空间几何中的向量方法(夹角)
空间平面与平面的夹角计算
空间平面与平面的夹角计算在几何学中，空间平面与平面的夹角是指两个平面之间最小的夹角。
计算这个夹角的方法有多种，下面将介绍其中的两种常用方法。
方法一：向量法使用向量法计算空间平面与平面的夹角需要先将两个平面表示为向量形式。
假设有平面P1和平面P2，它们的法向量分别为n1和n2。
则使用以下公式可以计算它们的夹角θ：cosθ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|)其中，·表示向量的点乘操作，|n1|表示向量n1的模长。
方法二：法线向量法使用法线向量法计算空间平面与平面的夹角，首先需要求解两个平面的法线向量。
假设两个平面分别为P1和P2，它们的法线向量为n1和n2。
则可以使用以下公式计算夹角θ：cosθ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|)其中，·表示向量的点乘操作，|n1|表示向量n1的模长。
需要注意的是，在使用向量法或法线向量法计算夹角时，所得的角度值为弧度制，若需要转换为度数制，可以使用以下公式：角度(度数) = 角度(弧度) × (180 / π)其中，π为圆周率。
以上是两种常用的方法来计算空间平面与平面的夹角。
在实际应用中，根据具体的问题和所需的精度，可以选择合适的方法来计算夹角。
另外，还可以利用数学软件或计算机编程来进行夹角计算。
通过输入平面的相关参数，程序可以自动计算出所需的夹角值，提高计算的效率和准确性。
在工程、建筑设计等领域中，对空间平面与平面的夹角进行准确计算具有重要意义。
合理应用夹角计算方法，可以帮助我们更好地理解和分析空间中的几何关系，为实际问题的解决提供参考和支持。
综上所述，空间平面与平面的夹角可以通过向量法或法线向量法进行计算。
无论是使用哪种方法，都需要将平面表示为向量形式，并根据公式进行计算。
根据具体情况选择合适的计算方法，并且可以借助数学软件或计算机编程来提高计算效率。
夹角的计算在实际应用中具有重要意义，可以帮助我们更好地理解和分析几何关系，为问题的解决提供支持。
空间向量的夹角
空间向量的夹角空间向量的夹角是指在空间内，两条线段之间的夹角。
它通常用来描述各种物理、几何或数学问题中的方向关系，并且在各种学科领域中都有着重要的应用，如机械、物理学、天文学和导航等。
空间向量的夹角可用向量之间的点积和模长关系来求解。
具体地说，设有两个向量A和B，则它们之间的夹角θ，可以用如下公式来求解：cosθ = A·B / |A||B|其中，A·B表示向量A和B的点积，|A|和|B|分别表示A和B的模长。
从上式中可以看出，cosθ的值通常在-1到1之间，并且当两向量互相垂直时，其值为0，当两向量重合时，其值为1。
当两向量夹角为锐角时，cosθ的值为正数，即cosθ>0，反之，当两向量夹角为钝角时，cosθ的值为负数，即cosθ<0。
在实际运用中，我们一般需要求解角度而不是cosθ的值。
因此，我们可以通过反余弦函数来获取角度，具体公式如下：需要注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，因此当两向量夹角大于或等于π时，此公式不成立。
此时，为了得到正确的解，我们需要进行转换，即将一向量与另一向量取反后再计算夹角。
需要特别注意的是，如果两向量模长任意一个为0，或其中一个向量使另一个向量倍数，则因为无法计算点积而无法计算夹角。
此时，需要考虑两向量的特殊情况，如当两向量中有一个向量为零向量时，它与任意向量的夹角均为零，而当所有向量的模长均为零时，则它们之间的夹角是无定义的。
除了使用向量点积和模长来求解向量夹角外，还可以使用叉积的方法来得到向量的夹角。
叉积在几何中也称为向量积，其结果是一个向量，与另外两个向量垂直。
然而，在求解向量夹角时，这种方法较少被使用。
综上所述，空间向量的夹角是计算两向量之间方向关系的重要指标，通常使用点积和模长的方法来计算。
当需要知道角度时，我们可以通过反余弦函数来求解。
使用向量夹角，我们可以更好地描述空间中各个物体之间的方向关系，从而更加准确地进行计算和分析。
空间向量的模与夹角
空间向量的模与夹角空间向量是三维空间中的向量，它具有一定的模和夹角。
在本文中，我们将探讨空间向量的模和夹角以及它们的计算方法。
一、空间向量的模空间向量的模表示向量的长度或大小。
对于一个三维空间向量 A(x, y, z)，它的模可以通过以下公式计算得到：|A| = √(x^2 + y^2 + z^2)这个公式利用了勾股定理，将向量的每个分量的平方求和再进行平方根运算，得到了向量的模。
二、空间向量的夹角空间向量的夹角是指两个向量之间的夹角。
对于两个三维空间向量A(x1, y1, z1) 和 B(x2, y2, z2)，它们之间的夹角θ 可以通过以下公式计算得到：cosθ = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B 是向量 A 和向量 B 的数量积，可以通过以下公式计算得到：A·B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2再根据反余弦函数可以计算得到夹角θ。
三、空间向量的模与夹角的应用空间向量的模和夹角在物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
1. 力学在力学中，空间向量的模可以表示物体受到的力的大小，而向量的方向则表示力的作用方向。
夹角则可以用来计算力的分解、合成以及力矩的计算等。
2. 电磁学在电磁学中，空间向量的模可以表示电场强度、磁场强度的大小，而向量的方向则表示场强的方向。
夹角可以用来计算场强的合成、电流的作用力等。
3. 三维几何在三维几何中，空间向量的模可以表示线段的长度，而向量的方向则表示线段的方向。
夹角可以用来计算线段的夹角、平面的方位角等。
总结：空间向量的模和夹角是对三维空间中向量特征的描述。
它们的计算方法简单直观，并且在物理学和工程学等领域中有着重要的应用。
掌握空间向量的模和夹角的计算方法，对于解决问题和分析物理现象具有重要意义。
通过本文的介绍，我们详细了解了空间向量的模和夹角的概念、计算公式以及应用场景。
掌握了这些知识后，在实际问题中我们可以更好地理解和分析向量的特性，为解决问题提供帮助。
空间向量的模长与夹角总结
空间向量的模长与夹角总结空间向量是三维空间中的一个重要概念，它具有模长和夹角两个重要属性。
在本文中，将总结空间向量的模长计算和夹角计算的方法与应用。
一、空间向量的模长计算对于一个三维空间向量v=<x, y, z>，其模长可以通过以下公式计算得出：||v|| = √(x^2 + y^2 + z^2)其中，||v||表示向量v的模长。
模长是空间向量的长度，它反映了向量的大小。
通过计算模长，我们可以知道空间中的一个向量在各个方向上的分量大小，并进一步了解向量的性质。
举例说明，考虑一个空间向量v=<3, 4, 5>，我们可以通过计算得到其模长：||v|| = √(3^2 + 4^2 + 5^2) = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7.07因此，向量v的模长约为7.07。
通过计算空间向量的模长，我们可以判断向量的大小，并进行向量的比较和运算。
模长还可以用于计算向量之间的距离和速度等物理量。
二、空间向量的夹角计算与模长类似，空间向量的夹角也是一个非常重要的属性。
给定两个非零向量u=<u1, u2, u3>和v=<v1, v2, v3>，它们之间的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (u·v) / (||u|| ||v||)其中，θ表示向量u和v的夹角，cosθ表示夹角的余弦值，·表示向量的点积运算。
夹角的计算涉及到向量的点积运算和模长计算。
通过计算夹角，我们可以了解两个向量之间的关系，例如是否垂直或平行。
举例说明，考虑两个非零向量u=<2, 3, 4>和v=<5, 6, 7>，我们可以通过计算得到它们的夹角：cosθ = (2*5 + 3*6 + 4*7) / (√(2^2 + 3^2 + 4^2) √(5^2 + 6^2 + 7^2)) = 56 / (√29 √110) ≈ 0.927因此，向量u和v的夹角的余弦值约为0.927。
用空间向量研究夹角问题
【答案】2 1530
2
，Q 为 PC 的中点，则直线 PC 与平面 BDQ 所成角的正
【解析】建立如图所示坐标系
设 DC=2 ，则 PD=AB=AD=1， = 5
0,0,1 , 0,2,0 , 1,1,0 , 0,1,
1
2
1
= 0,2, −1 , = 1,1,0 , = 0,1,
2
×
12 + −1
2
+ 22
2 30
=
15
3.在正方体 − ′ ′ ′ ′ 中，二面角 − ′ − ′ 的余弦值是(
1
A．
2
【答案】C
B．
1
2
1
C．
3
D．
1
3
)
【解析】如图，建立空间执教坐标系，设正方体的棱长为 1，
有 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , ′ 1,1,1 , ′ (0,0,1)
设平面1 的法向量 = (, , )，
则
⋅ 1 = 3 − 2 = 0
，取 = 2，得 = ( 2, 1, 3)，
⋅ 1 = 6 − 2 = 0
易知平面的法向量 = 0,0,1 ，
设平面1 与平面夹角为，
| ⋅ |
则cos = | |⋅| | =
所以 = 1,0,1 , = 1, −1,0 , ′′ = (1,1,0)
设平面′ 的一个法向量为 = , , ，
平面′′的一个法向量为 = , ,
则
⋅ ′ = + = 0
， ⋅ ′ = + = 0
⋅ = − = 0
两向量之间夹角计算公式
两向量之间夹角计算公式两向量之间的夹角是在数学和物理中经常用到的概念。
夹角的大小可以帮助我们理解向量之间的关系和空间的几何性质。
在本文中，我们将介绍计算两个向量之间夹角的公式。
在三维空间中，我们可以用向量表示空间中的点或物体的位置。
向量可以用其在空间中的坐标表示。
一个向量由一组有序的实数表示，通常表示为一个列向量或行向量。
两个向量之间的夹角是指两个向量在空间中的夹角，即它们的方向之间的夹角。
为了计算两个向量之间的夹角，我们可以使用向量的点积（内积）公式。
向量的点积是两个向量的乘积的数量积。
点积的定义如下：对于两个向量A和B，它们的点积可以表示为A·B，计算公式如下：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模（长度），θ表示向量A和B之间的夹角。
根据上述公式，我们可以解出夹角θ的计算公式：θ = arccos((A·B) / (|A||B|))这个公式可以用于计算两个向量之间的夹角。
需要注意的是，上述公式中的夹角θ是弧度制表示的。
如果需要将其转换为角度制，可以使用下述公式：角度 = 弧度× 180 / π当两个向量的点积为正值时，夹角的范围为0到π/2弧度，或0到90度。
当点积为负值时，夹角的范围为π/2到π弧度，或90度到180度。
如果点积为零，表示两个向量垂直，夹角为90度。
举例来说，假设有两个向量A和B，它们的坐标分别为A=(2, 3, 4)和B=(5, -1, 2)。
首先，我们需要计算两个向量的点积。
根据点积的公式，我们有：A·B = (2×5) + (3×-1) + (4×2) = 10 - 3 + 8 = 15接下来，我们需要计算向量A和B的模。
向量的模可以通过将向量的每个分量的平方相加，再开平方来计算。
对于向量A，我们有：|A| = sqrt(2² + 3² + 4²) = sqrt(4 + 9 + 16) = sqrt(29)对于向量B，我们有：|B| = sqrt(5² + (-1)² + 2²) = sqrt(25 + 1 + 4) = sqrt(30)现在，我们可以将这些值代入夹角计算公式中：θ = arccos(15 / (sqrt(29) × sqrt(30)))计算结果可能是一个弧度值，我们可以将其转换为角度制来更好地理解夹角的大小。
求向量的夹角
求向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角。
在几何和物理学中，向量的夹角是一个重要的概念，用于描述两个向量之间的方向和关系。
向量的夹角可以通过向量的数量积来计算，也可以通过向量的坐标表示来计算。
首先，我们来看一下向量的数量积。
向量的数量积可以用以下公式来表示：a·b = |a||b|cosθ其中，a和b是两个向量，|a|和|b|分别是它们的模，θ是它们之间的夹角。
根据这个公式，我们可以得到向量的夹角的计算公式：θ = arccos((a·b) / (|a||b|))这个公式告诉我们，如果我们已知两个向量的数量积和它们的模，就可以计算出它们之间的夹角。
接下来，我们来看一下向量的坐标表示。
在二维空间中，向量可以用坐标表示为(a1, a2)和(b1, b2)，其中a1和a2是向量a的x和y坐标，b1和b2是向量b的x和y坐标。
此时，向量的夹角可以通过以下公式计算：θ = arccos((a1*b1 + a2*b2) / (sqrt(a1^2 + a2^2) * sqrt(b1^2 + b2^2)))在三维空间中，向量可以用坐标表示为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，其中a1、a2和a3是向量a的x、y和z坐标，b1、b2和b3是向量b的x、y和z坐标。
此时，向量的夹角可以通过以下公式计算：θ = arccos((a1*b1 + a2*b2 + a3*b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) *sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2)))需要注意的是，这个公式只适用于夹角在0到π之间的情况。
如果夹角在π到2π之间，则可以将计算所得的夹角减去2π。
总结一下，向量的夹角是通过向量的数量积或坐标表示来计算的。
它可以用来描述两个向量之间的方向和关系。
在几何学和物理学中，向量的夹角是一个非常重要的概念，被广泛应用于各种问题的求解中。
无论是二维空间还是三维空间，我们都可以用相应的公式来计算向量的夹角。
空间向量夹角的计算公式
空间向量夹角的计算公式空间向量夹角指的是两个在三维空间中的向量之间的夹角。
在几何和物理学问题中，这种夹角非常重要。
本文将介绍三种不同的方式来计算空间向量夹角。
一、余弦定理在三维空间中，任何两个向量 u 和 v 的夹角θ可以使用余弦定理来计算，该定理可以写作：cosθ = u · v / ||u|| ||v||其中，u · v 是向量点积，||u|| 和 ||v|| 分别是向量长度。
注意，点积的结果是一个标量，所以余弦定理的结果也是一个标量。
根据余弦定理，可以得到向量夹角的角度，该角度可以使用反余弦函数（acos）来计算：θ = acos (u · v / ||u|| ||v||)其中，acos 是反余弦函数，其返回值单位是弧度。
二、矢量积除了余弦定理，向量夹角也可以使用另一个基本公式来计算，该公式和向量积有关：u × v = ||u|| ||v|| sinθ n其中，u × v 是向量积，||u|| 和 ||v|| 是向量长度，θ是向量夹角，n 是一个垂直于 u 和 v 的向量。
由于向量积的大小等于两个向量围成平行四边形的面积，该公式可以解释为求出两个向量的平行四边形的面积，然后除以其长度得到正弦值。
根据这个公式，可以求出夹角θ的正弦值：sinθ = ||u×v|| / ||u|| ||v||然后可以使用反正弦函数（asin）将正弦值转换为角度值：θ = asin (||u×v|| / ||u|| ||v||)注意，这种方式计算的角度值需要进一步处理才能得到正确的角度值。
具体来说，如果向量积的方向是和法向量 n 相同的，需要使用上述公式得到的角度值；如果向量积的方向是和法向量 n 相反的，应该使用π - θ得到角度。
三、向量方向余弦最后一种方式涉及向量的方向余弦。
方向余弦指的是一个向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。
在三维空间中，向量 u 的三个方向余弦可以表示为：cosα = u1 / || u ||cosβ = u2 / || u ||cosγ = u3 / || u ||其中，u1、u2 和 u3 是向量 u 在 x、y 和 z 轴方向上的投影，|| u || 是向量 u 的长度。
空间几何中的方向余弦与向量夹角——几何知识要点
空间几何中的方向余弦与向量夹角——几何知识要点在空间几何中，方向余弦和向量夹角是重要的几何知识要点。
方向余弦是描述两条线段在空间中的夹角的一种方法，而向量夹角则是描述两个向量之间的夹角。
本文将详细介绍方向余弦和向量夹角的定义、计算方法以及它们在几何中的应用。
一、方向余弦的定义和计算方法方向余弦是用来描述两条线段在空间中的夹角的一种方法。
对于任意一条线段AB和坐标轴之间的夹角α、β、γ，我们可以定义它们的方向余弦分别为cosα，cosβ，cosγ。
计算方向余弦的方法如下：1. 首先，我们需要确定坐标轴的方向。
通常情况下，我们可以选择x轴、y轴和z轴作为坐标轴。
2. 然后，我们需要确定线段的方向。
假设线段AB与x轴的夹角为α，与y轴的夹角为β，与z轴的夹角为γ。
3. 根据三角函数的定义，我们可以得到线段AB与坐标轴的方向余弦分别为cosα、cosβ、cosγ。
方向余弦的计算方法可以用以下公式表示：cosα = ABx / ABcosβ = ABy / ABcosγ = ABz / AB其中，ABx、ABy和ABz分别表示线段AB在x轴、y轴和z轴上的投影长度，AB表示线段AB的长度。
二、向量夹角的定义和计算方法向量夹角是用来描述两个向量之间的夹角的一种方法。
对于任意两个向量A和B，它们的夹角可以用向量的内积和模长来计算。
计算向量夹角的方法如下：1. 首先，我们需要计算向量A和向量B的内积。
向量A和向量B的内积可以用以下公式表示：A·B = |A| * |B| * cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
2. 然后，我们可以通过求解上述公式，得到向量A和向量B之间的夹角θ。
三、方向余弦和向量夹角的应用方向余弦和向量夹角在几何中有着广泛的应用。
以下是它们的一些常见应用场景：1. 三维旋转：方向余弦可以用来描述物体在三维空间中的旋转角度和旋转轴。
空间向量夹角公式大全
空间向量夹角公式大全空间向量是三维空间中的向量，它们具有长度和方向。
在空间中，向量之间的夹角是一个重要的概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系，以及在实际问题中的应用。
本文将介绍空间向量夹角的相关概念和公式，帮助读者更好地理解和运用空间向量的知识。
1. 向量的夹角概念。
在二维平面中，我们可以通过向量的数量积来计算它们之间的夹角。
而在三维空间中，向量的夹角的计算则需要借助向量的数量积和向量的模长来进行。
具体而言，设有两个向量a和b，它们之间的夹角θ满足以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)。
其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
这个公式可以帮助我们计算任意两个向量之间的夹角，从而更好地理解它们之间的关系。
2. 向量夹角的计算方法。
在实际问题中，我们可能需要计算两个向量之间的夹角，以便解决一些几何或物理问题。
为了方便计算，我们可以通过向量的坐标表示来求解夹角。
具体而言，设向量a和b的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a1b1 + a2b2 + a3b3) / (sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) sqrt(b1^2 + b2^2 + b3^2))。
这个公式可以帮助我们在实际问题中快速准确地计算出向量之间的夹角，从而更好地应用空间向量的知识。
3. 向量夹角的性质。
除了计算向量夹角的公式外，向量夹角还具有一些重要的性质。
首先，向量夹角的范围是[0, π]，即夹角的取值范围在0到180度之间。
其次，当两个向量夹角为0时，它们是共线的；当夹角为π/2时，它们是垂直的；当夹角为π时，它们是相反的。
这些性质可以帮助我们更好地理解和判断向量之间的关系。
4. 应用举例。
最后，我们通过一个具体的应用举例来展示空间向量夹角的计算和应用。
假设有两个向量a(1, 2, 3)和b(4, 5, 6)，我们需要计算它们之间的夹角。
向量夹角公式知识点总结
向量夹角公式知识点总结向量是描述物理量大小和方向的几何量，夹角是两个向量之间的角度。
在物理、工程和数学等领域中，向量夹角公式是非常重要的，可以帮助我们计算和分析各种物理现象和问题。
本文将介绍向量夹角公式的基本概念、相关知识点和应用场景。
1. 向量夹角的定义在二维和三维空间中，两个向量之间的夹角可以通过向量的数量乘积来定义。
假设有两个向量A和B，它们的夹角记作θ，向量A的数量记作|A|，向量B的数量记作|B|，则它们的夹角可以表示为：cosθ = (A·B) / (|A| * |B|)其中A·B表示向量A和向量B的数量乘积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的数量。
这个夹角公式可以用于二维和三维空间中的向量夹角计算。
2. 向量夹角的性质向量夹角公式具有以下性质：- 当夹角为0度时，cosθ = 1，即向量A和向量B的数量乘积等于两个向量的数量之积，即A·B = |A| * |B|，此时两个向量共线。
- 当夹角为90度时，cosθ = 0，即向量A和向量B的数量乘积等于0，此时两个向量垂直。
- 当夹角为180度时，cosθ = -1，即向量A和向量B的数量乘积等于两个向量数量之积的相反数，此时两个向量反向相对。
3. 向量夹角的计算要计算两个向量之间的夹角，可以通过向量的坐标表示、数量表示或投影表示来进行计算。
下面分别介绍这三种方法。
3.1 向量的坐标表示向量的坐标表示是指将向量表示为坐标形式，然后通过坐标形式的夹角公式来计算。
假设有两个二维向量A和B，它们的坐标表示分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们之间的夹角可以表示为：cosθ = (Ax * Bx + Ay * By) / (sqrt(Ax^2 + Ay^2) * sqrt(Bx^2 + By^2))这个公式可以直接计算出夹角θ的值。
对于三维空间中的向量，也可以类似地通过坐标表示来计算夹角。
3.2 向量的数量表示向量的数量表示是指将向量表示为数量形式，然后通过数量形式的夹角公式来计算。
三维空间向量的夹角公式
三维空间向量的夹角公式三维空间中的向量夹角公式是用来计算两个向量在空间中的夹角的公式。
在三维空间中，可以使用内积和模的关系来推导得到夹角公式。
设空间中的两个向量为a⃗和b⃗，它们的夹角为θ。
向量a⃗和b⃗的内积定义为：a⃗ ·b⃗ = |a⃗ ||b⃗ | cosθ其中，|a⃗ |和|b⃗ |分别表示向量a⃗和b⃗的模，θ表示夹角。
由上述关系可以得到：cosθ = (a⃗ ·b⃗ ) / (|a⃗ ||b⃗ |)该公式表明，两个向量的内积除以它们的模的乘积，就得到了它们之间的夹角的余弦值。
通过求得余弦值，可以进一步计算夹角的值。
在三维空间中，向量的内积计算方法为：a⃗ ·b⃗ = ax × bx + ay × by + az × bz其中，ax、ay、az分别表示向量a⃗在x、y、z轴上的分量，bx、by、bz分别表示向量b⃗在x、y、z轴上的分量。
向量的模计算方法为：|a⃗| = √(ax^2 + ay^2 + az^2)|b⃗| = √(bx^2 + by^2 + bz^2)其中，^2表示平方运算。
综上所述，对于给定的两个向量，在已知它们的各个分量的情况下，我们可以将分量代入上述公式进行计算，从而得到夹角的值。
这个夹角的值可以用来衡量两个向量之间的方向差异，通常表示为角度的形式。
值得注意的是，夹角的值的范围为0到π之间。
当夹角为0时，表示两个向量的方向完全一致；当夹角为π时，表示两个向量的方向完全相反；当夹角为π/2时，表示两个向量互相垂直。
夹角公式在三维空间中具有广泛的应用，例如在计算机图形学中用于确定物体的旋转角度、在机器学习中用于计算向量的相似度等等。
掌握夹角公式的应用，可以帮助我们更好地理解和分析三维空间中的向量关系。
空间向量的夹角与投影
空间向量的夹角与投影空间中的向量是指具有大小和方向的箭头，可以在三维坐标系中表示。
在研究空间向量时，夹角和投影是两个非常重要的概念。
本文将探讨空间向量的夹角和投影，并分析它们在实际问题中的应用。
一、空间向量的夹角在平面几何中，夹角可以通过两个向量的夹角余弦来定义。
同样，在空间几何中，两个向量的夹角也可以通过夹角余弦来定义。
空间中两个向量A和B的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模（长度）。
夹角θ的取值范围是[0, π]，即0到180度之间。
当两个向量夹角为0度时，它们是共线的；当夹角为90度时，它们是垂直的；当夹角大于90度时，它们是钝角；当夹角小于90度时，它们是锐角。
空间向量的夹角可以用来解决很多实际问题，比如测量两个物体之间的夹角、计算平面的倾斜角度等。
在物理学、工程学和计算机图形学等领域中经常会用到空间向量的夹角概念。
二、空间向量的投影投影是指一个向量在某个方向上的投射或映射。
在空间几何中，一个向量A在另一个向量B方向上的投影可以用以下公式计算：projB A = (A·B) / |B|其中，projB A表示向量A在向量B方向上的投影，A·B表示向量A和向量B的点积，|B|表示向量B的模（长度）。
投影可以帮助我们理解一个向量在另一个向量上的影响和作用。
在实际问题中，投影可以用于计算力的分解、计算物体在斜面上的滑动与静止力等。
三、应用示例为了更好地理解空间向量的夹角和投影的应用，我们来看一个实际问题。
假设有一个力F1 = (3, 4, 5) N和一个力F2 = (1, 2, 3) N，我们需要计算两个力的夹角和F1在F2方向上的投影。
首先，计算两个力的夹角θ：F1·F2 = (3)(1) + (4)(2) + (5)(3) = 23|F1| = √(32 + 42 + 52) = √50|F2| = √(12 + 22 + 32) = √14cosθ = (F1·F2) / (|F1||F2|) = 23 / (√50 * √14) ≈ 0.756根据余弦定理可得，夹角θ约为41.4度。
用空间向量计算夹角问题方案
B1
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
AD
C
B
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),
DB1 (1,1,1), AD (1,01), CD (0,1,1)
AD1 DB1, AC DB1 又AD1 AC A,
DB1 平面ACD1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
BE1
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
D
O
A
x
2019/9/3
C
y | BE1 |
17 4
利用向量解决 夹角问题
紫阳中学陈兴平
•引入
2019/9/3
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 1
空间向量的引入为代数方法处理 立体几何问题提供了一种重要的工具 和方法，解题时，可用定量的计算代 替定性的分析，从而避免了一些繁琐 的推理论证。求空间角与距离是立体 几何的一类重要的问题，也是高考的 热点之一。本节课主要是讨论怎么样 用向量的办法解决空间角问题。
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
空间向量夹角
空间向量夹角空间向量夹角是数学中一个重要的概念，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍空间向量夹角的定义、性质以及它在实际问题中的应用。
空间向量是含有大小和方向的量，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量。
两个空间向量的夹角可以通过计算它们的内积和模长得到。
具体来说，设有两个非零向量u和v，它们的夹角θ定义如下：cos(θ) = (u·v) / (|u|·|v|)其中，u·v表示向量u和v的内积，|u|和|v|表示u和v的模长。
空间向量夹角有一些重要的性质。
首先，夹角的范围是[0, π]。
当夹角为0时，两个向量重合，在数学上称为共线；当夹角为π/2时，两个向量互相垂直，在数学上称为正交。
其次，两个向量的夹角与它们的大小和方向都有关系。
例如，在同一条直线上的两个向量，夹角为0；而在相反方向上的两个向量，夹角为π。
最后，可以通过反余弦函数来计算夹角，即θ = arccos((u·v) / (|u|·|v|))。
空间向量夹角在实际问题中有着广泛的应用。
在力学中，夹角可以用来计算两个力的夹角，从而确定它们的叠加效果。
在几何学中，夹角可以用来判断两条直线的相交情况以及计算多边形的面积。
在物理学中，夹角可以用来计算光线的折射和反射。
夹角还可以用来衡量两个量的相似度，例如在文本处理中用于计算文档之间的相似性。
在计算机图形学中，夹角用于计算物体之间的碰撞检测。
通过计算物体的位置向量和速度向量，可以判断它们是否相交。
夹角还可以用于计算空间中的旋转变换。
通过计算旋转轴和旋转角度之间的夹角，可以确定旋转变换的方式。
在生物学中，夹角可以用于计算生物的运动轨迹。
例如，通过计算两个步态周期之间的夹角，可以判断两个周期之间的相似性。
在医学影像中，夹角可以用于计算血管的分支角度，从而辅助诊断。
总的来说，空间向量夹角是数学中一个重要的概念，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
1.4.2-用空间向量研究距离、夹角问题
探究 已知直线l的单位方向向量为u, A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利
用这些条件求点P到直线l的距离? 如图示，向量AP在直线l上的投影向量为 AQ ，则△APQ是直角
u
P
三角形，因为A，P都是定点，所以|AP|，AP 与 u 的夹角∠PAQ都
dn
是确定的. 于 是可求 |AQ|. 再利用勾股定理，可以求出点P到直线l
点C1到平面AB1 E
的距离为 |
C1B1 |n|
n
|
1 3
.
D
A x
F
C
y
B
即直线FC1到平面AB1
E的距离为
1 3
.
3. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
解 : 平面A1DB//平面D1CB1,平面A1DB与平面D1CB1的距离 z
MN AN AM
1 ( AB AF ) 1 ( AB AD)
2
2
1 (c b) 2
∴|MN|2 1 (c b )2 1 ,
4
2
∴|MN| 2 ,即MN 2 .
2
2
【巩固训练4】如图，两条异面直线a, b所成的角为θ，在直线a, b上分别取点A′, E和
点A, F，使AA′⊥a，且AA′⊥b (AA′称为异面直线a, b的公垂线). 已知A′E=m, AF=n，
易得C1 (0, 1, 1),
A(1,
0, 0),
E(0,
0,
1 ). 2
E
∴C1 A
(1,
1, 1),
AE
(1, 0,
1 ). 2
D
F
空间向量cos夹角公式计算方法
空间向量cos夹角公式计算方法
其中，a和b是两个空间向量，·表示向量的点积，│a│表示向量a的模长，│b│表示向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
具体计算方法如下：
1. 分别计算出向量a和向量b的模长，其中向量a的模长为│a │，向量b的模长为│b│。
2. 计算出向量a和向量b的点积，即a·b。
3. 将向量a和向量b的点积除以它们的模长的乘积，即(a·b) / (│a││b│)。
4. 计算出来的结果即为向量a和向量b之间的cos夹角，使用反余弦函数可以得到实际的夹角大小。
需要注意的是，在计算向量的模长时，可以使用勾股定理来计算。
比如，对于三维向量(x, y, z)，其模长为：
│(x, y, z)│ = √(x + y + z)。
此外，在计算向量的点积时，需要注意两个向量的方向，如果两个向量的方向相反，则它们的点积为负数，表示它们之间的夹角大于90度。
如果两个向量的方向相同，则它们的点积为正数，表示它们之间的夹角小于90度。
如果两个向量之间的夹角为90度，则它们的点积为0。
总之，使用空间向量cos夹角公式可以很方便地计算出两个空间向量之间的夹角，从而解决多种向量相关的几何问题。
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高中数学向量的夹角计算方法及几何意义讲解
高中数学向量的夹角计算方法及几何意义讲解在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在代数中有着重要的应用，还在几何中具有重要的几何意义。
而向量的夹角是研究向量之间关系的重要工具。
本文将详细介绍高中数学中向量的夹角计算方法及其几何意义，并通过具体的题目来说明。
一、向量的夹角计算方法向量的夹角是指两个向量之间的角度关系。
在计算向量的夹角时，可以利用向量的数量积来进行求解。
设有两个非零向量a和b，它们的夹角记为θ，则有以下计算公式：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，a·b表示向量a和向量b的数量积，|a|表示向量a的模，|b|表示向量b的模。
通过这个公式，我们可以计算出两个向量的夹角。
需要注意的是，夹角的范围是[0,π]，即0度到180度之间。
如果两个向量的夹角为锐角，则cosθ为正数；如果夹角为钝角，则cosθ为负数；如果夹角为直角，则cosθ为0。
为了更好地理解向量的夹角，我们来看一个具体的例子：例题1：已知向量a = (3,4)，向量b = (4,3)，求向量a和向量b的夹角。
解：首先计算向量a和向量b的数量积：a·b = 3×4 + 4×3 = 24然后计算向量a和向量b的模：|a| = √(3² + 4²) = 5|b| = √(4² + 3²) = 5代入公式cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)，得到：cosθ = 24 / (5×5) = 24 / 25根据cosθ的值，我们可以得出夹角的性质。
在本例中，cosθ为正数，说明夹角为锐角。
接下来，我们可以通过反余弦函数来求出夹角的具体值：θ = arccos(24 / 25)利用计算器进行计算，得到θ约等于 0.7227 弧度。
二、向量夹角的几何意义向量的夹角不仅仅是一个数值，它还具有重要的几何意义。
用空间向量研究夹角问题
用空间向量研究夹角问题课程标准 学习目标1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法向量,能求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角或夹角.2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点一 空间角空间图形范围 向量法几何法 异面直线所成的角0°< θ≤90°cosθ=|cos <u ,v>|= 平移交于一点,解三角形直线与平面所成的角sin θ=|cos <u ,n>|=过直线上一点作平面的垂线,解三角形 平面与平面的夹角cos θ=|cos <n 1,n 2>|=作两平面的垂面解三角形【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( )(2)若平面α的法向量为u ,直线l 的方向向量为v ,直线l 与平面α所成的角为θ,则cos θ=|u ·v ||u ||v |.( )(3)二面角的大小等于平面与平面的夹角. ( ) 知识点二 解决立体几何中空间角问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的角度问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一 异面直线所成角的求法例1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是DC 的中点,建立如图1-4-27所示的空间直角坐标系,图1-4-27则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( )A .√1010 B .√105 C .-√1010D .-√105(2)如图1-4-28所示,在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值.图1-4-28[素养小结]用向量法求异面直线的夹角时,常在两异面直线a 与b 上分别取点A ,B 和C ,D ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b 的方向向量,若异面直线a ,b 的夹角为θ,则cos θ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.运用向量法常有两种途径:①基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式cos <a ,b>=a ·b|a ||b |求向量a ,b 的夹角时,关键是求出a ·b ,|a|与|b|,一般是把a ,b 用基向量表示出来,再求有关的量.②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.探究点二求直线和平面所成的角例2 [2020·安徽芜湖高二期中] 如图1-4-29,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是AB的中点.(1)证明:AC1⊥平面D1B1C;(2)求直线CE与平面D1B1C所成角的余弦值.图1-4-29变式[2020·山东肥城高二期中] 在如图1-4-30所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,CD=2.(1)若F为BP的中点,证明:EF∥平面PDC;BP,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.(2)若BF=13图1-4-30[素养小结]向量法求线面角的步骤:①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;②求出直线的方向向量s和平面的法向量n;③求出夹角<s,n>;④判断直线和平面所成的角θ和<s ,n>的关系,求出角θ.拓展 [2021·北京丰台区高二期中] 如图1-4-31,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=3.M 是AB 的中点,N 是B 1C 1的中点,点P 在线段A 1N 上,且A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 1与B 1C 的交点.(1)求证:PQ ∥平面A 1CM.(2)在线段AA 1上是否存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214?请说明理由.图1-4-31探究点三 求平面与平面的夹角例3 [2020·江苏如皋高二期中] 如图1-4-32所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC ,AA 1,AC ,A 1C 1的中点分别为D ,E ,F. (1)求证:AC ⊥平面BEF ;(2)若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°,且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55,求平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值.图1-4-32变式 [2020·江苏盐城亭湖区月考] 如图1-4-33所示,在三棱锥P-ABC 中,△PAC 为等腰直角三角形,∠APC=90°,△ABC 为正三角形,AC=2. (1)证明:PB ⊥AC ;(2)若平面PAC ⊥平面ABC ,求平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值.图1-4-33[素养小结]设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角θ,用坐标法的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n 1,n 2; (3)计算:cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|.拓展 如图1-4-34,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥AD ,AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,E ,F 分别为PC ,CD 的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE ⊥平面BEF ;(2)设PA=a ,若平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,求a 的取值范围.图1-4-341.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( )A .120°B .60°C .30°D .以上均错2.已知两个平面的法向量分别是m=(1,2,-1),n=(1,-1,0),则这两个平面所成的二面角的余弦值为 ( ) A .-√36或√36B .-√33或√33C .-√36D .√363.[2020·江苏南通高一期末] 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角的正弦值为 ( ) A .√63B .√102C .√155D .√1054.[2021·天津部分区高二期中] 如图1-4-35,在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,则平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为 ( )图1-4-35A .√33 B .√22C .1D .13用空间向量研究夹角问题参考答案【课前预习】知识点一|u ·v ||u ||v |0°≤θ≤90° |u ·n ||u ||n |0°≤θ≤90° |n 1·n 2||n 1||n 2|诊断分析(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直线所成的角相等;当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.故错误. (2)sin θ=|u ·v ||u ||v |,故错误.(3)二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角.故错误. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] ∵A (2,2,0),B 1(2,0,2),E (0,1,0),D 1(0,2,2),∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,|ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0-2+4=2,∴cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2×√5=√1010,∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为√1010. (2)解:建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),O 1(0,1,√3),A (√3,0,0),A 1(√3,1,√3),B (0,2,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√3),O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3),所以|cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3,√3)·(√3,√3√7×√7=17,所以异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.探究点二例2 解:(1)证明:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),E (2,1,0),C (0,2,0),B 1(2,2,2),C 1(0,2,2),D 1(0,0,2), ∴CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2). ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×0+2×(-2)+2×2=0, AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×2+2×0+2×2=0,∴AC 1⊥D 1C ,AC 1⊥B 1C ,又D 1C ∩B 1C=C , ∴AC 1⊥平面D 1B 1C.(2)由(1)知,EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0), AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2)是平面D 1B 1C 的一个法向量,设直线CE 与平面D 1B 1C 所成的角为θ,则sin θ=|cos <EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×2√3=√155,∴直线CE 与平面D 1B 1C 所成角的余弦值为(√155)=√105. 变式 解:(1)证明:以D 为坐标原点,DC 所在直线为x 轴,过点D 且与平面ABCD 垂直的直线为y 轴,DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(图略),则D (0,0,0),C (2,0,0),B (2,0,3),P (-2,2√3,0),A (0,0,3). 因为E 为AD 的中点,F 为BP 的中点,所以E 0,0,32,F 0,√3,32,所以直线EF 的方向向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 易知平面PDC 的一个法向量为n=(0,0,1). 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,又EF ⊄平面PDC , 所以EF ∥平面PDC.(2)由(1)知,CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2√3,0), 设F (x ,y ,z ),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y ,z-3)=13BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43,23√3,-1, 所以F23,23√3,2,所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23√3,-1.设平面PBC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则{n 1·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3z =0,4x -2√3y =0,取y=1,得n 1=√32,1,0,所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1>=AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1|=23×√32+23√3√49+43+1×√34+1=√353×√72=6√2135, 所以直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为635√21.拓展 解:(1)证明:以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A 1(0,0,3),C (2,0,0),M (0,1,0),N (1,1,3),Q 1,1,32,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,1,-32,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,3),∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,0,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13,13,-32.设平面A 1CM 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +3z =0,-2x +y =0,取z=2,得n=(3,6,2),∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=3×13+6×13-2×32=0,∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 又PQ ⊄平面A 1CM ,∴PQ ∥平面A 1CM.(2)假设在线段AA 1上存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214. 不妨设AS=h (0≤h ≤3), 则S (0,0,h ),∴CS⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,h ), ∴|cos <CS ⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|CS⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||CS⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√4+ℎ2×7, ∴7√4+ℎ2=√214,解得h=2或h=347(舍),∴当点S 为线段AA 1上靠近A 1的三等分点时,直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214.探究点三例3 解:(1)证明:由题可知,AA 1⊥平面ABC ,∵AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1,E ,F 分别是AC ,A 1C 1的中点,∴AE=A 1F ,∴四边形AEFA 1是平行四边形, ∴EF ∥AA 1,∴EF ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC ,∴EF ⊥AC.∵AB=BC ,E 是AC 的中点, ∴BE ⊥AC ,又BE ∩EF=E , ∴AC ⊥平面BEF.(2)∵AA 1∥EF ,∴∠BFE 为异面直线AA 1与BF 所成的角,即∠BFE=45°,∴EF=BE.∵AC ⊥平面BEF ,∴∠CBE 为直线BC 与平面BEF 所成的角, ∴sin ∠CBE=√55,∴tan ∠CBE=12,∴BE=2CE.以E 为原点,EB ,EC ,EF 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设CE=1,则B (2,0,0),C (0,1,0),D (0,-1,1),B 1(2,0,2), ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,2).设平面BCD 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则{m ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 1-z 1=0,-2x 1+y 1=0,取x 1=1,得m=(1,2,4).设平面CDB 1的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 2-z 2=0,2x 2-y 2+2z 2=0, 取y 2=1,得n=-32,1,2,∴cos <m ,n>=m ·n|m ||n |=172√21×√292=17√609609.设平面BCD 与平面CDB 1的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=17√609609, ∴平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值为17√609609. 变式 解:(1)证明:取AC 的中点D ,连接PD ,BD ,∵△PAC 为等腰直角三角形,D 为中点,∴PD ⊥AC ,又△ABC 为正三角形,D 为中点,∴BD ⊥AC ,又PD ∩BD=D ,PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥平面PBD.∵PB ⊂平面PBD ,∴PB ⊥AC.(2)∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC=AC ,PD ⊂平面PAC ,PD ⊥AC ,∴PD ⊥平面ABC.由(1)知BD ⊥AC ,以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0),C (-1,0,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0). 设n=(x ,y ,z )为平面PBC 的法向量,则{CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x +z =0,x +√3y =0, 取x=1,得n=1,-√33,-1,又DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)是平面PAC 的一个法向量, ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-√77, 设平面APC 与平面PCB 的夹角为θ,则cos θ=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=√77, ∴平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值为√77.拓展 解:(1)证明:∵AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,F 为CD 的中点,∴四边形ABFD 为矩形,∴AB ⊥BF.∵DE=EC ,F 为CD 的中点,∴DC ⊥EF ,又AB ∥CD ,∴AB ⊥EF.∵BF ∩EF=F ,∴AB ⊥平面BEF.又AB ⊂平面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF.(2)由(1)知DC ⊥EF ,又PD ∥EF ,AB ∥CD ,∴AB ⊥PD.又AB ⊥AD ,PD ∩AD=D ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PA.以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B (1,0,0),D (0,2,0),P (0,0,a ),C (2,2,0),E 1,1,a 2, 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,1,a 2. 易得平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0,0,1).设平面EBD 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),由{n 2⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{n 2·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +2y =0,y +az 2=0, 取y=1,得x=2,z=-2a , 则平面EBD 的一个法向量为n 2=2,1,-2a , ∴cos θ=2a√4+1+4a 2=√5a 2+4.又∵平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,∴cos θ∈12,√22, 即2√5a 2+4∈12,√22,∴2√55≤a ≤2√155, 故a 的取值范围是2√55,2√155.【课堂评价】 1.C [解析] ∵l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°,则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2.A [解析] 设两个平面的夹角为θ,则|cos θ|=|cos <m ,n>|=√6×√2=√36,故cos θ=±√36. 3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则B (2,2,0),C 1(0,2,1),D (0,0,0),D 1(0,0,1),所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面BB 1DD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0,n ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0,取x=1,得n=(1,-1,0).设直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角为θ,则sin θ=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√5×√2=√105.故选D .4.A [解析] 在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OC 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设OA=OB=OC=1,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),O (0,0,0),所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面ABC 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y =0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),由题知平面AOC 的一个法向量为m=(0,1,0),设平面BAC 与平面ACO 的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=|m ·n ||m ||n |=√3=√33,故平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为√33.故选A .。
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