高考复习易做易错题精选解析几何
高考复习资料-数学解析几何错题精选
高考复习易做易错题优选分析几何1. 若直线 yk(x 1) 与抛物线 yx 2 4x 3 的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________. 解答： (-3, 0)易错原由：找不到确当的解答方法。
此题最好用数形联合法。
2. 若双曲线x2y 21 的离心率为5，则两条渐近线的方程为a 2b 24XY 0 BX Y CX Y 0 DX Y 0A16160 344 399解答： C易错原由：审题不仔细，混杂双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的a 的意义。
3. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆的中心到其准线的距离是85B4C8 D4 3A5 335答： D 53 解易错原由：短轴长误以为是b4．过定点（ 1， 2）作两直线与圆 x 2y 2 kx 2 yk 2150 相切，则 k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3 或 k>2 D以上皆不对解答： D易错原由：忽视题中方程一定是圆的方程，有些学生不考虑D 2E 24F 05．设双曲线x 2 y 2 1(a b 0) 的半焦距为 C ，直线 L 过 (a,0),(0, b) 两点，已知原点到a2b2直线 L 的距离为3C ，则双曲线的离心率为4A2B2或2 3C2 D2 333解答： D易错原由：忽视条件a b 0 对离心率范围的限制。
6．已知二面角l的平面角为，PA， PB ， A ， B 为垂足，且 PA=4， PB=5，A B到二面角的棱 l 的距离为别为 x, y，当变化时，点 ( x, y) 的轨迹是以下图形中设 、的A B C D解答： D易错原由：只注意找寻x, y 的关系式，而未考虑实质问题中x, y 的范围。
7．已知点 P 是抛物线y22x 上的动点，点P 在 y 轴上的射影为M，点 A的8．若曲线y x2 4 与直线y k ( x2) +3有两个不一样的公共点，则实数k的取值范围是A0 k 1 B0 k 3C 1 k3D 1 k 0 44解答： C易错原由：将曲线y x2 4 转变为x2y24时不考虑纵坐标的范围；此外没有看清过点 (2,-3)且与渐近线 y x 平行的直线与双曲线的地点关系。
详解十五道高中立体几何典型易错题
例1 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如图所示，平行六面体1111-D C B A ABCD 中所有对角线相等，对角面11BDD B 是平行四边形，对角线D B BD 11=，所以四边形11BDD B 是矩形，即BD BB ⊥1，同理四边形11ACC A 是矩形，所以AC AA ⊥1，由11//BB AA 知⊥1BB 底面ABCD ，即该平行六面体是直平行六面体．故选A ．说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的．见表表例2 如图，正四棱柱1111-D C B A ABCD 中，对角线81=BD ，1BD 与侧面C C BB 11所成角为 30，求：（1）1BD 与底面ABCD 所成角；（2）异面直线1BD 与AD 所成角；（3）正四棱柱的全面积．分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面ABCD 、1111D C B A 是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件．题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系．异面直线1BD 与AD 所成角通过11//D A AD ，落实为具体的B D A 11∠．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式． 解：（1）在正四棱柱C A 1中，∵⊥11C D 面C C BB 11，∴11BC D ∠是B D 1与侧面C C BB 11所成角，即 3011=∠BC D ．∵ 81=BD ，∴ 411=C D ，341=BC ，∵ 1111D C B A 是正方形，∴41111==C D C B ，⊥D D 1平面ABCD ，∴ BD D 1∠是B D 1与底面ABCD 所成角，在Rt △DB D 1中，2411==D B BD ，81=BD ， ∴22cos 11==∠BD BD BD D ，∴ 451=∠BD D ， 即1BD 与底面ABCD 所成角为 45．（2）∵11//D A AD ，∴B D A 11∠是1BD 与AD 所成角（或补角）．∵⊥11A D 平面B B AA 11，∴ B A A D 111⊥，Rt △B D A 11中，411=D A ，81=BD ， ∴21cos 11=∠B D A ，∴ 6011=∠B D A ，即异面直线AD 与1BD 所成角为 60．（3）Rt △11C BB 中，411=C B ，341=BC ．∴ 241=BB ，∴ ()()12232244244442+=⨯+⨯+⨯=全S ．说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件．典型例题三例3 如图，已知长方体1111-D C B A ABCD 中，棱长51=AA ，12=AB ，求直线11C B 与平面11BCD A 的距离．分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有⊥CB 平面11BB AA ，这样，只要作B A H B 11⊥，又有CB H B ⊥1，得到⊥H B 1平面11A BC D ． 解：长方体1AC 中，有⊥BC 平面11BB AA ，过1B 作B A H B 11⊥于H ，又有H B BC1⊥，∴ ⊥H B 1平11A BCD ，即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离．在Rt △11A BB 中，由已知可得，51=BB ，1211=B A ，∴ 131=B A ，∴13601=H B ． 即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离为1360． 说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体1AC 中，11C A 与面BD C 1所成角．这里，要找11C A 与BD C 1所成角，必须找1A 到平面BD C 1的垂线，因为⊥BD 面C C AA 11，在对角面1AC 内，过1A 作11OC H A ⊥于H ，则H A BD 1⊥，所以⊥H A 1面BD C 1，可以得到O C A 11∠为11C A 与面BD C 1所成角，在对角面C C AA 11中可计算2arctan 11=∠O C A ．典型例题四例4 如图，已知直三棱柱1111-D C B A ABCD 中，AC AB =，F 为侧棱1BB 上一点，a BC BF 2==，a FB =1．（1）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任一点，求证：1FC EF ⊥；（2）若a B A 311=，求1FC 与平面B B AA 11所成角的大小． 分析：E 点在AD 上变化，EF 为平面ADF 内变化的一组相交直线（都过定点F ），要证明F C 1与EF 垂直，必有⊥F C 1平面ADF ．求1FC 与平面11A ABB 所成角的关键是找1C 到面11A ABB 的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱⊥1AA 平面111C B A 给找点1C 到面1AB 的垂线创造了方便的条件．解：（1）∵AC AB =，且D 是BC 的中点，∴BC AD ⊥，又∵ 直三棱柱中⊥1BB 平面ABC ，∴1BB AD ⊥，∴ ⊥AD 平面C C BB 11，∴F C AD 1⊥．在矩形C C BB 11中，a BC BF 2==，a F B =1， ∴a DF 5=，a FC 51=，a DC 101=，∴21212DC FC DF =+，∴ 901=∠DFC ，即DF FC ⊥1，∴⊥1FC 平面ADF ，∴EF FC ⊥1．（2）过1C 作111B A H C ⊥于H ，∵⊥1AA 平面C B A 11，∴H C AA 11⊥，∴⊥H C 1平面B B AA 11，连接FH ，FH C 1∠是F C 1与平面1AB 所成角．在等腰△ABC 中，a AC AB 3==，a BC 2=，∴a AD 22=，在等腰△111C B A 中，由面积相等可得，a a H C 22231⨯=⨯， ∴a H C 3241=，又a F C 51=， 在Rt △HF C 1中，15104sin 1=∠FH C ， ∴15104arcsin1=∠FH C ， 即F C 1与平面1AB 所成角为15104arcsin ． 说明：由于点E 在AD 上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的突破口，使得线线垂直成为了1CF 与一组直线垂直．本题的证明还有一个可行的思路，虽然E 在AD 上变化，但是由于⊥AD 平面C C BB 11，所以E 点在平面1BC 上的射影是定点D ，EF 在平面1BC 上射影为定直线DF ，使用三垂线定理，可由DF F C ⊥1，直接证明EF F C ⊥1．三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，正方体1AC 中，O 是底面ABCD的中心，E 是11B A 上动点，F 是1DD 中点，求AF 与OE 所成角．我们取AD 中点G ，虽然E 点变化，但OE 在面1AD 上射影为定直线G A 1，在正方形D D AA 11中，易证AF B A ⊥1，所以，OE AF ⊥，即AF 与OE 所成角为 90．典型例题五例5 如图，正三棱柱111-C B A ABC 的底面边长为4，侧棱长为a ，过BC的截面与底面成 30的二面角，分别就（1）3=a ；（2）1=a 计算截面的面积．分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底面成 30的二面角，如果a 较大，此时截面是三角形；但是如果a 较小，此时截面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形．解：截面与侧棱1AA 所在直线交于D 点，取BC 中点E ，连AE 、DE ，△ABC 是等边三角形，∴BC AE ⊥，∵⊥1AA 平面ABC ，∴BC DE ⊥．∴DEA ∠为截面与底面所成二面角的平面角，∴ 30=∠DEA ．∵等边△ABC 边长为4，∴32=AE ．在Rt △DAE 中，2tan =∠=DEA AE DA ．（1）当3=a 时，D 点在侧棱1AA 上，截面为△BCD ，在Rt △DAE 中，422=+=AE AD DE ， ∴8442121=⨯⨯=⋅=∆DE BC S BCD ． （2）当1=a 时，D 点在1AA 延长线上，截面为梯形BCMN ，∵2=AD ，11=AA ∴MN 是△DBC 的中位线， ∴684343=⨯==∆DBC BCMN S S 梯形． 说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程，本例通过改变侧棱长而改变了截面形状，我们也可以通过确定侧棱长，改变截面与底面成角而改变截面形状．典型例题六例6 斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面⊥C C AA 11底面ABC ，2=BC ，32=AC ，90=∠ABC ，C A AA 11⊥，且C A AA 11=．（1）求1AA 与平面ABC 所成角；（2）求平面11ABB A 与平面ABC 所成二面角的大小；（3）求侧棱1BB 到侧面C C AA 11的距离．分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系，由C A A A 11=，取AC 的中点D ，连D A 1，则有AC D A ⊥1，从而有⊥D A 1平面ABC ，在此基础上，A A 1与底面所成角以及平面11ABB A 与底面所成二面角都能方便地找到，同时⊥D A 1底面ABC 也为寻找B 点到面C C AA 11的垂线创造了条件．解：（1）取AC 的中点D ，连接D A 1，∵C A A A 11=，∴AC D A ⊥1，∵平面⊥C C AA 11底面ABC ，∴⊥D A 1底面ABC ，∴AC A 1∠为A A 1与底面ABC 所成角．∵C A AA 11=且C A AA 11⊥，∴ 451=∠AC A ．（2）取AB 中点E ，则BC DE //，∵ 90=∠ABC ，∴AB CB ⊥，∴AB DE ⊥．连E A 1，∵⊥D A 1底面ABC ，∴E A 1在平面ABC 上射影为DE ，∴AB E A ⊥1，∴ED A 1∠为侧面B A 1与底面ABC 所成二面角的平面角． 在等腰Rt △AC A 1中，32=AC ，∴31=D A ．在Rt △ABC 中，2=BC ，∴1=DE ．在Rt △DE A 1中，3tan 11==∠DED A ED A ， ∴ 601=∠ED A ，即侧面B B AA 11与底面ABC 所成二面角的大小为 60．（3）过B 作AC BH ⊥于H ，∵⊥D A 1底面ABC ，∴BH D A ⊥1，∴⊥BH 平面C C AA 11，在Rt △ABC 中，32=AC ，2=BC ，∴22=AB ， ∴632=⋅=AD BC AB BH ，即1BB 到平面C C AA 11的距离为632． 说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种关系中最重要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键．典型例题七例7 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形， 90=∠C ，cm 2=BC ，1B 在底面上的射影D 恰好是BC 的中点，侧棱与底面成 60角，侧面B B AA 11与侧面C C BB 11所成角为 30，求斜棱柱的侧面积与体积．分析：1B 在底面ABC 上射影D 为BC 中点，提供了线面垂直⊥D B 1平面ABC ，另外又有 90=∠C ，即BC AC ⊥，又可以得到⊥AC 平面C C BB 11，利用这两个线面垂直关系，可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角．解：∵1B 在底面ABC 上，射影D 为BC 中点．∴⊥D B 1平面ABC ．∴BD B 1∠为侧棱B B 1与底面ABC 所成角，即 601=∠BD B ，∵ 90=∠C ，即BC AC ⊥，又D B AC 1⊥，∴⊥AC 平面C C BB 11，过A 作B B AE 1⊥于E ，连接CE ，则B B CE 1⊥． ∴AEC ∠是侧面B B AA 11与侧面B B CC 11所成二面角的平面角，∴ 30=∠AEC ，在直角△CEB 中，∵ 60=∠CEB ，2=BC ，∴3=CE ，在直角△ACE 中，∵ 30=∠CEA ，3=CE ，∴130tan == EC AC ，22==AC AE ，在直角△DB B 1中， 601=∠BD B ，121==BC BD ， ∴221==BD BB ，360sin 11== BB D B ．∴侧面积为111AA AC BB AE BB CE S ⋅+⋅+⋅=侧()()()2cm 3322332123+=⨯+=⨯++=． 体积为311cm 33212121=⨯⨯⨯=⋅⋅=⋅=∆D B BC AC D B S V ABC ．说明：本例中△ACE 是斜棱柱的一个截面，而且有侧棱与该截面垂直，这个截面称为斜棱柱的直截面，我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分，并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱，斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长，体积为该截面面积乘以侧棱长．典型例题八例8 如图所示，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，已知a AD AB 2==，a AA =1，又︒=∠=∠=∠6011AB A DAB AD A ．(1)求证：1AA ⊥截面C D B 11；(2)求对角面11ACC A 的面积．分析：(1)由题设易证111D B AA ⊥，再只需证C B AA 11⊥，即证11CD CC ⊥．而由对称性知，若C B CC 11⊥，则11CD CC ⊥，故不必证111D B AA ⊥．(2)关键在于求对角面的高．证明：(1)∵a AD C B 211==，a A A CC ==11，︒=∠=∠60111AD A C C B ，∴在C C B 11∆中，由余弦定理，得2213a C B =．再由勾股定理的逆定理，得C B C C 11⊥．同理可证：11CD C C ⊥．∴C C 1⊥平面C D B 11．又A A C C 11//，∴1AA ⊥平面C D B 11．解：(2)∵AD AB =，∴平行四边形ABCD 为菱形．AC 为BAD ∠的平分线． 作O A 1∴⊥平面AC 于O ，由AB A AD A 11∠=∠，知AC O ∈．作AB M A ⊥1于M ，连OM ，则AB OM ⊥． 在AM A Rt 1∆中，a A A AM 2160cos 1=︒⋅=， 在AOM Rt ∆中，330sec a AM AO =︒⋅=．在AO A Rt 1∆中，a AO A A O A 322211=-=． 又在ABC ∆中，由余弦定理，得a AC 32=． ∴212211a O A AC S ACC A =⋅=．说明：本题解答中用到了教材习题中的一个结论——经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线．如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线．另外，还有一个值得注意的结论就是：如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线的距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上．典型例题九例9 如图所示，已知：直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，︒=∠30BAC ，1=BC ，61=AA ，M 是1CC 的中点．求证：M A AB 11⊥．分析：根据条件，正三棱柱形状和大小及M 点的位置都是确定的，故可通过计算求出M A 1与1AB 两异面直线所成的角．因为C C C B 111⊥，1111C A C B ⊥，所以11C B ⊥侧面C C AA 11．1AC 是斜线1AB 在平面C C AA 11的射影，设1AC 与M A 1的交点为D ，只需证得︒=∠901MDC 即可．证明：∵C C C B 111⊥，1111C A C B ⊥，C C 1与11C A 交于点1C ，∴11C B ⊥面C C AA 11．∵M 为1CC 的中点，∴262111==C C MC ． 在111B C A Rt ∆中，︒=∠30111C A B ，∴221111==C B B A ，311=C A ．在M C A Rt 11∆中， ()22332622211211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=C A MC M A ． 在11C AA Rt ∆中，33622211211=+=+=C A AA AC ． 又1MDC ∆∽DA A 1∆且21=MC AA ∶， ∴22122331311=⨯==M A MD ， 13313111=⨯==AC D C ． 在1MDC ∆中，23122122212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+D C MD ， 2326221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M C ， ∴︒=∠901DM C ，11AC M A ⊥，∴11AB M A ⊥．说明：证明两直线垂直，应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一．证明过程中的有关计算要求快捷准确，不可忽视．本题证明两异面直线垂直，也可用异面直线所成的角，在侧面C C AA 11的一侧或上方一个与之全等的矩形，平移M A 1或1AB ，确定两异面直线所成的角，然后在有关三角形中通过计算可获得证明．典型例题十例10 长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可． 解：设此长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，对角线长为l ，则由题意得：⎩⎨⎧=++=++②①24)(411)(2z y x zx yz xy由②得：6=++z y x ，从而由长方体对角线性质得：5116)(2)(22222=-=++-++=++=zx yz xy z y x z y x l ．∴长方体一条对角线长为5．说明：(1)本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力．在求解过程中，并不需要把x 、y 、z 单个都求出来，而要由方程组的①②从整体上导出222z y x ++，这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性．(2)本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作出整体处理．典型例题十一例11 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．分析：解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图．三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为：ab c b a c b a 2)(22222+++=++bc c b a c b a 2)(22222+++=++ac c b a b c a 2)(22222+++=++∵0>>>c b a ，∴0>>>bc ab ab ． 故最短线路的长为bc c b a 2222+++．说明：(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线2221c b a AC ++=是最短线路．(2)解答多面体表面上两点间，最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．典型例题十二例12 设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的截面与底面成︒60的二面角，面积为Q ，求直平行六面体的全面积．分析：如图，由于⊥'DD 面AC ．作出截面与底面所成的二面角的平面角HD D '∠后，因DH D Rt '∆中︒=∠60'HD D ，可分别求出D D '、DH 和H D '的值．又上下底面的边长是相等的，便可进一步求出全面积．解：设平行六面体为''''D C B A ABCD -，过D 作AB DH ⊥，H 为垂足，连结H D '．∵⊥'DD 平面ABCD ，∴AB H D ⊥'，︒=∠60'HD D ， ∴H D D D ''23=，H D DH '21=． 又在菱形ABCD 中，有CD BC AB AD ===，∴截面''D ABC 的面积为：Q AB H D S =⋅='1．侧面''DCC D 的面积为：Q AB H D AB D D DC D D S 2323'''2=⋅=⋅=⋅= 底面ABCD 的面积为：Q AB H D AB DH S 2121'3=⋅=⋅=． 所以Q S S S )132(2432+=+=全．典型例题十三例13 设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面；丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形．∴应选B ．说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质．典型例题十四例14 如图，ABC C B A -111是直三棱柱，︒=∠90BCA ，点1D 、1F 分别是11B A 、11C A 的中点．若1CC CA BC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）．A ．1030B ．21 C ．1530 D ．1015 解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角，取BC 的中点E ，并连结1EF 、EA ．∵11F D BC 21BE =， ∴11//BD EF ，∴A EF 1∠是1BD 与1AF 所成角．设a BC 2=，则a CC 21=，a CA 2=．∴a AB 22=，a AF 51=，a AE 5=，a D B B B BD EF 62112111=+==． ∴1030652)5()6()5(2cos 22211221211=⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠a a a a a EF AF AE EF AF A EF ∴应选A ．说明：本题主要考查棱柱的性质，以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等内容：对运算能力和空间想象能力也有较高的要求．典型例题十五例15 如图，已知ABC C B A -111是正三棱柱，D 是AC 的中点．(1)证明：//1AB 平面1DBC ；(2)假设11BC AB ⊥，求以1BC 为棱，1DBC 与1CBC 为面的二面角α的度数．(1)证明：∵ABC C B A -111是正三棱柱，∴四边形11BCC B 是矩形．连结C B 1交1BC 于E ，则E 是C B 1的中点．连结DE ．∵D 、E 分别是AC 、C B 1的中点，∴1//AB DE ．又⊄1AB 平面1DBC ，⊂DE 平面1DBC ，．∴//1AB 平面1DBC ．(2)解：作BC DF ⊥于F ，则⊥DF 平面C C BB 11，连结EF 则EF 是ED 在平面C C BB 11上的射影．∵11BC AB ⊥又ED AB //1．∴1BC ED ⊥．根据三垂线定理的逆定理，得1BC EF ⊥．从而DEF ∠是二面角C BC D --1的平面角，即α=∠DEF ，设1=AC ，则21=DC ∵ABC ∆是正三角形，∴在DCF Rt ∆中，有4360sin =︒=DC DF ，4160cos =︒=DC CF 取BC 的中点G ，∵EC EB =，∴BC EG ⊥．在BEF Rt ∆中，FG BF EF ⋅=2 而43=-=FC BC BF ，41=GF ， ∴41432⋅=EF ，∴43=EF ， ∴在DEF Rt ∆中，14343tan ===∠EF DF DEF ． ∴︒=∠45DEF ，即︒=45α．从而所求二面角的大小为︒45．说明：(1)纵观近十年高考题，其中解答题大多都是以多面体进行专利权查，解答此类题，有些同学往往忽略或忘记了多面体的性质，从而解题时，思维受阻．今后要引以为戒．(2)本题考查空间的线面关系，正棱柱的概念和性质，空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．本题涉及到的知识面宽，有一定的深度，但入手不难，逐渐加深；逻辑推理和几何计算交织为一体；正三棱柱放倒，与课本习题不同，加强了对空间想象能力的考查；在解答过程中，必须添加适当的辅助线，不仅考查了识图，而且考查了作图．本题是一道综合性试题，较深入和全面地考查了各种数学能力，正确解答本题，要求同学们有较高的数学素质．。
解析几何易做易错题
高考解析几何易做易错题选一、选择题： 1. 若双曲线22221x y ab-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A916X Y ±= B0169X Y ±= C 034X Y ±= D43X Y ±=解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 4，则双曲线的离心率为A 2B 23解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01k≤≤ B 304k ≤≤C 314k-<≤D 10k -<≤解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7． P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A 21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
解析几何易错题3
二填空题：1．若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
2．双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点(0,5-)的距离_______。
错解 设双曲线的两个焦点分别为)0,5(1-F ,)0,5(2F ,由双曲线定义知8||||||21=-PF PF所以5.16||1=PF 或5.0||1=PF剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以5.0||1=PF 不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P 的存在情况，然后再求解。
如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P 只能在右支上，所求5.16||1=PF3．直线xCosx+y —1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。
正确答案：θ∈[0，4π]∪[43π，π] 错误原因：由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误；或忽视直线倾角的定义范围而得出其它错误答案。
4．已知直线l 1：x+y —2=0 l 2：7x —y+4=0 则l 1与l 2夹角的平分线方程为______。
正确答案：6x+2y —3=0错语原因：忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。
5．过点(3，—3)且与圆(x —1)2+y 2=4相切的直线方程是：___________。
正确答案：5x+12y+21=0或x=3错误原因：遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。
6．已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为______。
正确答案：14816)2(22=--y x 错误原因：误认为双曲线中心在原点，因此求出双曲线的标准方程而出现错误。
7．过点(0，2)与抛物线y 2=8x 只有一个共点的直线有______条。
高考数学易错题训练：解析几何
过 B，D 两点 （1）若正方形中心 M 为（2，2）时，求点 N(b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程 f ( x) x 的两实根 x1 ， x 2 满足 | x1 x 2 | 2 24．直线 l 经过 P（2,3）,且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 25．自点 A(-3，3)发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射 光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7＝0 相切，求光线 L 所在的直线方程. 26．如图所示，已知 P(4， 0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、 B 是圆上两动点，且满足∠ APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.
三、解答题 15．设点 P(x,y)在椭圆 4 x y 4 上，求 x y 的最大、最小值.
2 2
16．已知双曲线的右准线为 x 4 ，右焦点 F (10, 0) ,离心率 e 2 ,求双曲线方程.
17．设椭圆的中心是坐标原点，长轴 x 在轴上，离心率 e 个椭圆上的最远距离是 7 ，求这个椭圆的方程. 18．已知曲线 C： y 围. 19．已知双曲线 C
F1 PF2 90 ，则 F1 PF2 的面积是（
A.1 B.
5 2
C.2
D. 5
7． 直 线 y kx 1 ， 当 k 变 化 时 ， 直 线 被 椭 圆 （ ）
x2 y2 1截 得 的 最 大 弦 长 是 4
A.4
B.2
C.
4 3 3
D.不能确定
8．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y
3 3 ，已知点 P (0, ) 到这 2 2
20 x 2 与 直线 L： y x m 仅有一个公共点，求 m 的范 2
解析几何易错题
解析几何易错题1．经过点A(1,2)，并且在2个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有_____条2．已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 以及倾斜角α 的取值范围。
3．求过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程。
4．判断下列命题是否正确(1)y -y 1x -x 1=k 表示过点(x 1,y 1)且斜率为k 的直线方程 (2)直线y=kx+b 与y 轴交于点P(0,b)，其中截距b=|OP|(3)在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a +y b =1(4)方程(x 2-x 1) (y-y 1) =(y 2-y 1) (x-x 1)表示过两点P 1(x 1,y 1) 与P 2(x 1,y 1)的直线5．已知直线l 经过点P(3,1)，且被两平行直线l 1:x+y+1=0和 l 2:x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l 的方程。
6．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行的_____条件。
7．a 1a 2b 1b 2=-1是两条直线a 1x+b 1y+c 1=0和 a 2x+b 2y+c 1=0垂直的_____条件 8．定义在 R 上的函数 f (x ) = 13 x 3 + 12 ax 2 + 2bx + c ，在(0,1) 内有一个极大值点，在(1,2)内有一个极小值点，则 b －2a －1的范围是______ 9．在坐标平面内，由不等式组 ⎩⎨⎧ y ≥| x －2 | y ≤－| x | + a所确定的平面区域的面积为 52 ，则a = 。
10．已知直线l 过点(-2,0)，当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是______11．若曲线y=1+4-x 2 (-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点，求实数k 的取值范围。
高考解析几何复习易做易错题选
高考解析几何复习易做易错题选直线注意倾斜角范围、设直线方程时注意斜率是否存在、注意截距的概念以及直线的方向向量概念；注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离；判断二元一次不等式表示的平面区域常采用“选点法”：线定界、点定域；注意：①最优解唯一时，一定是可行域的某一个顶点；②有无数个最优解时落在区域某边上；利用平移法求目标函数的最值，并不是线性目标函数所在的直线与原点距离最大（小）时所经过的可行域上的点为取得最大（小）值的点，应注意应用在y x 、轴上的截距大小判断；记住焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时22tan 21θ∆b S PF F =、P 在双曲线上时22cot 21θ∆b S PF F =（其中θ=∠21PF F ，||||4||||2122221cos PF PF c PF PF -+=θ，θcos ||||2121PF PF PF PF =∙）熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题； 注意双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上时为x y ab ±=，焦点在y 轴上时为x y ba ±=； 注意椭圆离心率体现扁平程度（e →0，椭圆→圆）、双曲线离心率越大越开阔；记住抛物线的一些性质：①过焦点的弦长公式（焦点在x 正半轴上时p x x ++21，焦点在x 负半轴上时p x x ++||21，；焦点在y 正半轴上时p y y ++21，焦点在y 负半轴上时p y y ++||21，当焦点在x轴上时也可用θ2sin 2p ，焦点在y 轴上时用θ2cos 2p（θ为倾斜角）；②通径长为p 2；③以过焦点的弦长为直径的圆与准线相切、以此弦端点在准线上射影间线段为直径的圆与此弦相切、当焦点在x 轴上时，以焦半径为直径的圆与y 轴相切、以抛物线上一点为圆心的圆与准线相切时一定过焦点，反之也成立；记住焦半径公式（注意曲线上的点到焦点的距离与到相应准线距离的转化）：①椭圆焦点在x 轴上时为0ex a ±、焦点在y 轴上时为0ey a ±；②双曲线焦点在x 轴上时为a x e ±||0；③抛物线焦点在x 轴上时为21||px +，抛物线焦点在y 轴上时为21||py +；注意利用数形结合思想以及极限的观点解决一些问题； 注意对焦点位置的分类讨论； 注意利用向量方法（向量的坐标运算、几何意义）解决解析几何问题； 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；在涉及直线与圆锥曲线的位置关系：若仅涉及弦的中点或弦所在直线的斜率时，可用“点差法”得到同前面的的系数为曲线、的系数的系数22(200212121212121y x k k x y OP AB y y y y y y y =∙=∙=∙-+-；若涉及弦长时（弦长公式为2122112112122122124)(1||14)(1||122y y y y y y x x x x k x x k kk-++=-+=-++=-+，一般联立方程组，利用韦达定理、根的判别式解题（注意得到的一元二次方程的二次项系数为0时，若曲线为抛物线时直线与其对称轴平行；是双曲线方程时，直线与其渐近线平行），另外设立直线方程时注意讨论直线斜率是否存在。
高中数学高考复习易错题分类《解析几何》易错题专项测试同步训练
高中数学高考复习易错题分类《解析几何》易错题专项测试同步训练2020.031,已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为x y = .抛物线c bx x x f ++=2)(过B ，D 两点（1）若正方形中心M 为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。
（2）求证方程x x f =)(的两实根1x ，2x 满足2||21>-x x2,已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D3,若曲线24y x =-与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤ C314k -<≤ D 10k -<≤4,设双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为，则双曲线的离心率为A 2B 2或5,已知双曲线两焦点12,F F ，其中1F 为21(1)14y x =-++的焦点，两点A (-3,2)B (1,2)都在双曲线上，（1）求点1F 的坐标；（2）求点2F 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线y x t =+与2F 的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。
6,椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是7,若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.8,若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±=9,过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对答案1, 解答：（1）设(2,2),(2,2),0B s s D s s s +--+≠因为 B,D 在抛物线上 所以222(2)(2)2(2)(2)s S b S c S S b S c ⎧+=-+-+⎨-=++++⎩两式相减得 282s s sb =-- 则5b =-代入（1）得2244105s s s s c +=-+-++288c s ∴=-< 故点(,)N b c 的方程5(8)x y =-<是一条射线。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点训练含答案
新数学高考《平面解析几何》复习资料一、选择题1．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点OAOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322nm mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．12k >B ．16k <-或12k > C ．62k -<< D ．1162k -<< 【答案】D 【解析】 【分析】联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩，解得即可． 【详解】解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<．故选：D ． 【点睛】本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．3．已知椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v，则AF u u u v ＝( )A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】A 【解析】 【分析】设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v，得043x =，013y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v【详解】 根据题意作图：设点()2,A n ，()00,B x y ．由椭圆C ：2212x y += ，知22a =，21b =，21c =，即1c =，所以右焦点F (1,0)．由3FA FB =u u u v u u u v，得()()001,31,n x y =-．所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013y n =. 将x 0，y 0代入2212x y +=，得221411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，所以AF u u u v ===故选A 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.4．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得1ba>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围． 【详解】解：不妨设该双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形， 所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1ba>．离心率e =所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞． 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．5．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π 【答案】D 【解析】 【分析】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】设|AF |＝m ,|BF |＝n ,∵AF BF +=,AB ≥∴213mn AB ≤, 在△AFB 中,由余弦定理得22222()2cos 22m n ABm n mn ABAFB mnmn+-+--∠==212213222AB mnmn mn mn mn --=≥=-∴∠AFB 的最大值为23π. 故选：D 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.6．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,10【答案】D【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥被平面截的轨迹特点求解 【详解】由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB 绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则 则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线【点睛】本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题8．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .①若23c x =，则254a x x x =-=，得232ce a ==； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222ce a==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252ce a==. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.9．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】 【分析】设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．10．已知曲线C 的方程为22121x y m m+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．p q ∧【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m << 若102m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题若曲线C 为椭圆，则12m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．11．已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ） A ．4x =- B ．3x =-C ．2x =-D ．1x =-【答案】C 【解析】由题得双曲线的方程为222213x y a a-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33ax ax a x x a --=∴=-=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.点睛：本题的难点在于如何找到关于a 的方程，本题利用的就是抛物线的定义得到6-a=3a-(-2a).在解析几何里，看到曲线上的点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义解题,这个技巧大家要理解掌握并做到灵活运用.12．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：()()22112x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．6D ．3【答案】D 【解析】 【分析】把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线l 上，可得()123,213m n m n +=∴+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】把圆2C ：()()22112x y +++=化为一般式，得22220x y x y +++=， 又圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >），两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，()()12150m n ∴-+-++=，即()123,213m n m n +=∴+=.()112225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ()122152522333n m m n ⎛⎫≥+⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 当且仅当2322m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.12m n ∴+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.13．过双曲线22134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-C ．13+D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由图象可得()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=()()22211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+=-. 故选：B. 【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．14．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D ．(45,162±【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()2211522564x y x -=>，将方程与()222713664x y --=联立，求解即可. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，因为船P上接到A台发射的电磁波比B台电磁波早185.2μs，则船P到B台和到A台的距离差为185.20.32301.852aPB PA⨯===-海里，故15a=，又=17c，故8b=，故由船P到B台和到A台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x yx-=>，联立()()()222227121366411522564x yxx yx⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135322,77P⎛⎫±⎪⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题. 15．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知34AB=海里，20AC=海里，现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建系.现根据船P接收到C点与A点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P在双曲线()222713664x y--=的左支上，根据船P接收到A台和B台电磁波的时间差，计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里，则点P的坐标（单位：海里）为（）A．9011,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭B．135322,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭C．3217,3⎛⎫±⎪⎝⎭D．(45,162±【答案】B【解析】【分析】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，根据双曲线的定义得出15a =，再得出由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，与双曲线()222713664x y --=联立，即可得出点P 坐标. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥由于船P 到B 台和到A 台的距离差为30海里，故15a =，又=17c ，故8b =故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得135,7P ⎛ ⎝⎭ 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，属于中档题.16．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <u u u v u u u v ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，29λμ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【答案】A 【解析】分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP <u u u v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v∴1λμ+=又∵29λμ=∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵AP BP <u u u v u u u v ∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）∴2(,)b P c a，2(,)b B c a -∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点 ∴直线1l 的方程为为1x y a b+=- ∴()(,)a c bA c a+ ∵2133OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+. ∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=. ∴25230e e +-= ∵(0,1)e ∈∴35e =故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．17．已知直线1:(1)(1)20l a x a y -++-=和2:(1)210l a x y +++=互相垂直，则a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A 【解析】分析：对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．详解：1a =-时，方程分别化为：10210x y +=+=，， 此时两条直线相互垂直，因此1a =-满足题意．1a ≠-时，由于两条直线相互垂直，可得：11()112a a a -+-⨯-=-+， 解得1a =-，舍去． 综上可得：1a =-. 故选A ．点睛：本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，且124cos 5PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．257B ．4C ．5D ．57【答案】C 【解析】 【分析】在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．【详解】在12PF F △中，因为120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=o， 1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，2121236sin 255cPF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555c c ca PF PF =-=-= 所以离心率5ce a==，故选C. 【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．19．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.20．已知0mn ≠，则方程是221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是 ( ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】方程20mx ny +=即2my x n=-，表示抛物线，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆或双曲线，当m 和n 同号时，抛物线开口向左，方程()2210mx ny mn +=≠表示椭圆，无符合条件的选项，当m 和n 异号时，抛物线2my x n=-开口向右，方程221mx ny +=表示双曲线，故选A.。
高考数学易错易混考点：解析几何
高考数学易错易混考点：解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情形?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。
45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范畴依次是。
46.定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程能够明白得为，但不要不记得当时，直线在两坐标轴上的截距差不多上0，亦为截距相等。
49.解决线性规划问题的差不多步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达。
(①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。
)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特点三角形你把握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是如何样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。
(想一想在双曲线中的结论?)要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
高考数学易错易混考点：解析几何
高考数学易错易混考点：解析几何43.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况?44.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒。
45.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。
46.定比分点的坐标公式是什么?(起点，中点，分点以及值可要搞清)，在利用定比分点解题时，你注意到了吗?47.对不重合的两条直线(建议在解题时，讨论后利用斜率和截距)48.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在两坐标轴上的截距都是0，亦为截距相等。
49.解决线性规划问题的基本步骤是什么?请你注意解题格式和完整的文字表达。
(①设出变量，写出目标函数②写出线性约束条件③画出可行域④作出目标函数对应的系列平行线，找到并求出最优解⑦应用题一定要有答。
)50.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三角形你掌握了吗?51.圆、和椭圆的参数方程是怎样的?常用参数方程的方法解决哪一些问题?52.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序?如何利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式?如何应用焦半径公式?宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
53.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。
(想一想在双曲线中的结论?)要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
解析几何(教师版)高考数学一轮复习易错点分类汇总
解析几何易错导图易错详讲易错点1直线平行与重合区别【例1】已知直线210x ay +-=与直线(2)20a x ay --+=平行，则a 的值是（）A ．23-B ．23-或0C ．0或32D ．32【答案】D【解析】由题设可得1()2(2)a a a ⨯-=⨯-，∴32a =或0a =，当0a =时两直线重合，故应舍去，故选：D.【易错总结】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②2112210A A l B B l +⇔=⊥；【举一反三】1．若直线260ax y +-=与2(1)10x a y a +-+-=平行，则a =（）A ．1-或0B ．0或1C ．1或2D ．1-或2【答案】D【解析】因为两直线平行，所以226111a a a -=≠--，即220a a --=且2340a a +-≠，解得1a =-或2a =，故选：D2．（2020·江西省奉新县第一中学）已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12//l l ，则实数a 的值为（）A ．4±B ．－4C ．4D ．2±【答案】B【解析】因为12//l l ，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B3．（2020·首都师范大学附属中学）已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（）A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或5【答案】C【解析】 直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行.因此，0k =或5.故选:C.易错点2斜率与倾斜角勿忘范围【例2】（2020·邯郸市永年区第一中学）设某直线的斜率为k ，且3k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．50,,36πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D ．20,,63πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】D【解析】直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若k 33），tan α＜33所以20,,63ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ .【举一反三】1．（2020·天津和平·耀华中学）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率k 的取值范围是（）A ．[2,3]-B ．[2,0)(0,3]-⋃C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对【答案】C【解析】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥k BC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥BC k k ≥或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞，故选：C ．2（2020·湖北省天门中学）直线cos 20x α+=的倾斜角范围是（）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5,26ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ【答案】B【解析】由题意，设直线的倾斜角为θ直线cos 20x α+=的斜率为33[]33k =-，即tan 33θ-≤≤，又由[0,)θπ∈，所以50,,66πθππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B.3．（2020·天津市武清区天和城实验中）直线cos 0x y b α++=（a 、b R ∈）的倾斜角范围是（）A ．[]0,πB ．3,,4224ππππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【解析】由题意，直线方程可化为：cos y x b α=--∴直线的斜率为cos α-∴cos [1,1]α∈-设直线cos 0x y b α++=的倾斜角为βtan [1,1]β∴∈-][3044πβππ⎡⎫∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，，故选：D易错点3圆锥曲线的定义【例3】（1）（2020·全国高二单元测试）到两定点()()12,,,0330F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为（）A ．椭圆B ．两条射线C ．双曲线D ．线段（2）（2020·浙江温州中学）双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．9C ．1或9D ．7【答案】（1）B （2）B【解析】（1）1∵到两定点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F 1F 2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B ．（2）双曲线221412x y -=的2,4a b c ====，点在P 双曲线的右支上，可得16PF a c ≥+=，点在P 双曲线的左支上，可得12PF c a ≥-=，由15PF =可得P 在双曲线的左支上，可得2124PF PF a -==，即有2549PF =+=.故选：B.【举一反三】1．（2019·海口市第四中学）设1(4,0)F -，()24,0F 为定点，动点M 满足1210MF MF +=，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．直线C ．双曲线D ．线段【答案】A【解析】根据椭圆的定义知，M 到两定点1F ，2F 的距离之和为10＞12F F ＝8，动点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆．故选：A ．2．（2020·南京师范大学附属实验学校）（多选）已知方程221mx ny +=(),m n R ∈，则（）A ．当0mn >时，方程表示椭圆B ．当0mn <时，方程表示双曲线C ．当0m =，n ＞0时，方程表示两条直线D ．方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】BCD【解析】A ：取1m n ==，此时表示圆，故A 错误；B ：当0mn <时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，故B 正确；C ：当0m =，y n=±，方程表示两条直线，故C 正确；D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，故D 正确；故选：B C D.易错点4直线与曲线相交【例4-1】（2018·广东湛江·高二期末（理））已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠【答案】D【解析】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x y m +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠.故选：D.【例4-2】（2019·广东佛山）过点()2,1-引直线与抛物线2y x =只有一个公共点，这样的直线共有（）条．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】（1）当过点(2)1-，的直线斜率不存在时，显然2x =与抛物线2y x =有且只有一个交点，（2）当直线过点(2)1-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为()12y k x +=-，代入到抛物线方程2y x =，消y 得：2210x kx k -++=，则()24210k k ∆=-+=，解得：4k =±(2)1-，的切线有2条，综上可得：过点(2)1-，与抛物线2y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条.故选：C.【举一反三】1．（2020·金华市曙光学校）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A ．没有公共点B ．一个公共点C ．两个公共点D ．有公共点【答案】D【解析】因为2y kx =+过定点()0,2，且椭圆22194x y +=的上顶点也为()0,2，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个，故选：D.2．（2020·江西南昌二中高三其他模拟（文））已知双曲线22:1x C y m -=的离心率为2，过点(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（）A ．22(,0)(0,22-B ．5(5-，0)(0⋃，55C ．22(,,)22-∞-+∞ D ．(,,)55-∞-+∞ 【答案】A【解析】由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2，62=，解得2m =，双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222y y t =-，12224y y t t =--+221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-，又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >，所以直线l 的斜率22112k t =<，又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是(,0)(0,22- ，故选：A ．3．（2019·海口市第四中学）过点()3,2M 作直线l 与抛物线28y x =只有一个交点，这样的直线共有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】B【解析】经验证点()3,2M 在抛物线开口内部，结合函数图像，可知过点()3,2M 与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M 平行与x 轴的直线，即2y =.故选：B.避错强化1．（2020·湖北宜昌）若直线1:260l ax y ++=与直线()22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a 的值为（）A ．2a =-或1a =B ．2a =C ．2a =或1a =-D ．1a =-【答案】D【解析】由1l 与2l 平行得：()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩，解得：1a =-故选：D 2．（2020·上海杨浦·复旦附中）“1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直，可得：11()0m m ⨯+-=，即21m =，解的1m =±，所以1m =是直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直的充分不必要条件.故选：A.3．（2020·安徽六安一中）已知两条直线1l ：()1210a x y -++=，2l ：10x ay ++=平行，则1l 与2l 的距离为（）A．B ．2C．4D．2【答案】C【解析】因为12l l //，所以()1210a a --⨯=，所以2a =或1a =-，当2a =时，12,l l 均为210x y ++=，此时两直线重合不符合条件，当1a =-时，1:2210l x y -++=即11:02l x y --=，2:10l x y -+=，此时符合，所以12,l l324=，故选：C.4．（2020·重庆北碚·西南大学附中高三月考）设m R ∈，则“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直，则()()()11210m m m m -+-+=，解得1m =±，所以由1m =-能推出直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直；反之不能推出；因此“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直”的充分不必要条件.故选：A.5．（2019·巢湖市第四中学）直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：()2320a x ay a -++=.若12//l l ，则a 的值为（）A ．0或5B ．0C ．5D ．非上述答案【答案】A【解析】当0a =时，1l ：60x +=，2l ：0x =，满足12//l l ；当0a ≠且20a -≠时，16232a a a a=≠-，解得5a =，综上，0a =或5.故选：A.6．（2020·上海徐汇·位育中学高三月考）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3⎛⎫⎪⎝⎭C ．3⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2226x kx -+=，整理得()2214100k x kx ---=，设直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>的两交点为()11,x y ，()22,x y ，其中1>0x ，20x >，则1221221001401x x k k x x k ⎧=->⎪⎪-⎨⎪+=>⎪-⎩，解得1k <-，又()22164010k k ∆=+->，解得33k -<<，综上，13k -<<-.故选：D.7．（2020·河北衡水中学高三一模（理））已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)x y m m+=>的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】当焦点在x 轴上时，2a m =，21b =，1m >，当M 为上下顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅= 坐标，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=，即11≥，解得2m ≥；当焦点在y 轴上时，21a =，2b m =，01m <<，当M 为左右顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅= ，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=1≥，解得102m <≤，故选：C.8．（2020·涡阳县育萃高级中学）已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a =______．【答案】1-【解析】因为直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，所以110a a ⋅-⋅=，解得1a =±当1a =时直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=重合，应舍去当1a =-时满足题意故答案为：1-9．（2020·辽源市第五中学校）已知直线1:20l x ay ++=和2:(2)360l a x y a -++=，若12l l //，则a =___________．【答案】3【解析】∵12l l //，有(2)3a a -=，∴(1)(3)0a a +-=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，1:20l x y -+=，2:3(2)0l x y --+=，即1l 、2l 为同一条直线；当3a =时，1:320l x y ++=，2:3180l x y ++=，即12l l //；∴3a =，故答案为：311．（2020·上海浦东新·华师大二附中）直线xcos y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】50,[,)66πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【解析】由题知k ＝－33cos θ，故k ∈33,33⎡-⎢⎣⎦，结合正切函数的图象，当k ∈30,3⎡⎢⎣⎦时，直线倾斜角α∈0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当k ∈3,03⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭时，直线倾斜角α∈5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故直线的倾斜角的范围是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.12．（2020·江西南昌二中）若过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则这样的直线l 共有_____条.【答案】3【解析】（1）当过点(01)-，的直线斜率不存在时，显然0x =与抛物线22y x =有且只有一个交点，（2）①当过点(01)-，且直线抛物线22y x =的对称轴平行，即斜率为0时，显然1y =-与抛物线22y x =有且只有一个交点，②当直线过点(01)-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为1y kx =-，代入到抛物线方程22y x =，消y 得：222(1)10k x k x -++=，由已知有0k ≠，则224(1)40k k ∆=+-=，解得：12k =-，即直线线方程为112y x =--，综上可得：过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条故答案为：3。
高中数学高考复习易错题分类《解析几何》易错题试题
高中数学高考复习易错题分类《解析几何》易错题 试题 2019.091,函数52--+=x x y 的值域是________________________. 2,函数x x y -+=3的值域是_________________________.3,若实数x 满足2c o s l o g 2=+θx ，则28++-x x =_____________________.4,设定义在区间[]222,22---a a上的函数()x x x f --=33是奇函数，则实数a 的值是_______________________.5,函数()12-=x x f （x <-1）的反函数是_______________________. 6,函数()2px p x x f +-=在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是____________________.7,已知集合{}ax ax x x A -≤-=2，集合(){}21log 12≤+≤=x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________________________.8,已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()x f 是单调递增的，则不等式()1+x f ＞()x f 21-的解集是_________________________.9,已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是________________________________10,函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是______________________. 11,函数()cox x xcoxx f ++=sin 1sin 的值域是______________________.12,对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f的最小值是____________________________.13,已知a ＞1，m ＞p ＞0，若方程m x x a =+log 的解是p ，则方程ma x x=+的解是____________________.14,已知函数()()3122--+=x a ax x f （a ≠0）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为1，则实数a 的值是____________________.15,对于任意实数x 、y ，定义运算x *y 为：x *y =cxy by ax ++，其中a 、b 、c 为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，则m =___________________________________.16,已知函数()()()[]111lg 22+++-=x a x a x f 的定义域为()+∞∞-,，则实数a 的取值范围是________________________.17,若函数())4(log -+=x a x x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是________________.18,若曲线()21a x y --=与2+=x y 有且只有一个公共点P ，O 为坐标原点，则OP的取值范围是________________________.19,若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足()()()[]n x f x f x f n ++211≤⎪⎭⎫⎝⎛++n x x x f n 21，则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A s in s in s in ++的最大值是____________________.20,若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.试题答案1, []7,7-2,3, 10 4, 25,)0y x =>6, 1p ≥ 7, []1,38, ()(),02,-∞+∞9, 1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10, 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦11, 211,⎡⎤⎛--- ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎦12, 213, m p -14, 34或15, 416,53a >或1a ≤-17, 04a <≤或1a ≠ 18, 2⎤⎦19,20, 解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
专题8：高考数学易错题分析(解析几何)
专题8：高考数学易错题分析（解析几何）一、典型例题分析【易错点1】求解函数值域或单调区间易忽视x 、y 的取值范围。
例1、已知()22214y x ++=,求22x y +的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x 的函数最值求解，但极易忽略x 、y 满足()22214y x ++=这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
解析：由于()22214y x ++=得(x+2)2=1-42y ≤1，∴-3≤x ≤-1从而x 2+y 2=-3x 2-16x-12=28283()33x -++,因此当x=-1时x 2+y 2有最小值1, 当x=-38时，x 2+y2有最大值328。
故x 2+y 2的取值范围是[1,328]【评析引申】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件()22214y x ++=对x 、y 的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知31x -≤≤-，22y -≤≤。
此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
【易错点2】直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方程与双曲线方程通过判别式，两种方法往往会忽视一些特殊情形。
如用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０。
例2、已知双曲线224x y -=，直线()1y k x =-，讨论直线与双曲线公共点的个数【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有几解，则直线与曲线就有几个交点，但在消元后转化为关于x 或y 的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。
解析：联立方程组()2214y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得到()22221240kxk x k -+--=（1）当210k -=时，即1k =±，方程为关于x 的一次方程，此时方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点总复习有答案
新数学《平面解析几何》期末复习知识要点一、选择题1．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.【详解】设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，因为点P 为椭圆上，所以有：22143x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤，所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6故选：C【点睛】本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.2．已知双曲线22x a －22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2p x =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12y x =±， 由双曲线的性质，可得b=1； 则5c =，则焦距为2c=25；故选A ．3．如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A 2B 3C ．32D ．62【答案】D【解析】 【分析】【详解】 试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝32，∴a 2，∴e 326 考点：椭圆的几何性质．4．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．2)B ．3)C ．(2,)+∞D ．3,)+∞【答案】C【解析】【分析】根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得1b a>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围．【详解】 解：不妨设该双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>， 由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，所以直线y x =与双曲线有交点，所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1b a>．离心率e =所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞．故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．5．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ） A ．16B ．10C ．12D ．8【答案】C【解析】【分析】根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．【详解】解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.【详解】()2223222216162x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.7．已知双曲线2222:1(0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )A ．13y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．3y x =±【答案】C【解析】【分析】 由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.【详解】根据题意，点P 一定在左支上. 由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =，再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.在2OMF △中22224cos 2a c a MOF ac+-∠=.——① 由2tan b MOF a ∠=，得2cos a MOF c∠=. ——② 由①②，解得225c a=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±. 故选：C.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.8．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．【答案】C【解析】【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MFMF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.【详解】 解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122F F c ==∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==，∴()2222m n m n mn -=+-，即2401624mn =-=，∴12mn =，解得6m =，2n =， 设2NF t =，则124NF a t t =+=+，在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，解得6t =， ∴628MN =+=，∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．(1,14)B ．1(,1)4-C ．(1,2)D ．(1,2)-【答案】A【解析】 【分析】【详解】试题分析：抛物线24y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；所以点P 纵坐标为1，则横坐标为14,即(1,14)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.10．如图，12,F F 是双曲线221:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）A ．13B ．15C ．23D ．25【答案】C由221:13y C x -=知2c =，1124F A F F == ∵122F A F A -= ∴22F A = ∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+= ∴23,3c a e a === 故选C11．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】 化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.【详解】P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =.故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件.故选：B .【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.12．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（ ）A ．22(3)4x y ++=B ．22(23)41x y -+=C ．22(3)1x y -+=D ．22(23)41x y ++=【答案】B【分析】根据已知条件可设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，再利用中点坐标公式可得到0023,2x x y y =-=，再代入圆的方程221x y +=即可得到线段PQ 的中点的轨迹方程.【详解】设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即00232x x y y =-⎧⎨=⎩， Q 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=()()222321x y ∴-+=即()222341x y -+=故选：B【点睛】本题考查了中点坐标公式，动点轨迹方程求法，属于一般题.13．已知点M 是抛物线24x y =上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：22(1)(4)1x y -+-=上一动点，则||||MA MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，根据圆的性质可知最小值为CP r -；根据抛物线方程和圆的方程可求得CP ，从而得到所求的最值.【详解】如图所示，利用抛物线的定义知：MP MF = 当,,M A P 三点共线时，MA MF +的值最小，且最小值为1CP r CP -=- Q 抛物线的准线方程：1y =-，()1,4C415CP ∴=+= ()min 514MA MF ∴+=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解.14．点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.【详解】由题意，可设椭圆的焦点坐标为， 因为为正三角形，则点在椭圆上， 代入得，即， 得，解得， 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.15．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点OAOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)C ．(6,0)D ．(8,0)【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得2ba=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】2222222215c a b b e a a a+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：22322nm mn n pm ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：()()22448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】由已知()2,0A ，()0,2B -则AB ==，又点M 到直线的最大距离为44285211+-+=+，所以最大面积为12252102⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.17．过双曲线22134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B ．23-C ．13+D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由图象可得()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=()(22211112322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B. 【点睛】本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．18．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线()222713664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）A ．9011,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭B ．135322,77⎛⎫±⎪⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．(45,162±【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()2211522564x y x -=>，将方程与()222713664x y --=联立，求解即可. 【详解】设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22221x y x a a b-=≥，因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs ，则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.32301.852a PB PA ⨯===-海里，故15a =，又=17c ，故8b =，故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()2211522564x y x -=>，联立()()()222227121366411522564x y x x y x ⎧--=<⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩， 解得135322,77P ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：B .【点睛】本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题.19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA的最小值是（ ）A ．14B ．12C ．2D 【答案】C 【解析】由题意可得，抛物线24x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则sin PF PM PAM PAPA==∠，PAM ∠为锐角．∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PFPA最小．设切点)P a ，由214y x =的导数为12y x '=，则PA 的斜率为12⋅==. ∴1a =，则(2,1)P .∴2PM =，PA =∴sin PM PAM PA∠==故选C ．点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化， 这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.20．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．14,19⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,09⎛⎫⎪⎝⎭C ．14,027⎛⎫⎪⎝⎭D ．14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.。
错题宝典高考复习易错题分类《解析几何》易错题
错题宝典高考复习易错题分类《解析几何》易错题 测试题 2019.91,平面外有两点A,B ，它们与平面的距离分别为a,b ，线段AB 上有一点P ，且AP:PB=m:n ，则点P 到平面的距离为_________________.2,点AB 到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB 与成的角，则AB 的长等于_____.3,与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面共有______个。
4,在棱长为1的正方体ABCD--A 1B 1C 1D 1中，若G 、E 分别为BB 1，C 1D 1的中点，点F 是正方形ADD 1A 1的中心，则四边形BGEF 在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。
5,△ABC 是简易遮阳板，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD 面积最大，遮阳板ABC 与地面所成角应为_________。
6,平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为21的椭圆，则角θ等于_______。
ααααα0307,若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为A B C D8,椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是C9,过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对10,设双曲线的半焦距为C ，直线L 过两点，已知原点到直线L 的距离为，则双曲线的离心率为A 2B 2或测试题答案22221x y a b -=-540916X Y ±=0169X Y ±=034X Y ±=043X Y ±=2222150x y kx y k ++++-=22221(0)x y a b a b -=>>(,0),(0,)a b 31, 错解为：。
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高考复习易做易错题精选
解析几何
1.（如中）若直线 y =k （x -1）与抛物线y = x 2，4x ・3的两个交点都在第二象，则
k 的
取值范围是 ________________ . 解 答：（-3, 0）
易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
答：C
易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的a 的意义。
3.（如中）椭圆的短轴长为
2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是
A 8.5
B 4.5
C 铁3
5 5 3
解 答：D
易错原因：短轴长误认为是 b 范围是
A k>2
B -3<k<2
C k<-3 或 k>2
D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑
D 2
E 2 -4
F 0
2 2
5.（如中）设双曲线 笃-每=1（a b 0）的半焦距为C ,直线L 过（a,0）,（0, b ）两点，已
a b
、2
解 答：D
易错原因：忽略条件 a b 0对离心率范围的限制。
6. （如中）已知二面角〉-| - -的平面角为二，PA — ： • , PB_ 1 , A , B 为垂足，且PA=4 , PB=5，设A 、B 到二面角的棱I 的距离为别为x, y ，当二变化时，点（X,y ）的轨迹是下 列图形中的
2. （如中）若双曲线
2
十j 的离心率为
5
5
，则两条渐近线的方程为
4
^_Y = o
9 16
^_Y =o
16 9
A_r = o
D 3=0
D 4-
4.（如中）过定点（1, 2）作两直线与圆 2 2 2
x y kx 2y k -15 = 0相切，则k 的取值
知原点到直线 L 的距离为
则双曲线的离心率为
2
7. (如中)已知点 P 是抛物线y =2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影为 M ,点A 的 8 (如中)若曲线 Y
-4与直线y =k(x-2)+3有两个不同的公共点，则实数
k 的
取值范围是
3
3
A 0 冬 k 乞 1
B 0 空 k
C 一1 ：： k
D —1 ：： k 岂 0
4
4
解 答：C
易错原因：将曲线 y = • x 2 -4转化为x 2 -y 2 =4时不考虑纵坐标的范围；另外没有看 清过点(2,-3)且与渐近线y = x 平行的直线与双曲线的位置关系。
9.(如中)已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为y=X .抛物线
2
f (x) = X bx c 过 B , D 两点
(1) 若正方形中心 M 为(2, 2)时，求点N(b,c)的轨迹方程。
(2) 求证方程f (x)二x 的两实根为,x 2满足|为- x 2 | • 2 解答：(1 )设 B(2
s,2 -s), D(2 - s,2 s), s = 0
l 2 + s = (2 — S)2 + b(2 — S) + c
因为B,D 在抛物线上 所以
两式相减得
、2—S = (2 + S)2 + b(2 + S) + c
2s -七s -2sb 则 b - -5 代入(1)
2 2
得 2 s = s -4s 4「10 5s c c = 8「s ：： 8 故点N(b,c)的方程x - -5(y =8)是一条射线。
(2)设 B(t s,t 「s), D(t 「s,t s)s = 0
同上 ”+s =(t —s)2+b(t —s)+cll 川丨(1)
[t _s =(t +s)2 +b(t +s) +cMIH(2)
(1) - (2)得 t = -山 I 川 11(3)
2
解 答：D
易错原因：只注意寻找 x, y 的关系式，而未考虑实际问题中 X, y 的范围。
(1) + (2)得s2 (b—1)t t2 c = 0l川II⑷
(x 1)2 2(x t-2)2 =8 整理得：3x 2 (4t-6)x 2t 2_8t 1=0
当L =0时 得t=3-2=3 从图可知：t (-：：,3-2・3) -(3 • 2・3,=)，
（3）代入（4）消去t 得s
2
2 2 b -1 (b 1) _
2
_
4
-c 0
得(b -1)
2
-4c 4
2
又 f (x)二 X 即 x - (b -1)x • c = 0 的两根 X i ,X 2 满足
X x 2 =1 -b % ・x 2 二 c
| X 1 - X 2 | =(X 1 ■'' X 2) - 4 x ( X 2 = (b _ 1) - 4c4
故 | X 1 - X 21 2。
易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。
1 2
10.（如中）已知双曲线两焦点 F 「F 2，其中F 1为y （X 1）
1的焦点，两点A （-
3,2）
4
（3）若直线y 二x • t 与F 2的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。
1 2 2
解答：（1）由 y （x • 1）
1 得：（x • 1） = -4（y-1）
4
故斤（-1,0） （2）设点 F
（X , y ）
则又双曲线的定义得||AF 1 | - | AF 2 |冃| BFJ - I BF 2 IF 0
1 t L 又
・|AF 2|=|AF 1 |=2,2
|F 2A| |F 2B|=|AF 1| |BF 1|=4「2
■点F 2的轨迹是以A, B 为焦点的椭圆
x ，1=0 除去点(-1,0)厂(1,或) (-1,0),-( 1,4 图略。
y = x t
(3)联列：(x 1)2 (y-2) 消去y 得
1
8 4
| AF 2 h|BF 2|
或
(x 1)2 . (y-2)2
除去点
又因为轨迹除去点（-1,0）,（-1,4）所以当直线过点（_1,0）,（一1,4）时也只有一个交点，即t =1或5
.t （ - ：,：3 -2一3）一（3厂2 3, ：：）_. {1, 5}
易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点F2的轨迹时易少一
种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。