面面垂直的判定定理(公开课)
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8.6.4面面垂直判定定理公开课
的平面角。
O。
B
定义法 O1 。 A
B1
A1
β
αቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)二面角的平面角 垂直于二面角棱的任一平面
与两个半平面的交线所成的角也是 二面角的平面角。
垂面法
3.垂线法
A
Dl O
12
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上
二 面
2）角的两边分别在两个面内
角 3）角的边都要垂直于二面角的棱
的
平
面
角
10
二面角的范围
求证：平面AEC⊥平面BCD
A
B
C
E
D
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A 为垂足，AB为O的直径，C是圆周上异于A、 B的一点。
求证：平面PAC平面PBC；
P
C
A
O
B
课堂小结
1、二面角的定义：
2、二面角的平面角：
1、根据定义作出来 2、垂面法 3、垂线法
3、判定面面垂直的两种方法：①定义法
问题：
如何检测所砌的墙面和地 面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一 个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
l
符号表示：
l
α β
αβ
l
B
C
D
A
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
课堂练习：
判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
。
。
[0 ,180 ]
求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）计算.
面面垂直的判定 ppt课件
面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P，则∠APB叫做二面 角 的平面角
ppt课件
ι
β
γP
B
A
α
13
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.边在面内 3.边与棱垂直
二面角的大小:
二面角的大小可以用它的平面角 来度量,二面角的平面角是多少度,就 说这个二面角是多少度.
已知：a // α， a ⊥β 求证： α ⊥β
α γ
b
a
β
ppt课件
28
例5、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = AD，M、N分别是AB、PC的中点，
求证：（1）MN // 平面PAD；
（2）平面PMC ⊥平面PDC P
Q
AN D
M
B
C
ppt课件
29
练习 1、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P 为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证： 平面PAC ⊥平面ABC
P
C
A
O
B
ppt课件
25
例题讲解
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600， 求证：平面 BCD ⊥平面ADC
A
B
D
O
C
ppt课件
26
例题讲解
例３、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
ppt课件
11
缓慢打开教室的门，门打开的角度可以用哪 个角来表示？
ppt课件
12
二、二面角的平面角
1、二面角的平面角的定义
ppt课件
ι
β
γP
B
A
α
13
二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上 2.边在面内 3.边与棱垂直
二面角的大小:
二面角的大小可以用它的平面角 来度量,二面角的平面角是多少度,就 说这个二面角是多少度.
已知：a // α， a ⊥β 求证： α ⊥β
α γ
b
a
β
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例5、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = AD，M、N分别是AB、PC的中点，
求证：（1）MN // 平面PAD；
（2）平面PMC ⊥平面PDC P
Q
AN D
M
B
C
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29
练习 1、已知△ABC中，O为AC中点， ∠ ABC=900，P 为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证： 平面PAC ⊥平面ABC
P
C
A
O
B
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例题讲解
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600， 求证：平面 BCD ⊥平面ADC
A
B
D
O
C
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26
例题讲解
例３、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
ppt课件
11
缓慢打开教室的门，门打开的角度可以用哪 个角来表示？
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12
二、二面角的平面角
1、二面角的平面角的定义
线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件
学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
面面垂直的判定公开课课件
直。由此可知，平面β与平面α垂直。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
《面面垂直的判定》课件
《面面垂直的判定》ppt课件目录CONTENCT •引言•面面垂直的定义•面面垂直的判定定理•面面垂直的判定方法•实例分析•总结与思考01引言主题介绍垂直关系在几何学中的重要性垂直关系是几何学中的基本概念之一，它在许多实际问题中有广泛的应用。
面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理是“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直”。
理解面面垂直的判定定理会应用面面垂直的判定定理解决问题培养空间想象能力和逻辑思维能力通过本课件的学习，学生应能够理解并掌握面面垂直的判定定理。
学生应能够运用所学知识解决一些实际问题，如建筑物的垂直度测量、机械零件的设计等。
通过本课件的学习，学生应能够培养空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习打下基础。
学习目标02面面垂直的定义两个平面互相垂直，当且仅当一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
文字定义文字定义给出了面面垂直的充分必要条件，即一个平面内的任意直线与另一个平面垂直。
解释两个平面互相垂直，当且仅当一个平面与另一个平面的法线垂直。
图形定义01020304性质1性质2定理解释性质与定理如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
性质和定理进一步阐述了面面垂直的判定条件，为解决实际问题提供了理论依据。
03面面垂直的判定定理总结词简洁明了地概括了面面垂直的判定定理。
详细描述面面垂直的判定定理是，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
定理内容总结词详细说明了面面垂直的判定定理的证明过程。
详细描述首先，假设两个平面$alpha$和$beta$，且$alpha$内的两条相交直线$a$和$b$与$beta$垂直。
我们需要证明$alpha perp beta$。
根据直线与平面垂直的判定定理，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
面面垂直的判定公开
在建筑、工程等领域中，面面垂直的判定也有广泛应用，如确定建 筑物的垂直度、机械零件的加工等。
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中 点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面 与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内 的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中， 我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证 明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是 两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此， 平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个 平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一 个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内 的一条直线与另一个平面的一条斜 线在平面内射影垂直，则这两个平 面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个 平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线 定理得出结论。
第二步，判断这条直 线是否与另一个平面 的斜线在平面内射影 垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中 点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面 与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内 的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中， 我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证 明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是 两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此， 平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个 平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一 个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内 的一条直线与另一个平面的一条斜 线在平面内射影垂直，则这两个平 面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个 平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线 定理得出结论。
第二步，判断这条直 线是否与另一个平面 的斜线在平面内射影 垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例
2.3.2 两平面垂直的判定与性质(公开课)
若 l ⊥ m ， l ⊥ n ， m ∩ n ＝B， m ， n ， P, 则 l ⊥ .
图形语言：
教学目标
知识与技能
（பைடு நூலகம்）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面 角，能求简单二面角平面角的大小； （2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定 定理，初步学会用定理证明垂直关系； （3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化．
表示法
2、二面角的平面角
在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O ，以点 O 为垂足， 在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA, OB ，则射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角.
A A
l
10
O
B
l
B
O
2、二面角的平面角
注 意
1）平面角的顶点在棱上； 2）平面角的两边分别在两个半平面内； 3）平面角的边都要垂直于二面角的棱.
学做导过程
角
1、二面角的定义及记法
二面角
A
图形 顶点 O
边
边 B
A 棱l B
面 面
定义
从一点出发的两条射线 （半直线）所组成的图 形叫做角. 边—点—边 （顶点） ∠AOB
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角. 面—直线—面 （棱） 二面角—l— 或二面角—AB—
构成
α
你发现了 什么？
大胆猜想： 一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直. α 已知AB , AB ，求证： A
证明：∵AB⊥β,CD在β内 ∴AB⊥CD
β C B D E
在平面β内过点B作直线BE⊥CD
∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角
面面垂直的性质定理PPT课件
误.
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α 内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直 于平面β（ ）
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6
三、典型例题 例1：如图，已知平面，， , a ，直线a ，求证：a 面.
l,直线a满足
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12
五、课堂作业
如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD AD的中点．
求证：1直线EF 平面PCD；2 平面BEF 平面PAD.
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13
思考：1、这个定理如何证明 已知 , l, AB , ABl,B为垂足，求证：AB .
面面垂直转化 2、这个定理实现了什么关系的转化? 为线面垂直
转化的关键是什么？ 在一个平面内找交线的垂线
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5
（二）概念巩固
练习：已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l，判断下列命题的正
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8
例2：如图，四棱锥P - ABCD的底面是个矩形， 侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB垂直于 底面ABCD.求证：侧面PAB 侧面PBC；
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9
变式练习：如图,已知PA 平面ABC, 平面PAB 平面PBC， 求证：BC 平面PAB
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四、总结提升 ※ 学习小结
本节课我们主要学习了面面垂直的性质定理 以及它的的应用：将面面垂直转化为线面垂直。 关键是找（作）交线的垂线。
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※ 知识拓展（课后思考）
两个平面垂直的性质还有：
⑴如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这 两个平面的交线垂直于这个平面；
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α 内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直 于平面β（ ）
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三、典型例题 例1：如图，已知平面，， , a ，直线a ，求证：a 面.
l,直线a满足
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五、课堂作业
如图，在四棱锥P - ABCD中，平面PAD AD的中点．
求证：1直线EF 平面PCD；2 平面BEF 平面PAD.
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思考：1、这个定理如何证明 已知 , l, AB , ABl,B为垂足，求证：AB .
面面垂直转化 2、这个定理实现了什么关系的转化? 为线面垂直
转化的关键是什么？ 在一个平面内找交线的垂线
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（二）概念巩固
练习：已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l，判断下列命题的正
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例2：如图，四棱锥P - ABCD的底面是个矩形， 侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB垂直于 底面ABCD.求证：侧面PAB 侧面PBC；
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变式练习：如图,已知PA 平面ABC, 平面PAB 平面PBC， 求证：BC 平面PAB
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四、总结提升 ※ 学习小结
本节课我们主要学习了面面垂直的性质定理 以及它的的应用：将面面垂直转化为线面垂直。 关键是找（作）交线的垂线。
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※ 知识拓展（课后思考）
两个平面垂直的性质还有：
⑴如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这 两个平面的交线垂直于这个平面；
高中数学——面面垂直的性质 PPT课件 图文
[两个平面垂直的性质定理2] 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点
垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正
确命题的个数为 [ ]
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数多条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
已知： α⊥γ ，β ⊥γ ，α ∩ β =l 求证：l ⊥γ
α
β
lB
γ
A
例 4：如图，平面 AED⊥平面 ABCD，⊿AED 是等边
三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= a ,AB= 2a ,
(1) 求证：EA⊥CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角
E 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相
垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正
确命题的个数为 [ ]
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数多条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
已知： α⊥γ ，β ⊥γ ，α ∩ β =l 求证：l ⊥γ
α
β
lB
γ
A
例 4：如图，平面 AED⊥平面 ABCD，⊿AED 是等边
三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= a ,AB= 2a ,
(1) 求证：EA⊥CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角
E 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相
面面垂直判定方法PPT课件
组成的图形.
A 边
面
• 图形 顶点 O
边
B
A 棱 面a
B
构成 射线 点 射线 半平面 棱 半平面
表示法
AOB
二面角
a 或 AB
第14页/共23页
一、二面角的平面角的作法和求法
1、定义 构造普通三角形求角
2、作(找)面的垂线 构造直角三角形求角
A O•
l
B
A•
D
O
l
第15页/共23页
二、面面垂直 1.定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说 这两个平面互相垂直。
D
a ,a
β
第18页/共23页
B C
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB是 ⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同 于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
B
O
第19页/共23页
如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
(1)二面角A－PD－C的度数为____9_0_0__； (2)二面角B－PA－D的度数为____9_0_0__； (3)二面角B－PA－C的度数为___4__5_0__；
复习
1．直线与平面垂直的概念
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
la
l b
a
l
b
a b A
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
第1页/共23页
l
b
Aa
线面垂直的判定 在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.
如图，取BD的中点K，连接AK， CK. ∵AB=AD,K为BD中点， ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.
A 边
面
• 图形 顶点 O
边
B
A 棱 面a
B
构成 射线 点 射线 半平面 棱 半平面
表示法
AOB
二面角
a 或 AB
第14页/共23页
一、二面角的平面角的作法和求法
1、定义 构造普通三角形求角
2、作(找)面的垂线 构造直角三角形求角
A O•
l
B
A•
D
O
l
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二、面面垂直 1.定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说 这两个平面互相垂直。
D
a ,a
β
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B C
理论迁移
例1 如图，⊙O在平面α内，AB是 ⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同 于A、B的任意一点，求证： 平面PAC⊥平面PBC.
P
C
A
B
O
第19页/共23页
如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.
(1)二面角A－PD－C的度数为____9_0_0__； (2)二面角B－PA－D的度数为____9_0_0__； (3)二面角B－PA－C的度数为___4__5_0__；
复习
1．直线与平面垂直的概念
2．直线与平面垂直的判定
线线垂直
线面垂直
la
l b
a
l
b
a b A
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
第1页/共23页
l
b
Aa
线面垂直的判定 在空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD. 求证：BD⊥AC.
如图，取BD的中点K，连接AK， CK. ∵AB=AD,K为BD中点， ∴AK⊥BD.同理CK⊥BD. ∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.
面面垂直判定定理ppt课件
A
（1）异面直线 AD 与 C1G 所成的角的大小
B
D C
F
（2）二面角 A C1G A1 的正弦值
E A1
D1
G
B1
C1
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26
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
(2)从面面垂直的判定定理我们还可以看出 面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问 题来解决.
(2)二面角: 从一条直线出发的两个半
平面所组成的图形叫做二
面角。 二面 角的 面 二面 角的 棱
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l
2
二面角－AB－
A
二
面
角
的 表
B
示 二面角－ l－
方
法
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l
3
(3)二面角的平面角
过二面角棱上任一点在两个
半平面内分别作垂直于棱的射线，
则这两条射线所成的角叫做二面角
P
的菱形， ADC 60 ，M 是 PB 中点。
(1)求证：PA CD (2)求证：平面 PAB 平面 CDM
M
C
B
D
A
最新版整理ppt
25
7 如图示，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，AB 1, BB1 3 1 ，E 为 BB1 上使 B1E 1
的点，平面 AEC1 交 DD1 于 F，交 A1D1 的延长线于 G，求：
的平面角。
O。
B
O1 。 A
B1
A1
β
α
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4
(3)二面角的平面角
垂直于二面角棱的任一平面 与两个半平面的交线所成的角也是 二面角的平面角。
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线线垂直
线面垂直 面面垂直
作业
已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B C
a
α
A
简记：线面垂直，则面面垂直 关健：找面的垂线
例1
如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是
圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析：找面的垂线.
例1
如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是
圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析：找面的垂线.
BC⊥平面PAC
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有 PA⊥α，BC在α内， ∴PA⊥BC， ∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，
AB为⊙O直径，
∴∠BCA＝90°， 即AC⊥BC 又∵ PA与AC是△PAC所在平面内
的两条相交直线，
∴ BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内，
∴平面PAC⊥平面PBC.
打开的书
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
二面角直不直 怎么判断？
α
直二面角？
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
由其平面角决定
α
直二面角？
二面角的平面角的定义： 以二面角的棱上任意 一点为端点，在两个半平 面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。
面 面 垂 直 的 判 定 定 理
-----北高数学组 李铮
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
α
直二面角？
1、二面角的定义：
B
A
O A
B
从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
a
β L A b
α
平面角是直角，二面角就是直二面角。
例1
如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是
圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析： 1、找二面角的平面角， 2、证明此平面角是直角。
回顾
如何证明两个平面平行？ 答：证明一个平面上的两条相交直线平行于另一个平面 如何证明一条线垂直于一个平面？ 答：证明这条线垂直于平面内的两条相交直线
如何证明平面 垂直于平面 ？ 证明平面 内有两条相交直线垂直于平面 内有两条平行直线垂直于平面 ？
可以在面里面 找到垂线吗？
β
如果一条线L垂直于一个平面，那我从平面 的上方发射一组和直线L平行的光，直线L的 影子是什么样子？
平行光
A
如果一平面 垂直于一个平面 ，那我从平 面 的上方发射一组和平面 平行的光，平 面 的影子是什么样子？
2、二面角的画法：
(1)直立式:
l
(2)正卧式:
l
(3)平卧式:
l
二面角－AB－
A
3、二面角的文字表示方法： 面1－棱－面2 二面角C－AB－ D
C
点1－棱－点2
A
B
D
Байду номын сангаас
l
B
A
F
E
二面角－ l－
P
Q
B
D
C
二面角C P－AB－ Q E?
思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开， 相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同， 可得到不同的二面角。
平行光
β
L
如何证明平面 垂直于平面 ？ 证明平面 内有两条平行直线垂直于平面 ？
平行光
一定要两条吗？
β
L
如何证明平面 垂直于平面 ？ 猜想：只要证明平面 内有一条直线垂直于平面 。
L1
β
二面角的平面角
L
L2
吊 线 锤
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两 个平面垂直. β
练习：在正方体ABCD—A1B1C1D1中, 求证：平面AA1C1C⊥平面BB1D1D
D1 A1 B1 C1
D
A Ｂ
C
小结
两个平面垂直的判定定理的内容.
1、定义法： 找二面角的平面角 说明该平面角是直角。
（一般通过计算完成证明。） 2、判定定理：
要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直）