复数的概念及运算
复数的基本概念与运算法则
复数的基本概念与运算法则复数是数学中的一种数形。
它由实部和虚部组成，可以表示在二维平面上的点。
复数的形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
一、复数的基本概念1. 实部和虚部：复数的实部和虚部分别用Re(z)和Im(z)表示，其中z是一个复数。
例如，对于复数2+3i来说，实部为2，虚部为3。
2. 共轭复数：对于复数z=a+bi，它的共轭复数z*定义为z的实部不变，而虚部取相反数，即z*=a-bi。
例如，对于复数2+3i来说，其共轭复数是2-3i。
3. 复数的模：复数z=a+bi的模表示为|z|，定义为实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a^2+b^2)。
例如，对于复数2+3i，它的模为√(2^2+3^2)=√13。
4. 平面表示：复数可以在复平面上表示为一个点。
复平面中，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数a+bi对应于复平面上的点(a, b)。
二、复数的运算法则1. 加减法：复数的加减法涉及实部和虚部的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的和为z+w = (a+c) + (b+d)i，差为z-w = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法：复数的乘法涉及实部、虚部和虚数单位的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的乘积为zw = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法：复数的除法一般涉及共轭复数和模的运算。
例如，对于非零复数z = a+bi和非零复数w = c+di，它们的商为z/w =(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
4. 乘方：复数的乘方涉及实部、虚部和幂指数的运算。
例如，对于复数z = a+bi和非零正整数n，它们的乘方为z^n = (a+bi)^n =r^n(cos(nθ) + isin(nθ))，其中r = |z|，θ为z的辐角。
复数的基本概念与运算例题和知识点总结
复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。
当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。
复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。
复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。
二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。
复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。
（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。
例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。
（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数无法涵盖的一些数值。
在本文中，我将介绍复数的定义与表示方式，并探讨复数运算的基本规则和性质。
一、复数的定义与表示方式复数是由实数和虚数共同构成的数，可以用(a+bi)的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i的平方为-1。
在复数的表示中，a和b都是实数。
二、复数的基本运算1. 加法运算两个复数的加法是将它们对应的实部和虚部分别相加。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的和为：z1+z2=(a+c)+(b+d)i2. 减法运算两个复数的减法是将被减数的实部和虚部分别与减数的实部和虚部相减。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的差为：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3. 乘法运算两个复数的乘法运算遵循分配律和虚数单位的平方性质。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的积为：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法运算两个复数的除法运算需要进行乘法运算和除法运算的综合。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的商为：z1/z2=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的性质与应用复数运算具有如下性质：1. 加法和乘法运算满足交换律和结合律。
2. 复数的乘法满足分配律和幂运算的规则。
复数的应用广泛，特别是在电学和物理学领域中。
在电路分析中，复数的使用可以简化计算，例如在交流电路的分析中，可以将电压和电流表示为复数形式，从而方便地进行计算。
总结：复数是由实数和虚数构成的数，可以用(a+bi)的形式表示。
复数的加法、减法、乘法和除法运算分别是实部和虚部的相应运算。
复数运算具有交换律、结合律和分配律。
复数在电学和物理学中有着广泛的应用。
以上就是对复数的概念与运算的介绍。
复数作为数学中一个重要的概念，其应用领域十分广泛，并且在实际问题中有着重要的作用。
复数的定义与运算规则
复数的定义与运算规则复数是数学中的一个重要概念，是由实数和虚数构成的数。
它的定义可以通过二元有序实数对来表示，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
复数的定义与运算规则是数学学习中必须掌握的基础知识之一。
一、复数的定义复数可以看作是实数与虚数的结合体。
实数是我们平时所熟知的数字，而虚数是不能用实数来表示的数，其平方值为负数。
复数的定义主要是为了解决在实数范围内无法进行根号运算的问题。
具体而言，复数的一般形式为a+bi，其中a是实部，bi是虚部，a 和b都是实数，i是虚数单位。
实部表示复数在实数轴上的位置，虚部表示复数在虚数轴上的位置。
例如，复数2+3i中，实部为2，虚部为3i。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法复数的加法和减法运算规则与实数的运算规则相似。
实部和实部相加（或相减），虚部和虚部相加（或相减）得到结果的实部和虚部。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(2+3i)-(4+5i)=-2-2i2. 复数的乘法复数的乘法运算按照乘法分配律进行。
实部和虚部分别相乘，并根据i的平方值化简。
例如，(2+3i)*(4+5i)=(-7+22i)，即(2*4-3*5)+(2*5+3*4)i=-7+22i3. 复数的除法复数的除法运算需要将除数和被除数同时乘以共轭复数的形式。
共轭复数是将虚部的符号取反得到的复数。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(23/41)+(2/41)i，即[(2*4+3*5)+(3*4-2*5)i]/[4^2+5^2]4. 复数的乘方和开方复数的乘方和开方运算可以通过将复数转化为指数形式来进行。
指数形式表示为r*(cosθ+isinθ)，其中r表示复数的模，θ表示复数的辐角。
例如，对于复数a+bi，其模r=sqrt(a^2+b^2)，辐角θ=arctan(b/a)。
复数的乘方运算按照指数运算规则进行，复数的开方运算则将指数形式转化为常规复数形式。
5. 复数的共轭和模运算复数的共轭运算是将虚部取反，复数的模运算是求复数的绝对值。
复数的概念及运算
复数的概念及运算知识要点： 1概念：形如),(R b a bi a ∈+的数叫复数，其中b a ,分别为它的 和 2分类：（1）实数：若bi a +为实数，则（2）虚数：若bi a +为虚数，则（3）纯虚数：若bi a +为纯虚数，则3复数相等：⇔+=+di c bi a （),,,R d c b a ∈4共轭复数：=z ),(R b a bi a ∈+的共轭复数为5复数的模：复数=z ),(R b a bi a ∈+的模 =z ； 模的几何意义：z =),(b a Z 到原点O 的 一般的21Z Z -即为点1Z 到点2Z 的 6复数的运算：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=则（1）=+21z z （2）=-21z z（3）=⋅21z z （4）=21z z （02≠z ） 7复数加减的几何意义 练习：1判断下列命题是否正确：（1） 若C z ∈，则02≥z ； （2）若,,21C z z ∈且,021>-z z 则21z z >；（3）若,b a >则i b i a +>+； （4）两个复数不能比较大小；（5）复数i b a 11+与),,,(212122R b b a a i b a ∈+相等的充要条件是21a a =或21b b =2若y x ,是实数，且i y y i x )3(12--=+-，则=x =y3复数（2522++x x ）+（22-+x x ）i 为纯虚数，则实数x 满足 4若将复数ii -+11表示为=+∈+b a R b a bi a ）的形式，则,( 5设z 的共轭复数是==⋅=+z z z z z z z 则若8,4,典型例题：例1. 当m 为何实数时，复数;)103(25232222i m m m m m z -++---= (1) 是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数。
例2. （1）已知：,22i i z z +=-求z ; （2）已知z 满足z R zz z 求及,422∈+=-例2.（1）设21212121,13,2,z z z z z z C z z -=+==∈求且（2） 设3,53,+=-∈z i z C z 求且的最值，并求此时的复数z 。
复数的运算和表示方法
复数的运算和表示方法复数是由实部和虚部组成的数，可以用来表示在数轴上的点。
本文将介绍复数的运算规则以及常见的复数表示方法。
一、复数的基本概念复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 表示实部，b 表示虚部，i 表示虚数单位。
实部和虚部都是实数。
例如，3 + 2i 就是一个复数，其中实部为 3，虚部为 2。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如，(3 + 2i) + (2 + 4i) = 5 + 6i，(3 + 2i) - (2 + 4i)= 1 - 2i。
三、复数的乘法复数的乘法遵循分配律和虚数单位平方为 -1 的规则。
具体操作如下：(3 + 2i) × (2 + 4i) = 6 + 12i + 4i + 8i² = 6 + 16i - 8 = -2 + 16i四、复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行。
具体操作如下：(6 + 2i) ÷ (3 + 1i) = (6 + 2i) × (3 - 1i) ÷ ((3 + 1i) × (3 - 1i)) = (18 - 6i +6i - 2i²) ÷ (9 + 3i - 3i - i²)= (18 - 2) ÷ (9 + 1) = 16 ÷ 10 = 1.6五、复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负数得到的新复数。
例如，对于复数3 + 2i，它的共轭为 3 - 2i。
六、复数的绝对值复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
对于复数 a + bi，它的绝对值为√(a² + b²)。
七、复数的表示方法常见的复数表示方法有三种：代数形式、三角形式和指数形式。
1. 代数形式：a + bi，将实部和虚部直接表示出来。
如 3 + 2i。
2. 三角形式：r(cosθ + isinθ)，使用极坐标表示，其中 r 表示模长，θ 表示辐角。
复数的概念与运算
[解析] 方法一：z＝
( 3＋i)(－2＋2 3i) ＋ )(－ ＋ ) )( 3 1 ＝－ 4 ＋4i， ， )(－ ＋ (－2－2 3i)(－2＋2 3i) － )( ) 所以 z·
z ＝－
32 12 1 ＋ ＝ . 4 4 4
16
方法二： ＝ 方法二：z＝ 3 1 － 4 ＋4i， ， 所以 z·
7
m2－m－6 － 例 2 当 m＝________时，复数 z＝ ＝ 时 ＝ ＋(m2－2m－15)i 是纯 － m＋3 ＋ 虚数． 虚数．
例 2
[思路 正确理解复数的相关概念．要特别注意复数 z＝a＋ 思路] 正确理解复数的相关概念． ＝ ＋ 思路
bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0. ， ∈ 为纯虚数的充要条件是 ＝ ≠ － ≠ ， m2－2m－15≠0， 2 － ＝ ， [解析 z 为纯虚数⇒m －m－6＝0， 解析] 解析 为纯虚数⇒ m＋3≠0 ＋ ≠
15
[2010· 课标全国卷 已知复数 z＝ 课标全国卷] ＝ 的共轭复数， ) 的共轭复数，则 z· z ＝( 1 1 B. C．1 D．2 A. ． ． 4 2
变式题 A
3＋i ＋ ，z是 z (1－ 3i)2 － )
[思路 先化简 z，再求 z ，最后确定 z· z 的值． 思路] 的值． 思路 ， 3＋i ＋ 3＋i 3＋i ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ 1－2 3i－3 － ) － (1－ 3i)2 － －2－2 3i －
∴z＝3＋4i. ＝ ＋
[点评 本题考查共轭复数和复数的模的概念，掌握这两个概念的有关 点评] 本题考查共轭复数和复数的模的概念， 点评 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有： 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有：① z ＝z；②z· z ＝|z|2＝| z |2； ； ③z∈R⇔ ＝ z .设 z＝a＋bi，|z|＝ a2＋b2，运算性质有：①|z|＝| z |；②|z1·z2| ∈ ⇔ z＝ 设 ＝ ＋ ， ＝ 运算性质有： ＝ ； z· 如下面的变式题． ＝|z1||z2|； |z|＝1⇔ z ＝1； |z|2＝| z |2＝|z2|＝| z 2|＝z· z 等． ； ③ ＝ ⇔ ； ④ ＝ ＝ 如下面的变式题．
复数的基本概念与运算规则
复数的基本概念与运算规则复数是数学中的一种数形式，可以表示为实部与虚部的和。
在复数中，虚部用i来表示，i为虚数单位，满足i² = -1。
复数的基本概念与运算规则是我们学习复数的基础，以下将对其进行详细介绍。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为a + bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
反之，当实部为0时，复数退化为纯虚数。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：复数a + bi可以表示为有序对(a, b)，其中a表示实部，b表示虚部。
2. 楔形式：复数a + bi可以表示为模长和辐角的形式。
其中模长是复数到原点的距离，辐角是复数与实轴的夹角。
三、复数的运算规则1. 加法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其和为(a + c) + (b +d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 减法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其差为(a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 乘法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其积为(ac - bd) + (ad+ bc)i。
即实部的乘积减去虚部的乘积，然后再加上实部和虚部的乘积。
4. 除法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其商为[(ac + bd)/(c² + d²)] + [(bc - ad)/(c² +d²)]i。
即实部的乘积加上虚部的乘积除以除数的模长的平方，然后再加上虚部的乘积减去实部的乘积除以除数的模长的平方。
4. 共轭运算：对于复数a + bi，其共轭为a - bi。
即实部不变，虚部取相反数。
五、复数的基本性质1. 加法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有ab = ba和(ab)c = a(bc)。
复数的基本概念和运算
复数是由实数和虚数部分组成的数。
实数部分和虚数部分可以写成一对有序实数(x, y)，其中x是实数部分，y是虚数部分。
复数常用形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的基本概念：1.实数部分和虚数部分：复数可以表示为实数部分和虚数部分的和。
实数部分表示复数在实轴上的位置，虚数部分表示复数在虚轴上的位置。
2.纯虚数和实数：如果一个复数的实数部分为0，则该复数为纯虚数。
纯虚数可以表示为bi，其中b为非零实数。
3.共轭复数：如果一个复数的实数部分保持不变而虚数部分的符号取相反数，得到的复数称为原复数的共轭复数。
共轭复数可以表示为a-bi。
复数的运算：1.加法：两个复数相加可以将它们的实数部分相加，虚数部分相加。
例如(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2.减法：两个复数相减可以将它们的实数部分相减，虚数部分相减。
例如(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3.乘法：两个复数相乘可以使用分配律和i^2=-1。
例如(a+bi)(c+di) =(ac-bd) + (ad+bc)i。
4.除法：两个复数相除可以使用乘法的逆运算。
具体步骤是将除数的共轭复数乘以被除数，并将结果除以除数的模的平方。
例如(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / (c^2+d^2) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] /(c^2+d^2)。
复数运算的性质：1.加法和乘法满足交换律和结合律。
2.乘法满足分配律。
3.共轭复数的和等于两个复数的和的共轭。
4.除数和商的共轭等于被除数的共轭。
复数的应用：1.在物理学中，复数用于描述波的振幅和相位，如电磁波传播。
2.在工程学中，复数用于描述电路中的交流信号，如频率和相位差。
3.在数学分析中，复数用于解析几何和向量运算。
4.在计算机科学中，复数用于图像处理和信号处理。
总结起来，复数的基本概念包括实数部分和虚数部分，复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
复数的定义与基本运算
复数的定义与基本运算复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
复数一般形式为a+bi，其中a 和b都是实数，i表示虚数单位，满足i²=-1。
本文将介绍复数的定义以及基本运算。
一、复数的定义复数是包含实部和虚部的数。
其中，实部和虚部都是实数，可以用图象、代数或极坐标形式来表示。
复数的定义如下：z = a + bi其中，z表示一个复数，a是实部，b是虚部，i表示虚数单位。
二、基本运算1. 复数的加法复数的加法是将两个复数的实部和虚部分别相加。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的和可以表示为：z = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法复数的减法是将两个复数的实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的差可以表示为：z = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法复数的乘法是根据乘法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的乘积可以表示为：z = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad + bc)i4. 复数的除法复数的除法是根据除法公式展开运算。
例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的商可以表示为：z = (a+bi) / (c+di)= (a+bi) * (c-di) / (c²+d²)= (ac+bd) / (c²+d²) + (bc-ad)i / (c²+d²)三、复数的共轭和模1. 共轭复数一个复数的共轭是将其虚部取负。
例如，给定一个复数z=a+bi，它的共轭可以表示为：z* = a-bi2. 复数的模一个复数的模表示复平面上从原点到该复数所对应点的距离。
复数z=a+bi的模可以表示为：|z| = √(a²+b²)四、实部、虚部和纯虚数在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它在实际应用中扮演着重要的角色。
本文将介绍复数的定义、运算规则以及一些实际应用。
一、复数的定义复数是由实数与虚数构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为单位虚数，满足i²=-1。
实数部分a与虚数部分bi可以是任意实数。
二、复数的运算规则1. 复数的加法复数的加法规则为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，即实部相加，虚部相加。
例如：(2+3i) + (4+5i) = 6 + 8i。
2. 复数的减法复数的减法规则为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i，即实部相减，虚部相减。
例如：(2+3i) - (4+5i) = -2 - 2i。
3. 复数的乘法复数的乘法规则为：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i，即实部相乘减虚部相乘。
例如：(2+3i) * (4+5i) = -7 + 22i。
4. 复数的除法复数的除法规则为：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。
例如：(2+3i) / (4+5i) = 23/41 - 2/41i。
三、复数的实际应用复数在物理学、工程学、电路分析等领域中有着广泛的应用。
1. 复振幅在物理学中，复振幅描述了周期性运动的振幅和相位差，可以用复数表示。
通过复数的加法和乘法运算，可以方便地进行振幅和相位的计算。
2. 交流电路分析在电路分析中，交流电路中电流和电压是相位差90°的正弦函数，可以通过复数表示。
利用复数的乘法和除法运算，可以简化交流电路的分析过程。
3. 矢量运算在工程学中，矢量运算广泛应用于力学、电磁学等领域。
复数可以表示二维矢量，利用复数的加法和乘法运算，可以方便地进行矢量的计算。
复数知识点总结公式大全
复数知识点总结公式大全复数是数学中一个重要的概念，其包括实数和虚数。
在实际应用中，复数广泛被用于电路分析、信号处理、控制系统、波动方程求解等领域。
因此，理解复数的性质和运算规律对于掌握这些领域的知识具有重要意义。
以下是复数知识点的总结和相关公式的大全：1. 复数的定义：复数可以表示为a+bi的形式，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的运算：（1）加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i（2）减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i（3）乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i（4）除法：(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)i/(c^2+d^2)3. 共轭复数：设z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
显然，复数与共轭复数的乘积是实数，即zz*=|z|^2，其中|z|表示复数z的模。
4. 欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+isinθ5. 复指数函数：e^(z)=e^a(cosb+isinb)，其中z=a+bi6. 幅角和辐角：复数z=a+bi的幅角θ满足tanθ=b/a，辐角则为θ+2kπ(k∈Z)。
7. 极坐标形式：复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为z的辐角。
8. 三角形式：复数z=r(cosθ+isinθ)可以表示为z=r∠θ9. 复数的乘除法：（1）乘法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1z2=r1r2∠(θ1+θ2)（2）除法：z1=r1∠θ1，z2=r2∠θ2，则z1/z2=r1/r2∠(θ1-θ2)10. 复数的幂：z^n=r^n∠(nθ)11. 根式：复数z=r∠θ的n次根是n个复数，其模为∛r，辐角依次加2kπ/n(k=0,1,...,n-1)。
12. 解析函数与共轭函数：设u(x,y)和v(x,y)是复变函数f(x+iy)的实部和虚部，则f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。
14 复数的概念及运算
z ;
2
( 3）z a a z a
六、复数是实数的充要条件
(1) z a bi R b 0 ; (2) z R z z; (3) z R z 0 .
2
七、复数是纯虚数的充要条件
(1) z 是纯虚数 ( 2 ) z 是纯虚数 ( 3 ) z 是纯虚数 a 0 且 b 0; z z 0 ( z 0 ); z 0.
( 4 ) 方程： z z 1 z z 2 2 a (z 1 z 2 ) ； 双曲线 两条射线 无轨迹 (0 2a z 1 z 2 ) (2a z 1 z 2 ) (2a z 1 z 2 )
五、重要公式
(1)( 1 i ) 2 i ;
4、两个复数的关系
（1）复数相等
设z1=a+bi，z2=c+di，（a、b、c、d∈R），则
z1 z 2 a c , b d
特别地，a bi 0 a b 0
（2）两个复数如果不都是实数，则不能比较大小。
5、复平面
（1）定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2
例题
例1 m 分别为何实数时，复数 Z =(m²－m -3)²+ (m²-4m +3)i (1) 是实数？(2) 是虚数？(3) 是纯虚数？ 解：(1)由m²-4m +3 =0 ，可得m 1=1或 m 2 =3 ∴ 当m =1 或 m =3 时，Z 是实数 (2) 由m²-4m +3 0 ,可得m 1 1 m2 3 ∴ 当m 1 且 m 3 时，Z 是虚数 (3) 由 m²-2m -3 =0
y
y
复数的概念和运算法则
复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。
一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。
2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。
2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。
复数的定义与运算法则
复数的定义与运算法则复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数部分组成的数。
本文将详细探讨复数的定义以及常见的运算法则。
1. 复数的定义复数可以用a+bi的形式表示，其中a是实数部分，b是虚数部分，i 是虚数单位，满足以下条件：- a和b都是实数- i的平方等于-1，即i^2=-12. 复数的表示形式除了常见的代数形式a+bi，复数还可以用极坐标形式r(cosθ + isinθ)表示，其中r是复数的模，θ是辐角。
3. 复数的运算法则3.1. 加法与减法对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的和可以通过实部和虚部的分别相加得到：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；差可以通过实部和虚部的分别相减得到：Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i。
3.2. 乘法复数的乘法遵循分配律和虚单位的平方等于-1的法则。
对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的乘积为：Z1*Z2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3.3. 除法复数的除法需要进行有理化，即将除数和被除数同时乘以共轭复数的倒数。
对于两个复数Z1=a+bi和Z2=c+di，它们的商为：Z1/Z2 = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
其中，c^2+d^2不为0。
4. 复数的共轭与模复数的共轭是指将虚数部分取负，实数部分保持不变，即对于复数Z=a+bi，它的共轭为Z*=a-bi。
复数的模是指复数到原点的距离，即|Z|=√(a^2+b^2)。
5. 复数的指数形式复数还可以用指数形式表示，即欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
这个公式将三角函数和指数函数联系起来，为解决复数运算提供了简洁的方法。
6. 复数的应用复数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，交流电的分析、信号处理以及控制系统的建模等都需要用到复数。
总结：本文详细介绍了复数的定义与运算法则，包括复数的表示形式、加法与减法、乘法、除法、共轭与模、指数形式以及复数的应用。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数（Complex Number）是数学中的一个重要概念，在实际问题的建模和求解中起到了重要的作用。
它由实数和虚数部分组成，是一类具有特定形式的数。
本文将介绍复数的基本概念以及复数的运算规则。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数。
在复数中，虚数部分由虚数单位i（i^2=-1）表示。
一个复数可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。
实部和虚部分别是复数的实数部分和虚数部分。
二、复数的运算规则1. 复数的加法运算：将两个复数的实部分相加，虚部分相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2. 复数的减法运算：将两个复数的实部分相减，虚部分相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 复数的乘法运算：根据分配律和虚数单位i的定义，进行计算。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 复数的除法运算：将被除数与除数同时乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算规则计算。
例如：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)三、复数的性质1. 复数的共轭：将复数的虚部加负号，即得到该复数的共轭复数。
例如：对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。
2. 复数的模：复数的模表示复数到原点的距离，也就是复数的绝对值。
例如：对于复数a+bi，它的模是√(a^2+b^2)3. 复数的实部和虚部性质：（1）若复数的实部和虚部都为零，则该复数为零，记作0。
（2）若复数的实部为零，虚部不为零，则该复数为纯虚数。
（3）若复数的虚部为零，实部不为零，则该复数为实数。
四、复数的图示表示我们可以将复数在复平面上进行图示表示。
将复数a+bi表示为平面上的一个点P，P的横坐标是a，纵坐标是b。
通过这种方式，可以直观地理解复数的实部和虚部以及复数的运算规则。
五、应用复数在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。
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【互动探究】 3．(2015 年广东江门一模)i 是虚数单位，1＋1 i＋i＝( A )
A.1＋2 i
B.1－2 i
C.1＋2 3i
D.－12－i
●易错、易混、易漏●
⊙对复数概念理解不透彻致误
例题：(1)(2012 年广东韶关三模)若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i
为纯虚数，则实数 x 的值为( )
A．－4
B．－45
C．4
4 D.5
解析：(3－4i)z＝|4＋3i|＝5，则 z＝3－5 4i＝3－543i＋34＋i 4i＝
532＋5 4i＝35＋45i，其虚部为45.
答案：D
【互动探究】 1．(2014年湖南)复数3＋i2 i(i为虚数单位)的实部等于 ___－__3___．
复数
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件． 3．了解复数的代数表示法及其几何意义． 4．会进行复数代数形式的四则运算． 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
知识点一 复数的概念 1.复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的_实___部__ 和_虚__部__.若_b_＝__0_，则a＋bi为实数；若__b_≠__0，则a＋bi为虚数； 若_____a_＝__0_，_，b≠则0a＋bi为纯虚数. 2.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a_＝__c_，__b_＝__d__ (a，b，c，d∈R). 3.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_a_＝__c_，__b_＋__d_＝__0_(a，b，c， d∈R).
②(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i，11＋－ii＝－i.
2.对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不 再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数 相等的条件进行求解. 3.利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d∈R 的 前提条件.
1．(2014 年重庆)实部为－2，虚部为 1 的复数所对应的点
2.复数的代数运算 (1)复数代数形式的四则运算在新教材高考中，尽管难度不大， 却是热点内容，我们必须熟练地掌握其运算法则. (2)对于复数的乘方，我们可以转化为复数的乘法来计算，也可 以利用二项式定理来计算，注意二项式定理、乘法公式同样适 用于复数.
【名师助学】
1.本部分知识可以归纳为： (1)一条规律：任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不 能比较大小. (2)四种运算：①加法；②减法；③乘法；④除法. (3)两条性质：①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1 ＋in＋2＋in＋3＝0(各式中 n∈N).
例 3：(1)(2013 年新课标Ⅰ)11＋－2ii2＝(
)
A．－1－12i
B．－1＋12i
C．1＋12i
D．1－12i
解析：11＋－2ii2＝1－＋22ii＝－22＋i＝－1＋12i.
答案：B
(2)(2014 年广东)已知复数 z 满足(3－4i)z＝25，则 z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 解析：方法一：由题意，得 z＝3－254i＝3－2543i＋3＋4i4i＝ 2532＋5 4i＝3＋4i.故选 D. 方法二：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，
④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝（ac＋bd）c2＋＋（d2bc－ad）i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有： z1＋z2＝_z_2_＋__z_1 ，(z1＋z2)＋z3＝_z_1＋__(_z_2＋__z_3_)._.
数x＋yi的模是( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．(2013 年江西)复数 z＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面
内所对应的点在( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：复数 z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面内所对应的点为
(1，－2)，在第四象限．
考点 1 复数的概念
解析：由题意，得3＋i2 i＝－3－i，－3－i 的实部为－3.
考点 2 复数的模及几何意义 例 2：(1)(2013 年四川)如图 10-2-1，在复平面内，点 A 表 示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )
图 10-2-1
A．A
B．B
C．C
D．D
解析：z 的共轭复数与 z 实部相等，虚部相反，所对应的点
则(3－4i)z＝(3－4i)(a＋bi)＝(3a＋4b)＋(3b－4a)i＝25，
由复数相等，得33ab＋ －44ba＝ ＝205. ， 解得ab＝ ＝34， . 因此 z＝3＋4i.
答案：D
【规律方法】复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i；z1z2＝(ac －bd)＋(bc＋ad)i；zz12＝ac＋bdc2＋＋db2c－adi(c2＋d2≠0)．复数的 运算要做到细心准确．复数的除法是重中之重！
例 1：(1)(2013 年安徽)设 i 是虚数单位，若复数 a－31－0 i
(a∈R)是纯虚数，则 a 的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析：复数 a－31－0 i＝a－31－0i3＋3＋i i＝a－3－i 是纯虚数， 则 a－3＝0，a＝3.故选 D.
答案：D
(2)(2013 年新课标Ⅰ)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )
与 z 所对应的点关于 x 轴对称．故选 B.
答案：B
(2)(2013 年山东)复数 z＝2－i i2(i 为虚数单位)，则|z|＝
()
A．25
B. 41
C．5
D. 5
解析：z＝2－i i2＝3－i 4i＝3－i24ii＝4－＋13i＝－4－3i， 则|z|＝ －42＋－32＝5.
位于复平面的( B )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．(2013 年浙江)已知 i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( C )
A．5－5i
B．7－5i
C．5＋5i
D．7＋5i
解析：(2＋i)(3＋i)＝6－1＋3i＋2i＝5＋5i.故选 C.
3．(2013年广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复
答案：C
【互动探究】
2．(2014 年江西)若复数 z 满足 z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，
则|z|＝( C )
A．1
B．2
C. 2
D. 3
解析：由题意，得 z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1＋i， 则|z|＝ 12＋12＝ 2.
考点 3 复数的四则运算
1.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_a_＋__c_)＋__(_b_＋__d_)_i _； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (_a_－__c_)＋___(b_－__d_)_i_； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c－___b_d_)＋__(_a_d_＋__b_c_)i__；
A．－1
B．0
C．1
D．－1 或 1
正解：xx2－－11≠＝00， ⇒x＝－1.故选 A.
答案：A
(2)(2012年广东东莞二模)复数－21＋i的虚部是(
)
A．－15
B．－15i
C.15
D.15i
正解：－21＋i＝－－22－2－ii2＝－25－15i，虚部是－15.
答案：A
4.复数的模
向量O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝ |a＋bi|＝__a_2_＋__b_2 .
5.复数的几何表示
复数 z＝a＋bi 一一对应 复平面内的点_Z_(_a_，__b_) 一一对应
uuur 平面向量_O_Z_.
知识点二 复数的运算