均质球体的转动惯量

文章编号:1671-9662(2005)02-0063-02

均质球体的转动惯量

王玉梅,孙庆龙

(陕西理工学院,陕西汉中723003)

摘　要:　给出了质量均匀分布的球体对沿其直径取向的转轴的转动惯量的三种解法,旨在介绍物理模

型建立的重要性。

关键词:　转动惯量;球体;质元;薄圆盘;薄球壳;细圆环

中图分类号:　O302 文献标识码:A

图1　球面坐标系 刚体对转轴的转动惯量等于刚体上各质元

的质量与各质元到转轴的距离平方的乘积之和,

即:J =Σi

Δm i r 2i 。如果刚体上的质元是连续分布的,则其转动惯量可以用积分进行计算,即:J =

∫V r 2

dm (积分遍及整个刚体)。[1]

从转动惯量的定义可知,求转动惯量J 是否

方便,关键在于质元的选取是否合适。下面以求均

质球体对沿其直径取向的转轴OZ 轴的转动惯量

为例,探讨质元该如何选取。设均质球体的质量为

M ,半径为R 。

1　选取基本体积元为质元 在如图1所示的球面坐标系里,选取任一体

积元作为质元,从图1中可知质元的体积

图2　均质球体

dV =r sin φd θ・rd φ・dr =r 2sin φdrd θd

φ, 其质量dm =M

43πR 3

dV =4M 3πR 3

r 2sin φdrd θd φ 对OZ 轴的转动惯量

dJ =dm ・(r sin φ)2=4M 3πR 3

r 4sin 3φdrd θd φ 均质球体对OZ 轴的转动惯量

J =∫∫∫V dJ =

∫R O dr ∫2πO d θ∫πO 4M 3πR

3r 4sin 3φd φ=25MR 22　选取薄圆盘为质元

如图2所示,均质球体可以看作是由无数个半径连续分

布的垂直于转轴OZ 轴的薄圆盘组成。选取半径r =R sin φ,

厚度d =Rsin φd φ的薄圆盘为质元,则:质元的体积 dV =πr 2・d =πr 2・R sin φd

φ收稿日期:2004-12-12

第一作者简介:王玉梅(1975-),女,山西芮城人,陕西理工学院基础科讲师。第14卷第2期2005年3月 平顶山工学院学报Journal of Pingdingshan Institute of T echnology V ol.14N o.2Mar.2005

其质量 dm =M

43πR 3

dV =3M 4sin 3φd φ对OZ 轴的转动惯量 dJ =

1

2r 2dm =3M 8R 2sin 5φd φ均质球体对OZ 轴的转动惯量J =2∫dJ =2

∫π2O 3M 8R 2sin 5φd φ=25

MR 23　选取薄球壳为质元 均质球体可以看作是由无数个半径连续分布的薄球壳组成。

3.1　半径为r O ,质量为m O 的薄球壳对OZ 轴的转动惯量

图3　薄球壳选取示意图 如图3所示,薄球壳可以看作是由无数个半径连续分布

的垂直于转轴OZ 轴的细圆环组成。选取半径为r =r O sin φ,

宽度为r O d

φ的细圆环为质元,其质量 dm =m O

4πr 2O ・2πr 2O sin φd φ=m O

2sin φd

φ对OZ 轴的转动惯量

dJ =r 2dm =m O 2r 2O sin 3

φd φ该薄球壳对OZ 轴的转动惯量J =2∫dJ =

2∫π2O m O 2r 2O sin 3φd φ=23

m O r 2O 3.2　均质球体对OZ 轴的转动惯量 选取半径为r ,厚度为dr 的薄球壳为质元,则该质元的

质量

dm =M 43

πR 3

・4πr 2dr =3M R 3r 2dr 对OZ 轴的转动惯量 dJ =23r 2dm =M 2R 3

r 4dr 均质球体对OZ 轴的转动惯量J =

∫dJ =∫R O M 2R

3r 4dr =25MR 24　小结 从上边的求解过程中发现,如果质元选取合适,不仅使计算过程大为简化,更重要的是从不同的角度更加深了对物理概念的本质理解。但是要能够选取合适的质元,必须先建立好物理模型。物理模型对于物理理论的研究、物理体系的建立以及各种物理定律的确定都是至关重要的。

参考文献

[1]吴百诗.大学物理(新版)[M].北京:科学出版社,2001.

R otation constant quantity of even sphere

WANG Y u 2mei ,SUN Qing 2long

(Shanxi Science and Technology Institute ,Hanzhong 23003,China )

Abstract :Three methods are put forth for the s olusion of rotation constant quantity of even sphere along the diameter in order to introduce its importance of establishing physical m odel.

K ey w ords :rotation constant quantity ;sphere ;thin sphere shell ;thin round circle 64 平顶山工学院学报 2005年3月