连续介质力学第二章.

例如： e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1 e111 e121 e232 0
可见：
ei jk ejki eki j ejik eik j ek ji
ei jk 也称为三维空间的排列符号。
若 e1, e2 , e3 是右手卡氏直角坐标系的单位基矢量
e e , e e 2 2!
关键公式：
il im in ei jkelmn jl jm jn
kl km kn
il im i3 il im 0 ei j3elm3 jl jm j3 j l jm 0
Cij Aik Bjk
表示9个方程：
i ，j为自由指标，k 为哑标
C11 A1k B1k A11B11 A12B12 A13B13 C12 A1k B2k A11B21 A12 B22 A13B23 C13 A1k B3k A11B31 A12B32 A13B33 C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23B13
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3 e3 A31e1 A32e2 A33e3
13 23

ee12

e3 31 31 33 e3
ei eii i （对 i 求和，i’为自由指标）
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
1.5.2 标量（纯量 Scalar）
在坐标变换时其值保持不变，即满足
(x1, x2 , x3 ) (x1 , x2 , x3 )
则
ei e j ei jkek
常见的恒等式
il im in ( i ) ei jkelmn jl jm jn
kl km kn
( ii ) ei jkelmk il jm im jl ( iii ) ei jkel jk 2 il
( iv ) ei jkei jk 6 3!
证明：
Ail Aim Ain
A11 A12 A13
Ajl Ajm Ajn ei e jk lmn A21 A22 A23
Akl Ak m Ak n
A31 A32 A33
指标任意排列，经过行列调 整总可用右边表示，两个置 换符号分别反映行、列调换 及指标重复时的正、负及零
令 Ai j i j
3l 3m 33 0 0 1
e e

二维关键公式： e e


e e



2


e e 2 2
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3 x2 a21x1 a22 x2 a23x3 x3 a31x1 a32 x2 a33x3
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
……
C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33B33
例外：
R1 C1E1
R2 C2E2
Ri Ci Ei Ci Ei
R3 C3E3
这里 i 相当于一个自由指 标，而 i 只是在数值上等 于 i，并不与 i 求和。
规定：出现双重指标但不求和时，在指标下方加划线 以示区别，或用文字说明（如i不求和）。
缩并 Tii Ekk ii 2 Eii 3 Ekk 2 Eii
Tii (3 2 )Eii
哑标与求和无 关，可用任意 字母代替
为平均应力应变之间的关系
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
求和约定同样适用于微分方程。 不可压缩牛顿流体的连续性方程：
新旧基矢量夹角的方向余弦：
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
1.5.1 坐标系的变换关系
ij cos(ei , e j ) ei e j
旧 新
e1
e 2 e 3
e1
11 21 31
第一步用 n j 表示 ni , i j 有换指标的作用
ni i j nj
所以
Ti j nj i jnj 0
即
(Ti j i j )nj 0
1.4 指标记法的运算
1.4.4 缩并
使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如各向同性材料应力应变关系
Ti j Ekk i j 2 Ei j
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。 时间是否标量？
1.5.3 矢量（Vector）
满足以下变换
关系的三个量 定义一个矢量
{ai
}
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
{a1 , a2 , a3}, {a1, a2 , a3}
即
a aiei , a aiei
ai a ei ai ei ei ai a ei ai ei ei ai ei ei
例1： Ai Ak
ki Ai k k Ak Ak
思路：把要被替换的指标 i 变成哑标，哑标能 用任意字母，因此可用变换后的字母 k 表示
例2： Tk j Ti j
ikTk j i iTij Tij 特别地， ik k j ij , ik k j jm im
ei e j i j ，但
ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3
而 ii 11 22 33 3 ，故 ei ei ii
注意： ii 是一个数值，即 ii 3
i j 的作用：1）换指标；2）选择求和。

by

0
Tzx x

Tzy y

Tzz z
bz
0
写出其指标记法
1.5 张量的定义
1.5.1 坐标系的变换关系（卡氏右手直角坐标系） 旧坐标系： Ox1x2x3 单位基矢量： {e1, e2 , e3}
新坐标系： O x1x2x3 单位基矢量：{e1 , e2 , e3}
其普通记法
Ui 0 xi
U1 U 2 U3 0 x1 x2 x3
或
U x U y U z 0 x y z
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 不可压缩牛顿流体的Navier-Stokes方程：
( Ui
t
Uj
U i xj
)

bi

p xi


U i x jx j
写出其普通记法
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换 弹性力学平衡方程方程：
Txx x

Txy y

Txz z
bx

0
Ty x x

Ty y y

Ty z z

1, 0,
i j i j
其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此， ij 可确
定一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0
21
22

23


0
1
0
31 32 33 0 0 1
若 e1, e2 , e3 是相互垂直的单位矢量，则
又如，方程
12


2 2

32
111
2 22
333
用指标法表示，可写成
i i i ii i ii i ii
i 不参与求和，只在数值上等于 i
1.2 Kronecker 符号
在卡氏直角坐标系下，Kronecker 符号定义为：
ij
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3 bjj b11 b22 b33
cmem c1e1 c2e2 c3e3
双重求和
33
S
aij xi xj
i1 j1
简写成
S aij xi xj
展开式（9项）
S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3
第二章 张量的基本理论
§2-1 张量代数 §2-2 张量分析 §2-3 张量应用
§2-1 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
e e

2

2
4 4
422
1.4 指标记法的运算
3个方程， 右边为9 项之和
1.4.1 代入
设
ai Uimbm
bi Vimcm
把（2） 代入（1）
(1)
ai U imVmncn
(2)
bi Vimcm
bm Vmncn
m
n or else
1.4 指标记法的运算
1.4.2 乘积
不符合 求和约
定
设 则
p U mam q Vmbm
p q U mamVmbm
p q U mamVnbn
1.4 指标记法的运算
1.4.3 因式分解
考虑 Ti j nj ni 0
例3： Ami Bn j , 34 81 个数， 求 m n 项的和。
mn Ami Bn j Ani Bn j Ami Bm j
1.3 置换符号
1, ei jk 1,
0,
i, j, k, 为1，2，3的偶排列(顺序轮换) i, j, k, 为1，2，3的奇排列(反序轮换) i, j, k, 不是1，2，3的排列(两个以上角标同)
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
三重求和（27项） S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
1.1.2 自由指标
例如
xi aij xj
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
e2
12 22 32
e2
13 23 33
图解（二维）：
在解析式中记：
e1
1'1e1
1'2e2
1'je j ,
1'j cos1'j
j 1, 2
1.5.1 坐标系的变换关系
ee12


11 21
wenku.baidu.com2 22
即得（ i ），将（ i ）作相应的指标替换， 展开化简，将得其余三式。
二维置换符号 e (, 1, 2)
从三维退化得到
e ei j3 e 3
其中
e11 e22 0, e12 e21 1
有下列恒等式
e e
为简化表达式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi i1
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题