空间几何中的向量方法(夹角)

F1
(
1 2
,0,1),
D1

(1 2
,
1 2
,1)

AF1

(
1 2
,0,1)

BD1

(
1 2
,
1 2
,1)
= 30 . 10
所以
与
所成角的余弦值为
30 10
• [题后感悟] 如何用坐标法求异面直线所 成的角？
• (1)建立适当的空间直角坐标系；
• (2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形 式；
线线夹角问题：

设直线l, m的方向向量分别为a, b
l, m的夹角为 (0 ), 则cos cos a, b
l2
l

m
m
例1.直角三角形ABC中，BCA 900，现将ABC沿着平面ABC 的法向量平移到A1B1C1位置，已知BC CA CC1,取A1B1、A1C1 的中点D1、F1，求AF1与D1B所成角的余弦值.
例1.直角三角形ABC中，BCA 900，现将ABC沿着平面ABC
的法向量平移到A1B1C1位置，已知BC CA CC1,取A1B1、A1C1 的中点D1、F1，求AF1与D1B所成角的余弦值.
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系
如图所示，设
则：
A(1,0,0),
B(1,0,0),
平面AB1C的一个法向量为D1B (1,1,1)
cos


D1B,

B1C1

0
1 3
0


3 3
D
xC
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
3。 3
A1
B1
E
A
F
y
B
小结：
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
会宁二中
李斌
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n

a

0
n b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
• (3)利用向量的夹角公式计算直线的方向向 量与平面法向量的夹角；
• (4)结合直线与平面所成角的范围得到直线 与平面所成的角．
练习 正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1.
求B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值.
解 建立直角坐标系.
z

则 B1C1 (0，1，0)
D1

C1
l,的夹角为 (0 ),则sin cos a,u
l
2
l
Hale Waihona Puke Baidu
cos( π - θ) = cos < a,u > 2

cos( π + θ) = cos < a,u > 2
例2. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC 的中点， 求直线AD与平面EDB所成角的正弦值.
• (3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向 向量的夹角；
• (4)结合异面直线所成角的范围得到异面直 线所成的角．
练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为AB的中 点，求DB1与CM所成角的余弦值
D1
A1 P
D A
M
C1 B1
C B
线面夹角问题：


设直线l的方向向量为a, 平面的法向量为u ,
P
E
D
C
A
B
解：如图所示建立空间直角坐标系. 依题意得D(0,0,0), P(0,0,1), A(1,0,0)
E(0, 1 , 1 ), B(1,1,0) 22
z

直线AD的方向向量DA (1，0,0)

DE

(0,
1
,
1
),

DB

(1,1,0)
P
22

设 平面 的法 向量 为n (x, y, z)
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）
作业： 习题3.2 2，3，4



则n DE, n DB

平面的一个法向量n (1,1,1)
则直线AD与平面EBD所
D
成角的正弦值为1 0 0 3 A
3 3x
E
C
y
B
• [题后感悟] 如何用坐标法求直线和平面 所成的角？
• (1)建立适当的空间直角坐标系；
• (2)找到直线的方向向量与平面法向量的坐 标形式；