《点集拓扑学》教学大纲

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点集拓扑教学大纲

了解内容：拓扑空间中的序列及其收敛性；边界；
重点：拓扑空间
难点：基与子基、邻域基
第一节：度量空间与连续映射
内容1度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间；
内容2邻域、开集；
内容3度量空间映射的连续性。
第二节：拓扑空间与连续映射
内容1拓扑空间定义
内容2平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间；
分
配
教学内容：
第一章：集合论初步４（学时数）
掌握内容：集合的基本运算，映射及其性质。
理解内容：关系；可数集、不可数集、基数。
了解内容：选择公理。
重点：集合的基本运算，映射及其性质；
难点：基数；选择公理。
第一节：集合及其运算
内容1集合、集合之间的关系；
内容2集合的运算
第二节：映射
内容1关系、等价关系；
第二节：（有限）积空间
内容1积拓扑、拓扑积空间的概念；
内容2积空间的基、子基
内容3开映射；积空间到分空间投射的性质、积拓扑的性质。
第三节：商空间
内容1商拓扑及其性质；
内容2商映射及其性质；
内容3商空间。
第四章：连通性６（学时数）
掌握内容：连通空间；
理解内容：局部连通、道路连通；
了解内容：连通空间、局部连通、道路连通的关系；
内容3分离性公理的有限可积性。
第六节：可度量化空间
内容1、Urysohn嵌入定理；
内容2、Hilbert空间的可分性；
。
内容3、可分的度量化空间的等价空间第七章：紧致性 Nhomakorabea（学时数）
掌握内容：紧致空间和紧致空间的等价条件；紧致性与分离性的关系；
了解内容：可数紧致、列紧、序列紧，局部紧致空间，仿紧致空间及其之间的关系

点集拓扑学(教学课题大纲)

点集拓扑学（教学大纲）General Topology课程编码：学分： 3 课程类别：专业方向课计划学时：其中讲课：实验或实践：0 上机：0适用专业：数学与应用数学专业推荐教材：熊金城，《点集拓扑讲义》（第三版），高等教育出版社，2003。

参考书目：1. J.R.曼克勒斯，《拓扑学基本教程》，科学出版社，1987。

2. 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，2006。

课程的教学目的与任务拓扑学是研究图形在同胚映射下的不变性质（即拓扑性质）的一门数学分科，其基本思想和处理方法对近代数学产生了深刻的影响，它与近世代数、泛函分析一起被称作数学的“新三基”；它的中心任务是研究拓扑不变性质，对拓扑空间按照同胚分类。

通过本课程的学习，使学生掌握点集拓扑的一些基本概念、基本理论、基本方法，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性；培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、理论联系实际分析问题解决问题的能力，提高学生的数学素养，为进一步学习、研究现代数学打好基础。

课程的基本要求1、使学生了解公理集合论的初步知识并将度量空间中熟悉的知识推广到一般的拓扑空间中去。

比如连续映射的概念。

2、掌握由已知拓扑空间构造新的拓扑空间的若干方法。

比如子空间的概念，有限乘积空间。

3、掌握几种重要的拓扑性质：可数性、分离性、紧致性、连通性等。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章：集合与映射建议学时：6[教学目的与要求] 了解朴素集合论和公理集合论的区别，了解选择函数与选择公理的内容；从关系的角度理解映射的概念。

[教学重点与难点] 选择公理及其等价形式。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]第一节集合论一、集合的基本运算二、公理集合论的相关内容第二节映射理论一、关系与映射的联系二、选择公理第二章：拓扑空间与连续映射建议学时：8[教学目的与要求]将连续函数的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间之间的连续映射；将开区间的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间中的开集。

安徽师范大学拓扑学本科教学大纲

《数学系（点集拓扑学）》教学大纲
学时：51学时学分：3
适用专业：数学与应用数学专业
大纲执笔人：李伯权大纲审定人：孙国正
一、说明
1、课程的性质、地位和任务
拓扑学是基础性的数学分支，它研究几何图形在连续变形(即拓扑变换)下保持不变的性质，即拓扑性质。

目前，拓扑学的概念、方法和理论已经广泛地渗透到现代数学以及邻近学科的许多领域，并且有了日益重要的应用；又鉴于在今后中学数学的教学改革中有可能渗入某些拓扑知识，因此无论从数学教材的现代化和师范性的要求来看，本课程的设置都是必要的。

点集拓扑学又称一般拓扑学，它是拓扑学的基础，它主要研究拓扑空间的自身结构与其间的连续映射的学科。

本课程主要介绍点集拓扑学的基本概念和基础理论，通过本课程的学习可以使学生从较高观点观察、分析已学过的数学分析、函数论和几何的内容，加深对这些内容的认识与理解，并为进一步学习现代数学提供必要的基础。

2、课程教学的基本要求
（1）通过本课程的学习，学生应掌握点集拓扑的一些基本概念与应用拓扑学解决实际问题的能力。

以便为以后进一步学习、研究
现代数学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问
题解决问题的能力。

（2）系统掌握点集拓扑的基本知识。

其基本内容包括：拓扑空间和连续映射的定义及其基本性质，构造新的拓扑空间的方法，各
种拓扑不变性质，如连通性、分离性、紧性、度量空间的完备
性等以及这些拓扑不变性之间的相互关联，这些拓扑不变性的
可积、可遗传等性质，基本群及其应用。

掌握点集拓扑中的证。

河北师大点集拓扑第教案

河北师大点集拓扑第教案一、教学内容本节课选自《点集拓扑学》教材第三章，详细内容如下：1. 基本概念：拓扑、拓扑空间、开集、闭集、边界、内部和外部。

2. 拓扑性质：连续性、紧致性、连通性。

3. 拓扑空间中的基本定理：闭包、开覆盖、聚点、极限点。

二、教学目标1. 掌握拓扑空间的基本概念，了解开集、闭集、边界等概念。

2. 理解拓扑空间的性质，如连续性、紧致性、连通性。

3. 学会运用拓扑空间的基本定理，解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间的性质及其应用。

2. 教学重点：拓扑空间的基本概念、基本定理。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，引导学生了解拓扑学在实际应用中的价值。

2. 例题讲解：讲解教材第三章相关例题，详细解释拓扑空间的概念、性质和基本定理。

3. 随堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

4. 小组讨论：分组讨论课后习题，培养学生合作学习能力。

六、板书设计1. 拓扑空间基本概念开集、闭集、边界内部、外部2. 拓扑性质连续性、紧致性、连通性3. 拓扑空间基本定理闭包、开覆盖、聚点、极限点七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：一个集合是开集，当且仅当它的每一个点都是内部点。

（2）证明：一个集合是闭集，当且仅当它的每一个聚点都属于该集合。

（3）讨论：紧致性与连通性的关系。

2. 答案：见教材课后习题解答。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生对拓扑空间概念、性质和定理的掌握程度。

2. 拓展延伸：引导学生深入研究拓扑学在其他数学分支中的应用，如微积分、代数拓扑等，提高学生学术素养。

同时，鼓励学生参加相关竞赛和学术活动，提高自身能力。

重点和难点解析：1. 教学难点与重点的确定。

2. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解、随堂练习和小组讨论。

3. 作业设计中的题目和答案。

4. 课后反思及拓展延伸。

详细补充和说明：一、教学难点与重点1. 拓扑空间基本概念的教学：通过生动的实例，解释开集、闭集、边界等概念，使学生能够直观地理解这些抽象概念。

《点集拓扑学教案》

《点集拓扑学教案》word版教案章节一：引言1.1 课程介绍本课程旨在帮助学生理解点集拓扑学的基本概念和性质，掌握基本的拓扑空间及其性质，了解拓扑学在数学和物理学中的应用。

1.2 知识点1.2.1 拓扑空间的定义与性质1.2.2 开集、闭集和边界1.2.3 拓扑关系的传递性1.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解拓扑空间的基本概念，掌握开集、闭集和边界的定义及其性质，理解拓扑关系的传递性。

教案章节二：拓扑空间2.1 基本概念2.1.1 拓扑空间的定义2.1.2 拓扑空间的性质2.1.3 常见的拓扑空间2.2 拓扑关系2.2.1 拓扑关系的定义2.2.2 拓扑关系的性质2.2.3 拓扑关系的传递性2.3 教学目标通过本章的学习，使学生掌握拓扑空间的基本概念和性质，理解拓扑关系的定义及其性质，掌握拓扑关系的传递性。

教案章节三：开集与闭集3.1 开集与闭集的定义3.1.1 开集的定义3.1.2 闭集的定义3.2 开集与闭集的性质3.2.1 开集与闭集的举例3.2.2 开集与闭集的关系3.2.3 开集与闭集的运算3.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解开集与闭集的定义及其性质，掌握开集与闭集的举例和运算。

教案章节四：边界4.1 边界概念4.1.1 边界的定义4.1.2 边界的性质4.2 边界定理4.2.1 边界定理的定义4.2.2 边界定理的证明4.3 教学目标通过本章的学习，使学生了解边界的定义及其性质，掌握边界定理及其证明。

教案章节五：拓扑关系与边界关系5.1 拓扑关系与边界关系的联系5.1.1 拓扑关系与边界关系的定义5.1.2 拓扑关系与边界关系的性质5.2 拓扑关系与边界关系的应用5.2.1 拓扑关系与边界关系在几何学中的应用5.2.2 拓扑关系与边界关系在物理学中的应用5.3 教学目标通过本章的学习，使学生理解拓扑关系与边界关系的联系及其性质，掌握拓扑关系与边界关系在数学和物理学中的应用。

点集拓扑讲义教学设计

点集拓扑讲义教学设计引言点集拓扑学作为数学基础课程的一部分，在数学、物理、计算机等学科中具有较为广泛的应用。

然而，这门课程对于一些学生来说难度较大，需要一定的思维训练和理解。

本文将探讨针对点集拓扑学的教学设计，以期提高学生的学习兴趣和效果。

教学目标点集拓扑学作为一门非常重要的数学基础课程，它的学习目标主要有以下几点：1.理解点集拓扑基本概念和理论体系；2.掌握点集拓扑学中的基本定理；3.培养学生的数学思维能力；4.丰富学生的数学知识，拓宽学生的数学视野。

教学内容课程大纲按照不同教学目标的要求，我们可以将点集拓扑学的课程大纲设计如下：第一章：点集拓扑学基本概念本章主要介绍点集拓扑学的基本概念，包括：1.点集拓扑学的基本概念；2.开集和闭集；3.连通性；4.同胚及其基本性质。

第二章：度量空间与距离本章主要介绍度量空间与距离，包括：1.度量空间的定义及其基本性质；2.距离空间的定义以及基本性质；3.如何从度量定义来描述开、闭集、收敛等性质。

第三章：凝聚性与分离性本章主要介绍凝聚性与分离性，包括：1.集合的锥性、怀堵性、单点性及其中间值性；2.T0、T1、T2、T3、T4公理化条件。

第四章：拓扑群与李群本章主要介绍拓扑群与李群的相关概念，包括：1.拓扑群的定义、同态等概念；2.李群的定义及其重要性质。

教学方法1.理论课主要采取教师授课为主，学生提问为辅；2.实际问题的演示与案例分析；3.通过归纳和演绎形式的语言及数学对问题进行理解。

教学评估教学评估是对课程实施过程、学生学习状态、学习成果等情况进行评估，以指导课程目标的实现。

本课程将采取下面三种评估方法：1.课程评估：从整体上对课程进行评价，听取学生的意见和建议；2.学生评估：对学生的学习过程、学习积极性和学习成果进行评估；3.考核评估：通过考核措施对学生对点集拓扑学的掌握情况进行评估。

结语通过本文的教学设计，我们可以更好地进行点集拓扑学的教学，并且提高学生的学习兴趣和效果。

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology课程性质：数学与应用数学专业必修课学时数：36教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版.主要参考书：《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版.《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版.《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版.《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主所属院系：数学学院数学与应用数学系课程基础：《数学分析》、《实变函数论》一、课程简介拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始.泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间.X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚.要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚.一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等.在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进.二、教学目的点集拓扑近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科.该课程从点集拓扑学的发展简史出发，深入浅出地阐述了点集拓扑学的基本理论、基本问题和基本方法.内容包括：点集拓扑基础、拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等.其中各部分主题鲜明，逻辑性强，通过对各部分内容由浅入深的讲解，使学生透彻地理解基本概念，努力将每个知识点与中学数学的知识及已经学过的大学其它数学课程(例如实变函数论)联系起来，便于学生比较理解，增加对知识背景的认识.三、教学要求本课程研究点集拓扑学的基本理论和基本方法。

点集拓扑

《点集拓扑》课程教学大纲课程编号:02200018课程名称：点集拓扑英文名称： General Topology课程类型: 必修课总学时： 36 讲课学时：60 习题课学时：12学分： 2适用对象: 数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本科二年级上学期先修课程：数学分析、高等代数、近世代数一、课程简介拓扑学是几何学的一个分支，是研究拓扑空间在拓扑变换下保持不变的性质或不变量。

它的许多概念、理论和方法在数学的其他分支中有着广泛的应用，同时在物理学等方面也有许多应用。

本课程介绍关于拓扑空间、连续映射、连通空间、分离性、紧致性等拓扑学的最基本的，最常用的概念及其性质。

拓扑学是基础数学专业的一门必修专业基础课程，拓扑学虽诞生于二十世纪之初但目前已发展成为一门重要的数学分支，成为现代数学的一门基础学科. 因此对于数学专业本科学生而言必须掌握这门课程的基本理论和基本知识。

四、教学内容第一章朴素集合论（讲课3习题课0）§1. 集合的基本概念§2. 集合的基本运算§3. 关系§4. 等价关系§5. 映射§6. 集族及其运算§7. 可数集，不可数集，基数§8. 选择公理第二章拓扑空间与连续映射（讲课15习题课3）§1. 度量空间与连续映射§2. 拓扑空间与连续映射§3. 邻域与邻域系§4. 导集，闭集，闭包§5. 内部，边界§6. 基与子基§7. 拓扑空间中的序列第三章子空间，（有限）积空间，商空间（讲课7习题课2）§1. 子空间§2.（有限）积空间§3. 商空间第四章连通性（讲课8习题课2）§1. 连通空间§2. 连通性的某些简单应用§3. 连通分支§4. 局部连通空间§5.道路连通空间第五章有关可数性的公理（讲课5习题课1）§1. 第一可数与第二可数公理§2. 可分空间§3. Lindeloff空间第六章分离性公理（讲课6习题课1）§1.0T、1T、Hausdorff空间§2. 正则、正规、3T、4T空间（讲课0习题课0）§3. Urysohn引理和Tietze扩张定理§4. 完全正则空间、Tychonoff 空间§5. 分离性公理与子空间，(有限)积空间和商空间§6. 可度量化空间第七章紧致性（讲课6习题课1）§1. 紧致空间§2. 紧致性与分离性公理§3. n维欧氏空间n R中的紧致子集§4. 几种紧致性及其间的关系§5. 度量空间中的紧致性§6. 局部紧致空间，仿紧致空间第八章完备度量空间（讲课3习题课1）§1. 度量空间的完备化§2. 度量空间的完备性与紧致性，Baire定理第九章基本群及其应用（讲课7习题课1）§1. 基本群的定义§2. 连续映射诱导同态§3. 圆周的基本群§4. 2维Brouwer不动点定理§5. Jordan分割定理十、推荐教材和教学参考书教材：《点集拓扑讲义》，熊金城编著，高等教育出版社，2003年．参考书：1、《拓扑学引论》，江泽涵编著，上海科学技术出版社，1978年．2、《拓扑学》，蒲保明编著，高等教育出版社，1985年．大纲制订人：贾兴琴、白永强大纲审定人：吴可制订日期：2010年7月1日。

点集拓扑教学大纲

《点集拓扑》教学大纲一、本课程的目的与要求：《点集拓扑》是现代数学中一门较新的数学分支，它用公理化方法建立开集和邻域从而形成一个集合的拓扑结构。

进而又讨论了在这一框架下空间的性质,如连续映射、连通性、可数性公理、分离公理、紧性等问题。

拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念、定理和方法也就显得更为广泛、更为深刻。

它在许多数学分之中有广泛的应用。

现在，点集拓扑已经发展成门内容丰富、方法系统、体系完备、应用广泛的分支。

通过该课程的学习，学生不仅能学到点集拓扑的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支如代数拓扑、泛函分析等有很大帮助。

本课程主要介绍集合论、连续映射、连通空间、分离性等概念。

重点介绍拓扑、基的构成，几种分离性的关系，乘积空间拓扑的组成和性质等。

本课程的教材选用熊金城编《点集拓扑讲义》。

高等教育出版社出版，1990年二、课程内容与学时分配建议：本课程为一学期课程，每周四学时，总学时为72学时，其中授课62学时，习题课8学时，机动2学时。

各章节教学要求和学时分配如下：第一章集合（12学时）本章要求学生掌握集合的一些基本概念，特别是对集合的运算，要比较熟练的掌握。

§1.集合的基本概念。

§2.集合的并、交、补§3.关系§4.等价关系§5. 映射，一一映射§6. 集合的并与交§7. 等势集，可数集、不可数集第二章拓扑空间与连续映射（20学时）本章要求学生掌握拓扑空间是怎样构造的，了解导集、闭集、闭包、基、子基等概念，掌握连续映射的特征。

§1. 度量空间的基本概念§2. 拓扑空间§3. 导集、闭集、闭包§4. 内部，边界§5. 拓扑的基和子基§6. 连续映射和同胚§7. 拓扑空间中的序列§8. 子空间§9. 积空间第三章连通性（12学时）本章要求学生掌握空间和集合的连通概念，特别要了解弧连通性质。

《点集拓扑学教案》

《点集拓扑学教案》word版第一章：引言1.1 点集拓扑学的定义与意义引导学生理解点集拓扑学的概念解释点集拓扑学在数学和其他领域中的应用1.2 拓扑空间的基本概念介绍拓扑空间、开集、闭集等基本概念举例说明这些概念在具体空间中的应用1.3 拓扑空间的性质与分类引导学生理解拓扑空间的性质，如连通性、紧致性等介绍不同类型的拓扑空间，如欧几里得空间、度量空间等第二章：连通性2.1 连通性的定义与性质解释连通性的概念，引导学生理解连通性与开集的关系介绍连通性的性质，如传递性、唯一性等2.2 连通空间的例子与性质举例说明连通空间的具体实例，如欧几里得空间、圆等引导学生理解连通空间的一些重要性质，如紧致性、可分性等2.3 连通性的判定方法介绍几种常用的连通性判定方法，如压缩映射定理、基本连通定理等引导学生学会运用这些判定方法解决实际问题第三章：拓扑映射与同态3.1 拓扑映射的定义与性质解释拓扑映射的概念，引导学生理解映射与拓扑空间的关系介绍拓扑映射的性质，如连续性、开放性等3.2 同态与同构的概念与性质解释同态与同构的概念，引导学生理解它们在拓扑学中的重要性介绍同态与同构的性质，如单射性、满射性等3.3 拓扑映射的分类与例子引导学生理解不同类型的拓扑映射，如连续映射、同态映射等举例说明一些具体的拓扑映射实例，如欧几里得映射、球面映射等第四章：覆盖与紧致性4.1 覆盖的概念与性质解释覆盖的概念，引导学生理解覆盖与开集的关系介绍覆盖的性质，如开覆盖、有限覆盖等4.2 紧致性的定义与性质解释紧致性的概念，引导学生理解紧致性与覆盖的关系介绍紧致性的性质，如唯一性、稳定性等4.3 紧致空间的例子与判定方法举例说明一些紧致空间的具体实例，如球面、立方体等介绍几种常用的紧致性判定方法，如开覆盖定理、紧凑性定理等第五章：连通性与紧致性的关系5.1 连通性与紧致性的定义与性质解释连通性与紧致性的概念，引导学生理解它们之间的关系介绍连通性与紧致性的性质，如连通紧致性定理等5.2 连通性与紧致性的判定方法介绍几种常用的连通性与紧致性判定方法，如Hurewicz定理、Alexandroff定理等引导学生学会运用这些判定方法解决实际问题5.3 连通性与紧致性在具体空间中的应用举例说明连通性与紧致性在具体空间中的应用，如在球面、立方体等问题中的作用第六章：拓扑维数6.1 拓扑维数的定义与性质解释拓扑维数的概念，引导学生理解维数在拓扑空间中的重要性介绍拓扑维数的性质，如唯一性、不变性等6.2 不同维数的例子与判定方法举例说明不同维数空间的具体实例，如零维空间、一维空间、二维空间等介绍几种常用的维数判定方法，如peano空间定理、Alexandroff定理等6.3 拓扑维数在具体空间中的应用举例说明拓扑维数在具体空间中的应用，如在球面、立方体、曼哈顿距离等问题中的作用第七章：同伦与同伦论7.1 同伦与同伦论的概念与性质解释同伦与同伦论的概念，引导学生理解它们在拓扑学中的重要性介绍同伦与同伦论的性质，如同伦不变性、同伦等价等7.2 同伦映射的例子与判定方法举例说明一些同伦映射的具体实例，如连续映射、同态映射等介绍几种常用的同伦判定方法，如同伦定理、同伦群定理等7.3 同伦论在具体空间中的应用举例说明同伦论在具体空间中的应用，如在球面、立方体、亏格空间等问题中的作用第八章：同调与同调论8.1 同调与同调论的概念与性质解释同调与同调论的概念，引导学生理解它们在拓扑学中的重要性介绍同调与同调论的性质，如同调不变性、同调等价等8.2 同调映射的例子与判定方法举例说明一些同调映射的具体实例，如连续映射、同态映射等介绍几种常用的同调判定方法，如同调定理、同调群定理等8.3 同调论在具体空间中的应用举例说明同调论在具体空间中的应用，如在球面、立方体、亏格空间等问题中的作用第九章：连通性与同伦论的关系9.1 连通性与同伦论的定义与性质解释连通性与同伦论的概念，引导学生理解它们之间的关系介绍连通性与同伦论的性质，如连通性同伦论定理等9.2 连通性与同伦论的判定方法介绍几种常用的连通性与同伦论判定方法，如连通性定理、同伦论定理等引导学生学会运用这些判定方法解决实际问题9.3 连通性与同伦论在具体空间中的应用举例说明连通性与同伦论在具体空间中的应用，如在球面、立方体、亏格空间等问题中的作用10.1 点集拓扑学的主要结果与意义展望点集拓扑学未来的研究方向与发展趋势10.2 点集拓扑学与其他数学分支的关系解释点集拓扑学与其他数学分支的联系，如代数拓扑、微分拓扑等引导学生了解点集拓扑学在其他领域中的应用前景10.3 点集拓扑学的教学实践与思考引导学生思考点集拓扑学的学习方法与研究思路重点和难点解析1. 点集拓扑学的定义与意义：理解点集拓扑学的基本概念和在数学及实际应用中的重要性。

《点集拓扑学》教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲一、课程名称：《点集拓扑学》二、课程性质：数学与应用数学专业限选课先修课程：数学分析、高等代数、实变函数等课程三、课程的地位及教学目的“点集拓扑学”是数学与应用数学专业的一门重要的专业提高课程，是数学学科《新三基》之一，“点集拓扑学”不仅本身在不断发展而且其理论和方法渗透到数学学科的其他分支中，对数学学科的发展起着基础性的作用。

通过本门课的教学，使学生初步掌握“点集拓扑学”的基本内容、思想和方法，为进一步学习其他课程及将来从事教学、科研工作打下良好的基础。

四、课程教学原则与教学方法本课程以精讲、自学和基本了解作为教学原则。

精讲是指对“点集拓扑学”的基本理论、基本方法教师必须作深入而充分的讲授和辅导，学生必须完成足够的练习并达到明晰的理解与巩固地掌握；自学是指对“点集拓扑学”的易于理解的内容学生在教师的指导下自学，达到使学生掌握相应的内容的同时培养学生的自学能力的目的；基本了解是指对“点集拓扑学”的一些内容经过教师的明晰的介绍学生应当较好的了解，并明了其应用，但不要求熟练掌握其逻辑论证。

采取教师讲授、师生互动讨论式和问题式的教学方法，充分调动学生的学习积极性，达到教学目的。

五、总学时68课时（含复习考试）六、课程教学内容要点及建议学时分配第一篇集合论初步（6课时）一、教学目的在本篇使学生掌握“关系”的概念及其基本性质，尤其掌握几个特殊“关系”。

其次掌握“映射”与“关系”之间的联系。

另了解“选择公理”有关的初步知识。

要点如下：1．集合的基本概念(自学)2．集合的基本运算(自学)3*．关系(2学时) 4*．等价关系(2学时) 5*．映射(2学时) 6*．集族及其运算(自学)7．选择公理(时选学2课) 作业要求：完成4~6道基础性练习题，1~2提高性练习题。

第二篇拓扑空间与连续映射（精讲、22课时）一、教学目的本篇是点集拓扑学的基础理论部分，也是点集拓扑学的核心部分。

使学生熟练掌握本章的基本理论、方法，对本章的数学思想要有深刻理解。

点集拓扑

第三章子空间，（有限）积空间和商空间
教学目的
介绍用已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种方法，使得拓扑空间中的一个给定
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陈冬梅：《点集拓扑》课程教学大纲
的子集，有限个拓扑空间的笛卡儿积或一个拓扑空间中的商集都可以作为独立的拓扑对象进行考察。
主要内容
第一节子空间第二节（有限）积空间第三节商空间系
3．题型与举例
深圳大学数学与计算科学学院
200× -200× 学年课程点集拓扑年级第× 学期期末考试Ａ卷姓名成绩
一、判断题（每小题 2 分，共 20 分）（（（（（）1. 仿紧空间是度量空间。）2. 局部道路连通空间不一定是道路连通空间。）3. 度量空间 X 紧致的充要条件是 X 上的任意一个连续函数都是有界的。）4. 可分空间一定满足 C2 公理。）5. 紧度量空间的每一个开覆盖都有 Lebesgue 数。
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陈冬梅：《点集拓扑》课程教学大纲
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为 54 学时，安排在第学期，每周 3 学时，上课 18 周。具体分配如下：第一章集合论初步第二章拓扑空间与连续映射第三章子空间，（有限）积空间和商空间第四章连通性第五章有关可数性的公里第六章分离性公里第七章紧致性 8 学时 10 学时 4 学时 8 学时 6 学时 8 学时 10 学时
陈冬梅：《点集拓扑》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
课程名称
点集拓扑
课程类别
综合选修
教材名称
点集拓扑

河北师大点集拓扑第教案

河北师大点集拓扑第教案一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》教材的第二章“拓扑空间的基本概念”，详细内容包括：拓扑空间的定义及性质、开集与闭集的概念、边界点与内部点、连续映射及其性质。

二、教学目标1. 理解并掌握拓扑空间的定义及其基本性质，能够运用这些性质分析问题。

2. 学会判断一个集合是否为开集或闭集，理解边界点与内部点的概念。

3. 掌握连续映射的定义，能够分析连续映射的性质及其应用。

三、教学难点与重点重点：拓扑空间的定义、开集与闭集的判断、连续映射的概念。

难点：连续映射的性质及其应用。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具：教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 导入：通过实际生活中的例子，如地图的绘制，引出拓扑空间的概念。

2. 知识讲解：a. 拓扑空间的定义及性质b. 开集与闭集的概念及其判断方法c. 边界点与内部点的定义d. 连续映射的定义及其性质3. 例题讲解：讲解教材中的典型例题，引导学生运用所学知识分析问题。

4. 随堂练习：布置一些具有代表性的练习题，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 拓扑空间的定义及性质2. 开集与闭集的概念3. 边界点与内部点4. 连续映射的定义及性质5. 典型例题及解题方法七、作业设计1. 作业题目：1) A = {x | 0 < x < 1}2) B = {x | x^2 < 1}f: R > R，f(x) = x^22. 答案：a.1) A 是开集2) B 是闭集b. 证明：对于任意ε > 0，取δ = ε，则当|x y| < δ 时，有 |f(x) f(y)| = |x^2 y^2| = |x y||x + y| < ε，因此f(x) 是连续映射。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对拓扑空间的基本概念和性质掌握情况较好，但部分学生对连续映射的性质理解不够深入，需要在课后加强辅导。

《点集拓扑学教案》

《点集拓扑学教案》word版第一章：点集拓扑基本概念1.1 拓扑空间拓扑空间的定义拓扑空间的性质1.2 开集与闭集开集的定义与性质闭集的定义与性质1.3 拓扑的邻域与开覆盖邻域的定义与性质开覆盖的定义与性质第二章：连通性2.1 连通空间的定义与性质连通空间的定义连通空间的性质2.2 连通性的判定定理判定定理的介绍判定定理的证明与运用2.3 道路连通性与弧连通性道路连通性的定义与性质弧连通性的定义与性质第三章：紧性3.1 紧空间的定义与性质紧空间的定义紧空间的性质3.2 紧性的判定定理判定定理的介绍判定定理的证明与运用3.3 紧空间的开覆盖与乘积空间开覆盖与紧性的关系乘积空间的紧性第四章：度量空间与完备性4.1 度量空间的定义与性质度量空间的定义度量空间的性质4.2 完备度的定义与性质完备度的定义完备度的性质4.3 完备度与紧性的关系完备度与紧性的定义完备度与紧性的关系证明第五章：连通度与分类5.1 连通度的定义与性质连通度的定义连通度的性质5.2 连通度与紧性的关系连通度与紧性的关系证明连通度与紧性的应用5.3 拓扑空间的分类分类的定义与方法分类的应用与示例第六章：拓扑变换与同伦6.1 拓扑变换的定义与性质拓扑变换的定义拓扑变换的性质6.2 同伦的定义与性质同伦的定义同伦的性质6.3 同伦性与同伦分类同伦性的判定定理同伦分类的应用与示例第七章：同调与同伦理论的应用7.1 同调群的定义与性质同调群的定义同调群的性质7.2 同伦群的应用同伦群与同调群的关系同伦群在拓扑学中的应用7.3 同伦理论与拓扑学其他领域的联系同伦理论与其他拓扑学领域的联系同伦理论的实际应用示例第八章：纤维丛与纤维序列8.1 纤维丛的定义与性质纤维丛的定义纤维丛的性质8.2 纤维序列的定义与性质纤维序列的定义纤维序列的性质8.3 纤维丛的同伦分类纤维丛同伦分类的定义纤维丛同伦分类的应用与示例第九章：代数拓扑与同调代数9.1 代数拓扑的定义与性质代数拓扑的定义代数拓扑的性质9.2 同调代数的定义与性质同调代数的定义同调代数的性质9.3 代数拓扑与同调代数在拓扑学中的应用代数拓扑与同调代数在其他拓扑学领域的应用代数拓扑与同调代数的实际应用示例第十章：拓扑学在其他学科的应用10.1 拓扑学在数学其他领域的应用拓扑学在代数、分析等数学领域的应用拓扑学在数学物理等交叉领域的应用10.2 拓扑学在计算机科学中的应用拓扑学在计算机图形学、网络结构等领域的应用拓扑学在机器学习、数据挖掘等领域的应用10.3 拓扑学在生物学、化学等领域的应用拓扑学在生物学中的细胞结构研究、遗传网络分析等领域的应用拓扑学在化学中的分子结构分析、材料科学等领域的应用重点和难点解析重点一：拓扑空间的定义与性质拓扑空间是现代数学中的基础概念，涉及到空间的性质和结构。