《2.11变化率与导数、导数的计算》 学案

学习过程

一、课堂导入

1．从近几年的高考试题来看，导数的几何意义是高考的热点．

2．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档左右．

3．命题切入点：在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查与解析几何结合的相关知识．

二、复习预习

导数的概念、几何意义及其运算是运用导数解决问题以及导数在实际生活中的应用的基础，虽然相关知识点的考查为A,B级，但是在许多综合题目中都会涉及本节知识点，需要学生在运用本节知识点理解题意的基础上进一步的运用导数。对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.

三、知识讲解

考点1 导数的概念

函数)(x f y =在0x x =处的导数

一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，称其为函数)(x f y =在0x x =处的

导数，记作)(0x f '．

考点2 导函数

当x 变化时，)(x f '称为)(x f 的导函数，则x

x f x x f y x f x ∆-∆+='='→∆)

()(lim

)(000

特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别，)(x f '是一个函数，)(0x f '是常数，)(0x f '是函数)(x f '在点0x 处的函数值．

考点3 导数的几何意义

函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点),(00y x P 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：

))((000x x x f y y -'=-．

特别提醒：求函数)(x f y =在点),(00y x P 处的切线方程与求函数)(x f y =过点),(00y x P 的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为))((000x x x f y y -'=-，后者可能不只一条．

考点4 几种常见函数的导数

考点5 导数运算法则

(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='； (3))

()

()()()(])()([

2

x g x g x f x g x f x g x f '-'='，)0)((≠x g

考点6 复合函数的导数(理)

设函数)(x ϕμ=在点x 处有导数)(x ϕμ'='，函数)(μf y =在点x 的对应点μ处有导数)(μf y '='， 则复合函数

))((x f y ϕ=在点x 处也有导数，且x x y y μμ'⋅'='

四、例题精析

【例题1】

【题干】求下列函数的导数

(1)y＝x＋x5＋sin x

x2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；

(3)y＝

1

1－x

＋

1

1＋x

；(4)y＝

cos 2x

sin x＋cos x

.

【解析】(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin x x 2＝x 3

2-＋x 3＋sin x

x 2，

∴y ′＝(x 3

2-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′

＝－32x 5

2-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2

cos x .

(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)

＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，

∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.

(3)∵y ＝1

1－x ＋11＋x ＝2

1－x ，

∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2

(1－x )2.

(4)y ＝cos 2x

sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，

∴y ′＝－sin x －cos x .

【例题2】

【题干】求下列复合函数的导数：

(1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln x2＋1；

(3)y＝

1

(1－3x)4

；(4)y＝x1＋x2.

【解析】(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′

＝2(1＋sin x )·cos x .

(2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·( x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12

-·(x 2

＋1)′

＝x

x 2＋1.

(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.

则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)

＝12

(1－3x )5. (4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x () 1＋x 2′＝

1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x

2

1＋x 2 .

【例题3】

【题干】已知函数f (x )＝2 x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．

(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；

(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫

－23，233，求△AOB 的面积．