连续介质力学第二章.

即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 e (, 1, 2)
从三维退化得到
e ei j3 e 3
其中
e11 e22 0, e12 e21 1
有下列恒等式
e e
又如，方程
12


2 2

32
111
2 22
333
用指标法表示，可写成
i i i ii i ii i ii
i 不参与求和，只在数值上等于 i
1.2 Kronecker 符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
ij
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
新旧基矢量夹角的方向余弦：
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
1.5.1 坐标系的变换关系
ij cos(ei , e j ) ei e j
旧 新
e1
e 2 e 3
e1
11 21 31
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3 bjj b11 b22 b33
cmem c1e1 c2e2 c3e3
双重求和
33
S
aij xi xj
i1 j1
简写成
S aij xi xj
展开式（9项）
S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？
1.5.3 矢量（Vector）
满足以下变换
关系的三个量 定义一个矢量
{ai
}
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
{a1 , a2 , a3}, {a1, a2 , a3}
即
a aiei , a aiei
ai a ei ai ei ei ai a ei ai ei ei ai ei ei
为简化表达式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi i1
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题
证明：
Ail Aim Ain
A11 A12 A13
Ajl Ajm Ajn ei e jk lmn A21 A22 A23
Akl Ak m Ak n
A31 A32 A33
指标任意排列，经过行列调 整总可用右边表示，两个置 换符号分别反映行、列调换 及指标重复时的正、负及零
令 Ai j i j
13 23

ee12

e3 31 31 33 e3
ei eii i （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
在坐标变换时其值保持不变，即满足
(x1, x2 , x3 ) (x1 , x2 , x3 )
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3 x2 a21x1 a22 x2 a23x3 x3 a31x1 a32 x2 a33x3
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
ei e j i j ，但
ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3
而 ii 11 22 33 3 ，故 ei ei ii
注意： ii 是一个数值，即 ii 3
i j 的作用：1）换指标；2）选择求和。
其普通记法
Ui 0 xi
U1 U 2 U3 0 x1 x2 x3
或
U x U y U z 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( Ui
……
C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33B33
例外：
R1 C1E1
R2 C2E2
Ri Ci Ei Ci Ei
R3 C3E3
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。
第二章 张量的基本理论
§2-1 张量代数 §2-2 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
第一步用 n j 表示 ni , i j 有换指标的作用
ni i j nj
所以
Ti j nj i jnj 0
即
(Ti j i j )nj 0
1.4 指标记法的运算
1.4.4 缩并
使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如各向同性材料应力应变关系
Ti j Ekk i j 2 Ei j
e e , e e 2 2!
关键公式：
il im in ei jkelmn jl jm jn
kl km kn
il im i3 il im 0 ei j3elm3 jl jm j3 j l jm 0
3l 3m 33 0 0 1
e e

二维关键公式： e e


e e



2


e e 2 2
e2
12 22 32
e2
13 23 33
图解（二维）：
在解析式中记：
e1
1'1e1
1'2e2
1'je j ,
1'j cos1'j
j 1, 2
1.5.1 坐标系的变换关系
ee12


11 21
12 22
Cij Aik Bjk
表示9个方程：
i ，j为自由指标，k 为哑标
C11 A1k B1k A11B11 A12B12 A13B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13B23 C13 A1k B3k A11B31 A12B32 A13B33 C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23B13

by

0
Tzx x

Tzy y

Tzz z
bz
0
写出其指标记法
1.5 张量的定义
1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系） 旧坐标系： Ox1x2x3 单位基矢量： {e1, e2 , e3}
新坐标系： O x1x2x3 单位基矢量：{e1 , e2 , e3}
t
Uj
U i xj
)

bi

p xi


U i x jx j
写出其普通记法
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程：
Txx x

Txy y

Txz z
bx

0
Ty x x

Ty y y

Ty z z
例1： Ai Ak
ki Ai k k Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
例2： Tk j Ti j
ikTk j i iTij Tij 特别地， ik k j ij , ik k j jm im
例如： e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1 e111 e121 e232 0
可见：
ei jk ejki eki j ejik eik j ek ji
ei jk 也称为三维空间的排列符号。
若 e1, e2 , e3 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
e e

2

2
4 4
422
1.4 指标记法的运算
3个方程， 右边为9 项之和
1.4.1 代入
设
ai Uimbm
bi Vimcm
把（2） 代入（1）
(1)
ai U imVmncn
(2)
则
ei e j ei jkek
常见的恒等式
il im in ( i ) ei jkelmn jl jm jn