高三数学暑假作业 数列(2)

一 基础再现
考点28：等差数列 考点29：等比数列
1.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++= 2．等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为______________．
3．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值
为 .
4. 已知等比数列{}n a 的各项都为正数，它的前三项依次为1，1a +，25a +则数列{}n a 的通项公式是n a = ．
5．三个数c b a ,,成等比数列，且(0)a b c m m ++=>，则b 的取值范围是 ． 6．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且
7453n n A n B n +=
+，7
7
b a = ． 7. 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113
a a -的值为 16 . 8. 对于数列{}n a ，定义数列{}n a ∆满足： 1n n n a a a +=∆-，（n *∈N ），定义数列2{}n a ∆满足： 21n n n a a a +∆=∆-∆，（n *∈N ），若数列2{}n a ∆中各项均为1，且2120080a a ==，则
1a =__________．
9．数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ． 二 感悟解答
1分析：本题主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为
1a 和q 处理，也可利用等比数列的定义进行求解.设公比为q ，由题知，12
1113
21
a a a q a q =⎧⎨++=⎩得2q =或30q =-<（舍去)，∴34584a a a ++=
2解：依题意,中间项为1+n a ,于是有11(1)319
290n n n a na +++=⎧⎨=⎩
解得129n a +=.
3分析：本题主要考查等比数列的求和公式，等差数列的概念运用，可直接求得.
解：1(1)1n n a q S q -=-，122n n n S S S ++=+，则有12111(1)(1)(1)
2111n n n a q a q a q q q q
++---⋅=+
---， 220q q ∴+-=，2q ∴=-.，1q =时，1222(1)(2)23n n n S n S S n n n ++=≠+=+++=+
4解：.n a =13n -．
5解：[,0)(0,
]3
m
m -⋃． 解：设,b a c bq q ==，则有1,0,1b m b bq m b q q q b ++=≠∴++=．
当0q >时，113m q b q =++≥，而0b >，03m b ∴<≤；
当0<q 时，111m q b q =++≤-，即1m
b ≤-，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<，故[,0)(0,]3
m
b m ∈-⋃
6解：解法1：“若2,,,N m p q m p q *
=+∈，则2
q
p m a a a +=
”解析：77b a =11313
11313
()13
172()132
2
a a A
b b B +⨯==
+⨯ 解法2： 可设(745)n A kn n =+，(3)n B kn n =+，则1(1438)n n n a A A k n -=-=+，
(22)n b k n =+，则
77b a =(14738)17
(272)2
k k ⨯+=⨯+ 7解：利用等差数列的性质得：468101285120a a a a a a ++++== ，824a =，9111
3
a a -= 88812
(3)1633
a d a d a +-+==
8 解：由数列2{}n a ∆中各项均为1，知数列{}n a ∆是首项为1a ∆，公差为1的等差数列，所以，1111
1
1
(1)(2)2(1)n k n k a a a a n n a n -=∆==+-+-+∆-∑．这说明，n a 是关于n 的二次函数，且二次项
系数为
12，由2120080a a ==，得1
(21)(2008)2
n a n n -=-，从而120070a =． 点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题.
9．点拨：本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力． 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，
又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴1
3n n a -=
（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =
故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，得122,10d d ==∵等差数列
{}
n b 的各项为正，∴0d >∴2d = ∴
2(1)
3222
n n n T n n n -=+
⨯=+ 点评：证明一个数列是等差数列或等比数列的几种方法要熟练掌握，在求通项时往往该数列自
身就是一个等差或等比数列，或者以该数列为基础构建的新数列为等差或等比数列，要有向此方向转化的意识. 三 范例剖析
例1 ．已知各项均为正数的数列{n a }满足221120n n n n a a a a ++--=（*
∈N n ），且23+a 是
42,a a 的等差中项.
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式n a ；
（Ⅱ）若n b =n a n n n b b b S a +⋅⋅⋅++=212
1,log ，求使S 1
2
+⋅+n n n >50成立的正整数n 的最
小值.
变式：已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项． （1） 求{n a }的通项公式n a ；
（2） 若12
log n n n b a a =，12
n n S b b b =+++求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值．
例2．设数列0,1,)1(,}{-≠-+=λλλ其中且项和为的前n n n n a S S n a （1）证明：数列}{n a 是等比数列；
（2）设数列}{n a 的公比()q f λ=，数列{}n b 满足1b =1
2，b n =f (b n -1)(n ∈N *,n ≥2),求数列}{n b 的通项公式；
（2） 记1λ=，1
(1)n n n
C a b =-，求数列{}n C 的前n 项和Ｔn ．
例3. 已知数列{}n a 满足21=a ，2112(1)n n a a n
+=+，n ∈N *．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b n =，求1n i i b =∑；（3）设n n n c a =，求证1
n
i i c =∑＜17
24．
四 巩固训练
1. 等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，,22005
2007,
20082005
20071=--=S S a 则S 2008的值为 ▲ 2：已知等比数列{}n a 中21a =，则其前三项的和3s 的取值范围是
3：定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做已知数列，这个常数叫该数列的公鸡积，已知数列{}n a I 等级数列，且1a =2，公
积为5，Tn 为数列{}n a 的前n 项和，则2005T = 4．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=
22+n n a a （n ∈N *
），则7
2是这个数列的第_________项． 5.已知数列
{}
n a 中，
0122,3,6
a a a ===，且对3n ≥时，有
123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．
（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=，求数列{}n na 的前n 项和S n ．。