锁相技术 (2)

器的传递函数。复频域的相位模型则如图2-2(b)所示。
7
第二章 环路跟踪性能
当研究在锁相环路反馈支路开路状态下, 由输入相位q1(t) 驱动所引起输出相位q2(t)的响应时, 则应讨论开环传递函数
Ho(s), 其定义为 (2-5)
由图 2-2(b)可求得锁相环路的开环传递函数
(2-6)
8
第二章 环路跟踪性能
(2-43)
42
第二章 环路跟踪性能
式中右边第一项显然就是(2-41)式右边的项, 所增加的响应只是 (2-43)式右边的第二项。因此可算出总的响应为
(2-44)
43
第二章 环路跟踪性能
图 2-7 采用RC积分滤波器二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线
44
第二章 环路跟踪性能
(3) 采用无源比例积分滤波器的二阶锁相环路。用表2-3的 误差传递函数和(2-40)式可以得到环路相位误差的拉氏变换
设初始条件为零, 经拉氏变换得
(2-21) (2-22)
18
第二章 环路跟踪性能
将(2-22)式代入(2-21)式可得
(2-23) 可见这是一个二阶线性微分方程, 相应的时域表达形式可写成
(2-24)
19
第二章 环路跟踪性能
习惯上, 常用无阻尼振荡频率和阻尼系数来描述系统的性 能。这两个参数的符号用ωn——无阻尼振荡频率［rad/s］和 ζ——阻尼系数［无量纲］表示。(2-24)式中令
27
第二章 环路跟踪性能
1. 输入相位阶跃 输入相位阶跃时
其拉氏变换
28
(2-32) (2-33)
第二章 环路跟踪性能
(1) 理想二阶锁相环路。据表2-3的误差传递函数, 可求出 其误差响应的拉氏变换
将上式分母因式分解并展成部分分式
(2-34)
(2-35)
29
第二章 环路跟踪性能
式中s1与s2为此二阶系统的两个极点 而
61
第二章 环路跟踪性能
讨论三： 关于环路的“阶”与“型”。从讨论二中我们看到, 对于 同一种信号而言, 环路跟踪性能的好坏似乎并不取决于“阶”。
62
第二章 环路跟踪性能
当输入频率阶跃时 用终值定理求解
63
(2-55)
第二章 环路跟踪性能
(2-45)Байду номын сангаас
45
第二章 环路跟踪性能
与(2-41)式相比同样也多了右边第二项, 因此可算得总的响应：
(2-46)
46
第二章 环路跟踪性能
3. 输入频率斜升 输入频率斜升时
其拉氏变换
47
(2-47) (2-48)
第二章 环路跟踪性能
(1) 理想二阶锁相环路。环路误差响应的拉氏变换 (2-49)
48
(2-52)
52
第二章 环路跟踪性能
(3) 采用无源比例积分滤波器的二阶锁相环路。环路相位 误差的拉氏变换为
(2-53)
53
经拉氏反变换得：
第二章 环路跟踪性能
(2-54)
54
第二章 环路跟踪性能
【 计算举例 】 采用无源比例积分滤波器的二阶环, 已知参数K=2π× 105 rad/s, ωn=102 rad/s, ζ=1/2, fo=10 MHz。 当t<0时, 环路锁定在频率为10 MHz的调频振荡器的输出 信号上。从t=0的瞬时起, 调频振荡器的频率以斜率R=2π×103 rad/s2随时间线性变化。 因为ωn／K比1小得多, 所以(2-54)式近似为(2-50)式再加 上一线性增长项(R/K)t。 当t≤10/ωn=0.1 s时, 可以忽略线性增长项, 因为它不会大于 10－3rad。因此, 可以用图 2-8查出ζ=1/2曲线的相位误差。
第二章 环路跟踪性能
第二章 环路跟踪性能
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 习题
线性相位模型与传递函数 环路暂态响应 环路稳态频率响应 环路稳定性与参数设计 环路非线性跟踪性能
1
第二章 环路跟踪性能
第一节 线性相位模型与传递函数
一、一般形式 锁相环路相位模型的一般形式如图1-13所示, 相应的动态
传递函数为
(2-14) 将其代入动态方程(2-4)式, 得此种二阶锁相环路的动态方程为
(2-15)
12
第二章 环路跟踪性能
由(2-15)式可直接导出误差传递函数
据(2-13)式可求出闭环传递函数
13
(2-16) (2-17)
第二章 环路跟踪性能
据(2-11)式可求出开环传递函数
(2-18)
若将F(s)直接代入环路传递函数的一般表达式(2-6)、(2-8) 和(2-10)式也可得到同样的结果。
(2-41)
37
第二章 环路跟踪性能
按照同样的步骤, 将分母的因式进行分解, 然后展成部分分 式, 并进行拉氏反变换, 得
(2-42)
38
第二章 环路跟踪性能
图 2-6 理想二阶环对输入频率阶跃的相位误差响应曲线 (a) 时间前段；(b) 时间后段
39
第二章 环路跟踪性能
【 计算举例 】 假如环路的输入信号频率阶跃为100 Hz, 阻尼系数ζ=2, 测得最大相位误差为0.44 rad。问40 ms之后的相位误差为多大？ 由图 2-6(a)可见, 当ζ=2时, 最大相差
21
第二章 环路跟踪性能
此外, (2-28)式还表明, 振荡的幅度是按指数
变化,
随时间而衰减的。从物理上可以理解为这种衰减是系统中的阻
尼元件消耗能量所造成的。RLC电路中的耗能元件显然就是电
阻R, 阻尼系数ζ一定与R有关。事实上
22
第二章 环路跟踪性能
参数ζ和ωn常用于表示系统的传递函数。由(2-23)式可求得 系统的传递函数
3
第二章 环路跟踪性能
图 2-1 正弦鉴相特性近似为线性鉴相特性
4
第二章 环路跟踪性能
用Kdθe(t)取代动态方程(1-28)式中的Ud sinθe(t)就得到了线 性化动态方程
再令环路增益
(2-1)
则方程为
(2-2)
相应的线性相位模型如图 2-2(a)所示。
(2-3)
5
第二章 环路跟踪性能
图 2-2 锁相环路的线性相位模型 (a) 线性相位模型；(b) 复频域表示
将(2-25)、(2-26)式代入(2-30)式得
(2-30)
(2-31)
23
第二章 环路跟踪性能 24
第二章 环路跟踪性能 25
第二章 环路跟踪性能
图 2-4 二阶系统的输出响应
26
第二章 环路跟踪性能
二、环路误差的时间响应 当环路处于锁定状态时, 输出频率与输入频率相同, 两者之
间只有一稳态相差。在此条件下, 若输入信号发生相位或频率 的变化(干扰或调制所引起的), 通过环路自身的控制作用, 环路 输出信号也即压控振荡器的振荡频率和相位会跟踪输入信号的 变化。理想的跟踪, 输出信号的频率和相位应时时与输入信号 相同。其实不然, 环路有一个时间的跟踪过程。首先出现暂态 过程, 有暂态相位误差；其次在到达稳定状态之后, 据输入信号 形式的不同, 有不同的稳态相位误差。
55
第二章 环路跟踪性能
最大暂态相位误差出现在t=3.7/ωn=37 ms, 此时 当t>0.16 s时, 环路的暂态过程结束, 相位误差可近似为
56
第二章 环路跟踪性能
θe(t)达到π/2的时间可由此导出
解得
t=94.2 s
这意味着, 环路可以维持94.2 s的跟踪状态, 其间, 存在频率误差
(2-9) 由图 2-2(b)可求得锁相环路的误差传递函数
(2-10)
10
第二章 环路跟踪性能
开环传递函数Ho(s)、闭环传递函数H(s)和误差传递函数 He(s)是研究锁相环路同步状态性能最常用的三个传递函数, 三 者之间的关系为
(2-11)
(2-12) (2-13)
11
第二章 环路跟踪性能
二、二阶锁相环路的线性动态方程与传递函数 当采用RC积分滤波器作为环路滤波器时, 据(1-18)式, 它的
方程如(1-28)式。因为环路应用了正弦特性的鉴相器, 所以模型 与方程都是非线性的。在环路的同步状态下, 瞬态相差θe(t)总 是很小的, 鉴相器工作在如图 2-1鉴相特性的零点附近。
2
第二章 环路跟踪性能
由图可见, 零点附近的特性曲线可以用一条斜率等于正弦 特性零点处斜率的直线来进行近似。这样不会引起明显的误差, θe(t)在±30°之内的误差不大于5%。因为
14
第二章 环路跟踪性能 15
第二章 环路跟踪性能
第二节 环路暂态响应
一、典型二阶系统的性能参数 二阶系统在电子技术中是最常见的, 例如图 2-3所示的RLC
电路。 应用克希霍夫定律, 可以建立方程
(2-19)
(2-20)
16
第二章 环路跟踪性能
图 2-3 RLC电路
17
第二章 环路跟踪性能
故
40
第二章 环路跟踪性能
在40 ms之后, ωnt=314×40×10－3=12.56 rad, 由图 2-6(b)查 得
因此, 40 ms后的θe(t)为
41
第二章 环路跟踪性能
(2) 采用RC积分滤波器的二阶锁相环路。由表2-3给出的误 差传递函数和(2-40)式可以得到环路相位误差响应的拉氏变换
经拉氏反变换得：
第二章 环路跟踪性能
(2-50)
49
第二章 环路跟踪性能
图 2-8 理想二阶环对输入频率斜升的相位误差响应曲线
50
第二章 环路跟踪性能
(2) 采用RC积分滤波器的二阶锁相环路。环路相位误差响 应的拉氏变换
(2-51)
51
第二章 环路跟踪性能
此式比(2-49)式多了右边的第二项。经拉氏反变换得总的 响应为
57
第二章 环路跟踪性能
三、稳态相位误差 前面讨论了三种锁相环路分别在三种不同的输入暂态信号
下相位误差的时间响应。这个时间响应既包括了暂态响应, 也 包括了时间趋于无限大时的稳态响应, 即
因此, 只要令前面分析得到的响应θe(t)中随时间指数衰减 的暂态项为零, 就可以得到环路的稳态相差。
此外, 应用拉氏变换的终值定理, 可以不经拉氏反变换, 直 接从θe(s)求出环路的稳态相差。
当研究在锁相环路闭环状态下, 由输入相位q1(t)驱动所引 起的输出相位q2(t)的响应时, 则应讨论闭环传递函数, 其定义为
(2-7) 由图 2-2(b)可知, 锁相环路的闭环传递函数
(2-8)
9
第二章 环路跟踪性能
当研究在锁相环路闭环状态下, 由输入相位q1(t)驱动所引 起的误差相位qe(t)的响应时, 则应研究误差传递函数, 其定义为
6
第二章 环路跟踪性能
上述方程与模型都是时域表达形式。不难导出其复频域的
表达形式, 动态方程为
sqe(s)=sq1(s)－KF(s) qe(s)
(2-4)
式中qe(s)、q1(s)为(2-3)式中qe(t)、q1(t)的拉氏变换, (2-3)式中的
F(p)是环路滤波器的传输算子, 而(2-4)式中的F(s)则为环路滤波
(2-25)
(2-26)
则(2-24)式可以写成
(2-27)
20
第二章 环路跟踪性能
当输入ui(t)为单位阶跃电压, 在ζ小于 1 时, 可求得方程的解 为
(2-28) 由此解可以看出, 当ζ<1时, 系统的响应是振荡型的, 振荡频率为
(2-29) 当系统无阻尼, 即ζ=0 时, 振荡频率ωd=ωn, 这就是称ωn为无阻尼 振荡频率的原因。
(2-37)
34
第二章 环路跟踪性能
按照上述同样的方法, 将表示式的分母因式分解, 展成部分 分式, 进行拉氏反变换可得
(2-38)
35
第二章 环路跟踪性能
2.输入频率阶跃 输入频率阶跃时
其拉氏变换
36
(2-39) (2-40)
第二章 环路跟踪性能
(1) 理想二阶锁相环路。用表2-3给出的误差传递函数和 (2-40)式可以得到环路相位误差响应的拉氏变换
30
第二章 环路跟踪性能
对(2-35)式进行拉氏反变换得
31
第二章 环路跟踪性能
按照阻尼系数ζ的值, 可区分为三种不同情况：
(2-36)
32
第二章 环路跟踪性能
图 2-5 理想二阶锁相环路对相位阶跃输入的误差响应曲线
33
第二章 环路跟踪性能
(2) 采用无源比例积分滤波器的二阶锁相环路。据表2-3的 误差传递函数, 可求出其误差响应的拉氏变换
58
第二章 环路跟踪性能 59
第二章 环路跟踪性能
讨论一： 对于同一种环路来说, 输入信号变化得越快, 跟踪性能就 越差。
60
第二章 环路跟踪性能
讨论二： 同一信号加入不同的锁相环路, 其稳态相差是不同的。对 于相位阶跃信号, 各种环路都能无误差地跟踪。对于频率阶跃 信号, 一阶环及采用RC积分滤波器或采用无源比例积分滤波器 的非理想二阶环, 将有固定的稳定相差, 而理想的二阶环和三阶 环则能无误差地跟踪。对于频率斜升信号, 一阶环以及采用RC 积分滤波器或采用无源比例积分滤波器的非理想二阶环已无法 跟踪, 理想二阶环跟踪时有固定的稳态相差, 理想三阶环则可无 误差地跟踪。