对面积的曲面积分修订稿

对面积的曲面积分 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-

第四节 对面积的曲面积分

学习目标

了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量.

内容提要

1.定义 设函数(),,f x y z 在光滑曲面∑上有界，将曲面∑任意分成n 小块

i S ∆（i S ∆也表示第i 小块曲面的面积），在i S ∆上任取一点(,,)i i i i M ξηζ，作乘

积i i i i S f ∆),,(ζηξ（1,2,

,i n =），并作和()1

,,n

i i i i i f s ξηζ=⋅∆∑，记各小曲面直径

的最大值为λ，如果对曲面的任一分法和点(,,)i i i ξηζ的任意取法，当0λ→时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数(),,f x y z 在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记 =⎰⎰∑

dS z y x f ),,(0lim →λ1

(,,)n

i i i i i f S ξηζ=∑∆．

【注】定义中的“i S ∆”是面积元素，因此，0i S ∆≥． 2.性质

①关于曲面具有可加性，若12∑=∑+∑，且1∑与2∑没有公共的内点，则

=⎰⎰∑

dS z y x f ),,(⎰⎰⎰⎰∑∑+2

1

),,(),,(dS z y x f dS z y x f ；

②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面∑的面积S ，即

S dS z y x f =⎰⎰∑

),,(．

3.对面积的曲面积分的计算

设曲面∑由(),z z x y =给出，∑在xoy 面上的投影区域为xy D ， 函数

(),z z x y =在xy D 上具有连续偏导数，被积函数(,,)f x y z 在∑上连续，则

(,,)(,,(,xy

D f x y z dS f x y z x y ∑

=⎰⎰⎰⎰

．

同样地

()

(

):,(,,),,,yz

x x y z D f x y z dS f x y z y z ∑=∑

⎡⎣=⎰⎰⎰⎰

， ()

(

):,(,,),,,xz

y y z x D f x y z dS f x y z x z ∑=∑

⎡⎣

=⎰⎰⎰⎰

． 4.对面积的曲面积分的应用

设曲面∑上任意一点()z y x ,,处的面密度是()z y x ,,ρ，则 ①曲面的质量

()dS z y x m ⎰⎰∑

=,,ρ．

②曲面的质心()

z y x ,,

()()1

1,,,,,x x x y z dS y y x y z dS m m ρρ∑

∑

=

=

⎰⎰⎰⎰，()1

,,z z x y z dS m ρ∑

=⎰⎰．

③曲面的转动惯量

()()22,,x I y z x y z dS ρ∑

=+⎰⎰，()()22

,,y I x z x y z dS ρ∑

=+⎰⎰，

()()22,,z I x y x y z dS ρ∑

=+⎰⎰，()()222,,o I x y z x y z dS ρ∑

=++⎰⎰．

典型例题与方法

基本题型I ：计算对面积的曲面积分 例1 填空题

设222

:4x y z ∑++=，则

2

2()______x

y dS ∑

+=⎰⎰．

解 由积分区域的对称性知

2

2

2

x dS y dS z dS ∑

∑

∑

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，于是

22222

2()()3x y dS x y z dS ∑

∑

+=++⎰⎰⎰⎰． 而积分在∑上进行，222

4x y z ++=，代入上式得，

22

2

88128()42.333x y dS dS ππ∑

∑

+==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰ 故应填128

.3

π 例2 选择题

设2222

:(0)x y z a z ∑++=≥，1∑为∑在第一卦限中的部分，则有（ ）

（A ）1

4xdS xdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1

4ydS xdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰；

（C ）1

4zdS xdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1

4xyzdS xyzdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰．

解 因为曲面是上半球面，∑关于yoz 面对称且被积函数1(,,)f x y z x =，

2(,,)f x y z xyz =都是变量x 的奇函数，于是0xdS xyzdS ∑

∑

==⎰⎰⎰⎰．类似地，∑关

于xoz 面对称且3(,,)f x y z y =是变量y 的奇函数，于是0ydS ∑

=⎰⎰ ．而

1

1

0,0xdS xyzdS ∑∑>>⎰⎰⎰⎰，故应选（C ）．事实上，由对称性，1

4zdS zdS ∑

∑=⎰⎰⎰⎰，

1

1

zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰，（C ）正确．

【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：

（1）利用对称性，但要注意，曲面∑关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可．

（2）利用积分曲面∑的方程化简被积函数．

例3 计算曲面积分(22)x y z ds ∑

++⎰⎰，其中∑是平面2220x y z ++-=被三

个坐标面所截下的在第一卦限的部分.

解法一 :222,2,2x y z x y z z ''∑=--=-=-.∑在xoy 平面上的投影是三角形，记为

:01,01D x y x ≤≤≤≤-.

2

(22)2

163x D

D

x y z ds z dxdy ∑

'++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

解法二 2

1

2(22)222

322x y z ds dS ∑∑

⎛⎫++==+= ⎪ ⎪

⎝⎭

⎰⎰⎰⎰ . 【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.

例4 计算22()I x y dS ∑

=+⎰⎰,∑为立体122≤≤+z y x 的边界.

【分析】]根据积分曲面∑的方程，确定投影区域，计算曲面面积微元

dS ，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算．

解 设2

1∑+∑=∑,1∑为锥面22y x z +=,10≤≤z ，在1∑上，

dS ==dxdy 2，