应力状态分析和强度理论
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力
材料力学应力状态分析强度理论
断裂力学用于研究材料发生断裂时的力学行为，包括断裂韧性和断裂韧性指标。
断裂模式分析
通过对材料断裂模式的分析，了解材料在受到外力作用时如何发生破裂。
材料的强度
应力。 材料在受力过程中开始产生塑性变形的应力值。
材料在受到大幅度应力作用时发生破裂的强度。
由强度理论推导的材料设计
根据材料的强度特性，可以进行材料设计，以确保材料在使用过程中不超过其强度极限。
考虑材料疲劳的应力分析
1
疲劳寿命评估
扭转应力分析
扭转应力是材料在受扭转力作 用下的应力分布，对材料的扭 转能力和疲劳寿命影响较大。
应力分布分析
1 梁的应力分布
梁的应力分布分析可以 帮助了解梁在受力过程 中的强度和变形情况。
2 压力容器的应力分析 3 板的应力分布
压力容器的应力分析是 为了确保容器在承受压 力时不会发生破裂或变 形。
板的应力分布分析可用 于评估板在受力状态下 的强度和变形性能。
材料力学应力状态分析强 度理论
材料力学应力状态分析强度理论是研究材料受力情况及其强度特性的理论体 系，包括弹性理论、横向状态分析、应力分布分析等内容。
弹性理论
基本原理
材料在受力过程中 会发生变形，弹性 理论用于描述材料 的弹性性质和应变 的产生与传递。
弹性模量
弹性模量是衡量材 料对应力的响应能 力，不同材料具有 不同的弹性模量。
应力-应变关 系
弹性理论可以通过 应力-应变关系来描 述材料受力后的变 形情况。
限制条件
弹性理论是在一定 条件下适用的，需 要考虑材料的线性 弹性和小变形假设。
横向状态分析
横向力
横向状态分析用于研究材料在 受横向力作用下的变形和应力 分布。
第12章 应力状态分析和强度理论—《材料力学》课程PTT精华版
12.2 平面应力状态分析
σα
=
σx
1 cos2α 2
σy
1 cos2α 2
τ xy sin 2α
σα
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α τxysin2α
同理，由 Ft = 0 得：
τα
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
一点的应力状态有三个主应力，
s2
s1
按其代数值排列：
σ1 σ2 σ3
4. 应力状态分类
s3
（1）单向应力状态：三个主应力中，有两个等于零，一
个不等于零的应力状态。
s
ss
s
F
F
12.1 引言
（2）二向应力状态：三个主应力中，有一个等于零，另 外两个不等于零的应力状态。
F
A
sx txy
z
B
sz
t zx t zy
2
s
A
2 Ax
CDE σ
Ay
2α
sx
=
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τxysin2α
=
σα
同理可以证明：
Aα D
=
σx
2
σy
sin2α
τ xy cos2α
=
τα
12.2 平面应力状态分析
tyx t txy
4. 应力圆的特点
sy tyx
n
s
sx
t
sx txy
sy
t
s
t
A
7-第七章 应力状态分析 强度理论.
第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。
3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。
xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。
设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)
t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 （ ） t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面（单位：MPa）。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ，t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理： t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
应力分析和强度理论
应力分析和强度理论
应力分析是研究物体受力状态的一种方法，通过应力分析可以了解物体在受力时的应力分布情况、应力大小以及应力的变化规律，从而判断物体的强度和稳定性。
强度理论是根据材料的强度性能，通过分析受力物体的承载能力和失效形式来评估其使用性能。
应力分析的基本原理是基于力学的平衡原理和材料的本构关系，通过求解物体内部的应力分布来确定物体受力的情况。
在应力分析中，通常使用应力矢量、应力张量、应变张量等量来描述物体在各个方向上的受力情况。
根据受力情况的不同，可以将应力分析分为静力学分析、力学性能分析、疲劳分析等。
强度理论是根据材料的强度性能，通过对物体的受力状态和承载能力的分析来评估物体的使用性能。
常用的强度理论有极限强度理论、最大剪应力理论、最大正应力理论、能量理论等。
这些理论基于不同的假设和数学模型，对物体的失效形式和破坏条件进行研究，从而为工程设计提供参考依据。
在工程实践中，应力分析和强度理论常常结合使用。
首先，通过应力分析可以了解物体在各个方向上的应力分布情况，从而确定物体的受力状态。
其次，通过强度理论可以评估物体的承载能力和失效形式，从而选择合适的材料和结构设计方案。
最后，通过对应力分析和强度理论的不断优化和改进，可以提高物体的使用性能和结构的安全性。
总之，应力分析和强度理论是研究物体受力状态和评估物体使用性能的基本方法。
通过这两种方法的应用，可以了解物体受力的情况、评估物体的承载能力和失效形式，从而为工程设计提供科学的依据。
在未来的研
究中，应力分析和强度理论还有很大的发展空间，可以继续深入研究不同材料和工况下的应力分布和强度性能，为工程设计提供更加准确的参考。
13.应力状态分析和强度理论
z
x
σy y
τy
α
n
σx
x
σx
o
τx
σy
§6.2 平面应力状态分析的解析法
σy
σx
a
b
τy
σx
c
b
σα
n
α
单元体各面面积
τx
σx
τx
a
σy
τy
τα c
σy
x bc: dA
t
ab: dA⋅ cosα ac: dA⋅ sinα
由分离体平衡得： 由分离体平衡得：
∑F = 0 ;
n
σ α dA − (σ x dAcosα ) cosα + (τ x dAcosα ) sinα
(σ α −
σ x +σ y
2
) +τ
2
2
α
=(
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
τ
R= (
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
R C
σ x +σ y
2
σ
§6.3 平面应力状态分析的图解法
二.应力圆的画法
y σ y
τ yx D τ xy
A
τ
x
R= (
σ x −σ y
2
)2 + τ 2 xy
(α1 ;
τ max = ± (
min
′ α1 = α1 ± 900 )
) 2 + τ xy
2
——最大切应力 最大切应力 所在的位置
σ x −σ y
2
——xy 面内的最大切应力
应力状态分析 、强度理论、组合变形
Page57
BUCT
解：1 T＝3×0.25 ＝ 0.75KN.M
2 MxY ＝7×0.22 ＝ 1.54KN.M
3 MxY中＝7×0.22×0.5 ＝0.77KN.M
4 MxZ＝3.5×0.4＝ 1.4KN.M
5
M总
M
2 z
M
2 y
=1.6
6
r3
1 W
M 2 T 2 [ ]
Page28
BUCT
化工设备机械 基础
然后叠加
= + = Pcos / A + Pl sin y / Iz
1 = N / A + M / Wz
2 = N / A - M / Wz
Page29
BUCT
例题5-5
化工设备机械 基础
Page30
BUCT
化工设备机械 基础
Page31
BUCT
uf 达到某一数值时，材料失效。
强度条件：
1 2
[(1
2
)2
(
2
3
)2
(
3
1)2
]
[]
Page21
BUCT
化工设备机械 基础
r1 1
r2 1－μ（σ2 － σ3 ）
r3 1 3 2 4 2
r4
1 2
2 3 2
r3
( M )2 4( T )2 1
W
Wp
W
M 2 T 2 [ ]
Page2
BUCT
§1 应力状态的概念
化工设备机械 基础
一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的分布规律
1. 轴向拉压：
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
应力分析和强度理论
要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。
第八章 应力状态分析和强度理论材料力学
（3）主方向 （4）主应力
（5）主单元体
4 广义胡克定律
1.应变叠加原理
各向同性材料在小变形的情况下，当应力不超过比例极限，则线应变只与正 应力有关，剪应变只与剪应力有关，且由正应力引起的某一方向上的应变 可以叠加；
2.主方向上的广义 胡克定律
由σ1 引起三个主方向的线应变为：
由σ2 引起三个主方向的线应变为：
2 二向应力状态分析
1.应力分量及其符号的规定
正应力规定与截面外法线 方向一致为正，反之为负； 剪应力规定对单元体内任 一点的矩顺时针为正，反 之为负；
2.斜截面上的应力
列出平衡方程： 由剪应力互等定理
整理得：
由上面两式可得：
这是关于σα和τα的圆方程；
圆心坐标是
半径是
3.应力圆 以横坐标表示正应力，纵坐标表示剪应力，画出二向应力状态的应力圆
4.应力圆与单元体之间的对应关系
(1)应力圆上的每一点对应单元体上互成1800的二个面上的应力状态； (2)应力圆上的点按某一方向转动2α角度，单元体上的面按相同方向转动α角度； (3)应力圆与α轴的交点代表主平面上的应力； (4)应力圆上代表主平面的点转动900得到剪应力极值点；单元体上主平面转动450得到剪 应力极值平面；
解： （1）应力分量
应力圆
（2）求主平面位置和主应力大小
例3.已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试求： （1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向； （3）最大剪应力。
解：
（2）求主平面位置和主应力大小
（3）最大剪应力
例4.薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且d=50mm， =2mm。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向， 并用单元体表示。
应力状态分析与强度理论
第五章 应力状态分析与强度理论一、 内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。
1.2一点的应力状态的表示方法——单元体研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。
若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。
1.3主平面、主应力单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。
过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。
相应的主应力用1σ、2σ、3σ来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即321σσσ≥≥。
1σ是最大主应力，3σ是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。
1.4应力状态的分类（1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零； （2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。
单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。
2.平面应力状态分析的解析法在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。
可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。
图5-12.1任意α斜截面上的应力当已知x σ、y σ、yx xy ττ=时，应用截面法，可得ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy yx xy yx yx +-=--++= （5-1）式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；α为斜截面外法线与x 平面外法线即x 轴间的夹角，α角从x 轴量起，反时针转向为正，反之为负。
2.2主应力22min max 22xy yx y x τσσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=⎭⎬⎫ （5-2） 式中，max σ和min σ分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。
材料力学之应力分析与强度理论
材料力学之应力分析与强度理论引言材料力学是研究物体在外力作用下的变形与破坏行为的学科，其中应力分析与强度理论是材料力学的重要内容。
本文将介绍应力分析和强度理论的基本原理、方法和应用。
应力分析应力的定义在材料内部，由于外力作用，会产生相应的内应力。
应力是描述这种内部应力状态的物理量，定义为单位面积上的内力。
常用的应力包括正应力、剪应力和法向应力等。
应力分析的基本原理应力分析的基本原理是根据力学平衡方程和材料连续性假设，利用应力分析方法分析物体内部各点的应力分布。
应力分析可以通过数学模型、解析方法、数值方法等多种手段进行。
应力分析的方法•静力学方法：静力学方法是最常用的应力分析方法之一。
通过求解静力平衡方程，可以得到物体内部的应力分布。
•离散元方法：离散元方法是一种基于离散单元的力学分析方法，能够模拟物体内部的复杂应力分布。
•有限元方法：有限元方法是一种广泛应用的数值分析方法，通过将物体分为有限个小单元进行分析，可以得到较为精确的应力分布。
应力分析的应用应力分析在工程设计、材料研究和结构分析等领域中有着广泛的应用。
例如，在机械设计中，通过应力分析可以评估零件的强度和刚度，从而指导设计优化。
在材料研究中，应力分析可以揭示材料的断裂机理和变形行为，为材料的改进和优化提供依据。
强度理论强度的定义强度是材料抵抗破坏的能力。
材料力学中常用的强度有屈服强度、抗拉强度、抗剪强度等。
强度理论的基本原理强度理论是根据材料性质和力学原理，研究材料破坏的力学理论。
其中，最常用的强度理论有极限强度理论、能量强度理论和变形强度理论等。
常用的强度理论•极限强度理论：极限强度理论是根据材料的极限强度，判断材料的破坏情况。
例如，判断一个零件是否破坏，只需比较其最大应力与材料的极限强度。
•能量强度理论：能量强度理论是根据材料的内能和位能，判断材料的破坏情况。
例如，当材料的内能和位能达到一定的临界值时，材料会发生破坏。
•变形强度理论：变形强度理论是根据材料的屈服条件和变形状态，判断材料的破坏情况。
《工程力学》第 10 章 应力状态理论和强度理论
作应力圆：(1) 注意截面的选取
(2) 注意应力的符号，特别是剪应力 求斜截面上的应力： (1) (2) (3) (4) (5) 找准起始点 角度的旋转以C为圆心 旋转方向相同 2倍角的关系 应力的符号
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
18
角度的取值范围和对应关系：
y
x
D 2 2 Dx
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
12
T
T
T I
F
FS
F
x
X
X
M y IZ
QSZ IZb
X
M
X
Y
X
X
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
13
§10-2 平面应力状态分析
X
Y
Y
x
X
y y
x
X
X
x
Y
Y
1. 求斜截面上的应力
y
平面应力状 态 n
0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( ydA sin ) sin ( ydA sin ) cos 0
工程力学电子教案
应力状态理论和强度理论
15
y
y
n
Y
X
X
dA
Y
X
x
p
X
x
材料力学 第七章 应力状态与强度理论
取三角形单元建立静力平衡方程
n 0
dA ( xdA cos ) sin ( xdA cos ) cos ( y dA sin ) cos ( y dA sin ) sin 0
t 0
dA ( xdA cos ) cos ( xdA cos ) sin ( y dA sin ) sin ( y dA sin ) cos 0
2 2
cos 2 x sin 2
2 x y 2 x y ( ) ( cos 2 x sin 2 )2
2
2
x y
sin 2 x cos 2
( 0) (
x y
2
2
sin 2 x cos 2 )
max x y x y 2 x 2 2 min
2
max
1 3
2
例7-2 试求例7-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（1）求主应力的值
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x y x y 2 2 x min 2
复杂应力状态下（只就主应力状态说明） 有三个主应力
1 , 2 , 3
1
E
由 1引起的线段 1应变 1
由 2引起的线段 1应变 1
2
由 3引起的线段1应变 1
3
E
E
沿主应力1的方向的总应变为：
1 1 1 1
1 42.4 1 3 2 0 MPa 由 max 3 2.4 2
应力状态分析与强度理论应力状态概述应力状态概述应力状态
相互平行面上同类应力大小相等，指向相反zy5单元体中剪应力为零的截面在受力构件中任一点处，一定存在三对相互垂直的主平面，由主平面构成的单元体即为主单元体主平面上的正应力。
主应力可正，可负，可为零。
3σ≥789●如图所示为承受内压p 的圆筒形薄壁容器。
容器的平均直径为D ，壁厚为δ。
试计算圆筒横截面和纵截面上的应力。
10解：薄壁容器的应力状态分析横截面上的正应力σ’为，称为轴向应力纵截面上的正应力σ’’为，称为环向应力11●由平衡方程()()02042=-⋅''=-'pDl l DpD δσπδπσδσδσ2,4pD pD =''='●主应力排列0,4,2321=='==''=σδσσδσσpDpD 12第六章应力状态分析与强度理论应力状态概述平面应力状态分析三向应力状态分析广义胡克定律工程中常用的四种强度理论14正应力：以拉应力为正切应力：以对单元体有顺时针转动趋势者为正方位角：以从轴逆时针转到斜截面外法线轴为正150=tFcos )sin d (sin )sin d (sin )cos d (cos sin )sin d (cos )sin d (cos )cos d (sin =++-=-+-αασααταασααασααταασαA A A A A A y yx x y yx x 16平面应力状态分析ατασσ2sin 2cos 2xy yx --+ατα2cos 2sin xy +ατασσσ2sin 2cos 2xy yx y+--y x σσ+σατασα＋90τα＋9017平面应力状态分析例1 已知某点的应力状态如图示，求图示斜截面的030,MPa 50,MPa 60,MPa 40-==ασy )()()()()MPa3.5860sin 5060cos 260406000-=------+)()()()MPa3.1860cos 5060sin 2604000=--+--18主应力和最大剪应力主应力（最大或最小正应力）ατασσ2sin 2cos 2xy yx --+02222=-=-ατατασcos sin )xy y yx xyp σστα--=22tan 方程有两个解：αp ，αp ＋900一个单元体上的主平面共有三个23得相应的应力圆©αF24点a和b所对应的圆心角为2α，且二角转向相同2522)2(2xyyx yx CA τσσσσ+-±+=='''σ或()应力圆法27应力圆法面内最大剪应力在K 点和M 点，切应力绝对值最大22)2(2xyyx τσσσστ+-±=''-'±='可见，最大与最小切应力数值相等，相差一正负号，两者所在截面相互垂直，并与主应力σ’和σ”所在截面成450夹角。
材料力学应力状态分析和强度理论
材料力学应力状态分析和强度理论材料力学是一门研究物质内部各个部分之间的相互作用关系的科学。
在材料力学中，应力状态分析和强度理论是非常重要的概念和方法，用来描述和分析材料的力学行为和变形性能。
材料的应力状态是指在外力作用下，物体内部各个部分所受到的力的分布情况。
应力有三个分量：法向应力、剪应力和旋转应力。
法向应力是垂直于物体表面的作用力，剪应力是平行于物体表面的作用力，旋转应力则是物体受到扭转力产生的应力分量。
应力状态的描述可以用应力矢量来表示。
应力状态分析的目的是确定材料内部各个部分的应力分布情况，进而推导出物体的变形和破坏行为。
常用的应力状态分析方法有平面应力问题、平面应变问题和三维应力问题。
平面应力问题是指在一个平面上的应变为零，而垂直于该平面的应力不为零；平面应变问题是指在一个平面上的变形为零，而垂直于该平面的应力不为零；三维应力问题则是指在空间中3个方向的应力都不为零。
强度理论是指根据材料的内部应力状态来评估其抗拉强度、抗压强度和抗剪强度等，以判断材料是否能够承受外力而不发生破坏。
常见的强度理论有最大正应力理论、最大剪应力理论和最大扭转应力理论。
最大正应力理论是指在材料的任何一个点，其法向应力都不能超过材料的抗拉强度；最大剪应力理论则是指剪应力不能超过材料的抗剪强度；最大扭转应力理论则是指旋转应力不能超过材料的极限扭转强度。
实际应用中，强度理论通常与材料的断裂理论结合起来，以评估材料的破坏行为。
材料断裂的主要原因是应力超过了材料的强度极限，从而导致材料的破坏。
为了提高材料的强度和抗拉性能，可以通过选择合适的材料、改变材料的结构和制造工艺等方法来实现。
综上所述，材料力学应力状态分析和强度理论是描述和分析材料力学行为和变形性能的重要理论和方法。
通过深入研究应力状态、应力分析和强度理论，可以为材料的设计和制造提供指导和支持，从而提高材料的强度和抗拉性能。
材料力学课件第十一章应力状态分析和强度理论
n
薄壁圆筒的横截面面积
πD 2 F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
第十一章
"
p
应力状态和强度理论
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
2
3 1
1
3 2
第十一章
4.主平面 切应力为零的截面 5.主应力
应力状态和强度理论
主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
F k
n
（2）当 = 45°时， max 2 min （3）当 = -45° 时， （4）当 = 90°时， 0,
x
2 0
k
11.2
二向和三向应力状态的实例
m n
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
z
y
D
p
m
l
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F
k
F
k n
p cos cos
2
F
沿截面切线方向的切应力
k pα
x
p sin
2
sin2
pα
应力状态及强度理论
/
2
低碳钢
低碳钢 : σ s 240MPa; τs 200MPa
灰口铸铁 : σ Lb 98 ~ 280MPa σ yb 640 ~ 960MPa; τb 198 ~ 300MPa
铸铁
30° 40
图示单元体中应力单位为MPa
20
①求斜截面上旳应力
30
解 : x 30 y 40
60°
y
二、应力圆旳画法
y
Ox
C O
B(y ,yx)
x
xy
建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好百分比尺）
在坐标系内画出点A( x，xy) 和B(y，yx)
x
A(x ,xy)
AB与 轴旳交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
圆——应力圆；
y
n 三、单元体与应力圆旳相应关系
x
xy
面上旳应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
y
y
主单元体：
x
六个面上剪应力均为零旳单元体。
z
z
2
主平面：
剪应力为零旳截面。 x
主应力：
主平面上旳正应力。
1
主应力排序规则：按代数值大小排序：
3
σ1 σ2 σ3
三向应力状态： 三个主应力都不为零旳应力状态。（即三对平行平面上旳应
力均不为零）
二向应力状态： 一种主应力为零旳应力状态。（即仅一对平行平面上旳应力为零）
y
一、应力圆
x
y
xy
Ox
x
y
y
xy
σα
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τ xy sin2α
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第八章 应力状态和强度理论
授课学时：8学时
主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。
三向应力简介。
$8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力
1．应力状态
过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态
2．单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力
A
N =σ
斜截面上的应力
ασα
cos cos ===A
P A P p a a
斜截面上的正应力和切应力为
ασασ2cos cos ==a a p
ασ
ατ2sin 2
sin =
=a a p
可以得出 0=α时
σσ=max
4
π
α=
时 2
m a x σ
τ=
过A 点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。
主平面上的正应力称为主应力。
主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。
三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。
三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。
三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。
主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，即为321σσσ≥≥。
P
P
a
a
α
$8.2二向应力状态下斜截面上的应力
1． 任意斜截面上的应力
在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。
在外法线n 和切线t 上列平衡方程
αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+
0sin )sin (cos )sin (=-+αασαατdA dA y yx
αασααττ
sin )cos (cos )cos (dA dA dA x
xy a --
0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y
根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22
α
ααα-=+=
，
ααα2sin cos sin 2=
简化两个平衡方程，得
ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
ατασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
2．极值应力
将正应力公式对α取导数，得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=ατασσασα
2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数
0=α
σα
d d ，则 02cos 2sin 2
00=+-ατασσxy y
x
y
x xy
tg σστα--
=220
上式有两个解：即0α和 900±α。
在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取
xy
τyx
τn
α
t
得极值。
且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
求得最大或最小正应力为
2
2min max )2
(2xy y x y
x τσσσσσσ+-±+=⎭⎬⎫ 0α代入剪力公式，0ατ为零。
这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平
面。
所以，主应力就是最大或最小的正应力。
将切应力公式对α求导，令
02sin 22cos )(=--=ατασσα
τα
xy y x d d 若1αα=时，能使导数0=α
τα
d d ，则在1α所确定的截面上，剪应力取得极值。
通过求导可得
02sin 22cos )(11=--ατασσxy y x
xy
y
x tg τσσα221-=
求得剪应力的最大值和最小值是：
2
2min max )2
(
xy y x τσσττ+-±=⎭⎬⎫ 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方位的对应关系是：若0>xy τ，则绝对值较小的1α对应最大剪应力所在的平面。
3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系
α与1α之间的关系为
1
021
2ααtg tg -
= 4
,
2
220101π
ααπ
αα+
=+
=
这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为
45。
$8.3二向应力状态的应力圆
1．应力圆方程
将公式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=--++=ατασστατασσσσσαα2cos 2sin 22sin 2cos 22xy y x xy y x y x 中的α削掉，得 2
2
2
2
22xy y x y x τσστσσσαα
+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+- 由上式确定的以ασ和ατ为变量的圆，这个圆称作应力圆。
圆心的横坐标为
()y x σσ+2
1
，纵坐标为零，圆的半径为2
2
2xy y x τσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+。
2．应力圆的画法
建立τσ-应力坐标系（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点()
xy x D τσ,和()yx y
D
τσ
,'
'DD 与轴的交点C 便是圆心
以C 为圆心，以AD 为半径画圆——应力圆。
3．单元体与应力圆的对应关系
1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值
2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3）对应夹角转向相同
4．在应力圆上标出极值应力
2
2
min max 22xy y x y
x τσσσσσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-±+=⎩⎨⎧ 22
min
max min max 22xy y x R τσσσσττ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-±-±=±=⎩⎨⎧ $8.4三向应力状态
1．三个主应力
321σσσ≥≥
2.三向应力圆的画法
由21,σσ作应力圆，决定了平行于3σ平面上的应力 由13,σσ作应力圆，决定了平行于2σ平面上的应力
由32,σσ作应力圆，决定了平行于1σ平面上的应力
3．单元体正应力的极值为
1max σσ=，3min σσ=
最大的剪应力极值为
2
3
1max σστ-=
$8.5复杂应力状态的广义虎克定律
1．单拉下的应力—应变关系
E
σ
ε=
，E
σ
μ
μεε-=-='
2．复杂状态下的应力— 应变关系
三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。
对于应变，可求出单向应力引起的应变，然后叠加可得
()[]3213
2
1
11
σσμσσμ
σμ
σε--=
--=
E
E
E
E
[][][]⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧+-=+-=+-=)(1)(1)(121331322
3211σσμσεσσμσεσσμσεE E E 3．体积胡克定律
单元体变形后的体积为
dz dy dx V ∙∙=
单元体变形后的体积为
()()()dz dz dy dy dx dx V 3211εεε+∙+∙+=
体积改变为
()()()()()K
E E V
V
V m
σσσσμσσσμεεεεεεθ=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=++≈-+++=-=
32132111113213213
213211
其中()E K μ213-=
为体积模量，3
321σσσσ++=m 是三个主应力的平均值。
1
x
x
K
m
σθ==
为体积胡克定律。