(河南专版)2019年中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.3 类比拓展探究型(试卷部分)课件
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BC 3
方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻 找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方 法.
h
6
2.(2018陕西,25,12分)
问题提出
(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为
∴ B G = A G= A=B ,4
CH BH BC 3
设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴GH=BG+BH=4m+3n,
∵AB=AE,AG⊥BE,∴EG=BG=4m,
h
4
∴ G H = 4 m= 3 n,∴n5 =2m,∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,
h
10
则AP'+P'O≥AO. ∴AP'≥AP. (9分) 连接BC,易证△ACB为直角三角形,且∠ABC=30°,∠ACB=90°, ∴BC=AC·tan 60°=3 3 km. ∵∠BOC=60°,OB=OC, ∴BO=BC=3 3 km,∠OBC=60°,∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°. 在Rt△ABO中,AO= =AB2=3 BOk2m. 6(121分(3) 3)2 7 ∴ 3AP= (A3 O-OP)= ×(33 -3 7)=(3 3 -9)km.2 1 ∴P'1P'2的最小值为 A3 P=(3 -92)1km. ∴PE+EF+FP的最小值为(3 -291)km. (12分)
(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC= 3 , A D = 2 ,直接写出tan∠CEB 5 AC 5
的值.
h
2
解析 (1)证明:∵∠M=∠N=∠ABC=90°, ∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90°, ∴∠MAB=∠NBC, ∴△ABM∽△BCN. (2)过点P作PM⊥AP交AC于点M,过点M作MN⊥PC交BC于点N, 则△PMN∽△APB.
∴ P N = P M=tan∠PAC= ,2设5PN=2t,则AB= t. 5
AB AP
5
∵∠BAP+∠APB=∠MPC+∠APB=90°,∠BAP=∠C,
Leabharlann Baidu
∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.
易得△ABP∽△CBA,
∴AB2=BP·BC,∴( t)2=BP·(BP+4t),
5
∴BP=t,∴BC=5t,
h
7
解析 (1)5. (2分) 详解:如图,设O是△ABC的外接圆的圆心,
∴OA=OB=OC,又AB=AC,∴△AOB≌△AOC, ∴∠BAO=∠CAO, ∵∠BAC=120°,∴∠BAO=60°, ∴△ABO是等边三角形,∴AB=OA=OB=5. 即△ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与☉O相交于点P',连接OA,OP.
点E、F,也就是,分别在 B ︵C、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物
资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、
EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最
小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)
判断出△ABP∽△CBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;
(3)作AG⊥BE,CH⊥BE,先判断出 G H= A =C 5,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,所以 =B G = A G
EG AD 2
CH BH
A B = 4 ,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.
.
问题探究
(2)如图②,☉O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是☉O上一动点,求PM的最大值.
问题解决
(3)如图③所示,AB、AC、
B ︵C是某新区的三条规划路,其中,AB=6
km,AC=3
km,∠BAC=60°,
︵
BC
所对的圆心角为60°.新区管委会想在 B ︵C路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站
E G 4m 2
在Rt△CEH中,tan∠CEB= C H= 3. EH 14
h
5
思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出∠MAB=∠NBC,即可得出结论;
(2)作PM⊥AP,MN⊥PC,先判断出△PMN∽△APB,得出 P =N =P M ,设2 P5 N=2t,则AB= t,再 5
AB AP 5
h
9
∴△P'E'F'的周长=P'1E'+E'F'+P'2F'=P'1P'2, 对于点P'及分别在AB、AC上的任意点E、F,有△P'EF的周长≥△P'E'F'的周长=P'1P'2. 即△P'EF周长的最小值为P'1P'2的长. (7分) 连接AP'1,AP',AP'2, 则AP'1=AP'=AP'2,∠P'1AB=∠P'AB,∠P'2AC=∠P'AC, ∴∠P'1AP'2=2∠BAC=120°,∴P'1P'2= A3 P'1= AP3 '. (8分) ∴要使P'1P'2最短,只要AP'最短即可. 设O为 B ︵C所在圆的圆心,连接OB、OC、OP'、OA,且OA与 相B ︵C 交于点P,
h
8
∵M是弦AB的中点,
∴OM⊥AB,AM= 1 AB=12.
2
在Rt△AOM中,OM= =A5O . 2(4A 分M) 2 ∵PM≤OM+OP=OM+OP'=MP'=18,
∴当点P运动到P'时,PM取得最大值,为18. (5分) (3)如图,设P'为 B ︵C上任意一点,分别作点P'关于直线AB、AC的对称点P'1、P'2,连接P'1P'2,分别 与AB、AC相交于点E'、F',连接P'E',P'F',
∴tan C= 5 .
5
h
3
(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC= B =C 3 ,∴tan∠BAC= B C= 3 .
AC 5
AB 4
过点A作AG⊥BE于点G,过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H,
∵∠DEB=90°,∴CH∥AG∥DE,
∴ G H = A C= 5 ,
EG AD 2 同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,
中考数学 (河南专用)
第八章 专题拓展
§8.3 类比拓展探究型
h
1
好题精练
解答题 1.(2018湖北武汉,23,10分)在△ABC中,∠ABC=90°. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:△ABM∽△BCN;
(2)如图2,P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC= 2 ,5求tan C的值; 5
方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻 找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方 法.
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6
2.(2018陕西,25,12分)
问题提出
(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为
∴ B G = A G= A=B ,4
CH BH BC 3
设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,∴GH=BG+BH=4m+3n,
∵AB=AE,AG⊥BE,∴EG=BG=4m,
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∴ G H = 4 m= 3 n,∴n5 =2m,∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,
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则AP'+P'O≥AO. ∴AP'≥AP. (9分) 连接BC,易证△ACB为直角三角形,且∠ABC=30°,∠ACB=90°, ∴BC=AC·tan 60°=3 3 km. ∵∠BOC=60°,OB=OC, ∴BO=BC=3 3 km,∠OBC=60°,∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°. 在Rt△ABO中,AO= =AB2=3 BOk2m. 6(121分(3) 3)2 7 ∴ 3AP= (A3 O-OP)= ×(33 -3 7)=(3 3 -9)km.2 1 ∴P'1P'2的最小值为 A3 P=(3 -92)1km. ∴PE+EF+FP的最小值为(3 -291)km. (12分)
(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,∠DEB=90°,sin∠BAC= 3 , A D = 2 ,直接写出tan∠CEB 5 AC 5
的值.
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解析 (1)证明:∵∠M=∠N=∠ABC=90°, ∴∠MAB+∠MBA=∠NBC+∠MBA=90°, ∴∠MAB=∠NBC, ∴△ABM∽△BCN. (2)过点P作PM⊥AP交AC于点M,过点M作MN⊥PC交BC于点N, 则△PMN∽△APB.
∴ P N = P M=tan∠PAC= ,2设5PN=2t,则AB= t. 5
AB AP
5
∵∠BAP+∠APB=∠MPC+∠APB=90°,∠BAP=∠C,
Leabharlann Baidu
∴∠MPC=∠C,∴CN=PN=2t.
易得△ABP∽△CBA,
∴AB2=BP·BC,∴( t)2=BP·(BP+4t),
5
∴BP=t,∴BC=5t,
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解析 (1)5. (2分) 详解:如图,设O是△ABC的外接圆的圆心,
∴OA=OB=OC,又AB=AC,∴△AOB≌△AOC, ∴∠BAO=∠CAO, ∵∠BAC=120°,∴∠BAO=60°, ∴△ABO是等边三角形,∴AB=OA=OB=5. 即△ABC的外接圆半径R的值为5. (2)如图,连接MO,并延长与☉O相交于点P',连接OA,OP.
点E、F,也就是,分别在 B ︵C、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天都要将物
资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、
EF和FP.为了快捷、环保和节约成本,要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最
小值.(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)
判断出△ABP∽△CBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;
(3)作AG⊥BE,CH⊥BE,先判断出 G H= A =C 5,同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,所以 =B G = A G
EG AD 2
CH BH
A B = 4 ,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.
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问题探究
(2)如图②,☉O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是☉O上一动点,求PM的最大值.
问题解决
(3)如图③所示,AB、AC、
B ︵C是某新区的三条规划路,其中,AB=6
km,AC=3
km,∠BAC=60°,
︵
BC
所对的圆心角为60°.新区管委会想在 B ︵C路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站
E G 4m 2
在Rt△CEH中,tan∠CEB= C H= 3. EH 14
h
5
思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出∠MAB=∠NBC,即可得出结论;
(2)作PM⊥AP,MN⊥PC,先判断出△PMN∽△APB,得出 P =N =P M ,设2 P5 N=2t,则AB= t,再 5
AB AP 5
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9
∴△P'E'F'的周长=P'1E'+E'F'+P'2F'=P'1P'2, 对于点P'及分别在AB、AC上的任意点E、F,有△P'EF的周长≥△P'E'F'的周长=P'1P'2. 即△P'EF周长的最小值为P'1P'2的长. (7分) 连接AP'1,AP',AP'2, 则AP'1=AP'=AP'2,∠P'1AB=∠P'AB,∠P'2AC=∠P'AC, ∴∠P'1AP'2=2∠BAC=120°,∴P'1P'2= A3 P'1= AP3 '. (8分) ∴要使P'1P'2最短,只要AP'最短即可. 设O为 B ︵C所在圆的圆心,连接OB、OC、OP'、OA,且OA与 相B ︵C 交于点P,
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∵M是弦AB的中点,
∴OM⊥AB,AM= 1 AB=12.
2
在Rt△AOM中,OM= =A5O . 2(4A 分M) 2 ∵PM≤OM+OP=OM+OP'=MP'=18,
∴当点P运动到P'时,PM取得最大值,为18. (5分) (3)如图,设P'为 B ︵C上任意一点,分别作点P'关于直线AB、AC的对称点P'1、P'2,连接P'1P'2,分别 与AB、AC相交于点E'、F',连接P'E',P'F',
∴tan C= 5 .
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3
(3)在Rt△ABC中,sin∠BAC= B =C 3 ,∴tan∠BAC= B C= 3 .
AC 5
AB 4
过点A作AG⊥BE于点G,过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H,
∵∠DEB=90°,∴CH∥AG∥DE,
∴ G H = A C= 5 ,
EG AD 2 同(1)的方法得,△ABG∽△BCH,
中考数学 (河南专用)
第八章 专题拓展
§8.3 类比拓展探究型
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1
好题精练
解答题 1.(2018湖北武汉,23,10分)在△ABC中,∠ABC=90°. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:△ABM∽△BCN;
(2)如图2,P是边BC上一点,∠BAP=∠C,tan∠PAC= 2 ,5求tan C的值; 5