椭圆中的焦点三角形(总结非常好)

椭圆焦点三角形的性质

班级_______________学号_______________姓名_______________

任务一课前小测，知识回顾

1.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3

A π=，2a =，求,b c .2.△ABC 的内角,,A

B

C 的对边分别为,,a b c ，已知2a =，4b c +=.

(1)若23B π=，求c ；(2)设B θ=，试用θ表示c .

3.(教材习题)如果椭圆22

110036

x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是________.

4.(教材习题)已知经过椭圆22

12516

x y +=的右焦点2F 作直线AB ，交椭圆于A ,B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则△1AF B 的周长为________.思考与总结:

①你能说出椭圆焦点三角形，焦点弦的定义吗？

②通过题3、题4的解答，你能说说“椭圆焦点三角形的元素”与“椭圆的几何性质”间的一些关系吗？

任务二抽丝剥茧，试题分析

5.(2020顺德二模第19题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F =，

设点P 为椭圆C 上一点,123

F PF π∠=

，且△12F PF (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左右顶点为1A ,2A ，称以12A A 为直径的圆为椭圆C 的“伴随圆”.设直线1l ,2l 为过点1F 的两条互相垂直的直线，设1l 交椭圆于Q ,T 两点，2l 交椭圆C 的“伴随圆”于M ,N 两点，当QT 取到最小值时，求四边形QMTN 的面积.思考与总结：

①题5条件中有很多△12F PF 的信息，由这些出发，你能得到什么？这些对第(1)问求椭圆C 的标准方程有帮助吗？

②第(2)问表面上“高深莫测”，请耐心一点，逐句分析，你能得到哪些基本信息？请一一写出来！

③你能想到什么方法求QT 的最小值？

任务三方法感悟，素养提升

6.(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为

A ．3

12-B ．2C ．31

2-D 1

7.(2019全国卷Ⅲ)设12F F ，为椭圆22:+13620

x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△12MF F 为等腰三角形，则M 的坐标为________.

8.(2019全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为()11,0F -,()21,0F ,过2F 的直线与C 交于,A B 两点,若222AF F B =,1AB BF =,则C 的方程为(

)A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=思考与总结：

①若△12PF F 为焦点三角形，你能否用它的元素表示椭圆的离心率？

②通过上述问题的解答，请谈谈这节课你的收获.

任务四课外探索，巩固练习

9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ，122F F c =，设点P 为椭圆C 上一点，设12F PF θ∠=，12PF F α∠=，21PF F β∠=.

(1)求证：△12F PF 的面积为2sin 1cos b θθ

+；(2)求证：21cos b PF a c α

=-，22cos b PF a c β=-；(3)设直线1PF 交椭圆C 于另一点Q ，求证：22222cos ab PQ a c α

=-，211112a PF QF b +=.5.(2011全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，

离心率为2

.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且△2ABF 的周长为16，那么C 的方程为_____________.10.(2013山东卷)椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，

离心率为2

，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.求椭圆C 的方程.

11.(2013全国卷Ⅱ)设椭圆2222:1x y C a b

+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠= ,则C 的离心率为（

）A ．3

6B ．1

3C ．1

2D ．3

3

12.(2010全国卷)设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点，且2AF ,AB ,2BF 成等差数列.(1)求E 的离心率;(2)略.

13.(2019全国卷Ⅱ)已知1F ,2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点.

(1)若△2POF 为等边三角形，求C 的离心率；

(2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.