头（m ）.弦 AP 与劣弧 长度的大小；（1） 当 v = 2 时，解答：①求 S 头 与 t 的函数关系式（不写 t 的取值范围）；（3） 当 O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围.26. 如图，若 b 是正数，直线 l ： y = b 与 y 轴交于点 A ；直线 a ：y = x - b 与 y 轴交于点B ；抛物线 L ： y = -x 2 + bx 的顶点为C ，且 L 与 x 轴右交点为D .②当甲赶到排头位置时，求 S 头 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 O数学试卷 第 11 页（共 38 页）数学试卷 第 12 页（共 38 页）PQ ∠BAD ＝；CAE在此 卷上答题无效毕业学校姓名考生号（1）若AB 8 ，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标；数学试卷第9 页（共38 页）数学试卷第10 页（共8 页）（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a 和L 上，且y3河北省2019 年初中毕业生升学文化课考试是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为美点，分别直接写出b = 2019和b = 2019.5 时“美点”的个数.一、选择题1.【答案】D数学答案解析【解析】正五边形五个角相等，五条边都相等，故选：D。

2019年全国中考数学真题分类汇编：数学文化(含答案)

2019年全国中考数学真题分类汇编：数学文化(含答案)

2019年全国中考数学真题分类汇编：数学文化一、选择题1. （2019年乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。

问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ） ()A 1,11()B 7,53 ()C 7,61 ()D 6,50【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设人数x 人，物价y 钱.⎩⎨⎧=+=-y x yx 4738解得：⎩⎨⎧==537y x ，故选B.2.（2019年重庆市）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，依题意，得：．故选：A ．3. （2019年山东省德州市）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（）A. B. C. D.【考点】二元一次方程组的解法与应用、数学文化【解答】解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，故选：B．4. （2019年湖北省襄阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝D．＝【考点】一元一次方程的应用【解答】解：设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45＝7x+3．故选：B．5. （2019年湖北省宜昌市）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（）A．6B．6C．18 D．【考点】二次根式的应用【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝6．∴p＝＝9，∴△ABC的面积S＝＝6；故选：A．6．（2019年福建省）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685C．x+2x+2x＝34685 D．x+x+x＝34685【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解答】解：设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x＝34685，故选：A．7．（2019年吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：．故选：D．8．（2019年甘肃兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解答】解：由题意可得，，故选：C．9．（2019年湖南省长沙市）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解答】解：由题意可得，，故选：A．10．（2019年浙江省舟山市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A．B．C．D．【考点】二元一次方程组的应用【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故选：D．11．（2019年浙江省宁波市）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【考点】勾股定理【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．二、填空题1. （2019年上海市）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛．斛米．（注：斛是古代一种容量单位）【考点】二元一次方程组的解法【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则，故5x+x+y+5y＝5，则x+y．答：1大桶加1小桶共盛斛米．故答案为：．2. （2019年辽宁省大连市）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为．【考点】二元一次方程组的应用【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意得：，故答案为．3．（2019年江苏省南通市）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为．【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得：9x﹣11＝6x+16．故答案为：9x﹣11＝6x+16．4．（2019年湖南省株洲市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得：（100﹣60）t＝100，解得：t＝2.5，∴100t＝100×2.5＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．5．（2019年湖北省咸宁市）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为．【解答】二元一次方程组的应用【考点】解：设木条长x尺，绳子长y尺，依题意，得：．故答案为：．6．（2019年江苏省泰安市）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为____ ．【解答】由实际问题抽象出二元一次方程组【考点】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．7．（2019年宁夏自治区）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是．（只填序号）【解答】一元二次方程的应用【考点】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，据此易得x＝6．故答案为：②．8．（2019年甘肃白银）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5 （精确到0.1）．【解答】利用频率估计概率【考点】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．三、解答题1. （2019年甘肃省）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【考点】一元一次方程的解法及应用【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．2．（2019年湖北省黄石市）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【解答】一元一次方程的应用【考点】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得x：600＝100：60∴x＝1000∴1000﹣600﹣100＝300答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得y＝200+y∴y＝500答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．。

2019全国中考数学真题分类含答案解析-知识点48 几何最值2019

2019全国中考数学真题分类含答案解析-知识点48 几何最值2019

一、选择题12．（2019·长沙）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+5 BD的最小值是【】A．25B．45C．53D．10【答案】B二、填空题16．（2019·黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点.若∠CMD＝120°，则CD的最大值是.【答案】14【解析】将△CAM沿CM翻折到△CA′M，将△DBM沿DM翻折至△DB′M，则A′M＝B′M，∠AMC＝∠A′MC，∠DMB＝∠DMB′，∵∠CMD＝120°，∴∠AMC+∠DMB＝∠A′MC+∠DMB′＝60°，∴∠A′MB′＝180°-（∠AMC+∠DMB+∠A′MC+∠DMB′）＝60°，∴△A′MB′是等边三角形，又∵AC＝2，BD＝8，AB＝8.点M为AB的中点，∴A′B′＝A′M＝B′M＝AM＝12AB＝4，CA′＝AC＝2，DB′＝DB＝8，又CD≤CA′+A′B′+DB′＝2+4+8＝14.三、解答题24．（2019山东威海，24，12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE ＝EF ；（2）求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； （3）求△BEF 面积的最大值． 【解题过程】（1）证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 于M ，交BC 于N ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ⊥AD ， ∴MN ⊥AD ，MN ⊥BC ， ∴∠AME ＝∠FNE ＝90°＝∠NFE ＋∠FEN ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠AEM ＋∠FEN ＝90°， ∴∠AEM ＝∠NFE ， ∵∠DBC ＝45°，∠BNE ＝90°， ∴BN ＝EN ＝AM .∴△AEM ≌△EFN （AAS ）. ∴AE ＝EF .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDE ， ∵DE ＝DE ，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴AE ＝CE ＝EF .（2）在Rt △BCD 中，由勾股定理得：BD＝，∴0≤x ≤. 由题意，得BE ＝2x ，∴BN ＝EN x.由（1）知：△AEM ≌△EFN ， ∴ME ＝FN ，∵AB ＝MN ＝10，∴ME ＝FN ＝10x ，如图（1），当0≤x ≤2时， ∴BF ＝FN －BN ＝10x x ＝10－x . ∴y ＝12BF ·EN ＝1(102-＝－2x 2＋（0≤x ≤2）； 如图（2）x ≤∴BF ＝BN －FNx －（10x）＝－10， ∴y ＝12BF ·EN＝12-＝2x 2－（2≤x≤.∴222(0);22(2x x y x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩（1） （2） （3）y ＝－2x 2＋5x ＝－2（x－524）2＋254，∵－2＜0， ∴当x ＝524时，y 有最大值是；即△BEF 面积的最大值是；＜x ≤ y ＝2x 2－＝22()4x -－254， 此时2＞0，开口向上，对称轴为直线x ＝4， ∵对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝y 最大值＝50.∴当x ＝BEF 面积的最大值是50.【知识点】四边形综合运用，二次函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形全等的判定. 25．（2019山东省威海市，题号25，分值12） （1）方法选择如图①，四边形ABCD 是OO 的内接四边形，连接AC ，BD .AB ＝BC ＝AC . 求证：BD ＝AD ＋CD .小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ..…… 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN ＝AD …… 请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC .试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论. 【探究2】如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是. （3）拓展猜想如图④，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD .若BC 是O 0的直径，BC ：AC ：AB ＝a ：b ：c ，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是.【思路分析】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，由旋转全等得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，由旋转全等得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD 【探究2】数量关系为：BD ＝2AD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形， 由旋转相似得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD （3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a bAD ＋cb CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，由旋转相似得=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， 图①图②B图③BC 图④BC∴BQ ＝c b CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a bAD ＋c b CD【解题过程】（1）选小颖的截长法，如图①，在DB 上截取DM ＝AD ，连接AM ，可得△AMD 为等边三角形，可证△BAM ≌△CAD （SAS ）得BM ＝CD ，∴BD ＝MD ＋BM ＝AD ＋CD（2）【探究1】数量关系为：BDAD ＋CD如图②，在DB 上截取AD ＝AN ，连接AN ，可得△AND 为等腰直角三角形，∴NDAD ，∠BAN ＝∠CAD ，可证△BAN ≌△CAD （SAS ）得BN ＝CD ，∴BD ＝ND ＋BNAD ＋CD【探究2】数量关系为：BD ＝2AD如图③，在DB 上截取2AD ＝PD ，连接AP ，可得△APD 为30°的直角三角形，∴=tan 30AP ABAD AC=︒∠BAP ＝∠CAD ，可证△BAP ∽△CAD 得BP，∴BD ＝PD ＋BP ＝2ADCD答案图①答案图②B（3）拓展猜想数量关系为：BD ＝a bAD ＋c b CD如图④，过A 作AQ ⊥AD 交BD 于Q ，连接AQ ，可得∠BAQ ＝∠CAD ，∠ABQ ＝∠ACD ，∠ADQ ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠QAD ∴△BAP ∽△CAD ，△ADQ ∽△ACB ∴=BQ AB c CD AC b =，=DQ BC aAD AC b=， ∴BQ ＝c b CD ，BQ ＝a b AD ，∴BD ＝PD ＋BP ＝a bAD ＋cb CD26．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动. (1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD 的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.第26题图 第26题备用图【解题过程】（1）如图1，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E.答案图③B答案图④BC第26题答图1∵矩形ABCD 中，CD ⊥AD ， ∴∠CDE+∠ADO=90°， 又∵∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠CDE=∠OAD=30°. 在Rt △CED 中，CE=21CD=2， ∴DE=32242222=-=-CE CD ; 在Rt △OAD 中，∠OAD=30°， ∴OD=21AD=3. ∴点C 的坐标为(2，323+). (2)∵M 为AD 的中点， ∴DM=3，6=DCM S △. 又∵221=OMCD S 四边形， ∴29=ODM S △， ∴9=OAD S △. 设OA=x ，OD=y ，则⎪⎩⎪⎨⎧==+9213622xy y x ， ∴xy y x 222=+， 即0)(2=-y x ， ∴x=y.将x=y 代入3622=+y x 得182=x ， 解得23=x (23-不合题意，舍去)， ∴OA 的长为23.（3）OC 的最大值为8.理由如下： 如图2，第26题答图2 ∵M 为AD 的中点，∴OM=3，522=+=DM CD CM .∴OC ≤OM+CM=8,当O 、M 、C 三点在同一直线时，OC 有最大值8.连接OC ，则此时OC 与AD 的交点为M ，过点O 作ON ⊥AD ，垂足为N. ∵∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN ， ∴△CMD ∽△OMN ， ∴OM CMMN DM ON CD ==， 即3534==MN ON ， 解得59=MN ，512=ON ， ∴56=-=MN AM AN . 在Rt △OAN 中，∵55622=+=AN ON OA ， ∴55cos ==∠OA AN OAD . 26．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以cm/s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB′的值最小？并求出最小值．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵BP⊥PQ，∴2BP＝BQ即2（6－t）＝6＋t，解得t＝2．∴当t为2时，△BPQ为直角三角形；（2）存在．作射线BF，∵PE⊥AC，∴AE＝0.5t．∵四边形CQFE是平行四边形，∴FQ＝EC＝6－0.5t，∵BF 平分∠ABC，∴∠FBQ＋∠BQF＝90°．∵BQ＝2FQ，BQ＝6＋t，∴6＋t＝2（6－0.5t），解得t＝3．（3）过点P作PG∥CQ交AC于点G，则△APG是等边三角形．∵BP⊥PQ，∴EG＝12AG．∵PG∥CQ，∴∠PGD＝∠QCD，∵∠PDG＝∠QDC，PG＝PA＝CG＝t，∴△PGD≌△QCD．∴GD＝12GC．∴DE＝12AC＝3．（4）连接AM，∵△ABC为等边三角形，点M是BC的中点，∴BM＝3．由勾股定理，得AM＝．由折叠，得BM′＝3．当A 、B′、M在同一直线上时，AB′的值最小，此时AB′＝3.过点B′作B′H⊥AP于点H，则cos30°＝AHAB',t，解得t＝9－∴t为9－AB′的值最小，最小值为3．MMM QB C1.（2019·重庆A 卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交与点A ，B （点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN ⊥BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF ＋FP ＋13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值，HF ＋FP ＋13PC 取得小值时，把点P 向上平移个2单位得到点Q ，连结AQ ，把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ ''，其中边A Q ''交坐标轴于点G ，在旋转过程中，是否存在一点G ，使得OG Q Q ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，D (1，－4)，直线BD ：y ＝2x －6． 如答图1，连接DN 、BN ，则S △BDN ＝12BD •MN ，而BD 为定值，故当MN 最大时，S △BDN 取最大值．此时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝12BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)． 在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a ＝324，于是在x 轴上取点H B'M FD E QA BP yxOEDCBA第26题备用图第26题图K (－324，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－22x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝13PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取得最大值时，HF ＋FP＋13PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－22x －3中，当y ＝－2，x ＝－24，于是FT ＝2＋24．在Rt △FTR 中，由223FR FT =，得FR ＝223FT ＝223(2＋24)＝14233+，故HF ＋FP ＋13PC 最小值＝2＋14233+＝7423+．（2）4525(,)55--，2545(,)55-，4525(,)55，2545(,)55-． 第26题答图4第26题答图5第26题答图1 T KR QP HF NMyxO ED CBA第26题答图2第26题答图32.（2019·重庆B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线2y =++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q .（1）如图1，连接AC ，BC ．若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G ．点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK ．当△PEF 的周长最大时，求PH +HKKG 的最小值及点H 的坐标． （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记作D ’，N 为直线DQ 上一点，连接点D ’，C ，N ，△D ’CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）∵2y x =+与x 轴交于A ，B 两点， ∴当y=0时，即20=+，∴122,4x x =-=，即A （－2，0），B （4，0）， 设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∵C （0，，B （4，0），∴40b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，∴b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴直线BC的解析式为y =+设点2(,4),P m m +<< ∵PE ∥y 轴且点E 在直线BC上，∴(,E m +∠PEF =∠OCE ，∴2(04),PE m =<< ∵PF ⊥BC ，∴∠PFE =∠COB =90°，∴△PEF ∽△BCO ，设△PEF 的周长为1l ，△BCO 的周长为2l ， 则12l PEl BC=，∵B （4，0），C （0，，∴BC=24l =+∴21)(04),l m =<< 备用图图1图2∴当m=2时，1l此时点P 的坐标为（2，， ∵A （－2，0），C （0，，∴∠ACO =30°，∠CAO =60°， ∵BG ∥AC ，∴.∠BGD =30°，∠OBG =60°，∴G （0，-， 直线BG解析式为y -PM解析式为y =，过点G 作GN ⊥BG ，过点P 作PM ⊥GN 于点M ，如图1，此时，点H 为PM 与对称轴的交点，K 为PM 与y 轴的交点，点K 与点O 重合， 则KM=OMKG ，PH +HKKG 的最小值为线段PM 的长.（此问题是胡不归问题）.解法一：（作一线三直角利用相似求解）如图2，过点P 作PQ ∥x 轴交对称轴于点T ， 过点M 作MQ ⊥y 轴交PT 于点Q ，过点G 作GJ ⊥MQ 交MQ 于点J.设点Q （n，，∴J （n，-，∴PQ =2－n ，2－n ）， ∵GJ =－n ，∴MJ=，∴MQ +MJ =CG=(-=2－n ）+()=n =-3，∴Q （－3，），∴PQ =5， ∴PM =2PQ =10，∴PH +HKKG 的最小值为10， ∵∠OGM =60°，∠PHT=30°，∠HPT=60°，∴PT =1，∴HTH （1.图1N解法二：由上面的解法可知MG ⊥BG ，直线MG的解析式为：y =- 如图3，过点P 作PR ⊥x 轴交MG 于点R ，∴R （2，， 由第一种解法可知∠PRG =60°，∴PMP R（）=10， ∴PH +HKKG 的最小值为10，同理可求H （1.（2）这样的N 点存在.当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .【提示】由（1）可知∠ACO=30°，∠OAC=60°,又∵221)y x =++=-D （1， ∵抛物线按射线AC的方向平移，设平移后顶点'(D a +，平移后的抛物线解析式为21)y x a =--++该抛物线经过原点，则201)a =--+图2NN∴2280a a --=，∴a =4或a =－2（舍去），即D .设点N （1，b ）'CDCN ='ND 如图4，当△'CD N 为等腰三角形时，分三种情况： ①当'CD CN ==，可得1N,2N ； ②当''CD D N ==3N,4N ,③当'CN D N =可得5N , ∴当△'CD N 为等腰三角形时，这样的N有：1N,2N，3N,4N,5N .3.（2019·天津）已知抛物线y=x 2-bx+c(b,c 为常数，b>0)经过点A （-1,0），点M(m,0)是x 轴正半轴上的动点，（1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D(b,y D )在抛物线上，当AM=AD,m=5时，求b 的值； （3）点Q(1b ,2+y Q )2QM +时，求b 的值. 解：(1)∵抛物线y=x 2-bx+c 经过点A （-1,0）， ∴1+b+c=0，∴c=-1-b 当b=2时，c=-3,∴抛物线的解析式为y=x 2-2x-3， ∴顶点坐标为（1，-4） （2）由(1)知，c=-1-b ， ∵点D(b,y D )在抛物线上， ∴y D =-b-1，∵b>0,∴b 02b >>，-b-1<0,∴D(b,-b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴2bx =的右侧.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则E （b ，0），∴AE=b+1=DE,所以1)b +， ∵m=5，∴AM=5-（-1）=6， ∴1)b +∴b=（3）∵点Q(1b ,2+y Q )在抛物线上， ∴yQ=2113)()12224b b b b b +-+--=--（， ∴点Q （1b ,2+3-24b -）在第四象限，且在直线x=b 的右侧，2QM +的最小值为4，A(-1，0) ∴取点N(0，1)，如图，过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，作QG ⊥AN 于G,QG 与x 轴交于点M ，则H （1b ,2+0），∠GAM=45°，∴GM=2AM ，∵M （m,0),∴AM=m+1,MH=1b 2m +-,QH=324b +, ∵MH=QH,∴1b 2m +-=324b +， ∴m=1-24b ，∴AM=13-12424b b +=+，3)24b =+（2QM +33)))24244b b +++=（，∴b=4. 4.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y =ax 2+2x +c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点. （1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标； （3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将A （-1，0）和B （2，3）代入抛物线解析式得{a −2+c =04a +4+c =3解得，{a =−1c =3∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3.（2）过M 作MH ∥y 轴，交AB 于H ，设直线AB 为y =kx +b ，将A ，B 坐标代入得，{−k +b =02k +b =3解得，{k =1b =1.∴直线AB 的解析式为y =x +1.设M 为（m ，-m 2+2m +3）,则H （m ，m +1） ∴MH =y M -Y H =(-m 2+2m +3)-( m +1)=-m 2+m +2. ∴S △ABM =S △AMH +S △BMH =12·MH ·（x B -x A ） =12·(-m 2+m +2)·(2+1)=-32(m 2-m )+3 =-32(m -12)2+278.∵四边形MANB 是以MA 、MB 为相邻的两边的平行四边形， ∴△ABM ≌△BAN .∴S 四边形MANB =2 S △ABM =-3(m -12)2+274，∵a =-3＜0且开口向下，∴当m =12时，S 四边形MANB 的最大值为274. 此时，M 坐标为（12，154）. （3）存在，理由如下：过P 作直线y =174的垂线，垂足为T ，∵抛物线为y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4.∴抛物线的对称轴为直线x =1，顶点坐标为（1,4）. 当P 为顶点，即P （1.4）时， 设F 点坐标为（1，t ）， 此时PF =4-t ，PT =174-4=14.∵P 到F 的距离等于到直线y =174的距离，∴4-t =14，即t =154.∴F 为（1，154）设P 点为（a ，-a 2+2a +3）,由勾股定理，PF 2=(a -1)2+(-a 2+2a +3-154)2=a 4-4a 3+132a 2-5a +2516.又∵PT 2=[174-(-a 2+2a +3)]2= a 4-4a 3+132a 2-5a +2516. ∴PF 2=PT 2，即PF =PT .∴当F 为（1，154）时，抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y =174的距离 .27．（2019·淮安）如图①，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D 是BC 的中点.小明对图①进行了如下探究：在线段AD 上任取一点P ，连接PB.将线段PB 绕点P 按逆时针方向旋转80°，点B 的对应点是点E ，连接BE ，得到△BPE.小明发现，随着点P 在线段AD 上位置的变化，点E 的位置也在变化，点E 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧. 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： (1)当点E 在直线AD 上时，如图②所示. ①∠BEP=°；②连接CE ，直线CE 与直线AB 的位置关系是.(2)请在图③中画出△BPE ，使点E 在直线AD 的右侧，连接CE.试判断直线CE 与直线AB 的位置关系，并说明理由.(3)当点P 在线段AD 上运动时，求AE 的最小值.【解题过程】（1）①由题意得，PE=PB ，∠BPE=80°，∴∠BEP=︒=︒-︒50280180； ②如图所示，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∠BAC=100°， ∴∠ABC=︒=︒-︒402100180，∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°， ∴∠ABC=∠BCE ， ∴CE ∥AB.答案：①50°；②平行（2）在DA 延长线上取点F ，使∠BFA=∠CFA=40°，总有△BPE ∽△BFC. 又∵△BPF ∽△BEC ， ∴∠BCE=∠BFP=40°， ∴∠BCE=∠ABC=40°， ∴CE ∥AB.(3)当点P 在线段AD 上运动时，由题意得PB=PE=PC ，∴点B 、E 、C 在以P 为圆心、PB 为半径的圆上， 如图所示：∴AE 的最小值为AC=3.5.（2019·凉山州）如图，抛物线y = ax 2+bx +c 的图象过点A （-1，0）、B （3,0）、C （0,3）. （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △P AM =S △P AC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题知⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30390c c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a ，∴抛物线的解析式为y = -x 2+2x +3；（2）存在.连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时△P AC 的周长最小.设BC :y =kx +3，则3k +3=0，解得k =-1，∴BC :y =-x +3.由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x =1，当x =1时，y =-x +3=2，∴P （1,2）.在Rt △OAC 中，AC =2231+=10；在Rt △OBC 中，BC =2233+=32.∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A =PB ，∴△P AC 的周长=AC +PC +P A = AC +PC +PB =AC +BC =10+32.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为（1,2），此时△P AC 的周长为10+32；（3）存在.由题知AB =4，∴S △P AC =S △ABC -S △P AB =21×4×3-21×4×2=2.设：AP :y =mx +n ，则⎩⎨⎧=+=+-20n m n m ，解得⎩⎨⎧==11n m ，∴AP :y =x +1. ①过点C 作AP 的平行线交x 轴上方的抛物线于M ，易得CM :y =x +3，由⎩⎨⎧++-=+=3232x x y x y 解得⎩⎨⎧==3011y x ，⎩⎨⎧==4122y x ，∴M （1,4）；②设抛物线对称轴交x 轴于点E （1,0）,则S △P AC =21×2×2=2=S △P AC .过点E 作AP 的平行线交x轴上方的抛物线于M ，设EM :y =x +t ，则1+t =0,∴t =-1，∴EM :y =x -1. 由⎩⎨⎧++-=-=3212x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=2171217111y x （舍），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=2171217122y x ，∴M （2171+,2171+-）. 综上，存在符合条件的点M ，其坐标为（1,4）或（2171+,2171+-）.27．（2019·苏州，26，10）已知矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝．如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A →B →C 的方向匀速运动（不包含点C ）．设动点M 的运动时间为t （s ），△APM 的面积为S （cm 2），S 与t 的函数关系如图②所示． （1）直接写出动点M 的运动速度为 cm/s ，BC 的长度为 cm ；（2）如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D →C →B 的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v （cm/s ）．已知两动点M ，N 经过时间x （s ）在线段BC 上相遇（不包含点C ），动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1（cm 2），S 2（cm 2） ①求动点N 运动速度v （cm/s ）的取值范围；②试探究S 1•S 2是否存在最大值，若存在，求出S 1•S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请说明理由．图① 图② 图③（第27题）【解题过程】解：（1）∵t ＝2.5s 时，函数图象发生改变，∴t ＝2.5s 时，M 运动到点B 处，∴动点M 的运动速度为52.5=2cm/s ，∵t ＝7.5s 时，S ＝0，∴t ＝7.5s 时，M 运动到点C 处，∴BC ＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm ）， 故答案为2，10；（2）①∵两动点M ，N 在线段BC 上相遇（不包含点C ），∴当在点C 相遇时，v 527.53==（cm/s ），当在点B 相遇时，v 5102.5+==6（cm/s ），∴动点N 运动速度v （cm/s ）的取值范围为23cm/s ＜v ≤6cm/s ； ②过P 作EF ⊥AB 于F ，交CD 于E ，如图所示：则EF ∥BC ，EF ＝BC ＝10，∴AF APAB AC=，∵AC==∴5AF =，解得AF ＝2，∴DE ＝AF ＝2，CE ＝BF ＝3，PF ==4， ∴EP ＝EF ﹣PF ＝6，∴S 1＝S △APM ＝S △APF +S 梯形PFBM ﹣S △ABM 12=⨯4×212+（4+2x ﹣5）×312-⨯5×（2x ﹣5）＝﹣2x +15，S 2＝S △DPM ＝S △DEP +S 梯形EPMC ﹣S △DCM 12=⨯2×612+（6+15﹣2x ）×312-⨯5×（15﹣2x ）＝2x ， ∴S 1•S 2＝（﹣2x +15）×2x ＝﹣4x 2+30x ＝﹣4（x 154-）22254+，∵2.5154＜＜7.5，在BC 边上可取，∴当x 154=时，S 1•S 2的最大值为2254．第27题答图6.(2019·巴中)如图,抛物线y ＝ax 2+bx －5(a ≠0)经过x 轴上的点A(1,0)和点B 及y 轴上的点C,经过B,C 两点的直线为y ＝x+n.①求抛物线的解析式;②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 描,求t 为何值时,△PBE 的面积最大,并求出最大值.③过点A 作AM ⊥BC 与点M,过抛物线上一动点N(不与点B,C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q,若点A,M,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形.求点N 的横坐标.第26题图分析:①由点A 和直线y ＝x+n 可得方程组,解出系数,求得二次函数的解析式;②根据题意表示出三角形面积,利用二次函数最值进行求解;③分析得到AM 平行且等于NQ,设出坐标,利用坐标关系列方程进行求解,并检验. 解：①因为点B,C 在y ＝x+n 上,所以B(－n,0),C(0,n),因为点A(1,0)在抛物线上,所以250505a b an bn n ,解得,a ＝－1,b ＝6,所以抛物线的解析式为:y ＝－x 2+6x －5. ②由题意得:PB ＝4－t,，BE ＝2t ，由①可知:∠OBC ＝45°,点P 到BC 上的高h ＝BPsin45(4－t), 所以S △PBE ＝12BE h ＝22222t ,当t ＝2时,S 取得最大值为③因为l BC :y ＝x －5,所以B(5,0), 因为A(1,0),所以AB ＝4,在Rt △ABM 中,∠ABM ＝45°,AMAB ＝M(3,－3)， 过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P 交x 轴于点H, 设N(m,－m 2+6m －5),则H(m,0),P(m,m －5),易证△PQN 为等腰直角三角形,即NQ＝PQ＝所以PN ＝4.当NH+HP ＝4时,即－m 2+6m －5－(m －5)＝4, 解之得,m 1＝1,m 2＝4.当m 1＝1时,点N 与点A 重合,故舍去;当NH+HP ＝4时,即m －5－(－m 2+6m －5)＝4, 解得,m 1541,m 2541,因为m>5,所以m ＝5412; 当NH －HP ＝4,即－(－m 2+6m －5)－[－(m －5)]＝4, 解得,m 1541,m 2541,因为m<0,所以m ＝5412.综上所述,要使点A,M,N,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:4541或541.第26题答图7.（2019·淄博）如图，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴交于A (3，0)，B (－1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)问在y 轴上是否存在点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由． (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA ＝OA ，过D 作DG ⊥x 轴于点G ，设△ADG 的内心为I ，试求CI 的最小值．解：(1)将A 、B 两点坐标代入抛物线表达式,得933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩,解得12a b =-⎧⎨=⎩.∴y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)假设存在点P ，使△P AM 是直角三角形.当点M 为直角顶点，过M 作CD ⊥y 轴，过A 作AD ⊥x 轴，交CD 于D ，CD 交y 轴于C ，∵∠AMP ＝90°，图∴∠CMP ＋∠AMD ＝90，∴∠CMP ＝∠MAD ，又∵∠DM ＝∠PCM ，∴△CPM ∽△DMA ,∴CM AD ＝PCMD， ∴14＝2PC ，∴PC ＝12，∴P 1(0,72); 当点A 为直角顶点，过A 作CD ⊥x 轴，过M 作MD ⊥y 轴交AD 于D ，过P 作PC ⊥y 轴交CD 于C ，同上△CP A∽△DAM ，∴PC AD ＝AC MD ，∴34＝2AC ，∴AC ＝32，∴P 2(0,－32); 当点P 为直角顶点，过M 作CM ⊥y 轴于C ，∴△CPM ∽△OAP ，∴PC AO ＝CM PO ，∴3PC ＝14-PC，∴PC ＝1或3，∴P 3(0,3)，P 4(0,1).综上所述，使△P AM 是直角三角形的点P 的是P 1(0,72)，P 2(0,－32)，P 3(0,3)，P 4(0,1).(3)（方法1）由(1)得DA ＝OA ＝3，设D (x ,y )，△ADG 的内切圆半径为r ，则△ADG 的内心I 为(x ＋r ,r ), ∴DG ＝y ,AG ＝3－x由两点距离公式可得()2222339DA x y =-+==①由等面积法得r ＝()33+22y x DG AG DA +---==2y x-②∴()()2223CI x r r =++-③由①②③得(2229123124CI x y -⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，2CI在312x y =最小，此时CI 也最小，min 32CI =（方法2）简解：如图，由内心易知：∠DIA ＝135°，∠DAI ＝∠OAI ，△DAI ≌△OAI （SAS ），∴∠DIA ＝∠OIA ＝135°，则I 在圆周角∠OIA ＝135°⊙T 的圆周上运动，且半径R T 为(32,32)，∴CI在△CIA 中，CI ≥CT－IT＝32，当C 、I、T三点一线时，min 3=2CI .(2)答图18.(2019·枣庄)已知抛物线y ＝ax 2+32x+4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.(3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.解：(1)抛物线y ＝ax 2+32x+4的对称轴为:x ＝332224b a a a -=-=-＝3,∴a ＝14-,∴抛物线的解析式为:y ＝14-x 2+32x+4,令y ＝0,得14-x 2+32x+4＝0,解之,得,x 1＝－2,x 2＝8,∵点B 在点A 的右侧,∴A(－2,0),B(8,0);(2)连接BC,在抛物线y ＝14-x 2+32x+4中,令x ＝0,得y ＝4,∴C(0,4),∴OC ＝4,OB ＝8,∴S △OBC ＝16,∵B(8,0),C(0,4),设l BC ：y ＝kx+b ，得0＝8k+b ，4＝b ，∴k ＝12-,b ＝4,l BC ：y ＝12-x+4,∴过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D,过点C作CE 垂直PD 于点E,过点B 作BF ⊥PD 于点F,则S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝12PD ×CE+12PD ×BF ＝12PD ×(CE+BF)＝12PD ×(x B －x C )＝12PD ×8＝4PD,∵点P 在抛物线上,设点P(x,14-x 2+32x+4),∵PD ∥y 轴,点D 在直线BC 上,∴D(x,12-x+4),∵点P 在B,C 间的抛物线上运动,∴PD ＝y P －y D ＝14-x 2+32x+4－(12-x+4)＝14-x 2+2x,S △PBC ＝4PD ＝4(14-x 2+2x)＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16，∴当x ＝4时，S △PBC 取最大值16，∴此时S 四边形OBPC ＝S △OBC +S △PBC ＝32;Iy 12第25题答图(3)∵MN∥y轴,∴设M,N的横坐标为m,∵点M在抛物线上,设点M(m,n),其中n＝14-m2+32m+4,点N在直线BC上,∴N(m,12-m+4),∵点M是抛物线上任意一点,∴点M和点N的上下位置关系不确定,∴MN＝|14-m2+32m+4－(12-m+4)|＝|14-x2+2x|,∵MN＝3,∴|14-x2+2x|＝3,即14-x2+2x＝3或14-x2+2x＝－3,解这两个方程,得m1＝2,m2＝6, m3＝4+4＝4－∴n1＝6, n2＝4, n31, n41,∴M1(2,6), M2(6,4), M3(4+－1), M4(4－1).9.(2019·聊城)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(－2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线,线段BC以及x轴于点P,D,E.(1)求抛物线的表达式;(2)连接AC,AP,当直线l运动时,求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标;(3)作PF⊥BC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt△PFD面积的最大值.第25题图解：(1)由已知,将C(0,8)代入y＝ax2+bx+c,∴c＝8,将点A(－2,0)和B(4,0)代人y＝ax2+bx+8,得4280 16480a ba b-+=⎧⎨++=⎩,解得12ab=-⎧⎨=⎩,∴抛物线的表达式为y＝－x2+2x+8;(2)∵A(－2,0),C(0,8),∴OA＝2,OC＝8,∵l⊥x轴,∠PEA＝∠AOC＝90°,∵∠PAE≠∠CAO,只有当∠PAE＝∠ACO 时,△PEA ∽△AOC.此时AE PECO AO=,∴AE ＝4PE.设点P 的纵坐标为k,则PE ＝k,AE ＝4k,∴OE ＝4k －2,P 点的坐标为(4k －2,k),将P(4k －2,k)代入y ＝－x 2+2x+8,得－(4k －2)2+2(4k －2)+8＝k,解得k 1＝0(舍去),k 2＝2316,当k ＝2316时,4k －2＝154,∴P 点的坐标为(154,2316). (3)在Rt △PFD 中,∠PFD ＝∠COB ＝90°,∵l ∥y 轴,∴∠PDF ＝∠OCB,∴Rt △PFD ∽Rt △BOC,∴2PFD=S PD S BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△BOC,∴S △PFD ＝2PD S BC ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭△BOC ,由B(4,0)知OB ＝4,又∵OC ＝8,∴BC 又S △BOC ＝12OB OC ⋅＝16,∴S △PFD ＝215PD ,∴当PD 最大时,S △PFD 最大.由B(4,0),C(0,8)可解得BC 所在直线的表达式为y ＝－2x+8,设P(m,－m 2+2m+8),则D(m,－2m+8),∴PD ＝－(m －2)2+4,当m ＝2时,PD 取得最大值4,∴当PD ＝4时,S △PFD ＝165,为最大值.10.（2019·济宁）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝10，E 是CD 边上一点，连接AE ，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2，M ，N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DAM ，设AM ＝x ，DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式，并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ，使△DMN 是等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由折叠可得AF ＝AD ＝10,EF ＝ED ,矩形ABCD 中，∠B ＝90°，∴AB 2＋BF 2＝AF 2,∴6,BF ===∴CF ＝BC －BF ＝AD －BF ＝10－6＝4．设CE ＝x ，则EF ＝DE ＝CD －CE ＝AB －CE ＝8－x ，∵EF 2＝CE 2＋CF 2．∴(8－x )2＝x 2＋42．∴x ＝3，∴CE ＝3． （2）①∵矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGF , ∵∠DAG ＝∠F AG , ∠DAG ＝∠AGF , ∴∠F AG ＝∠AGF ,∴AF ＝FG ＝10， ∴BG ＝BF ＋FG ＝6＋10＝16． ∵矩形ABCD 中∠B ＝90°， ∴AB 2＋BG 2＝AG 2,∴AG ===∵AD ＝FG ，AD ∥FG ,∴四边形AFGE是平行四边形，又∵AD＝AF，∴平行四边形AFGE是菱形，∴DG＝DA＝10，∴∠DAG＝∠DGA,∵∠DMG＝∠DMN＋∠NAG＝∠DAM＋∠ADM, ∠DMN＝∠DAM，∴∠NMG＝∠ADM．在△ADM和△MNG中，∠ADM＝∠NMG, ∠DAG＝∠DGA,∴△ADM∽△GMN．∴AD AMMG NG=10xy=-，∴211010y x x=-+，∵110＞0，∴当51210x=-=⨯时，y有最小值为214101021410⎛⨯⨯-⎝⎭=⨯．∴y关于x的函数解析式是：211010y x x=-+，当x=y有最小值为2．②在△DMN和△DMG中，∠DMN＝∠DGM，∠MDG＝∠MDG,∴△DMN和△DMG是相似三角形．当△DMG是等腰三角形时，△DMN也是等腰三角形．∵M不与A重合，∴DM≠DG,∴△DMG是等腰三角形只有GM＝GD或DM＝GM两种情况：（1）如图3，当△DMG中GM＝GD＝10时，△DMN也是等腰三角形，即x＝AG－MG＝10;（2）如图4，当△DMG中DM＝GM时，△DMN也是等腰三角形，∴∠MDG＝∠DGM，∴∠DAG＝∠MDG＝∠MDG,∴△ADG∽△DMG，∴AD AGMG DG=,=，∴x综上：当x的值为2△DMN是等腰三角形．11.（2019·滨州）如图①，抛物线y＝－x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），………………………………………1分当y＝0时，0＝－x2+x+4，解得x1＝－4，x2＝8，则点B的坐标为（－4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°．∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0）．………………………………………………………………………2分设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝－x+4．……………………………………………………………4分（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，－t2+t+4），则点N的坐标为（t，－t+4），∴PN＝（－t2+t+4）－（－t+4）＝－t2+t，………………………………………………6分∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°．作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（－t2+t）＝t＝－（t－6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），………………………………8分即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是．………………9分②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得t1＝2，t2＝10，………………………………………………………………………10分则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，－）．当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；…………………………………………………………12分当P2的坐标为（10，－），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠P AD的值是或．……………………………………………14分二、填空题16.（2019·南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在x轴的正半轴及BC=．给出下列结论：①点A从点O出发，到点B运动至点O为原点上滑动，点E为AB的中点，24AB=，5∆的面积最大值为144；③当OD最大时，点D的坐标为，止，点E经过的路径长为12π；②OAB．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】②③ 【解析】点E 为AB 的中点，24AB =，1122OE AB ∴==， AB ∴的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12为半径的一段圆弧， 90AOB ∠=︒，∴点E 经过的路径长为90126180ππ⨯⨯=，故①错误； 当OAB ∆的面积最大时，因为24AB =，所以OAB ∆为等腰直角三角形，即OA OB =， E 为AB 的中点，OE AB ∴⊥，1122OE AB ==， ∴124121442AOB S ∆=⨯⨯=，故②正确； 如图，当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作DF y ⊥轴于点F ， 5AD BC ==，1122AE AB ==，∴13DE ==，131225OD DE OE ∴=+=+=， 设DF x =，∴OF =四边形ABCD 是矩形，90DAB ∴∠=︒，DFA AOB ∴∠=∠，DAF ABO ∴∠=∠， DFA AOB ∴∆∆∽∴DF DA OA AB =，∴524x OA =，∴245x OA =， E 为AB 的中点，90AOB ∠=︒，AE OE ∴=，AOE OAE ∴∠=∠，DFO BOA ∴∆∆∽，∴OD OF AB OA=，∴25245=，解得x，x =舍去，∴OF ，∴D ．故③正确． 故答案为：②③．【知识点】直角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定和性质三、解答题17. （2019 · 镇江）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上(B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD (2,0)E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点(0,6)F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于( )A ．103BC ．163D ．3【答案】A【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF ．(2,0)E -，(0,6)F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴=90FGE ∠=︒，FG EF ∴，∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大． 如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J ．设2BC a =．PA PB =，BE EC a ==， //PE AC ∴，BJ JH =， 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==BJ =， PE BD ∴⊥，90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒， EBJ FEO ∴∠=∠， BJE EOF ∴∆∆∽， ∴BE BJ EF EO=，∴62=， 53a ∴=， 1023BC a ∴==， 故选：A ．【知识点】菱形的性质；平面直角坐标系；相似三角形的判定和性质；垂线段最短。

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2019 年全国中考数学真题分类汇编：圆内有关性质一、选择题1.（2019 年ft东省滨州市）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【考点】圆周角定理、直角三角形的性质【解答】解：连接AD，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．2.（2019 年ft东省德州市）如图，点O 为线段BC 的中点，点A，C，D 到点O 的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC 的度数是（）A. 130 ∘B. 140 ∘C. 150 ∘D. 160 ∘【考点】圆内接四边形的性质【解答】解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．3.（2019 年ft东省菏泽市）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，且BC 平分∠ABD，AD 分别与BC，OC 相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD【考点】圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的性质【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A 成立；∴AD⊥OC，选项B 成立；∴AF＝FD，选项D 成立；∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立；故选：C．4.（2019 年四川省资阳市）如图，直径为2cm 的圆在直线l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π【考点】圆的面积、矩形的面积、圆的周长【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．2 3 ⏜ ⏜5. （2019 年广西贵港市）如图，AD 是⊙O 的直径，AB =CD ，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度数是（）A. 40 ∘B. 50 ∘C. 60 ∘D. 70 ∘【考点】圆周角定理【解答】解：∵=，∠AOB=40°，∴∠COD=∠AOB=40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，∴∠BOC=100°，∴∠BPC= ∠BOC=50°， 故选：B ．6. （2019 年湖北省十堰市） 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交 CB 的延长线于点 E ，若 BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝ 13，则AE ＝（ ） A ．3B ．3C ．4D ．2【考点】圆内接四边形的性质、勾股定理【解答】解：连接 AC ，如图，∵BA 平分∠DBE ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA ，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA ，∴AC ＝AD ＝5，∵AE ⊥CB ，3∴∠AEC＝90°，= 52‒ ( 13)2＝2 3．∴AE＝故选：D．7.（2019 年陕西省）如图，AB 是⊙O 的直径，EF、EB 是⊙O 的弦，且EF＝EB，EF 与AB 交于点C，连接OF．若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°【考点】圆内有关性质【解答】连接FB，得到FOB＝140°；∴∠FEB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF，∴∠EFO＝∠EBO，∠F＝35°8.（2019 年浙江省衢州市）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（）A.6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm【考点】垂径定理的应用【解答】解：连结OD，OA，如图，设半径为r，∵AB=8，CD⊥AB，∴AD=4,点O、D、C 三点共线,AC2 ‒C E2∵CD=2，∴OD=r-2，在Rt△ADO 中，∵AO2=AD2+OD2，,即r2=42+（r-2）2，解得：r=5，故答案为：B.9.（2019 年甘肃省天水市）如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【考点】菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D＝80°，1 1∴∠ACB＝2∠DCB＝2（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选：C．10.（2019 年甘肃省）如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【考点】圆周角定理【解答】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选：C．11.（2019 年湖北省襄阳市）如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是弦，四边形OBCD 是平行四边形，AC 与OB 相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC 平分OB 【考点】圆内有关性质【解答】解：∵AD 为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD 为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD 中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP 中，AP＝OP，所以A 选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C 选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP 为△ACD 的中位线，∴CD＝2OP，所以 B 选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC 平分OB，所以D 选项的结论正确．故选：A．12.（2019 年湖北省宜昌市）如图，点A，B，C 均在⊙O 上，当∠OBC＝40°时，∠A 的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【考点】圆周角定理【解答】解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：A．13.（2019 年甘肃省武威市）如图，点A，B，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【考点】圆周角定理【解答】解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB 的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选：C．14.（2019 年内蒙古包头市）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以BC为直径作半圆，交AB 于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1 B．4﹣πC．D．2【考点】圆周角定理【解答】解：连接CD，∵BC 是半圆的直径，∴CD⊥AB，∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，∴△ACB 是等腰直角三角形，∴CD＝BD，∴阴影部分的面积＝×2 2 ＝2，故选：D．15.（2019 年内蒙古赤峰市）如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，点D 是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】圆内有关性质【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB 交⊙O 于点C，∴＝．∴∠AOC＝∠BOC＝60°．故选：D．16.（2019 年西藏）如图，在⊙O 中，半径OC 垂直弦AB 于D，点E 在⊙O 上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB 等于（）A.1B．C．2 D．2【考点】勾股定理、垂径定理、圆周角定理【解答】解：∵半径OC⊥弦AB 于点D，∴＝，∴∠E＝∠BOC＝22.5°，∴∠BOD＝45°，∴△ODB 是等腰直角三角形，∵AB＝2，∴DB＝OD＝1，则半径OB 等于：＝．故选：B．17.（2019 年海南省）如图，直线l1∥l2，点A 在直线l1 上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C 两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1 的大小为（）A．20°B．35°C．40°D．70°【考点】圆内有关性质【解答】解：∵点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2 于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故选：C．二、填空题1.（2019 年ft东省德州市）如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB⊥CD，垂足为⏜⏜E，= ，CE=1，AB=6，则弦AF 的长度为．【考点】圆周角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理【解答】解：连接OA、OB，OB 交AF 于G，如图，∵AB⊥CD，1∴AE=BE=2AB=3，设⊙O 的半径为r，则OE=r-1，OA=r，在Rt△OAE 中，32+（r-1）2=r2，解得r=5，∵= ，∴OB⊥AF，AG=FG，在Rt△OAG 中，AG2+OG2=52，①在Rt△ABG 中，AG2+（5-OG）2=62，②24解由①②组成的方程组得到AG= 5 ，48 48∴AF=2AG= 5 ．故答案为 5 ．⏜2.（2019 年湖北省随州市）如图，点A，B，C 在⊙O 上，点C 在优弧AB上，若∠OBA=50°，则∠C 的度数为．【考点】圆周角定理【解答】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠C=∠AOB=40°．故答案为40°．3.（2019 年黑龙江省伊春市）如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC，点D 在圆上且∠ADC＝30°，则∠AOB 的度数为．【考点】圆周角定理【解答】解：∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOB＝2∠ADC，∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝60°，故答案为60°．4.（2019 年江苏省泰州市）如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP＝3,过点A 作AP 的垂线交于⊙O 点B、C.设PB=x,PC=y,则y 与x 的函数表达式为．【考点】圆周角定理、相似三角形的判定和性质【解答】如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点N，连接 BN，∵PN 是直径，∴∠PBN=90°.∵AP⊥BC,∴∠PAC =90°，∴∠PBN=∠PAC，又∵∠PNB=∠PCA，∴△PBN∽△PAC，PB PN∴ PA = PC ,x 10∴ 3 = y30∴y= x .30故答案为：y= x .三、解答题1.（2019 年上海市）已知：如图，AB、AC 是⊙O 的两条弦，且AB＝AC，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E，联结CD 并延长交⊙O 于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC 是菱形．【考点】圆内有关性质、相似三角形、菱形的判定【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OD，∵AB、AC 是⊙O 的两条弦，且AB＝AC，∴A 在BC 的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OD，∴O 在BC 的垂直平分线上，∴AO 垂直平分BC，C D E F O ∴BD ＝CD ；（2）如图 2，连接 OB ，∵AB 2＝AO •AD ，=∴AOAB ， ∵∠BAO ＝∠DAB ，∴△ABO ∽△ADB ，∴∠OBA ＝∠ADB ，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∴∠OAB ＝∠BDA ，∴AB ＝BD ，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AB ＝AC ＝BD ＝CD ，∴四边形 ABDC 是菱形．2. （2019 年江苏省苏州市）如图，AE 为 O 的直径，D 是弧 BC 的中点 BC 与 AD ，OD 分别交于点 E ，F .（1） 求证： DO ∥AC ；（2） 求证： DE ⋅ DA = DC 2 ;（3） 若 tan ∠CAD = 1,求sin ∠CDA 的值. 2A B【考点】圆内有关性质、相似三角形、锐角三角函数【解答】（1）证明：∵D 为弧 BC 的中点，OD 为 O 的半径∴ OD ⊥BC又∵AB 为 O 的直径∴ ∠ACB = 90︒∴ AC ∥OD（2） 证明：∵D 为弧 BC 的中点∴ CD = B D ∴ ∠DCB = ∠DAC∴ ∆DCE ∽∆DAC∴ DC = DE DA DC即 DE ⋅ DA = DC 2（3） 解：∵ ∆DCE ∽∆DAC ， tan ∠CAD = 12∴ CD = DE = CE = 1 DA DC AC 2设 CD = 2a ，则 DE = a ， DA = 4a又∵ AC ∥OD∴ ∆AEC ∽DEF∴ CE = AE = 3 EF DE所以 BC = 8 CE3又 AC = 2CE∴ AB = 10 CE3即sin ∠CDA = sin ∠CBA = CA = 3AB 53. （2019 年河南省）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，以 AB 为直径的半圆 O 交AC 于点 D ，点 E 是上不与点 B ，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F ，连接 BE 并延长交 AC 于点 G ．（1） 求证：△ADF ≌△BDG ；（2） 填空： ①若 AB ＝4，且点 E 是的中点，则 DF 的长为 ； ②取的中点 H ，当∠EAB 的度数为 时，四边形 OBEH 为菱形．2【考点】圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值【解答】解：（1）证明：如图 1，∵BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝45°∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，∴∠DAF +∠BGD ＝∠DBG +∠BGD ＝90°∴∠DAF ＝∠DBG∵∠ABD +∠BAC ＝90°∴∠ABD ＝∠BAC ＝45°∴AD ＝BD∴△ADF ≌△BDG （ASA ）；（2）①如图 2，过 F 作 FH ⊥AB 于 H ，∵点 E 是的中点，∴∠BAE ＝∠DAE∵FD ⊥AD ，FH ⊥AB∴FH ＝FD∵＝sin ∠ABD ＝sin45°＝ ，∴ ，即 BF ＝ FD ∵AB ＝4，∴BD ＝4cos45°＝2，即 BF +FD ＝2 ，（ +1）FD ＝2 ∴FD ＝＝4﹣ 故答案为 ．②连接 OE ，EH ，∵点 H 是的中点， ∴OH ⊥AE ，∵∠AEB＝90°∴BE⊥AE∴BE∥OH∵四边形OBEH 为菱形，∴BE＝OH＝OB＝AB∴sin∠EAB＝＝∴∠EAB＝30°．故答案为：30°4.(2019 年浙江省温州市)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，点E 在BC 边上，且CA＝CE，过A，C，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F，作直径AD，连结DE 并延长交AB 于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG 是平行四边形．（2）当BE＝4，CD＝AB 时，求⊙O 的直径长．【考点】三角形的外接圆与外心、平行四边形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理【解答】（1）证明：连接AE，∵∠BAC＝90°，∴CF 是⊙O 的直径，∵AC＝EC，∴CF⊥AE，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝90°，即GD⊥AE，∴CF∥DG，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠BAC＝180°，∴AB∥CD，∴四边形DCFG 是平行四边形；（2）解：由CD＝AB，设CD＝3x，AB＝8x，∴CD＝FG＝3x，∵∠AOF＝∠COD，∴AF＝CD＝3x，∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，∵GE∥CF，∴，∵BE＝4，∴AC＝CE＝6，∴BC＝6+4＝10，∴AB＝＝8＝8x，∴x＝1，在Rt△ACF 中，AF＝10，AC＝6，∴CF＝＝3 ，即⊙O 的直径长为3 ．5.（2019 年湖北省宜昌市）已知：在矩形ABCD 中，E，F 分别是边AB，AD 上的点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H，以EF 为直径作半圆O．（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O 上；当＝时，tan∠AEF 的值是；（2）如图1，在△EFH 中，当FE＝FH 时，求证：AD＝AE+DH；（3）如图2，当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，求证：EH＝AE+DH；（4）如图3，点M 在线段FH 的延长线上，若FM＝FE，连接EM 交DC 于点N，连接FN，当AE＝AD 时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF 的值．【考点】圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数【解答】解：（1）连接AO，∵∠EAF＝90°，O 为EF 中点，∴AO＝EF，∴点A 在⊙O 上，当＝时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF 交HD 的延长线于点G，∵F 分别是边AD 上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FG，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M 作MQ⊥AD 于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM 为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴，∵DC∥AB∥QM，∴，∴，∵FE＝FM，∴，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴，∴．AC＝2 ，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O 半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．【考点】圆内有关性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质【解答】解：（1）连接OA、OC，过O 作OH⊥AC 于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O 的半径为2．（2）证明：在BM 上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC 是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM 是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

2019年全国中考解析 北京中考数学试题(精品文档)

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2019年北京市初中毕业、升学考试数学（满分100分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019北京市，1题，2分）4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米．将439000用科学记数法表示应为A．64.39100.43910 B．6C．54.3910 D．343910【答案】C∴50901；故选C.439004.3【知识点】科学记数法——表示较大的数2．（2019北京市，2题，2分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是A． B． C．D．【答案】C【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.故选C.【知识点】图形变换——轴对称图形.3．（2019北京市，3题，2分）正十边形的外角和为A．180 B．360 C．720 D．1440【答案】B【解析】根据多边形的外角和等于360°易得B正确；故选B.【知识点】多边形的外角和等于360°.4．（2019北京市，4题，2分）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为A．-3 B． -2 C． -1 D． 1【答案】A【解析】由题意知，点B表示的数是2，由CO=BO，可得点C表示的数为2或-2，将点C 向左平移1个单位长度可得到点A ，故点A 表示的数为1或-3； 又∵点A ，B 在原点O 的两侧；∴点A 表示的数-3. 【知识点】有理数——数轴、分类讨论. 5．（2019北京市，5题，2分）已知锐角∠AOB ，如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 A ．∠COM=∠COD B ．若OM=MN ，则∠AOB=20°C ．MN ∥CDD ．MN=3CD【答案】D【解析】由作图知，CM CD DN == ,OM=OC=OD=ON ；A ．在⊙中，由CM CD =得∠COM=∠COD ；故选项A 正确.B ．由OM=MN ，结合OM=ON 知△OMN 为等边三角形；得∠MON=60°.又由CM CD DN ==得∠COM=∠COD=∠DON ；∴∠AOB=20°.故选项B 正确.C ．由题意知OC=OD ，∴1802CODOCD ︒-∠∠=.设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S.易得△MOR ≌△NOS （ASA ） ∴OR=OS ∴1802CODORS ︒-∠∠=∴OCD ORS ∠=∠ ∴MN ∥CD. 故选项C 正确.D ．由CM CD DN ==得CM=CD=DN=3CD ；而由两点之间线段最短得CM+CD+DN>MN ，即MN<3CD ；∴MN=3CD是错误的；故选D.【知识点】全等三角形的性质和判定、圆的有关性质、等边三角形的性质和判定. 6．（2019北京市，6题，2分）如果1m n +=，那么代数式()22221m nm n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为A ．3-B ．1-C ．1D ．3B【答案】D【解析】()22221m nm n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭= ()()()()2m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-++-⎢⎥--⎢⎥⎣⎦=()()()2m mm n m n m m n ++--=()3m n +又∵1m n +=∴原式=313⨯=.故选D.【知识点】分式的运算、整体思想. 7．（2019北京市，7题，2分） 用三个不等式a b >，0ab >，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】本题共有3个命题： 命题①，如果a b >，0ab >，那么11a b<. ∵a b >，∴0a b ->.又∵0ab >；∴0a b ab ->，化简得11a b<，该命题为真命题. 命题②，如果a b >，11a b<；那么0ab >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b aab -<. ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab >.该命题为真命题. 命题③，如果0ab >，11a b<，那么a b >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b aab -<. ∵0ab >，∴0b a -<， ∴b a <.该命题为真命题. 选D.【知识点】真假命题、不等式的性质. 8．（2019北京市，8题，2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④【答案】C 【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为24.5h ，女生为52.5h ，则平均数一定在24.5——25.5之间，故①正确.②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15，60，51，62，12，则中位数在20——30之间，故②正确. ③由统计表类别栏计算可得，初中学生各时间段人数分别为25，36，44，11；共有116人，∴初中生参加公益劳动时间的中位数在对应人数为36的那一栏；即 中位数在20——30之间；故③正确.④由统计表类别栏计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为15，35，15，18，1；共有84人，∴中位数在对应人数为35人对应的时间栏，即中位数在10——20之间；故④错误. 【知识点】条形统计图、统计表、统计量——平均数、中位数.二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 9．（2019北京市，9题，2分）若分式1x x-的值为0，则x 的值为_______. 【答案】1【解析】方法一、分式值为0的条件是分子等于0，且分母不为0.即10x x -=⎧⎨≠⎩，∴1x =.方法二、解分式方程10x x-=，解得1x =；经检验1x =是原分式方程的解. 【知识点】分式的值为0、解分式方程. 10．（2019北京市，10题，2分）学生类别51020如图，已知ABC ，通过测量、计算得ABC 的面积约为_______cm 2.（结果保留一位小数）【答案】由测量结果计算. 【解析】如图10-1，测量三角形的底和高时，长度精确定mm ，测量图中AC 和BD 的长度. 【知识点】三角形的面积、动手测量、求近似数. 11．（2019北京市，11题，2分）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是_______.（写出所有正确答案的序号）【答案】①②.【解析】长方体的三种视图都是矩形，圆柱的主视图、左视图都是矩形，而俯视图是圆；圆锥的主视图、左视图都是三角形；圆锥的俯视图为带圆心的圆.故选①②. 【知识点】三视图、矩形的判定. 12．（2019北京市，12题，2分） 如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝____________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.【答案】45°第10题图CBA第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图【解析】如图12-1，延长AP 至C ，连结BC.设图中小正方形的边长为1，由勾股定理得222125PC =+=，222125BC =+=，2221310PB =+=； ∴222,PC BC PB PC BC +==且.即△PBC 为等腰直角三角形，∴∠BPC=45°. 由三角形外角的性质得45PAB PBA MPC ∠∠=∠=︒＋. 【知识点】勾股定理及逆定理、三角形外角的性质. 13．（2019北京市，13题，2分） ．在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x=上，则12k k +的值为_______.【答案】0【解析】∵A 、B 两点关于x 轴对称，∴B 点的坐标为(),a b -.又∵A ()a b ，、B (),a b -两点分别在又曲线1k y x =和2ky x=上； ∴12,ab k ab k =-=. ∴120k k +=；故填0.【知识点】关于x 轴对称的点的坐标特点、双曲线ky x=上点的坐标与k 的关系. 14．（2019北京市，14题，2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为_______．【答案】12图3图2图1【解析】设图1中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b （a>b ）；则由图2和图3列得方程组51a b a b +=⎧⎨-=⎩，由加减消元法得32a b =⎧⎨=⎩，∴菱形的面积1144321222S ab =⨯=⨯⨯⨯=.故填12.【知识点】菱形的性质、二元一次方程组的解法.15．（2019北京市，15题，2分）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s _______20s . (填“>”，“=”或“<”)【答案】=【解析】数据92，90，94，86，99，85的平均数929094869985916x +++++==；新数据2，0，4，-4，9，-5的平均数为()()204495`16x +++-++-==；∴()()()()()()2222222016892919091949186919991859163S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦； ()()()()()()2222222116821014141915163S ⎡⎤=-+-+-+--+-+--=⎣⎦； ∴2201S S =.事实上由“将一组数据中的每个数加上或减去同一个数后，所得的新数据的方差与原数据的方差相同”易得2201S S =.【知识点】方差的计算和性质、平均数.16．（2019北京市，16题，2分）在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是_______．【答案】①②③【思路分析】如图16-1，经矩形ABCD 对角线交点O ，① 任画两条和矩形对边分别相交的直线，顺次连接交点得到的四边形为平行四边形，显然有无数个四边形； ②任画两条和矩形对边分别相交且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为矩形，显然有无数个四边形； ③任画两条和矩形对边分别相交且垂直的直线，顺次连接交点得到的四边形为菱形，显然有无数个四边形；④画两条和矩形对边分别相交，并且垂直且相等的直线，顺次连接交点得到的四边形为正方形，显然只有一个四边形.【解题过程】如图16-1，O 为矩形ABCD 对角线的交点，① 图中任过点O 的两条线段PM ，QN ，则四边形MNPQ 是平行四边形；显然有无数个.本结论正确. ② 图中任过点O 的两条相等的线段PM ，QN ，则四边形MNPQ 是矩形；显然有无数个.本结论正确. ③ 图中任过点O 的两条垂直的线段PM ，QN ，则四边形MNPQ 是菱形；显然有无数个.本结论正确. ④ 图中过点O 的两条相等且垂直的线段PM ，QN ，则四边形MNPQ 是正方形；显然有一个.本结论错误. 故填：①② ③.【知识点】三角形全等的性质和判定、矩形的性质和判定、平行四边形和菱形、正方形的判定.三、解答题（本大题共12小题，满分68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019北京市，17题，5分） 计算：()011342604sin π----+︒+（） 【思路分析】根据()010a a =≠，()110a a a -=≠，3sin 60︒=代入计算即可解答. 【解题过程】解：()011342604sin π----+︒+（）3131214=-+3134==23+3【知识点】实数的混和运算、绝对值、零指数、负指数、特殊角的函数值. 18．（2019北京市，18题，5分）解不等式组：4(1)2,7.3x x x x -<+⎧⎪+⎨>⎪⎩ 【思路分析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可. 【解题过程】解：4(1)273x x x x -<+⎧⎪⎨+>⎪⎩①②由①得442x x -<+ 36x <2x < 由②得73x x +> 72x >72x <①和②的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为2x <.【知识点】一元一次不等式组的解法. 19．（2019北京市，19题，5分）关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．【思路分析】先由原一元二次方程有实数根得判别式240b ac -≥进而求出m 的范围；结合m 的值为正整数，求出m 的值，进而得到一元二次方程求解即可.【解题过程】解：∵关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，∴()()22424121484880b ac m m m ∆=-=--⨯⨯-=-+=-≥ ∴1m ≤又∵m 为正整数，∴m=1，此时方程为2210x x -+=解得根为121x x ==， ∴m=1，此方程的根为121x x ==【知识点】一元二次方程根的判别式、 20．（2019北京市，20题，5分）如图20-1，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ． （1）求证：AC ⊥EF ；（2）如图20-2，延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．【思路分析】）（1）由四边形ABCD 为菱形易得AB=AD ，AC 平分∠BAD ，结合BE=DF ，根据等腰△AEF 中的三线合一，证得AC ⊥EF.（2）菱形ABCD 中有AC ⊥BD ，结合AC ⊥EF 得BD ∥EF.进而有1tan tan 22OC OCODC G OD ∠=∠===；得出OA 的值. 【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形 ∴AB=AD ，AC 平分∠BAD ∵BE=DF∴AB BE AD DF -=-∴AE=AF∴△AEF是等腰三角形∵AC平分∠BAD∴AC⊥EF（2）解：∵菱形ABCD中有AC⊥BD，结合AC⊥EF.∴BD∥EF.又∵BD=4，tanG=1 2∴1tan tan22OC OC ODC GOD∠=∠===∴AO=12AC=OC=1.【知识点】菱形的性质、等腰三角形的性质、正切的定义.21．（2019北京市，21题，5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：/万元d．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第_______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l的上方．请在图中用“○”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为_______万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是_______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．【思路分析】（1）由条形统计图知，创新指数在70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100国家个数分别为12，2，2；共16个，而中国的创新指数为69.5；进而求出中国的国家创新指数的世界排名.（2）由中国的国家创新指数得分为69.5，结合中国的对应的点位于虚线1l的上方即可求得．（3）如图21-1，先画一条过69.5的水平线，该线上方的点都是国家创新指数得分比中国高的国家；然后找除中国以外的，最左边的点进而求出该国的人均国内生产总值.（4）【解题过程】（1）解：∵由条形统计图知，创新指数在70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100国家个数分别为12，2，2；共16个，且中国的创新指数为69.5；∴中国的国家创新指数的世界排名为17.故填17.（2）解：由中国的国家创新指数得分为69.5，结合中国的对应的点位于虚线1l的上方求得. 如下图，（3）如图21-1，易求得在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元.故填：2.7. （4）①②【知识点】 22．（2019北京市，22题，6分）在平面内，给定不在同一条直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ． （1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．【思路分析】 【解题过程】（1） ∵BD 平分ABC ∠CBA∴ABD CBD ∠=∠∴AD=CD（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1. 【知识点】 23．（2019北京市，23题，6分）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i ）天背诵第二遍，第（3i ）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；（2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_______； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为_______首．【思路分析】【解题过程】（1）如下图（2）4，5，6 （3）23【知识点】24．（2019北京市，24题，6分） 如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度的几组值，如下表：在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定_______的长度是自变量，_______的长度和_______的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD 时，AD 的长度约为_______cm ．【思路分析】（1）三个变量中，分析哪两个变量均随某个变量的变化而变化，哪两个量就是函数.观察表格中的AB数据，当AD 的长度发生变化时，PC ，PD 也随之变化.（2）以AD 为自变量，分别以PC ，PD 为函数，画函数图像即可. （3）找到图象中满足PC=2PD 时，对应点的横坐标即可解答.【解题过程】（1）观察表格中的数据可知：PC ，PD 都随AD 的变化而变化.故AD 为自变量，PC ，PD 均为AD 的函数. 故填：AD ， PC ，PD ；（2）以AD 为自变量，分别以PC ，PD 为函数，画出的函数图像如下图，（3）观察图象可得，当AD=2.29或者3.98时，有PC=2PD.故填：2.29或者3.98. 【知识点】函数与自变量、画函数图形及应用函数图象. 25．（2019北京市，25题，5分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ．（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ． ①当2k =时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数； ②若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．【思路分析】（1）当0x =时，由()10y kx k =+≠求得y 的值，即得直线 与 轴的交点坐标. （2）①当2k =时画出图象分析有关区域中整点个数. ②由图象分析解答即可.【解题过程】（1）当0x =时，由()101y kx k =+≠=；∴直线l 与y 轴的交点坐标为()0,1. （2）①如下图，当k=2时，直线l ：21y x =+，把2x =代入直线l ，则5y =.∴()2,5A ； 把2y =-代入直线l ， 221x -=+ ∴32x =-， ∴3,22B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ()2,2C -.画出函数21y x =+的图象及直线 2x =，直线2y =-组成的区域，显然区域中整数点有（0，-1）、（0，0）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（1，2）；显然区域W 内的整点个数有6个.② 由类似①分析图象知区域W 内没有整点时有10k -≤<或2k =-.【知识点】一次函数的图象与性质 26．（2019北京市，26题，6分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bxa与y轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2P a，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【思路分析】（1）先求出A 点的坐标为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平移规律求得点B 的坐标.（2）由A 、B 两点的纵坐标相同，得A 、B 为对称点进而求出抛物线对称轴方程.（3）根据a 的符号分类讨论分析解答即可.【解题过程】（1）∵当x=0时，抛物线211y ax bxa a； ∴抛物线与y 轴交点A 点的坐标为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴由点A 向右平移2个单位长度得点B 的坐标为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；即1(2,)B a .（2）∵由A 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B 12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点的纵坐标相同，得A 、B 为对称点.∴抛物线对称轴方程为0212x +==；即直线1x .（3）①当0a >时，10a-<. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以线段PQ 和抛物线没有交点.②当0a <时，10a->. 分析图象可得，根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点，此时12a -≤，即12a ≤-.综上所述：当12a ≤-时，抛物线与线段PQ 恰好有一个公共点.【知识点】二次函数图象及性质、点的坐标平移规律、27．（2019北京市，27题，7分）已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA上一定点，1OH ，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1； （2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP ，并证明．【思路分析】（1）作∠MPN=180°-∠AOB,用圆规截得PM=PN ；可补全图形. （2）借助△OPM 的内角和为180°及∠AOB=30°和∠MPN=150°即可得证， （3）【解题过程】（1）见下图（2）证明：∵30AOB ∠=︒∴在△OPM 中，=180150OMP POM OPM OPM ︒-∠-∠=︒-∠∠ 又∵150MPN ∠=︒，∴150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠ ∴OMP OPN ∠=∠.（3）如下图，过点P 作PK ⊥OA 于K ，过点N 作NF ⊥OB 于F备用图图1BAO∵∠OMP=∠OPN ∴∠PMK=∠NPF在△NPF 和△PMK 中，90NPF PMK NFO PKM PN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△NPF ≌△PMK （AAS ） ∴PF=MK ，∠PNF=∠MPK ，NF=PK 又∵ON=PQ在Rt △NOF 和Rt △PKQ 中，ON PQNF PK=⎧⎨=⎩∴Rt △NOF ≌Rt △PKQ （HL ） ∴KQ=OF设,MK y PK x == ∵∠POA=30°，PK ⊥OQ ∴2OP x =∴,OK OM y ==- ∴2OF OP PF x y =+=+，)1MH OH OM y =---，1KH OH OK =-.∵M 与Q 关于H 对称 ∴MH=HQ ∴KQ=KH+HQ11y -++=2y -+ 又∵KQ=OF∴22y x y -+=+∴(22x =+ ∴1x =，即PK=1 又∵30POA ∠=︒ ∴OP=2.【知识点】尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30°锐角的性质、中心对称的性质. 28．（2019北京市，28题，7分） 在△ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出△ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在△ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点． ①若12t =，求△ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．【思路分析】（1）当与BC 相切时，△ABC 的中内弧最长，结合勾股定理进而求得结果. （2）①分以下两种情况讨论，Ⅰ、当P 为DE 的中点时； Ⅱ、当⊙P 与AC 相切时.②分以下两种情况讨论，Ⅰ、PE ⊥AC 时，△EFC ∽△PEF ；Ⅱ、PFC ABC ∆∆∽时.【解题过程】（1）如下图：当与BC 相切时，中内弧最长.ABCDE AED CB1801180180n r l πππ⨯=== （2）解：①当12t =时，C （2，0），D （0，1），E （1，1） Ⅰ、如下图， 当P 为DE 的中点时，DE 是中内弧，∴1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭Ⅱ、 如下图，当⊙P 与AC 相切时，2,AC BE y x y x =-+=. 当12x =时，12y =，∴11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，P 的纵坐标112P P y y ≤≥或②中，Ⅰ、PE ⊥AC 时，△EFC ∽△PEF, 得EFFC PF FE =，即121tt =. ∴()2102t t =>，∴t =∴02t <≤.0t <≤Ⅱ、∵PFC ABC ∆∆∽， ∴PFFCAB BC =，324PF=， ∴32PF =.如下图，DP PF r==，12PE=，32DP=∴t∴0t<≤综上所述，0t<≤【知识点】弧长公式、三角形相似性质与判定、圆的有关性质、点的坐标.。

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2019全国中考数学真题分类汇编之10：整式(含答案)

2019全国中考数学真题分类汇编之10：整式(含答案)

2019年全国中考数学真题分类汇编：整式一、选择题1. （2019年安徽省）计算3a-a（）的结果是（）A.a2B.-a2C.a4D.-a4【考点】整式的乘法、同底数幂相乘【解答】D2.（2019年上海市）下列运算正确的是（）A．3x+2x＝5x2B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x=2 3【考点】整式的加减法、整式的乘除法【解答】解：（A）原式＝5x，故A错误；（C）原式＝6x2，故C错误；（D）原式=32，故D错误；故选：B．3. （2019年四川省广安市）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．3a2•4a3＝12a6C．5﹣＝5 D．×＝【考点】整式的加减法、整式的乘除法、二次根式混合运算【解答】解：A、a2+a3不是同类项不能合并；故A错误；B、3a2•4a3＝12a5故B错误；C、5﹣＝4，故C错误；D、，故D正确；故选：D．4. （2019年重庆市）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1 【考点】代数式求值、有理数的混合运算【解答】解：当m＝1，n＝1时，y＝2m+1＝2+1＝3，当m＝1，n＝0时，y＝2n﹣1＝﹣1，当m＝1，n＝2时，y＝2m+1＝3，当m＝2，n＝1时，y＝2n﹣1＝1，故选：D．5. （2019年山东省滨州市）下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6C．x3÷x2＝x D．（2x2）3＝6x6【考点】整式的运算【解答】解：A、x2+x3不能合并，错误；B、x2•x3＝x5，错误；C、x3÷x2＝x，正确；D、（2x2）3＝8x6，错误；故选：C．6. （2019年山东省滨州市）若8x m y与6x3y n的和是单项式，则（m+n）3的平方根为（）A．4 B．8 C．±4 D．±8【考点】同类项、整式的运算【解答】解：由8x m y与6x3y n的和是单项式，得m＝3，n＝1．（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8．故选：D．7. （2019年山东省德州市）下列运算正确的是（）A. (−2a)2=−4a2B. (a+b)2=a2+b2C. (a5)2=a7D. (−a+2)(−a−2)=a2−4【考点】积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式【解答】解：（-2a）2=4a2，故选项A不合题意；（a+b）2=a2+2ab+b2，故选项B不合题意；（a5）2=a10，故选项C不合题意；（-a+2）（-a-2）=a2-4，故选项D符合题意．故选：D．8. （2019年山东省菏泽市）下列运算正确的是（）A．（﹣a3）2＝﹣a6B．a2•a3＝a6C．a8÷a2＝a4D．3a2﹣2a2＝a2【考点】整式的加减乘除法、幂的乘方【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意；B、原式＝a5，不符合题意；C、原式＝a6，不符合题意；D、原式＝a2，符合题意，故选：D．9. （2019年山东省青岛市）计算（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）的结果是（）A．8m5B．﹣8m5C．8m6D．﹣4m4+12m5【考点】幂的乘方、积的乘方以及合并同类项【解答】解：原式＝4m2•2m3＝8m5，故选：A．10. （2019年山东省枣庄市）下列运算，正确的是（）A．2x+3y＝5xy B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（xy2）2＝x2y4D．x6÷x3＝x2【考点】合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘除运算【解答】解：A、2x+3y，无法计算，故此选项错误；B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误；C、（xy2）2＝x2y4，正确；D、x6÷x3＝x3，故此选项错误；故选：C．11. （2019年四川省达州市）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a8÷a4＝a4C．（﹣2ab）2＝﹣4a2b2D．（a+b）2＝a2+b2【考点】合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘除运算【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B、a8÷a4＝a4，故此选项正确；C、（﹣2ab）2＝4a2b2，故此选项错误；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；故选：B．12. （2019年四川省资阳市）下列各式中，计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a3+a2＝a5C．a6÷a3＝a2D．（a3）2＝a6【考点】同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、同底数幂的乘除运算【解答】解：A、a3•a2＝a5，错误；B、a3+a2不能合并，错误；C、a6÷a3＝a3，错误；D、（a3）2＝a6，正确；故选：D．13. （2019年四川省资阳市）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b【考点】整式的混合运算、完全平方公式【解答】解：S1＝b（a+b）×2++（a﹣b）2＝a2+2b2，S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，∵S1＝2S2，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．故选：D．14. （2019年广西贺州市）把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（）A．（4a+1）（4a﹣1）B．（2a+1）（2a﹣1）C．（2a﹣1）2D．（2a+1）2【考点】分解因式【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故选：B．15. （2019年江苏省泰州市）若2a－3b=－1，则代数式4a2－6ab+3b的值为（）A．－1 B．1 C．2 D．3【考点】分解因式【解答】原式=2 a（2a－3b）+3b=2 a×(－1)+ 3b=－(2 a－3b)= －(－1) =1.故答案为：B．16. （2019年河南省）下列计算正确的是（）A．2a+3a＝6a B．（﹣3a）2＝6a2C．（x﹣y）2＝x2﹣y2D．3﹣＝2【考点】整式的运算、完全平方公式、二次根式的运算【解答】解：2a+3a＝5a，A错误；（﹣3a）2＝9a2，B错误；（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，C错误；＝2，D正确；故选：D．17. （2019年湖北省十堰市）下列计算正确的是（）A．2a+a＝2a2B．（﹣a）2＝﹣a2C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．（ab）2＝a2b2【考点】整式的运算、完全平方公式【解答】解：A、2a+a＝3a，故此选项错误；B、（﹣a）2＝a2，故此选项错误；C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故此选项错误；D、（ab）2＝a2b2，正确．故选：D．18. （2019年浙江省衢州市）下列计算正确的是（）A. a6+a6=a12B. a6×a2=a8C. a6÷a2=a3D. （a6）2=a8【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解答】解：A.∵a6+a6=2a6，故错误，A不符合题意；B.∵a6×a2=a6+2=a8，故正确，B符合题意；C.∵a6÷a2=a6-2=a4，故错误，C不符合题意；D.∵（a6）2=a2×6=a12，故错误，D不符合题意；故答案为：B.19. （2019年甘肃省天水市）下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a6【考点】合并同类项法则、同底数幂相乘、幂的乘方、【解答】解：A选项，积的乘方：（ab）2＝a2b2，正确B选项，合并同类项：a2+a2＝2a2，错误C选项，幂的乘方：（a2）3＝a6，错误D选项，同底数幂相乘：a2•a3＝a5，错误故选：A．20.（2019年甘肃省）计算（﹣2a）2•a4的结果是（）A．﹣4a6B．4a6C．﹣2a6D．﹣4a8【考点】积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、【解答】解：（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选：B．21. （2019年湖北省宜昌市）化简（x﹣3）2﹣x（x﹣6）的结果为（）A．6x﹣9 B．﹣12x+9 C．9 D．3x+9 【考点】完全平方公式、单项式乘以多项式【解答】解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+6x＝9．故选：C．二、填空题x⋅5的结果等于。

2019年全国中考数学试卷-广东省中考试题(解析版)

2019年全国中考数学试卷-广东省中考试题(解析版)

2019年广东省中考试题解析（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30） 1．（2019广东省，1，3分） ﹣2的绝对值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．12D ．±2【答案】A【解析】解：|﹣2|＝2，故选：A ． 【知识点】绝对值2. （2019广东省，2，3分）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（ ）A ．2.21×106B ．2.21×105C ．221×103D ．0.221×106【答案】B【解析】解：将221000用科学记数法表示为：2.21×105．故选：B ． 【知识点】科学记数法—表示较大的数3. （2019广东省，3，3分）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）【答案】A【解析】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．故选：A ．【知识点】简单组合体的三视图4. （2019广东省，4，3分）下列计算正确的是（ ） A ．b 6+b 3＝b 2 B ．b 3•b 3＝b 9 C ．a 2+a 2＝2a 2 D ．（a 3）3＝a 6【答案】C【解析】解： b 6+b 3，无法计算，故选项A 错误； b 3•b 3＝b 6，故选项B 错误； a 2+a 2＝2a 2，故选项C 正确； （a 3）3＝a 9，故选项D 错误．故选：C ．【知识点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方5. （2019广东省，5，3分）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）【答案】C【解析】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A 错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B 错误； C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项C 正确； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D 错误． 故选：C ．【知识点】轴对称图形；中心对称图形6.（2019广东省，6，3分）数据3，3，5，8，11的中位数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，5，8，11，故这组数据的中位数是5．故选：C ． 【知识点】中位数7. （2019广东省，7，3分）实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）A ．a ＞bB ．|a |＜|b |C ．a +b ＞0D ．ab ＜0【答案】D【解析】解：由图可得：﹣2＜a ＜﹣1，0＜b ＜1，∴a ＜b ，故A 错误；|a |＞|b |，故B 错误；a +b ＜0，故C 错误；a b＜0，故D 正确；故选：D ．【知识点】绝对值；实数与数轴8. （2019广东省，8，3分）化简√42的结果是（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．±4 D ．2【答案】B【解析】解：√42=√16=4．故选：B ． 【知识点】算术平方根9.（2019广东省，9，3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1＝0C．x1+x2＝2D．x1•x2＝2【答案】D【解析】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴x1≠x2，选项A不符合题意；∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．【知识点】一元二次方程根与系数的关系10.（2019广东省，10，3分）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF=√2FG=√2AH，∴∠AFH ≠∠AHF ，∴∠AFN ≠∠HFG ，故②错误； ∵△ANH ≌△GNF ， ∴AN =12AG ＝1， ∵GM ＝BC ＝4， ∴AH AN=GM AG=2，∵∠HAN ＝∠AGM ＝90°， ∴△AHN ∽△GMA ， ∴∠AHN ＝∠AMG ， ∵AD ∥GM ， ∴∠HAK ＝∠AMG ， ∴∠AHK ＝∠HAK ， ∴AK ＝HK ， ∴AK ＝HK ＝NK ， ∵FN ＝HN ，∴FN ＝2NK ；故③正确； ∵延长FG 交DC 于M ， ∴四边形ADMG 是矩形， ∴DM ＝AG ＝2，∵S △AFN =12AN •FG =12×2×1＝1，S △ADM =12AD •DM =12×4×2＝4， ∴S △AFN ：S △ADM ＝1：4故④正确， 故选：C ．【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. （2019广东省，11，4分）计算：20190+（13）﹣1＝ ．【答案】4【解析】解：原式＝1+3＝4．故答案为：4．【知识点】有理数的加法；零指数幂；负整数指数幂12.（2019广东省，12，4分）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝．【答案】105°【解析】解：∵直线L直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°，∴∠3＝∠1＝75°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．故答案为：105°【知识点】平行线的性质13.（2019广东省，13，4分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是．【答案】8【解析】解：设多边形边数有x条，由题意得：180（x﹣2）＝1080，解得：x＝8，故答案为：8．【知识点】多边形内角与外角14.（2019广东省，14，4分）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是．【答案】21【解析】解：∵x＝2y+3，∴x﹣2y＝3，则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9＝4×3+9＝21．故答案为：21．【知识点】代数式求值；整式的加减15.（2019广东省，15，4分）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15√3米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．【答案】（15+15√3）【解析】解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15√3；可得CE＝BE×tan45°＝15√3米．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15√3，可得AE＝BE×tan30°＝15米．故教学楼AC的高度是AC＝15√3+15米．答：教学楼AC的高度是（15√3+15）米．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题16.（2019广东省，16，4分）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是（结果用含a，b代数式表示）．【答案】a+8b【解析】解：由图可得，拼出来的图形的总长度＝9a﹣8（a﹣b）＝a+8b．故答案为：a+8b．【知识点】利用轴对称设计图案三、解答题（本大题共9小题，满分66分，各小题都必须写出解答过程）17.（2019广东省，17，6分）解不等式组：{x−1＞2①2(x+1)＞4②【思路分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．【解题过程】解：{x−1＞2①2(x+1)＞4②解不等式组①，得x＞3解不等式组②，得x ＞1 则不等式组的解集为x ＞3 【知识点】解一元一次不等式组18. （2019广东省，18，6分）先化简，再求值：（x x−2−1x−2）÷x 2−xx 2−4，其中x =√2 【思路分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可． 【解题过程】解：原式=x−1x−2⋅(x+2)(x−2)x(x−1)=x+2x 当x =√2时， 原式=√2+2√2=√2+1【知识点】分式的化简求值19.（2019广东省，19，6分）如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点．（1）请用尺规作图法，在△ABC 内，求作∠ADE ，使∠ADE ＝∠B ，DE 交AC 于E ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AD DB=2，求AE EC的值．【思路分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE ＝∠B ；（2）先利用作法得到∠ADE ＝∠B ，则可判断DE ∥BC ，然后根据平行线分线段成比例定理求解． 【解题过程】解：（1）如图，∠ADE 为所作；（2）∵∠ADE ＝∠B ∴DE ∥BC ， ∴AE EC=AD DB=2．【知识点】相似三角形的判定与性质；作图20.（2019广东省，20，7分）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：成绩等级频数分布表成绩等级频数A24B10C xD2合计y（1）x＝，y＝，扇形图中表示C的圆心角的度数为度；（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．【思路分析】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×440=36°；（2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）=26=13．【解题过程】解：（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°×440=36°．故答案为4，40，36；（2）画树状图如下：P （同时抽到甲，乙两名学生）=26=13． 【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法21. （2019广东省，21，7分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？ （2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？【思路分析】（1）设购买篮球x 个，购买足球y 个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足球共60个\购买这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可；（2）设购买了a 个篮球，则购买（60﹣a ）个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出x 的最大整数解即可．【解题过程】解：（1）设购买篮球x 个，购买足球y 个， 依题意得：{x +y =6070x +80y =4600．解得{x =20y =40．答：购买篮球20个，购买足球40个； （2）设购买了a 个篮球， 依题意得：70a ≤80（60﹣a ） 解得a ≤32．答：最多可购买32个篮球．【知识点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用22. （2019广东省，22，7分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A 为圆心的EF ̂与BC 相切于点D ，分别交AB 、AC 于点E 、F ． （1）求△ABC 三边的长；（2）求图中由线段EB 、BC 、CF 及EF̂所围成的阴影部分的面积．【思路分析】（1）根据勾股定理即可求得；（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF即可求得．【解题过程】解：（1）AB=√22+62=2√10，AC=√62+22=2√10，BC=√42+82=4√5；（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接AD，AD=√22+42=2√5，∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF=12AB•AC−14π•AD2＝20﹣5π．【知识点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算23.（2019广东省，23，9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞k2x的x的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．【思路分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式；（3）根据三角形面积相等，可得答案．【解题过程】解：（1）∵点A 的坐标为（﹣1，4），点B 的坐标为（4，n ）．由图象可得：kx +b ＞k 2x的x 的取值范围是x ＜﹣1或0＜x ＜4； （2）∵反比例函数y =k 2x 的图象过点A （﹣1，4），B （4，n ）∴k 2＝﹣1×4＝﹣4，k 2＝4n∴n ＝﹣1∴B （4，﹣1）∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A ，点B∴{−k +b =44k +b =−1， 解得：k ＝﹣1，b ＝3∴直线解析式y ＝﹣x +3，反比例函数的解析式为y =−4x ；（3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∵S △AOC =12×3×1=32， ∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4=152， ∵S △AOP ：S △BOP ＝1：2，∴S △AOP =152×13=52，∴S △COP =52−32=1， ∴12×3•x P ＝1，∴x P =23，∵点P 在线段AB 上，∴y =−23+3=73，∴P （23，73）．【知识点】反比例函数与一次函数的交点24.（2019广东省，24，9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．【思路分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；（2）连接OA，由∠CAF＝∠CF A知∠ACD＝∠CAF+∠CF A＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．【解题过程】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴AB̂=AĈ，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CF A，∴∠ACD＝∠CAF+∠CF A＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴ABBC=BEAB，∴AB2＝BC•BE，∴BC•BE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，∴∠BAG ＝∠BAD +∠DAG ，∠BGA ＝∠GAC +∠ACB ，∵点G 为内心，∴∠DAG ＝∠GAC ，又∵∠BAD +∠DAG ＝∠GDC +∠ACB ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∴BG ＝AB ＝5．【知识点】圆心角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质25. （2019广东省，25，9分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =√38x 2+3√34x −7√38与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过项点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，使得△P AM 与△DD 1A 相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？【思路分析】（1）利用抛物线解析式求得点A 、B 、D 的坐标；（2）欲证明四边形BFCE 是平行四边形，只需推知EC ∥BF 且EC ＝BF 即可；（3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点P 的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；②根据①的结果即可得到结论．【解题过程】解：（1）令√38x 2+3√34x −7√38=0， 解得x 1＝1，x 2＝﹣7．∴A （1，0），B （﹣7，0）．由y =√38x 2+3√34x −7√38=√38（x +3）2﹣2√3得，D （﹣3，﹣2√3）；（2）证明：∵DD 1⊥x 轴于点D 1，∴∠COF ＝∠DD 1F ＝90°，∵∠D 1FD ＝∠CFO ，∴△DD 1F ∽△COF ，∴D 1DPD 1=CO OF ，∵D （﹣3，﹣2√3），∴D 1D ＝2√3，OD ＝3，∴D 1F ＝2，∴2√32=OC 1， ∴OC =√3，∴CA ＝CF ＝F A ＝2，∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC ＝∠ACF ，∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，∴∠ECF ＝∠AFC ＝60°，∴EC ∥BF ，∵EC ＝DC =√32+(√3+2√3)2=6，∵BF ＝6，∴EC ＝BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形；（3）∵点P 是抛物线上一动点，∴设P 点（x ，√38x 2+3√34x −7√38）， ①当点P 在B 点的左侧时，∵△P AM 与△DD 1A 相似，∴DD 1PM =D 1A MA 或DD 1AM =D 1A PM ， ∴2√3√3B x 2+3√34x−7√38=41−x 或2√31−x =4√38x 2+3√34x−7√38，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2=−37 3；当点P在A点的右侧时，∵△P AM与△DD1A相似，∴PMAM=DD1D1A或PMMA=D1ADD1，∴√38x2+3√34x−7√38x−1=2√34或√38x2+3√34x−7√38x−1=42√3，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2=−53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△P AM与△DD1A相似，∴PMAM=DD1D1A或PMMA=D1ADD1，∴√38x2+3√34x−7√38x−1=2√34或√38x2+3√34x−7√38x−1=42√3，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2=−5 3；综上所述，点P的横坐标为﹣11或−373或−53；②由①得，这样的点P共有3个．【知识点】待定系数法求函数的解析式；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定；相似三角形的判定和性质。

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2019年全国中考数学真题分类汇编：数学文化一、选择题1. （2019年乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。

问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ） ()A 1,11()B 7,53 ()C 7,61 ()D 6,50【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设人数x 人，物价y 钱.⎩⎨⎧=+=-y x yx 4738解得：⎩⎨⎧==537y x ，故选B.2.（2019年重庆市）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，依题意，得：．故选：A ．3. （2019年山东省德州市）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为（ ）A. {y −x =4.5y −12x =1B. {x −y =4.5y −12x =1C. {x −y =4.512x −y =1D. {y −x =4.512x −y =1【考点】二元一次方程组的解法与应用、数学文化 【解答】解：设绳长x 尺，长木为y 尺，依题意得，故选：B ．4. （2019年湖北省襄阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是（ ） A ．5x ﹣45＝7x ﹣3B ．5x +45＝7x +3C ．＝D ．＝【考点】一元一次方程的应用 【解答】解：设合伙人数为x 人， 依题意，得：5x +45＝7x +3． 故选：B ．5. （2019年湖北省宜昌市）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p ＝，那么三角形的面积为S ＝．如图，在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别记为a ，b ，c ，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则△ABC 的面积为（ ）A ．6B ．6C ．18D ．【考点】二次根式的应用【解答】解：∵a ＝7，b ＝5，c ＝6． ∴p ＝＝9，∴△ABC 的面积S ＝＝6；故选：A ．6．（2019年福建省）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x 个字，则下面所列方程正确的是（ ） A ．x +2x +4x ＝34685 B ．x +2x +3x ＝34685 C ．x +2x +2x ＝34685D ．x +12x +14x ＝34685【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解答】解：设他第一天读x 个字，根据题意可得：x +2x +4x ＝34685， 故选：A ．7．（2019年吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（ ） A ．{9x +11=y 6x +16=yB ．{9x −11=y 6x −16=yC ．{9x +11=y 6x −16=yD ．{9x −11=y 6x +16=y【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组【解答】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为： {9x −11=y 6x +16=y ． 故选：D ．8．（2019年甘肃兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ） A ．{5x +6y =15x −y =6y −xB ．{6x +5y =15x +y =6y +xC ．{5x +6y =14x +y =5y +xD ．{6x +5y =14x −y =5y −x【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解答】解：由题意可得， {5x +6y =14x +y =5y +x ， 故选：C ．9．（2019年湖南省长沙市）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x 尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（ ） A ．{y =x +4.50.5y =x −1B ．{y =x +4.5y =2x −1C ．{y =x −4.50.5y =x +1D ．{y =x −4.5y =2x −1【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解答】解：由题意可得， {y =x +4.50.5y =x −1， 故选：A ．10．（2019年浙江省舟山市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ） A ．{4x +6y =383x +5y =48B ．{4y +6x =483y +5x =38C ．{4x +6y =485x +3y =38D ．{4x +6y =483x +5y =38【考点】二元一次方程组的应用【解答】解：设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为： {4x +6y =483x +5y =38． 故选：D ．11．（2019年浙江省宁波市）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和 【考点】勾股定理【解答】解：设直角三角形的斜边长为c ，较长直角边为b ，较短直角边为a ， 由勾股定理得，c 2＝a 2+b 2，阴影部分的面积＝c 2﹣b 2﹣a （c ﹣b ）＝a 2﹣ac +ab ＝a （a +b ﹣c ）， 较小两个正方形重叠部分的宽＝a ﹣（c ﹣b ），长＝a ， 则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：C ． 二、填空题1. （2019年上海市）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 ． 斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 【考点】二元一次方程组的解法【解答】解：设1个大桶可以盛米x 斛，1个小桶可以盛米y 斛， 则{5x +y =3x +5y =2， 故5x +x +y +5y ＝5， 则x +y =56．答：1大桶加1小桶共盛56斛米．故答案为：56．2. （2019年辽宁省大连市）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu ，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛，根据题意，可列方程组为 ． 【考点】二元一次方程组的应用【解答】解：设1个大桶可以盛酒x 斛，1个小桶可以盛酒y 斛， 根据题意得：{5x +y =3x +5y =2，故答案为{5x +y =3x +5y =2．3．（2019年江苏省南通市）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ． 【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设有x 个人共同买鸡，根据题意得： 9x ﹣11＝6x +16．故答案为：9x ﹣11＝6x +16．4．（2019年湖南省株洲市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走 步才能追到速度慢的人． 【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t ， 根据题意得：（100﹣60）t ＝100， 解得：t ＝2.5，∴100t ＝100×2.5＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 故答案是：250．5．（2019年湖北省咸宁市）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，可列方程组为 ． 【解答】二元一次方程组的应用【考点】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，依题意，得：{x +4.5=yx −1=12y ．故答案为：{x +4.5=yx −1=12y．6．（2019年江苏省泰安市）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 ____ ．【解答】由实际问题抽象出二元一次方程组【考点】解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： {9x =11y(10y +x )−(8x +y )=13， 故答案为：{9x =11y(10y +x )−(8x +y )=13．7．（2019年宁夏自治区）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x 2+5x ﹣14＝0即x （x +5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x +x +5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x ＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x 2﹣4x ﹣12＝0的正确构图是 ．（只填序号）【解答】一元二次方程的应用【考点】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，据此易得x＝6．故答案为：②．8．（2019年甘肃白银）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数614040401000036000806403109204849791803139699出现“正面朝上”的次数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）．【解答】利用频率估计概率【考点】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．三、解答题1.（2019年甘肃省）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【考点】一元一次方程的解法及应用【解答】解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．2．（2019年湖北省黄石市）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【解答】一元一次方程的应用【考点】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得x：600＝100：60∴x＝1000∴1000﹣600﹣100＝300答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得yy＝200+60100∴y＝500答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．。

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